Voor de drie opgaven kunt u maximaal 100 punten scoren. De te behalen punten zijn bij elke deelvraag vermeld.

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "Voor de drie opgaven kunt u maximaal 100 punten scoren. De te behalen punten zijn bij elke deelvraag vermeld."

Juliana Lenaerts
6 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 Solid Mechanics (4MB00) Faculteit : Werktuigbouwkunde Datum : 17 april 2014 Tijd : uur Dit tentamen bestaat uit 3 opgaven. De antwoorden moeten worden gegeven in de omlijnde kaders op de opgavebladen. Deze worden allemaal, voorzien van naam en identiteitsnummer, ingeleverd. Kladpapier wordt niet nagekeken en hoeft dus niet te worden ingeleverd. Het gebruik van boeken, laptop, gsm, grafische rekenmachine, dictaat en aantekeningen is niet toegestaan. Het gebruik van een eenvoudige rekenmachine is toegestaan. Voor de drie opgaven kunt u maximaal 100 punten scoren. De te behalen punten zijn bij elke deelvraag vermeld. Antwoorden worden na het tentamen gepubliceerd op piet/ Solid Mechanics Tests and exams. Succes!!!!!!

2 Opgave 1 Bij het boren naar een nieuwe oliebron wordt gebruik gemaakt van verbuizingen (casings) die het boorgat afsluiten van het omringende gesteente. Shell ontwikkelt op dit moment een nieuwe methode om een verbuizing met constante diameter tot op grote diepte (tot meerdere kilometers) te installeren. De methode is gebaseerd op het inverteren van een stalen buis, waarbij de rand van de buis axisymmetrisch omgebogen en verstrekt wordt, zodat de afgerolde buis een grotere diameter heeft. We beschouwen hier zo n verbuizing. De binnenste buis heeft een binnendiameter van 0.5 meter en een buitendiameter van 0.52 meter. Na het inversieproces ontstaat de buitenste buis (wat de uiteindelijke verbuizing is na plaatsing). De buis is gemaakt van staal met een dichtheid van 7850 kg/m 3. De E-modulus voor staal gelijk is aan 210 GPa en de dwarscontractiecoëfficiënt van Poisson is 1/3. De elasticiteitsgrens (vloeispanning) σ Y van het staal is 385 MPa. a. Op de binnenbuis wordt bovenaan een drukkracht F = 101 kn uitgeoefend. Het eigengewicht van de buis mag niet verwaarloosd worden. Wat is de maximale vertikale drukspanning σ zz in de buiswand van de binnenbuis voor een gegeven ondergrondse buislengte L = 1 km? (4) Waar is deze drukspanning maximaal? (3)

3 b. Voor welke lengte L van de buis zal de maximale drukspanning σ zz in de binnenbuis de elasticiteitsgrens σ Y bereiken onder de exclusieve invloed van het eigengewicht van de binnenbuis (F = 0)? (4) Een belangrijke deformatiemode die bijdraagt tot het inversieproces is radiale expansie. We bestuderen hier verder enkel dit type deformatie, beperkt tot lineaire elasticiteit, kleine deformaties en dunne buizen. De verplaatsingsvector in een bepaald punt r, θ, z kan t.o.v. een cylindrische basis { e r, e θ, e z } geïdealiseerd worden als u = [(a 1)r + b] e r De getallen a en b zijn scalars die de hoeveelheid deformatie bepalen. c. Bepaal de lineaire rektensor ε in dit punt. (5) d. Bepaal de spanningstensor veroorzaakt door de onderstaande rektensor ε = 10 3 e r e r e θ e θ als gegeven is dat het materiaalgedrag lineair elastisch is met als stijfheidstensor 4 C = Eν (1 + ν)(1 2ν) II + E (1 + ν) 4 I s (5)

4 e. Als deze spanningstensor gelijk zou zijn aan σ = 100 e r e r e θ e θ + 50 e z e z [MPa] is deze spanningstoestand dan nog elastisch op basis van het Tresca criterium? (2) Geef een uitwerking van uw antwoord. (3) f. Verandert die conclusie op basis van het Von Mises criterium? (2) Zo ja, verklaar. (3) g. Kan de lineare rektensor ε gebruikt worden voor de volledige deformatie van de binnenbuis naar de buitenbuis? (2) Waarom wel, of waarom niet? (2)

Opgave 2 De zogenaamde Flip Chip technologie wordt veelvuldig toegepast om halfgeleider-componenten, zoals IC s en MEMS, te verbinden met externe elektrische circuits.

Kleine bolletjes soldeermateriaal ( solder balls ) worden eerst aangebracht op speciaal daarvoor ingerichte geleidende vlakjes op de chip.

5 Opgave 2 De zogenaamde Flip Chip technologie wordt veelvuldig toegepast om halfgeleider-componenten, zoals IC s en MEMS, te verbinden met externe elektrische circuits. Een voorbeeld van een computer chip die op deze manier communiceert met de buitenwereld wordt getoond in onderstaande (a). Kleine bolletjes soldeermateriaal ( solder balls ) worden eerst aangebracht op speciaal daarvoor ingerichte geleidende vlakjes op de chip. De chip wordt vervolgens omgedraaid (vandaar de naam van de technologie) en geplaatst op een ondergrond (bijvoorbeeld een moederbord of een andere chip) waarop soortgelijke vlakjes zijn aangebracht, zodanig dat de soldeerbolletjes daarmee contact maken. Vervolgens wordt het soldeermateriaal gesmolten om ook daadwerkelijk (elektrisch) contact te garanderen. De ruimte die overblijft tussen de soldeerbolletjes wordt tot slot gevuld met een elektrisch isolerende lijm, die underfill wordt genoemd. De underfill garandeert een sterkere mechanische verbinding en dient tevens als warmtegeleider. Een zijaanzicht van een typische Flip Chip configuratie wordt getoond in de figuur (b). board underfill chip solder balls chip underfill e 3 e 1 e 2 (a) solder balls (b) De hechting van de verscheidene grensvlakken die onderscheiden kunnen worden in een dergelijke component is een belangrijke bepalende factor voor de betrouwbaarheid van de component als geheel. Als gevolg van het grote verschil in thermische uitzettingscoëfficiënt tussen chip en underfill is met name het grensvlak tussen deze materialen kritiek; we beschouwen daarom in deze opgave dit grensvlak. De deformatietensor in de chip, F chip, en in de underfill, F under, kan in de nabijheid van het grensvlak homogeen worden verondersteld en wordt ten opzichte van de Cartesische basis { e 1, e 2, e 3 } (zie figuur (b) ) respectievelijk gegeven door F chip = e 1 e 1 + e 2 e e 3 e e 2 e 3 F under = e 1 e 1 + e 2 e e 3 e e 1 e e 2 e 3 a. Bepaal het verschil tussen de volumeveranderingsfactoren J in de chip en in de underfill. (5)

6 Beschouw alle materiële lijnstukjes die zich in het grensvlak bevinden. Deze lijnstukjes kunnen in de onvervormde toestand beschreven worden met behulp van de eenheidsvector e 0 = α e 1 + β e 2, met α 2 + β 2 = 1. b. Laat zien dat de deformatietoestand in de chip en de underfill zodanig is dat materiële lijnstukjes in het grensvlak niet van richting en lengte veranderen. (5) c. Bereken de lineaire rektensor in de chip ε chip. (6) De spanningstensor in de chip en in de underfill in de nabijheid van het grensvlak is gelijk aan respectievelijk σ chip = 80 e 1 e 1 20 e 3 e ( e 1 e 2 + e 2 e 1 ) 30( e 1 e 3 + e 3 e 1 ) 40( e 2 e 3 + e 3 e 2 )[MPa] σ under = 5 e 1 e e 2 e 2 20 e 3 e 3 30( e 1 e 3 + e 3 e 1 ) 40( e 2 e 3 + e 3 e 2 )[MPa] d. Voldoen de gegeven spanningstoestanden aan de evenwicht op het grensvlak, dat wil zeggen dat voor de bijbehorende spanningsvectoren op het grensvlak geldt p chip = p under? (2) Geef de relevante uitwerkingen. (6) e. Op basis van experimenten is bekend dat de grensvlaksterkte (de maximale spanning die niet tot beschadiging leidt) voor het beschouwde systeem van chip en underfill p max s = 55 [MPa] bedraagt in termen van de totale schuifspanning. Bepaal of de gegeven spanningstoestanden in de chip en de underfill grensvlakschade veroorzaken. (6)

7 Opgave 3 Hoogwaardige composietmaterialen worden in vele moderne toepassingen gebruikt. Deze materialen bestaan typisch uit meerdere lagen van verschillende materialen. We beschouwen hier zo n plaat bestaande uit twee lagen van een ander materiaal. Tijdens montage wordt de plaat in één richting in zijn vlak belast door een trekkracht. Na wegnemen van de kracht zijn er restspanningen in de layers, die invloed kunnen hebben op de belastbaarheid en levensduur. Om deze residuele spanningen te berekenen wordt een model gebruikt, dat in onderstaande figuur (rechts) is getekend : twee parallelle staven a en b van gelijke lengte L en met hetzelfde dwarsdoorsnede-oppervlak A. De staven zijn verbonden met de vaste wereld en met een star blok, waarop een kracht F wordt aangebracht. Het blok ondergaat daardoor een verplaatsing δ in x-richting. a L A b L A F δ x Wanneer de axiale spanning in de staven lager is dan de initiële vloeispanning, is het materiaalgedrag lineair elastisch met elasticiteitsmodulus E. De axiale vervorming is zodanig gering dat we de dwarscontractie kunnen verwaarlozen, m.a.w. het dwarsdoorsnedeoppervlak van de staven verandert niet. De initiële vloeispanning van staaf a is σ y0, die van staaf b is 3σ y0. Na vloeien vertoont staaf a lineair isotrope versteviging met verstevigingsconstante H. Staaf b is ideaal plastisch en vertoont dus geen versteviging. Druk alle antwoorden op onderstaande vragen uit in de gegeven grootheden : L, A, E, σ y0 en H. a. Teken voor beide staven een duidelijk spannings-rek diagram, voor de in onderstaande vragen gegeven deformatiegeschiedenis. (10)

8 b. Welke staaf zal het eerst gaan vloeien? (2) Hoe groot is dan de kracht F 0? (2) Hoe groot is dan de verplaatsing δ 0? (2) De kracht wordt verder opgevoerd tot de tweede staaf gaat vloeien bij F = F 1. c. Hoe groot is dan de verplaatsing δ 1? (3) De rek wordt nu vergroot tot de waarde ε = ε 2 = 9ε 0. d. Hoe groot is de plastische rek ε b 2p in staaf b? (4) e. Hoe groot is de spanning σ a 2 in staaf a? Geef de berekeing. (6) Hoe groot is de kracht F 2? (2) De kracht wordt vervolgens tot nul gereduceerd : F = F 3 = 0. f. Hoe groot zijn de residuele spanningen σ a 3 en σb 3 in beide staven? Geef de berekeing. (4)

Vergelijkbare documenten

Solid Mechanics (4MB00) Toets 2 versie 1

Solid Mechanics (4MB00) Toets 2 versie 1 Faculteit : Werktuigbouwkunde Datum : 1 april 2015 Tijd : 13.45-15.30 uur Locatie : Matrix Atelier Deze toets bestaat uit 3 opgaven. De opgaven moeten worden gemaakt