Voorblad bij tentamen

Transcriptie

1 Voorblad bij tentamen Vaknaam: Mechanica MWT Vakcode: 8TB00 Datum: Begintijd: 13:30 Eindtijd: 16:30 Aantal pagina s: 11 (inclusief voorblad en formuleblad) Aantal vragen: 10 Aantal te behalen punten/normering per vraag: aangegeven per vraag Wijze van vaststellen eindcijfer: totaal aantal punten gedeeld door 10 Wijze van beantwoording vragen: open vragen Inzage: Overige opmerkingen: Formuleblad zit achter de vraagstukken Instructies voor studenten en surveillanten Toegestane hulpmiddelen (mee te nemen door student): Notebook X Rekenmachine Grafische rekenmachine X Dictaat/boek 1 A4-tje met aantekeningen X Woordenboek(en). Zo ja, welke: Engels - NL X kurketrekker Let op: toiletbezoek is alleen onder begeleiding toegestaan binnen 15 minuten na aanvang en 15 minuten voor het einde mag de tentamenruimte niet worden verlaten, tenzij anders aangegeven er dient altijd tentamenwerk (volledig ingevuld tentamenpapier: naam, studentnummer e.d.) te worden ingeleverd tijdens het tentamen dienen de huisregels in acht te worden genomen aanwijzingen van examinatoren en surveillanten dienen opgevolgd te worden etui ligt niet op tafel onderling worden geen hulpmiddelen geleend/uitgewisseld Tijdens het maken van schriftelijke tentamens wordt onder (poging tot) fraude in ieder geval verstaan: gebruik van andermans ID-bewijs/campuskaart mobiele telefoon of enige andere media dragende devices liggen op tafel of zijn opgeborgen in de kleding (poging tot) gebruik van ongeoorloofde bronnen en hulpmiddelen, zoals internet, mobiele telefoon e.d. het gebruik van een clicker die niet je eigen clicker is ander papier voor handen hebben dan door de TU/e is verstrekt, tenzij anders aangegeven toiletbezoek (of naar buiten lopen) zonder toestemming of begeleiding Behorende bij Regeling centrale tentamenafname TU/e

2 2

3 Question 1 (10 points): A 2-D object is supported by a hinge at point A and a roller support at point B. The position vectors of point A and point B (units [mm]) are: xa ex ey x 3e 2e B x y The object is loaded by two moments (units [Nmm]: M1 5ez M 2e 2 z a) Make a free-body diagram of the object b) Calculate the reaction forces at point A and B Question 2 (10 points) A homogeneous bar with mass m, length l and moment of inertia I=(1/12)ml 2 is held in horizontal position by a hinge at point A and a roller support at point B. At t=0 the support at point B is removed and the bar starts to rotate. The gravitational acceleration is g. Calculate the angular acceleration at t=0 as a function of m, g and l. 3

4 Question 3 (10 points) In an experiment a beam with length 3l is supported by a hinge at point A and a roller support at point C while it is loaded by a force F at point B as indicated in the figure below. The weight of the beam can be neglected. Make a graph of the internal moment M in the beam between point A and D as a function of coordinate x and indicate the value of the maximum magnitude of the moment in the beam. Question 4 (10 points) Two fibers with the same unloaded length l 0 together form a bundle. When a force F is applied to this bundle both fibers will stretch to the same length l. the force-stretch relationships for these fibers can be described by: F F c c with index 1 referring to the first fiber and 2 to the second fiber. a) Calculate an expression for the stretch =l/l 0 of the bundle after the force is applied in terms of the force F and the constants c 1 and c 2 b) Calculate the force in fiber 1 and in fiber 2 as a function of the total force F and the constants c 1 and c 2 4

5 Question 5 (10 points) The visco-elastic behavior of a specific fiber can be well represented by a standard linear model consisting of two springs and one dashpot. The constants of the springs and dashpot are indicated in the figure below. The material is loaded by a force F at t=0 that remains constant over time. Make a sketch of the strain of the fiber over time. In this graph, indicate the strain directly after the load is applied and the value of the strain that would be reached at t= in terms of F and the spring constants c 1 and c 2. Question 6 (10 points) A beam with length l and constant cross section A and constant Young's modulus E is loaded by a force as indicated in the figure below. Calculate the displacement u as a function of x, F, l, A and E. 5

6 Question 7 (10 points) On a small cubic volume subjected to a homogeneous state of stress the stress components as indicated in the figure were measured (units [MPa]) Specify the full stress tensor. Question 8 (10 points) The homogeneous state of stress at a point in a material is described by the following stress tensor: σ 20ee 8ee [MPa] x x y y a) Calculate the stress vector s working on a surface oriented at an angle of 30 degrees with the x-direction. b) Calculate the magnitude of the normal stress on the surface 6

7 Question 9 (10 points) A thin sample of a soft material of 441 [mm] in size is compressed by a force of 160 [N] in the z-direction between two rigid plates. The tissue has a Young's modulus of E= 100 [MPa] and a Poisson s ratio of v=0.4. It can be assumed that no friction exists between plate and material. Calculate the dimensions of the sample in the x-, y- and z-direction in the compressed state Question 10 (10 points) A bar with cylindrical cross-section and its longitudinal axis in the z-direction is connected to the wall at its end A while at its end B a moment M Mex and a torque T Tez are acting. The stresses in the bar due to this moment and torque are evaluated at a cross-section halfway the bar at a point P located at the y-axis next to the surface as indicated in the figure. Which of the 6 stress components ( xx, yy, zz, xy, xz, ) will be zero at point P? 7

8 Formuleblad behorende bij het vak mechanica voor MWT 8TB00 Vector rekenen Inproduct (inner product): ab. a b cos Uitproduct (vector product): c ab; c a b sin Tripelproduct (triple product): a b c a b c Dyadisch product (dyadic product): ab p a b p Bewerkingen waarbij een vectorbasis wordt gebruikt: vector notatie Inproduct (inner product): ab a b a b a b x x y y z z Uitproduct (vector product) ab ab y zab z yex ab z xab x zey ab x yab y xez Dyadisch product (dyadic product): ab axbxexe x+axbyexey axbzexez abee y x y x abee y y y y+abee y z y z abee abee abee z x z x z y z y z z z z Bewerkingen waarbij een vectorbasis wordt gebruikt: kolom notatie Inproduct (inner product): T abab x x ab y y ab z z Uitproduct (vector product) ab y z ab z y ab azbx axbz ab x y ab y x Dyadisch product (dyadic product): ab x x ab x y ab x z T ab ab y x ab y y ab y z ab z x ab z y ab z z 8

9 Matrix operaties Ab c AB C Ia a en: IA AI A 1 A A I Krachten en momenten De component F t van een kracht F in de richting van een eenheidsvector e wordt gegeven door: Ft Fe e Moment bepalen t.o.v. punt P, terwijl kracht F aangrijpt in Q: M x x F Q P Evenwicht (equilibrium) F 0 M 0 Beweging en massatraagheid (movement and inertia) Kracht voor het versnellen van een massa: F ma Moment voor een hoekversnelling (angular acceleration) van een puntmassa op afstand R: 2 M mr Moment voor een hoekversnelling (angular acceleration) van een object rond zijn as: M I Vezels (fibers) en spieren (muscles) Relatie tussen kracht en verlenging voor een vezel l F c 1c1c l0 Relatie tussen kracht en verlenging voor een geactiveerde spier l F c 1c 1 lc c Visco-elastisch materiaalgedrag (visco-elastic behavior) Elastisch gedrag: 1 Visceus gedrag: F c F c c 9

10 Heavyside function: 0alst0 Ht () 1alst0 Kruip functie (creep function) J(t): Als Ft () Ht () is voorgeschreven, dan volgt de rek de kruipfunctie: () t J() t Relaxatie functie (relaxation function) G(t): Als () t H() t is voorgeschreven, dan volgt de kracht de relaxatiefunctie: Ft () Gt () Proportionaliteit (proportionality): Als F() t FH 0 () t is voorgeschreven, dan volgt de rek: () t FJ 0 () t Als() t 0H() t is voorgeschreven, dan volgt de kracht: F() t 0G() t Superpositie (superposition): Bij een stap in de belasting op t=0 en een tweede stap op t=t 1 volgt voor t > t 1 : () t FJ() t FJ( t t ) Ft () Gt () Gt ( t) Spanning (stress) en rek (strain) in een 1-D continuum N Spanning: A du Rek: dx Materiaalgedrag: E d Evenwichtsvergelijking: du EA q 0 dx dx Spanning (stress) en rek (strain) in een 3-D continuum Spanningstensor (stress tensor): Als dyadische producten: σ ee ee ee ee ee ee ee ee ee 10 xx x x yy y y zz z z y z z y xz x z z x xy x y y x In matrixvorm: xx xy xz xy yy xz zz Rektensor (strain tensor): Als dyadische producten: ε ee ee ee ee ee ee ee ee ee xx x x yy y y zz z z y z z y xz x z z x xy x y y x In matrixvorm: xx xy xz xy yy xz zz

11 Met normaalrekken (normal strains) en schuifrekken (shear strains): u u x y uz Normaalrekken: xx ; yy ; zz x y z 1du du x y 1dux duz 1duy duz Schuifrekken: xy ; xz ; 2 dy dx 2 dz dx 2 dz dy a : ε a a Grootte van de rek in richting van eenheidsvector Materiaalgedrag: wet van Hook (Hook s law): 1 1 v v v E E 1 1 v v v E E 1 1 v v v E E xx xx yy zz yy xx yy zz xz xz zz xx yy zz xy xy E 1 E xx v xx vyy v zz 1 v 1 2v 1 v E E yy vxx 1vyy vzz xz xz 1v12v 1v E E 1 xy xy zz vxx vyy v zz 1v12v 1 v Theorema van Cauchy: geeft de spanningvector s op een vlak met normaal n Als dyadisch product: s σn In matrixvorm: sx xx xy xz nx s n y xy yy y s z xz zz n z Von Mises equivalente spanning: M xx yy yy zz zz xx xy xz 2 V Volumerek: tr() ε xx yy zz Buiging en torsie Pure buiging: Torsie: Normaalpanning: Schuifspanning: Hoekverdraaing: xx M t I T r J T E x met G GJ 2(1 v) 11

12 Answers 1) a) b) H A=0; V A=3/2; V B= -3/2 [N] 2) 3) 3 g [s -2 ] 2 l F 4) a) 1 c1 c2 c1 c2 b) F1 F [N] ; F2 c1 c2 c c 5) 1 2 F [N] F Fl 6) ux ( ) x EA EA 7) σ 20ee 10ee 2( ee ee) 5( ee ee) [MPa] 8) a) s 10e x 4 3e b) s 11[MPa] n x x z z x y y x y z z y 9) New dimensions: [mm] 10) 0 xx yy xy y 12