Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel AB herkansing, blad 1/5

Transcriptie

1 TECNISCE UNIVERSITEIT EINDOVEN Faculteit Biomedische Technologie, groep Cardiovasculaire Biomechanica Tentamen Fysica in de Fysiologie (8N070) deel AB herkansing, blad 1/5 vrijdag 28 januari 2011, uur et tentamen bestaat uit 4 opgaven die elk maximaal 20 punten opleveren. De verdeling is bij de vragen aangegeven. Geef bij elk antwoord een argumentatie. 1

2 1. Een ruimtestation in de vorm van een groot wiel roteert om zijn as met een periodetijd T. Door de rotatie wordt in het station een kunstmatige zwaartekracht gegenereerd: een bewoner van het ruimtestation, die zich op een afstand R van de rotatie-as bevindt, wordt met een kracht F tegen de buitenwand gedrukt. We gaan op zoek naar de relatie tussen T, R, F en de massa m van de bewoner. 1 pnt 4 pnt (a) oeveel dimensieloze groepen beschrijven de relatie tussen deze grootheden en waarom? (b) In bovenstaand probleem wordt gezocht naar het volgende dimensieloos verband tussen de grootheden: Π(T, R, F, m) = 0 [T α T R α R F α F m α m ] = 1. Bereken een mogelijke dimensieloze groep, waarmee het verband tussen de grootheden beschreven kan worden. et exacte verband tussen T, R, F en m wordt gegeven door: F = 4π 2 mr T 2 In het ruimtestation bevindt zich een persoon met een massa m = (65.0 ± 0.5) kg op een staal R = (100 ± 1) m. De omlooptijd T wordt bepaald door een verschilmeting, T = T 2 T 1, met T 2 = 30.0 ± 0.1 s en T 1 = 10.0 ± 0.1 s. 6 pnt (c) Bereken de kracht F, in de vorm F ± F, met hierin het juiste aantal significante cijfers. Ten opzichte van de rotatie-as beschrijven we de positie r van de persoon als functie van de tijd t als volgt: r(t) = R cos(ωt) e x + R sin(ωt) e y ierin is ω een constante en vormen de vectoren e x en e y een Cartesische basis. (d) Welke dimensie heeft de parameter ω? (e) Bereken de snelheid v(t) van de persoon als functie van de tijd. (f) Bereken de versnelling a(t) van de persoon als functie van de tijd. (g) Bespreek de relatie tussen de versnelling a(t), berekend in (f), en de kracht F, gedefinieerd onder (b).

3 2. In een heupprothese beweegt een metalen bol in een kunststof kom. Voor het functioneren van de prothese is de wrijving tussen het metaal en de kunststof van belang. De statische wrijvingscoëfficiënt µ s en de kinetische wrijvingscoëfficiënt µ k worden bepaald in onderstaande experiment, waarin zich een metalen blokje met massa m op een kunststof helling bevindt. et blokje is onderhevig aan de gravitatie-versnelling g. m g e y A L e x α B Voor de bepaling van µ s beschouwen we de situatie waarin het blokje in rust is. 6 pnt (a) Teken in een free-body -diagram de krachten die op het blokje werken. (b) Werk de tweede wet van Newton uit in componenten ten opzichte van het coördinatenstelsel { e x, e y }, gegeven in de figuur. (c) De maximale hoek α, waarbij het blokje net niet gaat glijden, noemen we α 1. Druk de statische wrijvingscoëfficiënt µ s uit in (onder andere) α 1. Voor de bepaling van µ k beschouwen we de situatie waarin het blokje, bij de hoek α = α 1, net gaat glijden. 5 pnt (d) Bereken de versnelling a, die het blokje ondervindt. (e) et blokje legt de afstand L van punt A naar punt B af in een tijdsduur T. Geef de relatie tussen de kinetische wrijvingscoëfficiënt µ k en (onder andere) T.

4 3. In een achtbaan legt een wagentje met massa m w met daarin een passagier met massa m p het traject A-B-C-D-E-F-G-D--K af, zie onderstaande figuur. De totale massa bedraagt m = m w + m p. De beweging begint met snelheid nul in punt A en vindt plaats onder invloed van de gravitatieversnelling g. De trajecten A-B en B-C verlopen via cirkelsegmenten met straal. De looping D-E-F-G-D is cirkelvormig met straal R. Tot aan punt mag wrijving verwaarloosd worden. m A α B g G F R E C D S K 5 pnt (a) Beschouw traject A-B. Bepaal met een energiebeschouwing de grootte van de snelheid, v α, van het wagentje met passagier als functie van de hoek α, aangegeven in de figuur. (b) Bereken de snelheid in punt C. Punt F is een belangrijk punt in de looping D-E-F-G-D. De snelheid moet hier nog groot genoeg zijn om de passagier in zijn/haar stoel te drukken. 4 pnt (c) Teken het vrije-lichaams-diagram van de inzittende in punt F. (d) Laat zien dat voor de minimale snelheid v min, die het wagentje en passagier hier moeten hebben, geldt: v min = gr (int: gebruik de tweede wet van Newton.) (e) Druk de minimale straal min van de cirkelsegmenten A-B en B-C, die nodig is om de minimale snelheid v min te realiseren, uit in R. Op het traject -K wordt het wagentje afgeremd door een constante wrijvingskracht, gekarakteriseerd door de kinetische wrijvingscoëfficiënt µ k. et wagentje komt tot stilstand in punt K, op een afstand S van punt. 4 pnt 1 pnt (f) Druk met een energiebeschouwing de grootte van µ k uit in en S. (g) Druk de versnelling a op dit traject uit in µ k en g.

5 4. We zijn geïnteresseerd in de Young s modulus E en de Poisson constante ν van een biologisch materiaal. In een trekproef wordt een proefstukje met lengte l 0 en een cirkelvormige dwarsdoorsnede met diameter d 0 vertikaal opgehangen et proefstukje wordt belast met een massa m, die onderhevig is aan de gravitatieversnelling g, en verlengt hierbij tot een lengte l. De verandering van de diameter van d 0 naar d kan niet betrouwbaar gemeten worden. We veronderstellen daarom dat het volume van het proefstukje tijdens het experiment constant blijft. 7 pnt (a) Druk E uit in m, g, l, l 0 en d 0. (b) oe groot is, met bovenstaande aanname over de volume-verandering, de Poisson constante ν? De Poisson constante zou bepaald kunnen worden via een bepaling van de glijdingsmodulus G, immers G = E. Om G te bepalen te bepalen worden twee blokjes 2(1 + ν) van het materiaal in een opstelling bevestigd volgens onderstaande figuur links. De afmeting van elk blokje is L D. De blokjes worden op afschuiving belast met een kracht F, werkend op het verbindingsplaatje tussen de twee blokjes. et plaatje verplaatst hierdoor over een afstand u. D, L L dikte D u ρ v m h 2 h 1 F 5 pnt (c) Druk de glijdingsmodulus G uit in, D, L, u en F. Een massaloos cilindrisch koffiebekertje met daarin een aantal munten met totale massa m drijft in een zwembad, zie bovenstaande figuur rechts. et bekertje heeft een diameter D en hoogte L. et zwembadwater heeft een dichtheid ρ. (d) Bereken de afstand h 1 tussen de bodem van het bekertje en het wateroppervlak. In het bekertje wordt nu op een afstand h 2 geprikt, zie figuur. onder het wateroppervlak een gaatje (e) Bereken met behulp van de wet van Bernoulli de snelheid v, waarmee het water meteen na het prikken van het gaatje het bekertje binnenstroomt.

6 1. Antwoorden: (a) Er zijn 4 fysische grootheden (T, R, F, m) en 3 basis dimensies (L, M, T). Er is dus 4-3=1 dimensieloze groep die het probleem beschrijft. (b) Uit [T α T R α R F α F m α m ] = 1 volgt bij invullen van de dimensies: Dit geeft: (T) α T (L) α R (MLT 2 ) α F (M) αm = 1 T α T 2α F L α R+α F M α F +α m = T 0 L 0 M 0 α T 2α F = 0 α R + α F = 0 α F + α m = 0 Kiezen we α F = 1, dan volgt α T = 2; α R = 1; α m = 1. Een mogelijke dimensieloze groep wordt dus gegeven door π 1 = F T 2 mr. (c) Er geldt: F = 4π 2 mr T 2 Voor de absolute fout in T = T 2 T 1 geldt T = T 2 + T 1. Voor de relatieve fout in F geldt dan: F F = m m + R R + 2 T T = Invullen van de waarden levert F ± F = (642 ± 24) N, of, iets voorzichtiger, F ± F = (6.4 ± 0.3) 10 2 N. (d) Er geldt [ωt] = [ω]t = 1, dus [ω] = T 1. (e) De snelheid volgt uit: v = d r dt = ωr sin(ωt) e x + ωr cos(ωt) e y (f) De versnelling volgt uit: a = d v dt = ω2 R cos(ωt) e x ω 2 R sin(ωt) e y (g) De versnelling heeft een grootte a = ω 2 R en is gericht in negatieve radiële richting. De kracht F, die hiervoor benodigd is, heeft een grootte F = ma = mω 2 R. Met ω = 2π/T volgt de uitdrukking gegeven onder (b). Deze kracht wordt geleverd door de buitenwand van het ruimtestation.

7 2. Antwoorden: (a) Vrije-lichaams-diagram : N e y F w α e x F g (b) De tweede wet van Newton levert, indien de massa niet beweegt: Fx = mg sin α F w = ma x = 0 Fy = mg cos α + N = ma y = 0 (c) Als het blokje net niet gaat glijden, bij α = α 1, volgt uit de tweede vergelijking N = mg cos α 1. Er geldt ook F w = µ s N. De eerste vergelijking leidt dan tot mg sin α 1 µ s mg cos α 1 = 0, waaruit volgt µ s = tan(α 1 ). (d) De tweede wet van Newton levert voor de x richting, indien de massa wel beweegt: Fx = mg sin α 1 F w = ma x 0 Met mg sin α 1 = µ s mg cos α 1 (uit (c)) en F w = µ k N = µ k mg cos α 1 volgt dan : Fx = µ s mg cos α 1 µ k mg cos α 1 = ma x en dus a = a x e x = (µ s µ k )g cos α 1 e x (e) Voor de afgelegde weg s als functie van de tijd t geldt, bij constante versnelling en beginsnelheid nul: s(t) = 1 2 a xt 2 s(t ) = L = 1 2 a xt 2 en dus geldt, na substitutie van a x : L = 1 2 (µ s µ k )g cos α 1 T 2

8 3. Antwoorden: (a) Er geldt W nc = E = K + U = 0 omdat er alleen een conservatieve kracht, de zwaartekracht, werkt. Als E = 0 dan geldt E = constant en dus E A = E α. Met E A = U A + K A = 2mg en U α = mg(1 + cos α) volgt K α = U A U α = mg(1 cos α). En met K α = 1 2 mv2 α volgt: v α = 2g(1 cos α) (b) Er geldt E C = E A. Met U A = 2mg, E A = 0 en U C = 0 volgt K C = 2mg = 1 2 mv2 C en dus: v C = 2 g (c) et vrije-lichaams-diagram: m p F stoel F g (d) Op grond van de tweede wet van Newton geldt: F = F g +F stoel = m p a = m p v 2 /R. De passagier verliest het contact met de stoel zodra F stoel = 0. Voor de minimale snelheid geldt dan: v min = gr (e) Er geldt E F = E A. Met U F = 2mgR en K F,min = 1 2 mv2 min = 1 mgr volgt 2 E F,min = 5mgR = E 2 A,min = 2mg min. Daarmee volgt dan: min = 5 4 R (f) W nc = E = K + U. Verder geldt U = 0 en K = K K K = 1 2 mv2 K. Met v K = v C = 2 g volgt dan E = 2mg. De arbeid W nc volgt uit W nc = F w S = µ k mgs. De eis W nc = E levert dus: µ k = 2/S (g) De versnelling volgt eenvoudig uit F = ma = µ k mg, dus: a = µ k g (vertraging)

9 4. Antwoorden: (a) Er geldt E = σ/ɛ, met σ = F/A en F = mg. Met ɛ = (l l 0 )/l 0 en A = 1 4 πd2 volgt als tussenresultaat: E = mgl 0 A(l l 0 ) = 4mgl 0 πd 2 (l l 0 ) Uit de aanname V = V 0 volgt met V = Al en V 0 = A 0 l 0 dat A = A 0 l 0 /l. Daarmee volgt dan: E = mgl A 0 (l l 0 ) = 4mgl πd 2 0(l l 0 ) (b) Voor een incompressibel materiaal geldt ν = 0.5, zie voorbeeld 6.1 in het dictaat. (c) Voor de glijdingsmodulus geldt G = σ s /γ. Voor de afschuiving geldt: γ = u/. De afschuifkracht F s op één blokje volgt uit tweede wet van Newton, toegepast op het verbindingsplaatje tussen de twee blokjes: 2F s F = 0 en dus F s = F/2. De afschuifspanning volgt dan uit σ s = F s /A met A = DL. Combinatie levert: G = F 2DL u. (d) Volgens de tweede wet van Newton geldt ΣF = F g + F opw = 0. Met F g = mg en F opw = ρ 1 4 πd2 h 1 g volgt h 1 = 4 π m ρd 2 (e) Volgens de wet van Bernoulli geldt p ρv2 + ρgh = constant. Aan het wateroppervlak geldt p = p 0 en v = 0 en h = 0. (De conditie v = 0 volgt uit behoud van massa, in het bijzonder uit A g /A z 1, waarin A g het doorstroomoppervlak van het gaatje is, en A z het wateroppervlak van het zwembad.) In het bekertje geldt bij de instroom p = p 0 en h = h 2. De snelheid v 2 volgt dan uit p 0 = p ρv2 2 ρgh 2, ofwel: v 2 = 2gh 2 Dezelfde uitkomst vinden we als we de onderkant van het bekertje als referentie voor de hoogte nemen. Dan geldt: p 0 + ρgh 1 = p ρv2 2 + ρg(h 1 h 2 ).