Tentamen CT3109 ConstructieMechanica 4 14 jan 2009 ANTWOORDEN

Transcriptie

1 OPGAVE : Arbeid en energie ANTWOORDEN a) Zie de theorie in het dictaat b) Met de e wet van Castigliano kan de verplaatsing worden gevonden. Hiervoor is de momentenlijn noodakelijk. De M-lijn is afhankelijk van de beide puntlasten. Een eenvoudige aanpak is derhalve om eerst de M-lijnen voor de afonderlijke puntlasten op te stellen. Daarmee is dan eenvoudig de totale M-lijn te bepalen. x C F l F l x F l x A F l D M-lijn t.g.v. F M-lijn t.g.v. F De horiontale verplaatsing in kan nu gevonden worden m.b.v.: Ev M M M u dx dx F F F Uit de bovenstaande M-lijnen kan worden opgemaakt dat alleen het deel A afhankelijk is van F. Uitwerking van dee integraal kan dus beperkt blijven tot alleen het deel A. De vergelijking van de M-lijn over A met een lopende variabele x van A naar is: M A A M ( x) F x Fl F x en l x F Uitwerken levert: l A A l M M F 0 0 u dx ( F x F l F x)( l x) dx u ( F F ) l

2 Voor de horiontale verplaatsing van punt D geldt: Ev M M M ud dx dx F F F l A A l C C l CD CD M M M M M M ud dx dx dx F F F Uitwerken is nu iets bewerkelijker aangeien alle delen van de M-lijn afhankelijk ijn van F. De M-lijn bestaat uit de volgende drie delen met de in de figuur aangegeven lokale x-as. M A A M ( x) F x Fl F x en x F M C C M ( x) Fl en l F M CD CD M ( x) Fl F x en l x F Uitwerken levert: l l l D u ( F x F l F x)( x) dx ( Fl)( l) dx ( F l F x)( l x) dx u D (0 F F ) l 6 3 Opmerking ij de beoordeling weegt een correcte M-lijn uiteraard eer waar. De bepaling van u heeft een groter gewicht dan die van u D i.v.m. de bewerkelijkheid van de uitwerking van dee laatste vraag

3 OPGAVE : Invloedslijnen De eerste constructie is statisch bepaald. Alle invloedslijnen voor krachtsgrootheden ijn per definitie in dat geval rechte lijnen. Alle invloedslijnen voor verplaatsingsgrootheden ijn per definitie gekromde lijnen tenij delen niet kunnen verbuigen vanwege het feit dat e of star ijn of onbelast verplaatsen. Karakteristieke verplaatsingen kunnen met de vergeet-mij-nietjes snel worden bepaald. Controleer dee orgvuldig! kn A scharnier star C 8,0 m 4,0 m 6,0 m invloedslijnen V V,0,0,5 8,0 4,0 6 w A 3 8,0 48 4,0 M M,0 M V S-L V S-L,0 V S-R V S-R,0,0 ϕ C - -,0 3,0 4, ,0 6,0 3 0,

4 De e constructie is statisch onbepaald. In principe ijn nu alle invloedslijnen krommen. kn A C 8,0 m 0 m invloedslijnen V V,0 M M,0 V -R V -R,0 - -

5 OPGAVE 3 : Plasticiteitsleer a) De constructie is enkelvoudig statisch onbepaald. Er ijn maximaal twee scharnieren nodig voor een mechanisme en er ijn drie locaties waar plastische scharnieren kunnen ontstaan. Hiermee ijn er maximaal 3 mechanismen te onderoeken. b) De mechanismen ijn hieronder schematisch aangegeven. Controleer ook elf de uitwerking met b.v. het programma Mp. F F 3 3 4a F F 3a 3-3 -

6 F F 3 Uitwerken van de virtuele arbeidsvergelijkingen levert: 4M δ A M p3δ M pδ M pδ 3δ F a 3δ F a 3δ 0 Fp 3a 3M δ A M p δ M pδ M pδ 3δ F a δ F a 3δ 0 Fp a 3M δ A δ M pδ M pδ F a δ 0 Fp a Conclusie, mechanisme is maatgevend met de laagste bewijklast. c) De momentenlijn behorende bij het maatgevende mechanisme kan worden bepaald door in A de horiontale oplegreactie te bepalen. De M-lijn overschrijdt nergens de momentendekkingslijn, er wordt dus voldaan aan de eis dat nergens in de constructie het volplastisch moment wordt overschreden. 3 p p p 3-4 -

7 OPGAVE 4 : Niet-smmetrische doorsnede The position of the Normal force Centre (NC) is required. The origin of the coordinate sstem used is located at the NC. The vertical position of the NC with respect to the upper side of the cross section is: at a at a at a at a at a 9a NC 90 mm 6at 8 The horiontal position with respect to the left side of the cross section is: at a at a at a at a 9a NC 90 mm 6at 8 The cross sectional constitutive relation relates the sectional forces to the deformations of the cross section: N EA 0 0 ε M 0 κ M 0 κ cross sectional constitutive relation: Eat a 55a a 67a ,8 0 Since this structure is loaded in bending onl, the strain ε at the NC must be ero. The curvatures can be found with the constitutive relation: N ε 0 EA κ 3, ( M M ) κ 5, 46 0 ( M M ) The direction of the plane of loading and the plane of curvature can be obtained with: M tanαm 0 αm 0 M κ tanαk,5 αk 56,8 κ The stresses for each point of the cross section can be computed with: σ (, ) E ( ε κ κ ) N/mm The neutral axis n.a. can also be found with this latter expression b: o o

8 ε (, ) ε κ κ 0 κ κ 0 The stress distribution can be visualied with a few points which are given in the table below. Tabel : Stress in the specified points Material point [mm] [mm] E [N/mm ] Stress [N/mm ] S 90-90,0 e 5-35 R 90-0,0 e 5 53 U 0-0,0 e 5-36 T -70-0,0 e V ,0 e 5 53 W ,0 e 5-96 The graphical presentation of the stress distribution at C is given in the next graph. The neutral axis goes through the NC since the normal force N is ero. S 35 N/mm k N/mm R n.a. U - T 585 N/mm 53 N/mm m M a k N.C. m - 96 N/mm 53 N/mm k κ 53 N/mm V - W 53 N/mm The moment M and thus the load F acts in the x-m plane. The curvature κ acts in the x-k plane. Due to the unsmmetrical cross section these planes do not coincide

9 The kern of the cross section can be obtained with: e / e EA / For each n.a. which is just outside the cross section, one corner point of the kern can be found. For this cross section we have to investigate five positions of the n.a. as can be seen from the figure below. S R U NC T V W Tabel : Position of the neutral axis for the corner points of the kern line [mm] [mm] e [mm] e [mm] RS ST TW VW RV