Limit design criteria

Transcriptie

1 6 Limit design criteria

2

3 6.1 Examples Example 6.1 Beschouw het koppelstuk tussen twee ronde buizen van verschillende diameter uit voorbeelden 2.7 en 5.2, zie ook Figuur 6.1. a a buis 1 a a e r (θ) P buis 2 a a e r (θ) P a s O e z O e z Figure 6.1: Initiële en gedeformeerde geometrie van een koppelstuk. De hoofdspanningen in het koppelstuk zijn al in voorbeeld 5.2 bepaald en gelijk aan σ 1 = 105MPa σ 2 = 85MPa σ 3 = 5MPa Verder is bekend dat de vloeispanning van het materiaal gegeven is door σ y = 100MPa. a. Ga na of het von Mises vloeicriterium wordt overschreden in het punt P. Uit bovenstaande hoofdspanningen kan de deviatorische spanningstensor eenvoudig bepaald worden volgens tr(σ) = 195MPa σ d = σ 1 3 tr(σ)i = 40 N 1 N1 +20 N 2 N2 60 N 3 N3 MPa De von Mises equivalente spanning volgt hiermee als 3 σ vm = 2 σd : σ d = 92MPa Deze waarde is lager dan de vloeispanning van 100 MPa en dus wordt het vloeicriterium niet overschreden. b. Verandert deze conclusie als het Rankine criterium wordt gebruikt? Volgens het Rankine criterium wordt de elasticiteitsgrens bepaald door de in absolute zin grootste hoofdspanning max σ i = 105MPa i Het Rankine criterium geeft in dit geval aan dat de elastische limit wel overschreden wordt. c. Verandert deze conclusie als het Tresca criterium wordt gebruikt? Volgens het Tresca criterium wordt de elasticiteitsgrens bepaald door de maximale schuifspanning. In dit geval is deze gelijk aan 2τ max = σ 1 σ 3 = 100MPa 3

4 Deze waarde is precies gelijk aan de vloeispanning van het materiaal. Example 6.2 Elektronische componenten bevatten veelal dunne lagen geleidend materiaal. Om inzicht te krijgen in de mechanische eigenschappen van een dergelijk materiaal wordt het onderworpen aan een buigtest. Het betreft hier een isotroop metaal met elasticiteitsmodulus E = 40 GPa en vloeispanning (yield stress) σ y = 27MPa. Een laagje van het metaal is aangebracht op een glasvezel-versterkt epoxy substraat. Het geheel wordt belast in zuivere buiging, zie Figuur 6.2. t T e y e z metaal e x substraat t+ t R Figure 6.2: Buiging van een dunne metaallaag op een substraat Voor een metaallaag met dikte t = 0.10mm wordt het spanningsveld gegeven door σ = 3E 4R [(7t+2z) e x e x +(2t+z) e y e y (t z) e z e z ] De elastische limiet van het metaal wordt gegeven door het vloeicriterium (yield criterion) van Tresca, dat geschreven kan worden als 2τ max = σ y met τ max de maximale schuifspanning (maximum shear stress) a. Bereken bij welke kromtestraal R deze elastische limiet bereikt zal worden. De hoofdspanningen σ 1, σ 2 en σ 3 voor de gegeven spanningstensor zijn σ 1 = σ xx = 3E 4R (7t+2z) σ 2 = σ yy = 3E 4R (2t+z) Hiermee volgt voor de maximale schuifspanning τ max τ max = 1 2 (σ 1 σ 3 ) = 3E 8R (8t+z) Deze is maximaal voor z = t, dus de elastische limiet wordt bereikt als 27Et 4R = σ y waaruit opgelost kan worden R = 27Et 4σ y = 1.0m σ 3 = σ zz = 3E 4R (t z) Example 6.3 Om verzekeringstechnische redenen wordt er een veiligheidsonderzoek ingesteld naar de windmolen die is afgebeeld in Figuur 6.3. Gezien de gevorderde leeftijd en staat van onderhoud 4

5 bestaat er enige zorg ten aanzien van de stormbestendigheid van de molen en met name van de wieken. Het moge duidelijk zijn dat het eventuele afbreken van een van de wieken grote gevaren met zich mee zou brengen voor de omgeving. Om het risico op een dergelijke calamiteit in te schatten, wordt een analyse gemaakt van de spanningstoestand in de balken die de kern vormen van het wiekenstel. III h e z l e y e x II I Figure 6.3: Veiligheidsanalyse van oude molen Aangezien de molen slechts bij hoge uitzondering nog in bedrijf is, kan de analyse zich beperken tot de ruststand zoals geschetst in de figuur. Enkel spanningen ten gevolge van de windbelasting (in de e y -richting) en het gewicht van de wiek (in de e z -richting) worden in beschouwing genomen. De balken zijn vervaardigd van hout. Trekproeven op een monster van het materiaal laten zien dat bij een spanning van σ y = 45 MPa permanente schade optreedt; op deze waarde dient een veiligheidsfactor (safety factor) van γ = 1.5 toegepast te worden. Als faalcriterium wordt het von Mises criterium gehanteerd. a. Hoe realistisch acht u het von Mises criterium voor een sterk vezelachtig materiaal als hout? Hout vertoont een sterk anisotroop gedrag; een isotroop criterium als dat van von Mises is dus niet erg realistisch. b. Welke van de wieken lijkt u het meest kritisch, nummer I, II of III (zie de figuur)? Verklaar uw antwoord. De windbelasting is voor alle drie de wieken identiek. De gewichtsbelasting leidt in wiek I tot een trekspanning en in III tot een (even grote) drukspannning, maar in wiek II tot een veel hogere buigspanning. Wiek II is dus het meest kritisch. In het volgende beperken we ons tot de balk in de horizontale wiek (nummer II). De spanningstoestand in deze balk kan worden benaderd met σ = 24 h 3 l (p wy p g z)(l x) 2 e x e x + p w h 2(l x)( e x e y + e y e x ) p g h 2(l x)( e x e z + e z e x ) waarbij l = 10 m en h = 0.20 m respectievelijk de lengte en dikte van de (vierkante) balk voorstellen; deconstanten p w = 8000N/m enp g = 4000N/m geven dewind-engewichtsbelasting per eenheid van balklengte. c. Beschouw het (meest kritische) punt (x,y,z) = (0, 1 2 h, 1 2h). Voldoet de molenwiek aan de gestelde veiligheidseis? 5

6 Invullen van de gegeven coördinaten en parameters levert σ = 36 e x e x +2( e x e y + e y e x ) 1( e x e z + e z e x ) MPa De deviatorische spanning in het punt is gelijk aan σ d = σ 1 3 tr(σ)i = 24 e x e x 12 e y e y 12 e z e z +2( e x e y + e y e x ) 1( e x e z + e z e x ) MPa Hiermee volgt dat 3 σ vm = 2 σd : σ d = 36MPa De toelaatbare spanning bedraagt σ a = σ y γ = 30MPa Deze wordt dus overschreden en daarmee voldoet de balk niet aan de gestelde eis. Example 6.4 In de pleisterlaag die soms ter afwerking wordt aangebracht op muren (Figuur 6.4(a)) kunnen interne spanningen onstaan als gevolg van de inwerking van vocht, temperatuurschommelingen en andere omgevingsinvloeden. Gezien de geringe dikte kan verondersteld worden dat in het pleisterwerk sprake is van een vlakspanningstoestand en dat dus alleen spanningscomponenten in het vlak van de laag beschouwd hoeven te worden (i.e. het x-y vlak). In een punt P zijn deze componenten gegeven door σ xx = 2.1MPa, σ yy = 1.1MPa en τ xy = 1.2MPa. σ 2 [MPa] P σ 1 [MPa] e y (a) e x -5.0 (b) Figure 6.4: (a) Pleisterwerk op een buitenmuur en (b) faalcurve van het pleistermateriaal Als gevolg van interne spanningen kan het pleisterwerk scheuren gaan vertonen. Experimenteel is vastgesteld voor welke combinaties van spanningen de elasticiteitsgrens overschreden wordt en scheuren ontstaan. Deze spanningstoestanden zijn in Figuur 6.4(b) weergegeven door middel van een faalcurve (limit curve) in de ruimte opgespannen door de relevante hoofdspanningen σ 1 en σ 2. 6

7 a. Wat is de spanning σ f waarbij het pleistermateriaal zal falen in een (éénassige) trekproef (uniaxial tensile test)? In een trekproef is σ 2 = 0; de faalspanning σ f wordt dus gegeven door het snijpunt van de faalkromme met de σ 1 -as. Uit de figuur is hiervoor af te lezen: σ f = 2.0MPa b. Bepaal met behulp van de faalcurve in Figuur 6.4(b) of de spanningstoestand in het punt P aanleiding geeft tot scheurvorming. De faalcurve is gegeven in de ruimte opgespannen door de hoofdspanningen σ 1 en σ 2. Om te bepalen of er in het punt P scheurvorming plaats kan vinden, dienen eerst de hoofdspanningen behorend bij het spanningstoestand in het punt P bepaald te worden. De hoofdspanningen volgen uit det(σ σī) = 0 ofwel, na invullen van de gegeven spanningscomponenten: ([ ]) 2.1 σ 1.2 det = σ Uitwerken levert σ 2 1.0σ 3.75 = 0 waaruit kan worden opgelost: σ 1 = 2.5MPa σ 2 = 1.5MPa De spanningen in P worden in het diagram door het punt (σ 1,σ 2 ) = (2.5, 1.5)MPa aangegeven. Dit punt ligt buiten de faalcurve en dus is er inderdaad sprake van scheurvorming. c. Bekend is dat scheuren in het pleister in het algemeen optreden loodrecht op de richting van de maximale hoofdspanning, gegeven door de vector M 1. Bereken deze vector voor het punt P. De componenten M 1 = [ M 1x M 1y ] T van M1 moeten voldoen aan de vergelijking (σ σ 1 Ī)M = 0 ofwel [ Hieruit volgt dat M 1y = 1 3 M 1x ][ M1x M 1y ] = [ ] 0 0 Normeren van M 1 zodat M 1 = 1 levert verder zodat M 1x = 3 10 M 1 = 1 10 (3 e x e y ) 7

8 l h V e z e θ e r B Figure 6.5: Richtingbord opgehangen aan een buisconstructie Example 6.5 De draagconstructie van een richtingbord is opgebouwd uit ronde buizen, zie Figuur 6.5. Bij het ontwerp van de constructie dient rekening gehouden te worden met de aanzienlijke belasting die de wind kan uitoefenen op het bord. Andere belastingen, zoals het eigengewicht van bord en ophangconstructie, worden in het volgende buiten beschouwing gelaten. De windbelasting kan geïdealiseerd worden als een puntkracht F die werkt in het midden van het bord, dat gegeven is door de horizontale afstand l = 2.40 m en de hoogte h = 5.20 m ten opzichte van de basis van de constructie (zie de figuur). De grootte van F is gegeven als functie van de windsnelheid v en de oppervlakte A van het bord door de relatie F = 1 2 ρc wav 2 Voor de dichtheid van lucht ρ en de luchtwrijvingscoëfficiënt C w kan respectievelijk genomen worden ρ = 1.3kg/m 3 en C w = 1.2. Als ontwerpeis wordt gesteld dat de constructie bestand is tegen een windsterkte van 11 Beaufort, ofwel v = 30m/s. De windkracht F leidt tot een gecombineerd buig- en torsiemoment in de holle, verticale staander V. Het torsiemoment is constant over de hoogte h van de buis en leidt tot een maximale torsiespanning τ θz = Fl 2πR 2 t waarbij R = 100mm de buitenstraal en t = 5.0mm de dikte van de buis voorstellen. Het buigend moment leidt tot een spanning die maximaal is in het punt B aan de basis van de constructie en daar gegeven wordt door σ zz = Fh πr 2 t In de sterkteberekening van de buis V hoeft enkel de spanningstoestand in het punt B beschouwd teworden; deanderespanningscomponentenσ rr, σ θθ, τ rθ enτ rz zijnteverwaarlozen. Hetmateriaalgedrag kan lineair elastisch verondersteld worden, met elasticiteitsmodulus (Young s modulus) E = 210 GPa en dwarscontractie-coëfficiënt (Poisson s ratio) ν = De vloeispanning (yield 8

9 stress) bedraagt σ Y = 250 MPa en er dient een veiligheidsfactor (safety factor) γ = 1.25 in aanmerking genomen te worden. a. Bepaal de von Mises equivalente spanning in punt B als functie van de windkracht F. Substitutie van de spanningen σ zz = Fh πr 2 t τ θz = Fl 2πR 2 t σ rr = σ θθ = τ rθ = τ rz = 0 in de uitdrukking voor de von Mises spanning ( )1 1 σ vm = 2 (σ rr σ θθ ) (σ rr σ zz ) (σ θθ σ zz ) 2 +3τrθ τ2 rz +3τ2 θz levert een equivalente spanning gelijk aan σ vm = F 4h 2πR 2 t 2 +3l 2 b. Bereken de maximale oppervlakte A van het richtingbord waarvoor de toelaatbare spanning (allowable stress) in de staander niet overschreden wordt bij de ontwerp-windsnelheid van 11 Beaufort; houd hierbij rekening met de veiligheidsfactor. Uit gelijkstellen van de hierboven bepaalde equivalente spanning aan de toelaatbare spanning σ Y /γ volgt de maximaal toelaatbare kracht: F max = 2πR2 tσ Y γ 4h 2 +3l 2 Met behulp van A = 2F ρc w v 2 volgt hieruit een maximale oppervlakte van A max = 4πR 2 tσ Y γρc w v 2 4h 2 +3l 2 = 8.0m2 c. De werkelijke oppervlakte van het richtingbord bedraagt A = 6.0m 2. Bereken de maximale schuifspanning τ θz in de staande buis bij een windsnelheid van 11 Beaufort. De schuifspanning τ θz is gegeven door τ θz = Fl 2πR 2 t = ρc walv 2 4πR 2 t = 32MPa d. Bereken de hoekverdraaiing φ die de verticale buis V ondergaat over de lengte h ten gevolge van deze torsiebelasting. De torsiehoek φ is gerelateerd aan de afschuiving γ θz volgens φ = h R γ θz Verder is de afschuiving gegeven door zodat: γ θz = τ θz G = 2(1+ν)τ θz E φ = 2(1+ν) h R τ θz E = 0.021rad = 1.2 9

10 6.2 Exercises Exercise 6.1 Consider again a point in the corner of airplane window from exercise 3.6, see also Figure 6.6. The stress tensor at the corner of the airplane window is given by σ = 17 e 1 e e 2 e 2 +5 e 3 e 3 +7( e 1 e 2 + e 2 e 1 )+5( e 1 e 3 + e 3 e 1 ) 5( e 2 e 3 + e 3 e 2 )MPa The elastic limit of the material is given by the yield stress σ y = 23MPa. e 2 e 3 e 1 Figure 6.6: Airplane window corner Verify if the stress stress state at the considered point exceeds the elastic limit according to the following yield criteria: a. Rankine (maximum principal stress) b. Tresca c. von Mises Exercise 6.2 The shaft of a wind turbine (Figure 6.7) is loaded in torsion as well as in compression. The axial load gives rise to a uniform axial stress σ zz = σ, while the torsion moment results in a shear stress which reaches a maximum τ θz = τ at the surface of the shaft (σ and τ are positive). a. Verify that if only the torsion load were applied, this would result in a von Mises equivalent stress at the shaft surface of σ t vm = 3τ b. Determine the von Mises stress σvm c due to the compressive load only. c. Show that the von Mises stress at the surface of the shaft for the combined stress state σ = τ( e θ e z + e z e θ ) σ e z e z is given by σ vm = σ 2 +3τ 2 d. Does the superposition principle for stresses also hold for (von Mises) equivalent stresses, i.e., is σ vm = σ t vm +σ c vm? Explain. 10

11 e θ e r e z Figure 6.7: Wind turbine shaft e. Plastic flow is predicted by the von Mises criterion when σ vm = σ Y. Verify that for the present case this relation can be rewritten as ( ) σ 2 ( ) τ 2 +3 = 1 σ Y σ Y f. Derive a similar relation for the Tresca flow criterion. The limit relations obtained under e. and f. are shown graphically in Figure 6.8. The circular markers in the diagram represent the conditions under which plastic flow was initiated in experiments on aluminium shafts. τ/σ Y 0.5 von Mises Tresca σ/σ Y Figure 6.8: Limit curves for von Mises and Tresca criteria; experimental data for aluminium g. Which of the two flow criteria shows the best fit to the experimental data? h. Which of the two criteria would be the safest to use in designing the wind turbine shaft? Exercise 6.3 A 40-year old railway bridge can no longer accommodate the ever increasing traffic loads within the criteria used in its original design. Since the bridge is in an excellent state of repair, it is 11

12 examined whether it would be able to support loads beyond its original design load within the current safety standards. The limiting factor has been found to be the force transmitted by the large number of rivet joints in the bridge (Figure 6.9). The rivets are made of steel with yield strength σ Y = 360MPa and have a diameter of d = 16mm. The nominal design load per rivet is F = 20kN. F 16 Figure 6.9: Rivet joint a. Compute the nominal maximum shear stress in the cross-section of the rivet. b. Compute the equivalent von Mises stress as a result of this shear stress. c. Verify that a safety factor of γ = 2 was used in the original design of the rivet joint, i.e. that theoretically a load of approximately twice the design load could be supported. Modern maintenance and inspection methods allow the safety factor for the rivet design to be decreased to 1.5. Furthermore, measurements on individual rivets have revealed that a residual tensile stress σ of at least 50MPa exists in them. d. Show that the tensile stress in the rivet gives rise to a normal force of 10.1kN acting on the plates which are held together by it. e. Given a friction coefficient of µ = 0.6 between the plates, compute the force F f which can be carried solely by friction. f. Compute the shear stress which can be carried (in combination with the tensile stress σ) by the rivet according to the von Mises criterion. g. Compute the force contribution F s as result of this shear stress. h. Determine the total design load F using the old safety factor γ = 2. How has F changed as a result of taking into account the tensile residual stress? i. Determine the new design load using the new safety factor γ = 1.5. By which percentage does the design load of the bridge increase with respect to the old design? Exercise 6.4 Figure 6.10 shows a schematic representation of a biaxial test on a metallic specimen. Next to the standard, axial tensile/compressive stress σ, a shear stress τ is applied to the specimen. The specimen thickness (in the e 3 -direction) is small, so that a plane stress state can be assumed. In the horizontal in-plane direction, on the other hand, the specimen is relatively large, so that the normal strain in this direction can be neglected (ε 11 = 0). The test material is isotropic and linear elastic. It is assumed to follow the von Mises flow criterion. This criterion is represented graphically in terms of the principal stresses σ 1, σ 2 by the solid curve in the diagram of Figure a. Why has only half of the ellipse been drawn in the diagram? 12

13 σ σ 2 τ e 2 e 3 e 1 specimen σ = σ Y σ 1 Figure 6.10: Biaxial testing b. Determine the principal stress ratio σ 2 /σ 1 for pure tension and for pure compression (τ = 0). c. Determine the principal stress ratio σ 2 /σ 1 for the simple shear stress only (σ = 0). d. Determine theratioσ 2 /σ 1 foranarbitrary combination ofaxial andshearstress (σ,τ). Verify that the result reduces to those obtained under b. and c. for purely axial and shear loading. e. Add the lines which represent pure tension, compression and simple shear to the diagram. Indicate in the plot which part of the flow criterion can be probed with this biaxial test. Exercise 6.5 Figure 6.11 shows the so-called Lion Gate in the ancient citadel of Mycenae (Greece). This gate was built around 2500 B.C. The massive lintel, i.e., the horizontal slab which covers the gate, spans approximately l = 3.0m and has an approximate average width and height of w = 2.0m and h = 1.0m. ρgh h e z e y σ xx e x 1 2 l C Figure 6.11: Mycenae s Lion Gate A simplified model of the lintel is shown in the right-hand side of Figure Symmetry is assumed and the supports of the lintel are assumed to allow its ends to rotate freely. The distributed load models the lintel s own weight. The weight of the relieving triangle is not taken into account, since it is assumed to be largely relayed directly to the walls. The density of the stone is ρ = kg/m 3. Its elastic behaviour is linear and isotropic with Young s modulus E = 4.0 GPa and Poisson s ratio ν = 0.2. The elastic limit of the material 13

14 is reached at a tensile stress of σ Y = 1.6 MPa. The bending moment in the lintel reaches its maximum at the symmetry plane x = 1 2 l. a. Verify that because of symmetry τ xy = τ xz = 0 at this symmetry plane and therefore that only a normal stress σ xx can act on the symmetry plane. b. Assuming this stress to be of the form ( σ xx = σ b 1 2z ) h show by considering the moment of momentum balance of the left half of the lintel that σ b is given by σ b = 3ρgl2 4h c. Compute the bending stress σ b for the dimensions given above; use g = 9.81m/s 2. The bending stress σ b is reached at the surface of the slab (point C). Since this is a free surface, the stress components σ zz and τ yz vanish at C. The width w is relatively large, so the strain in the y-direction, ε yy, can be neglected. d. Compute the stress σ yy due to this constraint. e. ComputetheRankineequivalent stress σ R in point C. Which percentage of theload-carrying capacity of the material has been used in this design? Exercise 6.6 Composite materials are being used more and more in aircraft design. Because of their sensitivity to imperfections, however, these materials cannot be joined by mechanical means (i.c. rivets). Instead, adhesive bonding is often used. Figure 6.12 shows a typical joint configuration: a socalled peel joint. The adhesive used in this type of joint is selected such that it does not fail before damage occurs in the composite parts of the joint. In practice, the peel joint therefore often fails as a result of damage in the area indicated in the figure. damage F adhesive Figure 6.12: Peel joint in aircraft structure The damage process in the composite is initiated either by fracture of the fibres or by cracking of the matrix. Separate criteria are available for these mechanisms (due to Hashin): fibre fracture: σ 2 11 X 2 + σ2 12 +σ2 13 S 2 = 1 14

15 matrix cracking: (σ 22 +σ 33 ) 2 Y 2 + σ2 12 +σ2 13 +σ2 23 σ 22σ 33 S 2 = 1 where the indices 1, 2 and 3 indicate the fibre direction, transverse in-plane direction and the thickness direction respectively and X denotes the strength in the fibre-direction, Y the strength in the transverse direction and S the in-plane shear strength. For a specific peel joint configuration, the stresses in the area prone to damage have been determined by finite element analyses as σ 11 = σ 22 = αf σ 12 = βf σ 13 = σ 23 = σ 33 = 0 with α = 0.042mm 2 and β = 0.028mm 2. The strength parameters of the composite material used in the joint are X = 1708 MPa, Y = 95 MPa, and S = 117 MPa. Determine by which mechanism and at which load failure of this joint will be initiated. 15

16

17 A Answers

18

19 Chapter a. σ R = 24MPa > σ y b. σ T = 24MPa > σ y c. σ vm = 21MPa < σ y 6.2 b. σ c vm = σ d. no ( σ f. σ Y g. von Mises h. Tresca ) 2 ( ) τ 2 +4 = 1 σ Y 6.3 a. τ = 99MPa b. σ vm = 172MPa e. F f = 6.0kN f. τ = 206MPa g. F s = 41.4kN, F = 47.4kN h. F = 23.7kN, increased by 19% i. F = 31.6kN, +58% 6.4 a. because σ 1 > σ 2 b. σ 2 σ 1 = ν; σ 2 σ 1 = 1 ν c. d. σ 2 σ 1 = 1 σ 2 σ 1 = 1 2 (1+ν)σ 1 4 (1 ν)2 σ 2 +τ (1+ν)σ (1 ν)2 σ 2 +τ 2 19

20 e. σ 2 tension σ 1 compression simple shear 6.5 c. σ b = 165kPa d. σ yy = 33kPa e. σ R = 165kPa; σ R σ Y = 10% 6.6 matrix cracking at F = 2.0kN 20