STUDIEWIJZER ARBEID, ENERGIE EN INVLOEDSLIJNEN. ir J.W. Welleman

Transcriptie

1 STUDIEWIJZER ARBEID, ENERGIE EN INVLOEDSLIJNEN ir J.W. Welleman Mei, 2007

2 I N H O U D S O P G A V E 1 INLEIDING Leerdoelen Opzet van deze studiewijzer Leermiddelen Docent UNIT 1: ARBEID EN VERVORMING Introductie Leerdoelen Arbeid Vervormingsenergie Arbeidstheorema s van Castigliano Activiteiten UNIT 2: ENERGIEFUNCTIES EN BENADERINGEN Introductie Leerdoelen Energiefunctie Minimum potentiële energie Benaderingsoplossingen Activiteiten UNIT 3: INVLOEDSLIJNEN Introductie Leerdoelen Invloedslijnen Statisch bepaalde liggers Statisch onbepaalde liggers Activiteiten TIJDBESTEDING... 7 ir J.W. Welleman mei 2007 ii

3 1 INLEIDING 1.1 Het evenwicht van constructies wordt meestal onderzocht met behulp van evenwichtsvergelijkingen. In dit onderdeel van de cursus zal kennis worden gemaakt met een andere methode die gebaseerd is op arbeidstheorema s. Het onderwerp is opgedeeld in drie eenheden (units) waarin de cursist vertrouwd wordt gemaakt met arbeid, vormveranderingenergie en het begrip minimale potentiële energie. De basisbegrippen arbeid en energie worden vervolgens toegepast bij het bepalen van invloedslijnen voor statisch bepaalde en statisch onbepaalde constructies. Invloedslijnen zijn een belangrijk hulpmiddel bij het bepalen van de meest ongunstige stand van de belasting op een constructie. 1.2 Leerdoelen Aan het einde van dit onderdeel is de cursist in staat om de krachtsverdeling in en het vervormingsgedrag van zowel statisch bepaalde als statisch onbepaalde constructies te bepalen met behulp van arbeid en energieprincipes. Tevens kan de cursist met deze energieprincipes invloedslijnen bepalen voor deze constructies. 1.3 Opzet van deze studiewijzer In deze studiewijzer wordt aangegeven hoe de stof in combinatie met de opdrachten en zelftoetsen uit de oefenbundel moet worden verwerkt. De stof is daartoe opgedeeld in drie units die overeenkomen met de drie cursusbijeenkomsten. Op deze manier kan de cursist als het ware gelijk optrekken met de docent en om feedback vragen tijdens de bijeenkomsten waardoor het leereffect wordt vergroot. De nominale studielast voor dit onderdeel is vastgesteld op 24 studiebelastingsuren. 1.4 Leermiddelen De benodigde leermiddelen voor dit onderdeel zijn : J.W. Welleman, Studiewijzer arbeid, energie en invloedslijnen, 2007 J.W. Welleman,, C. Hartsuijker en J.W. Welleman, Oefenbundel arbeid, energie en invloedslijnen, Docent De docent voor dit onderdeel is Ir J.W. (Hans) Welleman, werkzaam als universitair docent Toegepaste Mechanica bij de Technische Universiteit Delft, subfaculteit der Civiele Techniek. J.W.Welleman@HetNet.nl URL : ir J.W. Welleman mei

4 2 UNIT 1: ARBEID EN VERVORMING 2.1 Introductie In deze unit worden een aantal energie-begrippen geïntroduceerd die in relatie staan tot het begrip virtuele arbeid. Met deze begrippen en het toepassen van het principe van de virtuele arbeid kan een relatie gelegd worden tussen de belasting en de vervorming van constructies. 2.2 Leerdoelen De cursist is aan het einde van deze unit in staat om met behulp van de diverse begrippen die gerelateerd zijn aan arbeid en energie de krachtsverdeling en het vervormingsgedrag in een eenvoudige constructie te bepalen. 2.3 Arbeid Dit onderdeel is een introductie van de basisbegrippen. In het dictaat worden de begrippen kort uiteengezet en aan de hand van voorbeelden verduidelijkt. Leermiddel: Dictaat Notities over arbeid, energie en invloedslijnen, hoofdstuk 2 Lees de paragrafen 2.1 t/m 2.5 Bestudeer voorbeeld 1 en maak de opdracht van voorbeeld 1 Maak opgave 1 en 2 van het onderdeel arbeid uit de oefenbundel Bestudeer paragraaf 2.6. Op dit onderdeel zal in unit 3 worden teruggekomen Begrippen die nog niet duidelijk zijn opzoeken in het boek van Hartsuijker Maak de opgaven 3 en 4 over arbeid uit de oefenbundel 2.4 Vervormingsenergie In het hoofdstuk over vervormingsenergie wordt uiteengezet hoe uitwendige arbeid die op een constructie wordt verricht in de constructie wordt opgeslagen in de vorm van vervormingsenergie. Daarbij wordt vooralsnog uitgegaan van lineair elastisch gedrag. Leermiddel : Dictaat Notities over arbeid, energie en invloedslijnen, hoofdstuk 3 Lees de paragrafen 3.1 t/m 3.7 Bestudeer voorbeeld 2 Maak de opgaven 1 t/m 4 over vervormingsenergie uit de oefenbundel Lees paragraaf 3.8 Bestudeer voorbeeld 3 en 4 Maak de opgave 5 over vervormingsenergie uit de oefenbundel Lees paragraaf 3.9, hierop wordt later teruggekomen. Maak een vergelijking met bijlage A en zorg dat de basisstappen in deze afleiding worden herkend en begrepen 2.5 Arbeidstheorema s van Castigliano Met de 2 e wet van Castigliano kan met behulp van de vervormingsenergie de verplaatsing in de constructie worden bepaald. Vervolgens kan dit principe worden uitgebreid en kan met behulp van het begrip minimale vervormingsenergie de krachtsverdeling in statisch onbepaalde constructies worden bepaald. ir J.W. Welleman mei

5 Leermiddel : Dictaat Notities over arbeid, energie en invloedslijnen, hoofdstuk 4 Lees de paragrafen 4.1 en Bestudeer voorbeeld 5, 6 en 7 Maak de opgaven 1, 2 en 3 over arbeidstheorema s uit de oefenbundel Bestudeer paragraaf Maak opgave 4 over arbeidstheorema s uit de oefenbundel Bestudeer paragraaf 4,1.3 en over statisch onbepaalde constructies Lees paragraaf 4.2 Maak opgave 5 over arbeidstheorema s uit de oefenbundel Sluit dit onderdeel af met de aanwijzingen onder Activiteiten. 2.6 Activiteiten Zelftoets Toets de opgedane kennis en vaardigheden met de zelftoets Arbeid en Energie uit de vraagstukken en oefenbundel. ir J.W. Welleman mei

6 3 UNIT 2: ENERGIEFUNCTIES EN BENADERINGEN 3.1 Introductie Met de basiskennis van unit 1 wordt de theorie uitgebreid en in een algemeen kader geplaatst. Vervolgens wordt ingegaan op benaderingsoplossingen met behulp van een aangenomen verplaatsingsveld. 3.2 Leerdoelen De cursist kan de begrippen arbeid en energie in een breed kader plaatsen en is in staat om met een benadering van het verplaatsingsveld de krachtsverdeling en de verplaatsing in de constructie te benaderen of af te schatten. 3.3 Energiefunctie Met het begrip potentiële energie wordt een potentiaalfunctie gedefinieerd waarmee de tot nu toe gehanteerde basisbegrippen in een algemeen kader worden geplaatst. Leermiddel : Dictaat Notities over arbeid, energie en invloedslijnen, hoofdstuk 5 Lees de paragrafen 5.1 en t/m Maak opgave 1 over potentiële energie uit de oefenbundel 3.4 Minimum potentiële energie Aangetoond wordt dat de potentiële energie stationair moet zijn en dat voor een stabiel evenwicht de stationaire waarde van de potentiële energie een minimum moet zijn. Hiermee kan een directe relatie gelegd worden tussen de potentiële energie en de virtuele arbeidsvergelijking. Dit deel is een voorbereiding op het onderdeel benaderingen waar de nadruk meer zal liggen op het toepassen van de opgedane kennis aan de hand van de opgaven uit de oefenbundel. Leermiddel : Dictaat Notities over arbeid, energie en invloedslijnen, hoofdstuk 5 Lees de paragrafen en Bestudeer het extra vraagstuk over energieprincipes uit de bijlage van de oefenbundel. Opgaven uit de bundel zijn veelal uitgewerkt m.b.v. de virtuele arbeidsvergelijking. Hiervoor is echter ook in een aantal gevallen een alternatief geboden m.b.v. het principe van minimum potentiële energie. 3.5 Benaderingsoplossingen Door een kinematisch toelaatbaar verplaatsingveld aan te nemen kan een benadering van de functie van de potentiële energie worden opgesteld. Toepassen van het principe van minimum potentiële energie levert vervolgens de krachtsverdeling in de constructie welke een benadering is van de werkelijke krachtsverdeling. Leermiddel : Dictaat Notities over arbeid, energie en invloedslijnen, hoofdstuk 5 Bestudeer paragraaf 5.2 en aan de hand van voorbeeld 9 Maak opgave 2 over benaderingsoplossingen uit de oefenbundel Bestudeer paragraaf aan de hand van voorbeeld 10 Maak opgave 3 t/m 6 over benaderingsoplossingen uit de oefenbundel ir J.W. Welleman mei

7 3.6 Activiteiten Zelftoets Toets de opgedane kennis en vaardigheden met de zelftoets Energiefuncties en benaderingen uit de vraagstukken en oefenbundel. ir J.W. Welleman mei

8 4 UNIT 3: INVLOEDSLIJNEN 4.1 Introductie De constructies die tot nu toe zijn bekeken hebben als uitgangspunt een statische belasting die niet van plaats verandert. In de werkelijkheid zullen belastingen niet statisch zijn maar ook vaak niet plaatsvast zijn. Denk maar aan mobiele belastingen zoals b.v. rijdende voertuigen op een brug. Als we het dynamische karakter van de belasting even buiten beschouwing laten ontstaat dus het volgende probleem. Voor welke plaats van de belasting op de constructie wordt een bepaalde doorsnede maximaal belast. In tegenstelling tot eerdere berekeningen willen we nu dus niet weten waar de maximale belasting van de doorsnede ontstaat maar waar de belasting moet staan op de constructie opdat een door ons bekeken doorsnede maximaal wordt belast. 4.2 Leerdoelen De cursist kan voor eenvoudige statisch bepaalde en statisch onbepaalde liggerconstructies (kwantitatief) de invloedslijnen bepalen voor kracht- en verplaatsingsgrootheden. Met behulp van de methode Müller-Breslau kan de cursist tevens snel een kwalitatief oordeel geven over het verloop van een invloedslijn waarmee de meest ongunstige positie van een gegeven mobiele belasting op een liggerconstructie kan worden bepaald. 4.3 Invloedslijnen In dit onderdeel wordt het onderwerp ingeleid. Met name de gedachtensprong die gemaakt moet worden t.o.v. de tot nu toe gehanteerde figuren voor inwendige krachten (N-, V- en M-lijnen) leiden in het begin veelvuldig tot verwarring. Belangrijk is dus om voor jezelf helder voor ogen te krijgen waar het om gaat. Begrip is essentieel in dit deel van dit hoofdstuk. Leermiddel : Dictaat Notities over arbeid, energie en invloedslijnen, hoofdstuk 6 Bestudeer paragraaf 6.1 en schrijf voor je zelf op wat het verschil is tussen een momentenlijn voor een ligger en de invloedslijn voor het moment voor een specifiek punt van een ligger. Leg de relatie met de eerder afgeleide wet van Maxwell en controleer of je alle gelegde relaties echt begrijpt. Ga niet verder zolang hier onduidelijkheid bestaat! 4.4 Statisch bepaalde liggers De geïntroduceerde begrippen worden in dit deel toegepast op statisch bepaalde liggers. Onderscheidt wordt gemaakt in een kwalitatieve en een kwantitatieve beschouwing van invloedslijnen. Met de methode Müller-Breslau kan snel een schets gemaakt worden van een invloedslijn. Deze vaardigheid is zeer belangrijk. Vaak is het niet nodig om echt zwaar te rekenen om een idee te krijgen van de invloedslijn. Het exacte verloop van de invloedslijn kan indien nodig ook worden bepaald, hiervoor wordt in dit onderdeel ook het gereedschap aangedragen. ir J.W. Welleman mei

9 Leermiddel : Dictaat Notities over arbeid, energie en invloedslijnen, hoofdstuk 6 Bestudeer paragraaf 6.2 en Bestudeer voorbeeld 11 van paragraaf grondig en stel de kwalitatieve invloedslijnen op van de opdracht zonder naar figuur 6.20 te kijken. Bepaal vervolgens de kwantitatieve gegevens die missen in figuur Deze zijn aangegeven met (y). Maak opgave 1 over invloedslijnen uit de oefenbundel 4.5 Statisch onbepaalde liggers Voor statisch onbepaalde constructies kan op een identieke wijze als hiervoor de invloedslijnen worden bepaald. Voor de kwantitatieve bepaling van de invloedslijn wordt de procedure iets uitgebreid. Leermiddel : Dictaat Notities over arbeid, energie en invloedslijnen, hoofdstuk 6 Bestudeer paragraaf 6.3, en Controleer de overeenkomst in de procedure met die voor de statisch bepaalde constructies uit paragraaf 6.1. Loop voorbeeld 12 grondig na. Maak opgave 2 over invloedslijnen uit de oefenbundel Lees paragraaf door en doorgrond alle gemaakte stappen Bestudeer paragraaf Lees paragraaf Bestudeer paragraaf 6.4 en 6.5 Paragraaf 6.6 is leesstof, over dit onderdeel zal geen tentamenvraag worden gesteld Belangrijk is op te merken dat de voorbeelden in het dictaat voor het exact bepalen van het verloop van de invloedslijnen alleen bedoeld zijn als toelichting. In de voorbeelden is gebruik gemaakt van verschillende methoden waaronder natuurlijk ook arbeidsmethoden. Hiermee zijn deze voorbeelden tevens extra oefenstof het het voorgaande onderdeel. Als in de praktijk een invloedslijn moet worden bepaald volstaat de kwalitatieve schets veelal waarbij vervolgens voor een aantal punten m.b.v. een computerprogramma de exacte grootte van de invloedsfactor kan worden bepaald. 4.6 Activiteiten Zelftoets Toets de opgedane kennis en vaardigheden met de zelftoets Invloedslijnen uit de vraagstukken en oefenbundel. 5 TIJDBESTEDING Het aantal studiebelastingsuren (SBU) voor dit onderdeel is vastgesteld op 3 8=24 SBU. Uit ervaring blijkt dat de eerste module met minder tijd kan worden doorlopen maar dat module 2 iets meer tijd vraagt. Bij gelijkmatig studeren en na het maken van de opdrachten per unit zal voor de voorbereiding op het tentamen niet veel extra tijd meer nodig zijn. ir J.W. Welleman mei