TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE GROEP TRANSPORTFYSICA Tentamen Fysische Transportverschijnselen voor W (3B470) op woensdag 23 juni 2010, uur. Het tentamen levert maximaal 30 punten op, waarvan de verdeling hieronder is aangegeven. Opgave 1 Beantwoord de volgende vragen met ja of nee en geef daarbij een korte argumentatie. Bij een goed antwoord met goede argumentatie krijgt men per vraag 1 punt. Bij een ernstige fout in de argumentatie wordt geen punt toegekend. (a) Een stationaire twee-dimensionale stroming v = (u, v) in het x, y-vlak wordt beschreven door u = αx 2, v = αx(1 2y), met α een positieve constante. Is deze stroming incompressibel? (b) Is de stroming van onderdeel (a) rotatievrij? (c) Is het waar dat de reksnelheidstensor van de stroming van onderdeel (a) de volgende vorm heeft? ( ) 2αx α(1 2y) D = α(1 2y) 2αx (d) Beschouw weer de stroming van onderdeel (a). Is het waar dat de versnelling van een deeltje in het punt (x, y) = (1, 1 ) wordt gegeven door 2 a = (2α 2, 0)? (e) Men plaatst een bol in een niet-viskeuze uniforme parallelstroming, zie figuur (a). In deze potentiaalstroming is de weerstandskracht F w = 0 (Paradox van d Alembert). We doen hetzelfde experiment nu in een niet-viskeuze divergerende (dus: vertraagde) kanaalstroming met uniforme snelheidsverdeling, zie figuur (b). 1

2 Is het waar dat de bol nu een kracht ondervindt in stroomopwaartse richting? (f) Kan men de wet van Bernoulli toepassen in een stationaire Couettestroming? (g) Het snelheidsprofiel in een laminaire grenslaag aan een vlakke plaat wordt benaderd met { ( ) u sin πy V = 2δ, 0 y δ 1, y δ met V de hoofdstroomsnelheid, δ = δ(x) de plaatselijke grenslaagdikte, en (x, y) Cartesische coördinaten langs resp. loodrecht op de plaat. Is het waar dat de verplaatsingsdikte gelijk is aan δ = ( 1 2 π ) δ? (h) Is het waar dat het Strouhal-getal de verhouding weergeeft van de instationaire versnellingsterm en de viskeuze term in de Navier-Stokesvergelijking? (i) Is het waar dat de Reynolds-spanning in een turbulente stroming het karakter van een tensor heeft? (j) Een reclamevliegtuigje vliegt met een snelheid V = 144 km/uur met een reclamedoek (hoogte B = 1 m, lengte L = 25 m) achter zich op sleeptouw. De weerstandscoëfficiënt van het reclamedoek is C D = 0, 06. De dichtheid van de lucht is ρ = 1, 2 kg m 3. Is het waar dat de weerstandskracht F w van het doek ongeveer 1, 44 kn bedraagt? 2

3 Opgave 2 1. Aan het einde van een ronde buis (diameter D) is een spuitstuk bevestigd d.m.v. een flens. De uitstroomopening heeft een diameter d(< D). Het door de buis stromende water heeft een uniforme snelheid u), en de stroming is stationair. Het water mag als niet-viskeus en incompressibel (dichtheid ρ) beschouwd worden. De druk in de uitstroomopening is niet gelijk aan de omgevingsdruk p a. Als gevolg hiervan contraheert de waterstraal na uittreden uit de buis nog tot een kleinste diameter d 0, zodanig dat d 0 = 1 D. Ter plaatse van deze kleinste 3 diameter d 0 is de stroming die van een vrije straal, waarin de druk gelijk is aan die van de omgeving (p a ). De zwaartekracht speelt (vooralsnog) geen rol. (1 pnt) (a) Bepaal de snelheid u 0 in de straal bij de nauwste doorsnede (diameter d 0 ). (b) In de buis (diameter D) heerst een druk p. Bereken het drukverschil p p a. (c) Bepaal de kracht K die het spuitstuk via de flens op de buis uitoefent. In welke richting werkt deze kracht? Vervolgens richt men de vrije waterstraal onder een hoek van α 1 met de horizontaal schuin omhoog. We noemen de uniforme snelheid nu V 1, en de doorsnede-oppervlak A 1. In deze straal blijft een massieve bol (met massa M) op de geschetste manier stil hangen. Op enige afstand stroomafwaarts van het balletje heerst in de straal weer een homogene snelheid V 2, nu echter gericht volgens een hoek α 2 met de horizontaal. NB. Het doorsnede-oppervlak A 2 ( V 2 ) is ongelijk aan A 1. 3

4 (1 pnt) (d) Leid een relatie af tussen V 1, V 2, A 1 en A 2 door de integrale massabalans toe te passen over de aangegeven contour. (e) Stel ook de integrale impulsbalans in de x-richting op. (f) Stel vervolgens de integrale impulsbalans in de y-richting op, en leid - gebruik makend van de resultaten van (d) en (e) - een uitdrukking af voor de hoek α 2. Hierbij mag de massa van het water binnen de contour verwaarloosd worden t.o.v. de bolmassa M. 4

5 Opgave 3 Beschouw de stationaire stroming van een onsamendrukbare vloeistof (dichtheid ρ, kinematische viscositeit ν) tussen twee parallelle vlakke platen met lengte L en breedte B (loodrecht op het vlak van tekening). De onderlinge afstand tussen de (horizontale) platen bedraagt d. Er wordt een Cartesisch x, y-stelsel gedefinieerd zoals aangegeven in de figuur. Op x = 0 heerst een uniforme snelheid u 1 (x = 0) = U en een druk p 1. De platen zijn poreus en er wordt vloeistof door afgezogen met een uniforme snelheid V. Aan de platen ontwikkelen zich laminaire grenslagen zodanig dat op x = L de stroming zich (juist) volledig ontwikkeld heeft tot een parabolische snelheidsverdeling u 2 (x = L) = α(y 2 yd). De druk aldaar is gegeven door p(x = L) = p 2 ( p 1 ). (3 pnt) (1 pnt) (a) Bepaal m.b.v. de integrale massabalans de factor α in de snelheidsverdeling u 2 (y) op x = L; bepaald tevens de maximale snelheid û op x = L voor een gegeven intree-snelheid U. (b) Bepaal het drukverschil (p 1 p 2 ) bij gegeven U. (c) Bereken m.b.v. de integrale impulsbalans de totale wrijvingskracht W die beide platen samen op de stroming uitoefenen. Volg daarbij de volgende stappen: c1. definieer de voor de balans benodigde contour, en geef deze duidelijk in een tekening aan; geef tevens de lokale normaalvectoren aan, alsmede de lokale snelheidsvectoren. c2. bepaal alle afzonderlijke termen in de integrale impulsbalans, en geef aan waarom bepaalde termen nul zijn. c3. bepaal de grootte en de richting van de wrijvingskracht W. 5

6 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE VAKGROEP TRANSPORTFYSICA Uitwerking Tentamen FTV voor W (3B470) van woensdag 23 juni Opgave 1 (a) Ja. De stroming is incompressibel indien v = 0. Hier: u x + v y = 2αx 2αx = 0. (b) Nee. In een 2D stroming is ω = v = (0, 0, ω z ), met ω z = v x u y. Invullen van u en v levert ω z = 2αy + α 0 i.h.a. (c) Nee. Voor deze 2D stroming neemt de reksnelheidtensor ( ) ( u 1 Dxx D D = xy = ( u + v ) ) x 2 y x 1 D yx D yy ( u + v ) v 2 y x y de volgende vorm aan: ( ) 2αx 1α(1 2y) D = 2 1. α(1 2y) 2αx 2 (d) Ja. De x, y-componenten van de versnelling zijn: Du Dt = u t + u u x + v u y = 2α2 x 3 Dv Dt = v t + u v x + v v y = α2 x 2 (1 2y) De versnelling in het punt (x, y) = (1, 1 2 ) is dus a = (2α2, 0). (e) Ja. Weliswaar is de stroming wrijvingsloos en is de wrijvingskracht dus nul, de bol gaat bewegen door de drukgradiënt die in de vertraagde stroming heerst. Volgens Bernoulli (met V 2 < V 1 ): p ρv 2 1 = p ρv 2 2 p 1 < p 2 dp dx > 0. Omdat de druk op de bol aan de stroomafwaartse zijde hoger is dan die aan stroomopwaartse zijde gaat de bol dus in negatieve richting (naar links) bewegen. (f) Nee. Een Couette-stroming is volledig gedomineerd door viskeuze krachten. De vergelijking van Bernoulli geldt niet in een viskeuze stroming. 6

7 (g) Ja. Na substitutie van u vindt men δ = ( ) 0 1 u [ ( )] V dy = δ 0 1 sin πy 2δ dy = = ( ) y + 2δ πy δ cos = ( ) 1 2 π 2δ 0 π δ. (h) Nee. Het Strouhal-getal beschrijft de verhouding tussen instationaire en convectieve versnellingstermen in de Navier-Stokes-vergelijking. (i) Ja. De Reynolds-spanning kan worden geschreven als T = T ij = ρu iu j, en bevat dus 3 3 elementen, welke impulstransport door de turbulente eddies beschrijven. (j) Ja. De wrijvingsweerstand wordt gegeven door F w = C D 1 2 ρv 2 BL = 1440 N. 7

8 Opgave 2 (a) Massabehoud: π 4 D2 u = π ( ) D 2 4 d2 u 0 u 0 = u = 9u. d 0 (b) Bernoulli: p ρu2 = p a ρu2 0 p p a = 1 2 ρ ( u 2 0 u 2) = 1 2 ρ(81u2 u 2 ) = 40ρu 2 (c) x-impulsbalans (stationair): ρ (v n)da = A A pn x da + K x. Kies de contour (of: oppervlak A) zoals via de onderbroken lijn aangegeven. De druk in de linker zijvlak is p en die in het rechter zijvlak p a ; dit drukverschil is berekend bij (b). Linker zijvlak: v n = u u(v n) = u 2 Rechter zijvlak: v n = u 0 u(v n) = +u 2 0 De x-impulsbalans wordt dan: ρu 2 π 4 D2 + ρu 2 0 π 4 d2 0 = (p p a ) π 4 D2 + K x K x π = ρu 2 + ρu 2 4 D2 0 ( ) 2 d 0 D (p pa ) = ρu 2 + ρ 81u ρu2 = 32ρu 2. Deze kracht K x (die op het spuitstuk binnen de contour moet worden uitgeoefend) werkt dus in negatieve x-richting, d.w.z. naar links. Vanwege de axisymmetrie is er geen netto kracht in radiale richting. (d) De integrale massabalans, toegepast op de aangegeven contour, levert: A 1 V 1 = A 2 V 2. (1) (e) De integrale impulsbalans luidt: ρv(v n)da = pnda + F overige. A A 8

9 De druk is overal atmosferisch (p a ), dus levert geen nettobijdrage tot de balans. F overige bevat de zwaartekrachtsbijdrage (in y-richting): F y = Mg M water g Mg. Impulsfluxen moeten worden berekend voor de oppervlakken A 1 en A 2. Bij A 1 : dus Bij A 2 : dus v 1 = (V 1 cos α 1, V 1 sin α 1 ) n 1 = ( cos α 1, sin α 1 ) } v 1 n 1 = V 1 ρv 1 (v 1 n 1 )da A 1 = ρ(v 1 cos α 1, V 1 sin α 1 )V 1 A 1 = (V 1 cos α 1, V 1 sin α 1 )ϕ m v 2 = (V 2 cos α 2, V 2 sin α 2 ) n 2 = (cos α 2, sin α 2 ) } v 2 n 2 = V 2 A 2 ρv 2 (v 2 n 2 )da = +(V 2 cos α 2, V 2 sin α 2 )ϕ m. Impulsbalans in de x-richting: ϕ m V 1 cos α 1 + ϕ m V 2 cos α 2 = 0 V 2 cos α 2 = V 1 cos α 1. (f) Impulsbalans in de y-richting: ϕ m V 1 sin α 1 + ϕ m V 2 sin α 2 = Mg V 2 sin α 1 V 1 sin α 1 = Mg ϕ m. Uit (2) volgt: V 2 = cos α 1 cos α 2 V 1, en substitutie in (3) levert, met Φ m = ρv 1 A 1 : ( ) cos α1 sin α 2 sin α 1 = Mg cos α 2 ρv1 2 A 1 ofwel: Mg tan α 2 = tan α 1. ρv1 2 A 1 cos α 1 (2) (3) 9

10 Opgave 3 (a) Behoud van massa: ρudb = 2ρV LB + ρb d 0 u 2(y)dy met d 0 u 2(y)dy = α d 0 (y2 yd)dy = αd3. 6 Dan volgt: α = 6 (2V L Ud). d 3 Maximale snelheid û = u(y = 1 αd2 d) = = 3U 3V L d (b) Bernoulli mag worden toegepast op y = 1 d voor 0 x L, dus: 2 p 1 p 2 = 1 2 ρû2 1ρU 2 = 1ρ [ 5 U ] 2 9UV L + 9V 2 L d d. 2 (c) Integrale impulsbalans: ρvdv + t V }{{} =0 (stationair) i. v 1 n 1 = U ii. v 2 n 2 = +u 2 (y) iii. v 3 n 3 = +V iv. v 4 n 4 = +V De x-impulsbalans wordt dan: ρb d 0 S U Udy + ρb ρv(v n)ds = pnds + ΣF S d 0 u 2 2(y)dy + ρb L 0 u 3 (y = 0)V dx +ρb L 0 u 4 (y = d)v dx = p 1 Bd p 2 Bd + W Aangezien u 3 (y = 0) = u 4 (y = d) = 0 en d u 2 2(y)dy = α2 d ( ) 10

11 gaat ( ) over in: W = (p 1 p 2 )Bd ρb [ U 2 d α2 d 5 30 [ 17 = 1ρBd 2 20 U ] 5 (UV L/d V 2 L 2 /d 2 ), dus wrijvingskracht in negatieve x-richting als U > 2V L d. ] 11