Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A. De opgaven

Transcriptie

1 Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 3 november 9, 3-6 uur Bij dit tentamen mogen dictaat en/of rekenmachine niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, collegekaartnummer en naam van de practicumleider (één van: Esther Bod, Ionut Marcut, Sebastiaan Janssens, Bas Fagginger Auer, Jantien Dopper). Laat bij elke opgave zien hoe je aan het antwoord komt!! Succes! De opgaven. De lijnen l, m in R 3 zijn gegeven door: l : + λ, m : 3 + µ. Verder is het punt P = (,, ) t gegeven. (a) (/ pt) Laat zien dat P noch op de lijn l, noch op de lijn m ligt. (b) (/ pt) Laat zien dat l, m noch parallel zijn, noch elkaar snijden. (c) (/ pt) Zij V het vlak door P en l en W het vlak door P en m. Bepaal de vergelijkingen van V en W. (d) ( pt) Laat zien dat er precies één rechte lijn door P bestaat, die zowel l als m snijdt. Bepaal een parametervoorstelling van deze lijn.. Stel a R en beschouw het volgende stelsel vergelijkingen in de onbekenden x, x, x 3, x 4 R, x x + 4x 3 x 4 = x x + x 3 = x + x 3 = 9 + x x 3 + x 4 = a (a) ( pt) Voor welke waarde van a heeft dit stelsel een oplossing? (b) ( pt) Bepaal voor deze waarde van a de oplossingsverzameling. ZOZ

2 3. Stel k R en beschouw de volgende matrix: M = k. 4 k + (a) ( pt) Voor welke waarde(n) van k is de rang van M gelijk aan? (b) ( pt) Bereken voor de waarde k = de inverse matrix. 4. We beschouwen R 3 met daarin het standaard inproduct x y. Ter herinnering: de lengte x van een vector x is gegeven door x = x x. In R 3 is een drietal vectoren p, q, r gegeven zó dat p = q = r >. De verzameling L is de verzameling van alle x R 3 waarvoor geldt dat x p = x q = x r. (a) (/ pt) Bewijs dat de verzameling van alle x R 3 met x p = x q gegeven wordt door {x R 3 p x = q x}. (Hint: Stel x p = x q ). (b) (/ pt) Bewijs met behulp van het resultaat van het voorgaande onderdeel dat L gegeven wordt door {x R 3 (p q) x = (p r) x = } (c) (/ pt) Stel p = (,, 3) t, q = ( 3,, ) t, r = (, 3, ) t. Bereken L. 5. (a) ( pt) Beschouw de lineaire deelruimte V in R 3 opgespannen door (,, ) t, (,, ) t en de lineaire deelruimte W opgespannen door (,, ) t, (,, ) t. Bepaal een basis van de deelruimte V W. (b) ( pt) Zij V, W een tweetal deelruimtes van R n van dimensie r respectievelijk s. Bewijs dat V W een vector bevat als r + s > n. Uitwerkingen vavaf volgende pagina

3 De uitwerkingen. De lijnen l, m in R 3 zijn gegeven door: l : + λ, m : 3 + µ. Verder is het punt P = (,, ) t gegeven. (a) Stel P ligt op l. Dan is er λ zó dat = + λ met andere woorden: = + λ, = λ, =. Uit de laatste vergelijking zien we dat het stelsel strijdig is, dus P l. Stel P ligt op m. Dan is er µ zó dat = 3 + µ met andere woorden: = + µ, = 3 + µ, = + µ. Uit de eerste vergelijking volgt µ = uit de derde µ = /. Het stelsel is dus strijdig en P m. (b) De richtingsvectoren (,, ) t en (,, ) t zijn onafhankelijk en daarom zijn l, m niet parallel. Stel dat l, m elkaar snijden. Dan zijn er λ, µ zó dat + λ = 3 + µ Met andere woorden: +λ = +µ, λ = 3+µ, = +µ. Uit de laatste vergelijking volgt µ =. Ingevuld in de eerste en tweede vergelijking, + λ =, λ = 3. Hieruit volgen λ = / en λ =. Het stelsel is dus strijdig en l, m snijden elkaar niet. (c) Het vlak V bevat de richtingvectoren (,, ) t (van l) en de vector van P naar het steunpunt van l: (,, ) t (,, ) t = 3

4 (3,, ) t. Een steunpunt wordt gegeven door P. Een parametervoorstelling van het vlak is dus x x = + λ + µ 3 x 3 Door eliminatie van λ, µ hieruit volgt de vergelijking x + x 3x 3 = voor V. Het vlak W bevat de richtingvectoren (,, ) t (van m) en de vector van P naar het steunpunt van m: (, 3, ) t (,, ) t = (,, ) t. Een steunpunt wordt gegeven door P. Een parametervoorstelling van het vlak is dus x x = + λ + µ x 3 Door eliminatie van λ, µ hieruit volgt de vergelijking x x = voor W. (d) Een lijn door P die l snijdt moet in het vlak V liggen. Een lijn die zowel P als m snijdt moet in W liggen. Een lijn door P die zowel V als W snijdt moet dus in de doorsnijding van V en W liggen, maw de gevraagde lijn is precies V W. Kies in de vergelijkingen x + x 3x 3 = en x x = de variabele x 3 = t met t willekeurig. Uit de tweede vergelijking volget x = x. Ingevuld in de eerste, 3x 3t = en dus x = t + en x = x = t. Een parametervoorstelling is + λ. Stel a R en beschouw het volgende stelsel vergelijkingen in de onbekenden x, x, x 3, x 4 R, x x + 4x 3 x 4 = x x + x 3 = x + x 3 = 9 + x x 3 + x 4 = a 4

5 (a) Los het stelsel op door Gauss-eliminatie in schemavorm 4 9 a Elimineer x in de eerste kolom, 4 / / Verwissel tweede en derde vergelijking, 4 / / 3 4 a 4 3 a Elimineer x in tweede kolom 4 / / / Elimineer x 3, 4 / / 4 3 a a Dit stelsel is strijdig tenzij a =, maw a =. In dat laatste geval is er een oplossing. (b) Stel a =. De laatste vergelijking wordt = welke we weg kunnen laten. Er blijft over 4 / 4 / 3 De pivotvariabelen zijn x, x, x 3. Kies x 4 = τ met τ willekeurig. Uit derde vergelijking, x 3 = 3 + τ/. Uit de tweede volgt x = 5

6 4 + x 3 x 4 / = τ/ τ/ = 7. Uit de eerste x = x x 3 + x 4 / + 5 = 7 (3 + τ/) + τ/ + 5 = 6 τ/. Oplossing (x, x, x 3, x 4 ) t = (6, 7, 3, ) t + τ( /,, /, ) t 3. Stel k R en beschouw de volgende matrix: M = k. 4 k + (a) We voeren een rijreductie uit op M. Vegen in de eerste kolom geeft k k + k 3 4k Vegen in de tweede kolom k k + = k k + 4k (k + )(k 3)/ k / 3k + 7/ Als k / 3k + 7/ dan zijn er drie pivot-elementen en is de rang 3. Anders is de rang. Uit k / 3k + 7/ = volgt = ( /)(k + 6k 7) = ( /)(k + 7)(k ). Dus als k = of k = 7 is de rang van M gelijk aan. (b) De inverseberekening voor k = is standaard. 4 Vegen eerste kolom Vegen tweede kolom

7 Tweede rij maal / derde rij maal /6 / / /3 /3 /6 Jordanreductie /6 /6 /6 / / /3 /3 /6 De inverse matrix is dus /6 /6 /6 / / /3 /3 /6 4. We beschouwen R 3 met daarin het standaard inproduct x y. Ter herinnering: de lengte x van een vector x is gegeven door x = x x. In R 3 is een drietal vectoren p, q, r gegeven zó dat p = q = r >. De verzameling L is de verzameling van alle x R 3 waarvoor geldt dat x p = x q = x r. (a) Stel x p = x q. Kwadrateren en inproduct gebruiken geeft x p = x q (x p) (x p) = (x q) (x q) x x x p + p p = x x x q + p q Links en rechts vallen x x tegen elkaar weg, en ook p p en q q omdat gegeven is dat p = q. Na deling door houden we over, xp = xq. Uitgaande van deze gelijkheid kunnen we door omkering van bovenstaande stappen concluderen dat x q = x p. Dus x q = x p xp = xq. (b) De gelijkheden zijn equivalent met het tweetal gelijkheden x p = x q en x p = x r Volgens voorgaand onderdeel zijn deze gelijkheden equivalent met x p = x q en x p = x r Na nemen van verschil zien we dat deze twee equivalent zijn met (p q) x = en (p r) x =. 7

8 (c) In dit concrete geval geldt dat p q = (,, ) t en p r = (,, ) t. De verzameling L wordt nu dus gegeven door x + x 3 = enx x + x 3 = Dit is een rechte lijn door. Kies x = τ met τ willekeurig. Dan volgt uit de eerste vergelijking dat x 3 = τ en uit de tweede x = x + x 3 = τ τ = τ. Conclusie L = {τ(,, ) t τ R} 5. (a) Een vector u is zowel bevat in V als in W precies dan als er x, x, x 3, x 4 bestaan zó dat u = x + x = x 3 + x 4 Brengen we de termen met x, x oplossen; x x + x 3 naar links, dan moeten we + x 4 = Verander x, x in x, x dan luidt het stelsel in schemavorm Eerste kolom vegen Tweede kolom vegen 5 De pivotvariaben zijn nu x, x, x 3. Kies x 4 = τ met τ willekeurig. Dan volgt uit de laatste vergelijking dat x 3 = 5x 4 = 5τ. De vectoren in V W worden nu dus gegeven door u = x 3 (,, ) t + x 4 (,, ) t = τ(, 3, 5) t. Conclusie, V W heeft dimensie en basis (, 3, 5) t. 8

9 (b) Zij V, W een tweetal deelruimtes van R n van dimensie r respectievelijk s. Bewijs dat V W een vector bevat als r + s > n. Kies een basis v,..., v r van V en een basis w,..., w s van W. Om V W te bepalen moeten we het stelsel x v + + x r v r = y w + + y s w s in x,..., x r, y,..., y s oplossen. Dit is een homogeen stelsel van n lineaire vergelijkingen in r + s onbekenden. Omdat r + s > n moet er een niet-trivale oplossing zijn. Stel ξ,..., ξ r, η,..., η s is een niet-triviale oplossing. Niet alle ξ i zijn nul, anders zou gelden = η w + + η sw s in tegenspraak met de onafhankelijkheid van w,..., w s. Omdat niet alle ξ i nul zijn is ξ v + + ξ r v r een niet-triviale vector in V W. 9