Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450)

Transcriptie

1 Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450 Datum: 2 augustus 2003 Tijd: 4:00 7:00 uur Locatie: Auditorium, zaal Dit tentamen bestaat uit drie opgaven. Het gebruik van het dictaat, oefeningenbundel en notebook is niet toegestaan. Wel mogen het aangehechte formuleblad en een rekenmachine gebruikt worden. Tip: denk aan de correcte eenheden. Succes! Opgave Olie- en gaswinning kunnen leiden tot bodemactiviteit in en rond het wingebied. Indien het gebied bovendien doorkruist wordt door olie- of gasleidingen wat vaak het geval is dienen maatregelen genomen te worden om te voorkomen dat de bodembeweging leidt tot schade aan deze leidingen en daarmee tot gevaarlijke situaties. Een eerste maatregel kan zijn het registreren van de bodembewegingen. Dit kan geschieden door plaatsing van een aantal meetstations, verankerd in de bodem, die met behulp van laserstralen de afstand tot elkaar nauwkeurig meten. Figuur toont een bovenaanzicht van een dergelijke situatie. In de uitgangssituatie vormen de drie stations een gelijkzijdige driehoek en is de afstand L tussen de stations precies gelijk aan L = 00 m. Na verloop van tijd wordt op de drie meetsecties (genummerd zoals aangegeven in de figuur een verlenging gemeten van respectievelijk L ( = 20mm, L (2 = 0 mm en L (3 = 60 mm. We beschouwen enkel vervormingen in het vlak van de tekening, die bovendien verondersteld worden homogeen te zijn tussen de meetstations. meetstation laserstraal (3 60 e y (2 leiding e z 30 e x ( L Figuur : Meetsysteem ter bepaling van bodembeweging a. Bereken de normaalrekken (normal strains ε nn (, nn en ε(3 nn langs de drie meetsecties. b. Bepaal de tweedimensionale infinitesimale rektensor (infinitesimal strain tensor die de deformatie in het meetgebied beschrijft.

2 In het volgende kan er van worden uitgegaan dat de bodembeweging wordt gekarakteriseerd door de rektensor ε = e x e x ( e x e y + e y e x e y e y Het meetgebied wordt doorkruist door een gasleiding, die een hoek maakt van 30 met de vector e x (zie figuur. c. Bereken op basis van deze rektensor de normaalrek ε nn (l in de gasleiding; hierbij kan verondersteld worden dat de leiding dezelfde verlenging ondergaat als de bodem ter plekke. d. Bereken, uitgaande van een uniaxiale spanningstoestand (uniaxial stress in de leiding ten gevolge van de grondbeweging, de normaalspanning σ nn (l in de leiding als gegeven is dat deze gemaakt is van staal met een elasticiteitsmodulus (Young s modulus E = 20 GPa. e. Als bovendien gegeven is dat de vloeispanning (yield stress van het staal gelijk is aan σ y = 240 MPa en dat een veiligheidsfactor (safety factor vanγ = 2 toegepast dient te worden, ga dan na of er nog sprake is van een veilige situatie. Opgave 2 Het gewicht van een metrotreinstel wordt via de assen en wielen doorgeleid naar de rails, zie figuur 2. De assen van het treinstel ondergaan daardoor een buigbelasting. Verondersteld wordt dat het treinstel acht wielen heeft die gelijkmatig belast worden met een kracht F g = Mg, met M de massa van het 8 treinstel inclusief passagiers en g de gravitatieversnelling (zie de figuur. De spanningstoestand in het middengedeelte van de as als gevolg van de gewichtsdoorleiding kan dan geschreven worden als σ (r,θ= 8Mgs πd 4 r sin θ e z e z met r en θ de straal en hoek behorende bij de cilindrische basis { e r, e θ, e z } (zie de figuur; θ is gedefinieerd als de hoek die de basisvector e r maakt met de rijrichting. Verder stelt s de afstand tussen wiel en lager voor en is d de diameter van de as (zie figuur 2. Het gewicht van de as zelf is verwaarloosd. s F g d e r F g R e z F w L F w F g F g Figuur 2: Metrotreinstel (links met schets van asbelasting (rechts a. Ga na of bovenstaand spanningsveld aan rotatie-evenwicht (rotational equilibrium voldoet. b. Ga na of het spanningsveld aan translatie-evenwicht (translational equilibrium voldoet. c. Bepaal de maximale schuifspanning (shear stress in de as als gevolg van de buigbelasting. 2

3 Behalve op buiging wordt de as tijdens het rijden van de metro ook belast op torsie. Dit gebeurt bijvoorbeeld in bochten, waar het wiel in de buitenbocht sneller moet roteren dan dat in de binnenbocht. Het maximale torsiemoment dat de as hierdoor ondergaat kan worden bepaald uit de maximale wrijvingskracht die kan worden overgedragen tussen wiel en rail. Deze kracht is gegeven door F w = µf g, met µ de wrijvingscoëfficient tussen wiel en rail. Samen met het buigende moment ten gevolge van de gewichtsbelasting geeft het torsiemoment ten gevolge van wrijving in het middengedeelte van de as aanleiding tot een spanning σ (r,θ= 4µMgR πd 4 r ( e θ e z + e z e θ 8Mgs πd 4 r sin θ e z e z waarin R de straal van het wiel voorstelt. d. Als gegeven is dat µ = 0.0 en R/s = 35, welke individuele belasting geeft dan aanleiding tot de 2 grootste maximale schuifspanning in de as, de buiging als gevolg van het gewicht of de torsie als gevolg van wrijving? De afmetingen van de asconstructie zijn in het volgende gegeven als R = 420 mm, d = 80 mm en s = 44 mm. Voor de wrijvingscoëfficient kan weer genomen worden µ = 0.0, terwijl de gravitatieversnelling g = 9.8 m/s 2 bedraagt. e. Bereken de hoofdspanningen (principal stresses in het meest kritische punt (r,θ = ( 2 d, π ten 2 gevolge van de gecombineerde belasting, uitgedrukt in de massa M van het treinstel. f. Als de vloeispanning van het asmateriaal σ y = 360 MPa bedraagt en een veiligheidsfactor van γ =.25 geldt, wat is dan volgens het criterium van Tresca de maximale massa M die de wagon (inclusief passagiers mag hebben? Als de wagon zelf 20 ton weegt, biedt de toelaatbare massa dan voldoende passagierscapaciteit? Opgave 3 Het spanningsveld rond een rechte schroefdislocatie in een stuk metaal wordt in termen van de Cartesische coördinaten (x, x 2, x 3 gegeven door σ = σ 22 = σ 33 = σ 2 = 0 σ 23 = Gb x 2π x 2 + x2 2 σ 3 = Gb x 2 2π x 2 + x2 2 waarbij b de lengte van de Burgers vector voorstelt en de as van de dislocatie samenvalt met de x 3 -as. Het materiaal rond de dislocatie is lineair elastisch verondersteld, met compressiemodulus (bulk modulus K en glijdingsmodulus (shear modulus G. a. Bereken de afgeleiden σ 23 / x 2 en σ 3 / x en ga na of het gegeven spanningsveld aan translatieevenwicht voldoet. b. Bereken in het punt P, gegeven door de positievector x = 2b e +b e 2, de spanningsvector p werkend op het vlak x 2 = b. c. Bepaal de rektensor ε als functie van (x, x 2, x 3. d. Bereken in het punt P de afschuifrek (shear strain ε ns op het vlak x 2 = b. 3

4 4

5 Uitwerkingen Tentamen Toegepaste elasticiteitsleer (4A450 Datum: 2 augustus 2003 Tijd: 4:00 7:00 uur Locatie: Auditorium, zaal Opgave a. De normaalrek in een sectie wordt gevonden door de verlenging L in de betreffende sectie te delen door de oorspronkelijke lengte L. Dit levert voor de drie secties: ε nn ( = ε nn (2 = ε nn (3 = b. Aangezien we alleen verplaatsingen in het horizontale vlak beschouwen, kan de rektensor geschreven worden als ε = ε xx e x e x + ε xy ( ex e y + e y e x + εyy e y e y Als we langs de meetsecties normaalvectoren definiëren volgens n ( = e x n (2 = 2 e x ey n (3 = 2 e x ey dan kan de normaalrek in een meetsectie i gerelateerd worden aan bovenstaande rektensor via ε (i nn = n(i ε n (i Uitwerken van deze relatie voor i =, 2 en 3 levert drie vergelijkingen voor de drie onbekende componenten van ε: ε xx = ε nn ( 4 ε xx 2 3 εxy ε yy = ε nn (2 4 ε xx + 3εxy ε yy = ε nn (3 waarbij de rechterleden bepaald zijn onder a. Invullen van deze waarden en oplossen van het stelsel vergelijkingen levert: ε xx = ε nn ( ( ε xy = 3 ε (2 ε yy = 3 ε( nn waarmee we vinden nn ε(3 nn ( ε (2 nn + ε(3 nn = = = ε = e x e x ( e x e y + e y e x e y e y c. De richting waarin de leiding ligt wordt gegeven door de eenheidsvector n (l = 2 3 ex + 2 e y. Hiermee en met de gegeven rektensor volgt de normaalrek in deze richting als ( ε nn (l = n(l ε n (l =

6 d. De axiale spanning is gelijk aan E maal de axiale rek: σ nn (l = Eε(l nn = 07 MPa e. Voor een uniaxiale spanningstoestand wordt de grens van het elastische gebied bereikt wanneer de axiale spanning gelijk wordt aan de vloeispanning. Tevens rekening houdend met de veiligheidsfactor mag in dit geval de axiale spanning dus bedragen: σ a = σ y γ = 20 MPa Hierboven hebben we berekend dat de spanning in werkelijkheid gelijk is aan 07 MPa, dus lager dan de toelaatbare spanning. De situatie is dus (nog net veilig. Opgave 2 a. Rotatie-evenwicht vereist dat σ = σ T ; daar is hier inderdaad aan voldaan. b. Aangezien er geen sprake is van een verdeelde belasting (het gewicht van de as is immers verwaarloosd luidt de evenwichtsvergelijking in dit geval σ = 0 Uitwerken van de divergentie voor het gegeven spanningsveld laat zien dat inderdaad aan evenwicht is voldaan. c. Aangezien de spanningstensor al in spectraalvorm gegeven is kunnen de hoofdspanningen meteen worden afgelezen. Voor 0 θ π zijn dit σ = σ 2 = 0 σ 3 = 8Mgs πd 4 r sin θ en bedraagt de maximale schuifspanning dus (voor r = 2 d en θ = 2 π: τ max = max r,θ 2 (σ σ 3 = 2Mgs πd 3 Voor π < θ 2π wordt (uiteraard dezelfde waarde gevonden. d. De maximale schuifspanning ten gevolge van enkel de buigbelasting hebben we bij het vorige onderdeel bepaald. De torsiebelasting geeft aanleiding tot een spanning die maximaal is voor r = 2 d en wel σ = 2µMgR ( e πd 3 θ e z + e z e θ Aangezien we hier enkel te maken hebben met een schuifspanning is de maximale schuifspanning meteen gelijk aan deze schuifspanning: τ max = 2µMgR πd 3 ofwel met de gegeven relaties: τ max = 7Mgs 2πd 3 Dit is kleiner dan de maximale schuifspanning als gevolg van de buigbelasting, dus de buigbelasting als gevolg van het gewicht van het treinstel geeft aanleiding tot de grootste schuifspanning. 2

7 e. Voor r = 2 d en θ = π en de gegeven maten kan de spanningstensor worden geschreven als 2 σ (r,θ= Mgs [ ] 7 ( eθ e 2πd 3 z + e z e θ 48 e z e z De eigenwaarden van de tensor tussen vierkante haken volgen eenvoudig als λ = λ 2 = 0 λ 3 = 49 waarmee we voor de hoofdspanningen vinden σ = gs 2πd M σ gs 3 2 = 0 σ 3 = 49 2πd M 3 met gs 2πd = 73 3 ms 2 f. Aan het criterium van Tresca wordt precies voldaan indien 2τ max = σ σ 3 = σ y γ Uitwerken met behulp van bovenstaande hoofdspanningen levert M = 2πd3 σ y 50γ gs = kg Na aftrek van de 20 ton eigengewicht levert dit een passagierscapaciteit van kg of, gedeeld door een gemiddeld (redelijk zwaarlijvig passagiersgewicht van 00 kg, zo n 590 passagiers. Zoveel passagiers passen zelfs met veel persen niet in een enkel treinstel, dus de capaciteit is ruim voldoende. Opgave 3 a. De gevraagde afgeleiden luiden σ 23 x 2 = Gb 2π 2x x 2 (x 2 + x2 2 2 σ 3 x = Gb 2π 2x x 2 (x 2 + x2 2 2 Bij afwezigheid van een verdeelde belasting vereist translatie-evenwicht dat σ = 0 Aangezien σ = σ 22 = σ 33 = σ 2 = 0 en de andere spanningscomponenten niet van x 3 afhangen kan de evenwichtsvergelijking voor dit geval vereenvoudigd worden tot σ 23 + σ 3 = 0 x 2 x Uit bovenstaande resultaten voor de afgeleiden kan direct worden afgelezen dat hieraan inderdaad wordt voldaan. b. In (x, x 2, x 3 = (2b, b, 0 is de spanningstensor gelijk aan σ = G 0π ( e e 3 + e 3 e 2 e 2 e 3 2 e 3 e 2 Verder is de normaalvector op het vlak x 2 = b gelijk aan n = e 2. Hiermee wordt de gevraagde spanningsvector p = σ n = G 5π e 3 3

8 c. Aangezien tr(σ = 0 volgt de rektensor rechtstreeks uit ε = 2G σ = b 4π x 2 + x2 2 [ x2 ( e e 3 + e 3 e x ( e 2 e 3 + e 3 e 2 ] d. De rektensor in P luidt ε = 20π ( e e 3 + e 3 e 2 e 2 e 3 2 e 3 e 2 Hiermee vinden we ε n = ε e 2 = 0π e 3 Aangezien deze vector al in het vlak x 2 = b ligt ( n ε n = 0 is ε ns gelijk aan de lengte ervan: ε ns = 0π 4