Examen Algemene natuurkunde 1 18 januari 2016

Transcriptie

1 Examen Agemene natuurkunde 8 januari 206 Lees zorgvudig de vragen en aarze niet om uiteg te vragen indien je iets onduideijk vindt. Denk er ook aan om je antwoorden vodoende te motiveren, aeen de uitkomst van een berekening geven, is vee te weinig. Een voorbeedje: indien je behoud van mechanische energie gebruikt, eg dan uit dat er ofwe geen niet-conservatieve krachten aan het werk zijn ofwe dat de niet-conservatieve krachten geen arbeid everen. Vee succes! Vraag [4pt]. Wekrijgentweeidentieke emmersaenb. Emmer Abevataeenwater terwij emmer B een bok hout bevat dat drijft in water. Ste dat het water in beide emmers even hoog staat, hoe verhouden de massa s van beide emmers zich? 2. De moduus van Young E geeft de vervorming weer van een vaste stof die samengedrukt wordt: E = F A 0. Hierbij is 0 de engte van een ciindrisch bokje materie met dwarssectie A, F de kracht die op het bokje aangeegd wordt oodrecht op de dwarssectie en de engteverandering van het bokje. Bepaa de dimensie van E. 3. Gegeven zijn twee eenheidsvectoren ê en ˆf. Toon aan dat ĝ := (ê+ˆf ) 2cos(θ/2) de eenheidsvector is gericht vogens de bissectrice van êoˆf. Hierbij is θ de hoek tussen ê en ˆf.

2 Opossing vraag. Het bokje drijft, dit wi zeggen dat het een opwaartse stuwkracht ondervindt geijk aan zijn gewicht maar tegengested gericht. De grootte van die stuwkracht is geijk aan het gewicht van het verpaatste voume water, dit is de wet van Archimedes. Je kan het bokje daarom vervangen door een voume water dat precies geijk is aan het verpaatste voume zonder het totae gewicht van emmer B te wijzigen. Dit doen evert precies emmer A op. Beide emmers hebben dus hetzefde gewicht en dus ook dezefde massa. 2. Je rekent gewoon de dimensie van E uit vertrekkend van zijn definitie. Hierbij gebruik je [F] = MLT 2, [A] = L 2 en [ 0 ] = [ ] = L en vind je [E] = [F] [A] [ 0 ] [ ] = MLT 2 L 2 = ML T Het is meteen duideijk dat ĝ in het vak igt opgespannen door ê en ˆf. Je moet tonen dat ĝ een eenheidsvector is en vervogens dat de hoek tussen ê en ĝ geijk is aan de hoek tussen ĝ en ˆf. Dat ĝ een eenheidsvector is vogt uit ĝ 2 = ĝ ĝ = (ê+ˆf) (ê+ˆf) 2cos 2 (θ/2) ( ) = ê ê+ê ˆf +ˆf ê+ˆf ˆf 4cos 2 (θ/2) ( ) = 2+2cos(θ) =. 4cos 2 (θ/2) Vervogens toon je aan dat de hoeken tussen ê en ĝ en tussen ĝ en ˆf geijk zijn aan ekaar door de cosinussen van beide hoeken te vergeijken. Deze cosinussen zijn gegeven door de scaaire producten: ê ĝ = 2cos(θ/2) ê (ê+ˆf ) = ĝ ˆf = 2cos(θ/2) 2cos(θ/2) (ê+ˆf) ˆf = 2cos(θ/2) ( ) +cos(θ) ( ) cos(θ)+.

3 Vraag 2 [7pt] Een homogeen ciindrisch bokje van hoogte h, doormeter 2r en voumemassadichtheid ρ schuift zonder wrijving rond een dunne verticae as. Hierdoor kan het bokje sechts op en neer bewegen zonder te kanteen. Verder hebben we een verticae ciinder van doormeter 2r 2, onderaan gesoten en dees gevud met een voeistof van dichtheid ρ 2. Ste dat r < r 2 en ρ < ρ 2. Deas waarover het bokje kan schuiven vat samen met de as van het bokje en van de buis die de voeistof bevat. We voeren een coördinaat z in op die as die de hoogte van de onderkant van het bokje bepaat en kiezen de oorsprongzodanigdatbijz = 0deonderkantvanhetbokjenetdevoeistof raakt zoas geschetst in de figuur. In dit geva staat de voeistoftoteen hoogteh 2 boven debodem. Het is nuttig om de notatie m in te voeren voor de massa van het bokje: m = πr 2 h ρ. #» g z 2r O h 2r 2 Bokje net in contact met voeistof h 2. Ste dat het hoogteverschi tussen de onderkant van het bokje en het voeistofniveau geijk is aan h met 0 < h < h zodat het bokje gedeeteijk ondergedomped is. Weke waarde van z stemt hiermee overeen? 2. Toon aan dat het bokje net onder staat as z = z := r2 2 r2 r 2 2 h. 3. Over weke hoogte d zakt het bokje in de voeistof as het systeem in

4 evenwicht is? Onderste hierbij dat h 2 vodoende groot is zodat het bokje kan drijven i.p.v. op de bodem te staan. 4. Weke waarde z 0 van z komt overeen met evenwicht? Men kan aantonen dat de potentiëe energie U van het systeem bokje + voeistof as functie van z gegeven wordt door ( ρ2 ρ ) m g z +m g ρ 2 z voor z z ρ ρ 2 U(z) = m gz m g ρ 2 z 2 voor z z 0 ( ) ρ 2z m gz voor z 0 Hierbij werden drie verschiende situaties onderscheiden: bokje heemaa ondergedomped, bokje dees ondergedomped en bokje voedig buiten de voeistof. Verder werd U zodanig genormaiseerd dat U(0) = Leg in woorden uit wat je moet doen om aan ( ) kan komen. Je hoeft dit niet uit te werken, gewoon een werkwijze aangeven vostaat. 6. Maak een duideijke grafiek van de potentiëe energie as functie van z. 7. Voor weke waarde van z is de potentiëe energie minimaa? Leg uit waarom je dezefde waarde vindt as in As je vee tijd over hebt en as je dit voor weinig punten wi doen, verifieer dan dat ( ) de correcte uitdrukking van de potentiëe energie geeft.

5 Opossing vraag 2. As de onderzijde van het bokje zich op een diepte h in de voeistof bevindt met 0 h h dan moet het voeistofniveau stijgen omdat de voeistof onsamendrukbaar is. Je berekent de hoogte van de onderzijde van het bokje boven de bodem van de ciinder door te eisen dat het totae voume van de voeistof geijk is aan πr2h 2 2 : ( ) πr2 2 h 2 = πr2 2 + πr2 2 h πr2 h. Hieruit haa je dat = h 2 h+ r2 h. r2 2 De overeenstemmende z-coördinaat is dan z = h 2 + = r2 2 r2 r 2 2 h. () 2. Het bokje is net ondergedomped as h = h en dan is z = (r2 2 r2 ) r Ste dat het bokje in evenwicht een hoogte d in de voeistof zakt. Het verpaatste voume voeistof heeft dan een gewicht πr 2 dρ 2g en dit moet precies het gewicht m = πr 2 h ρ g van het bokje compenseren. Daarom is d = ρ ρ 2 h. (2) 4. As het bokje in evenwicht is, dan kan je h = d steen in () met d zoas in (2) en dus is z 0 = r2 2 r 2 r 2 2 h. ρ ρ 2 h = ρ ρ 2 z. 5. De potentiëe energie U is de som van de potentiëe energie U b van het bokje en U v van de voeistof. De potentiëe energie van het bokje is geijk aan de massa m van het bokje vermenigvudigd met de hoogte

6 van zijn massamiddepunt en vermenigvudigd met de vaversneing. Hetzefde gedt voor de voeistof. Zowe U b as U v zijn voedig bepaad door z. Door gepaste constanten bij U b en U v te teen, zorg je ervoor datu b = U v = 0bijz = 0. Omdehoogtevanhetmassamiddepunt van de voeistof te bepaen met het bokje dees of gehee ondergedomped vu je eerst het ondergedomped dee ook met voeistof. Zo kan je het voeistofvoume krijgen as een verschi van twee ciinders wat de berekening aanzienijk vereenvoudigt. 6. U z z 0 z 7. Uit de grafiek zie je dat het minimum van U tussen z en 0 igt. Je kan dat bepaen door de afgeeide geijk aan nu te steen: met as opossing m g m g ρ 2 ρ z z = 0 z 0 = ρ ρ 2 z. Een systeem in evenwicht bevindt zich in een extremum van de potentiëe energie, dit kan hier aeen maar een minimum zijn nameijk z = z 0.

7 Vraag 3 [4pt] Voor keine ampitudes wordt de periode van een vakke fysische singer gegeven door I T = 2π gm. Hierbij is M de massa van de singer, I het traagheidsmoment ten opzichte van de as door het ophangpunt, oodrecht op het singervak, en de afstand tussen het ophangpunt en het massamiddepunt.. Bepaa de periode van een fysische singer van massa M gesneden uit een dunne homogene paat in de vorm heeft van een cirkesector van straa R en openingshoek α. Het ophangpunt is de tophoek van de sector. 2. De Engese natuurkundige Kater ontwierp in het begin van de 9 de eeuw een singer die op een eenvoudige wijze een nauwkeurige bepaing van de vaversneing toeiet. Een vakke fysische singer wordt voorzien van twee ophangpunten O eno 2 met het massamiddepunt (CM) geegenopderechte O O 2. Verder worden O en O 2 zo gekozen dat de singerperiode T (keine ampitude) met ophangpunt O dezefde is as die met ophangpunt O 2. Toon aan dat ( 2π ) 2 g = T met de afstand tussen O en O 2. Deze werkwijze vermijdt de moeiijke bepaing van traagheismomenten, je hoeft aeen nauwkeurig tijden en engtes te meten. O α R #» g O CM O 2 Singer van Kater Singerende cirkesector

8 Opossing vraag 3. Om de periode te kennen moet je zowe de igging van het massamiddepunt as de grootte van het traagheidsmoment bepaen. Omwie van symmetrie verdee je de cirkesector in concentrische bogen van openingshoek α. De boog van straa r en dikte dr heeft een massa dm = αρrdr met ρ de oppervaktemassadichtheid. Het massamiddepunt igt op afstand r CM van de tophoek en op de bissectrice van de hoek α. Je kan nu de vogende reaties opschrijven R M = dm = drαρr = 0 2 αρr2 R Mr CM = dmr = drαρr 2 = 0 3 αρr3 R I = dmr 2 = drαρr 3 = 4 αρr4 = 2 MR2. Hieruit haa je r CM = 2 R en dus 3 0 T = π 3R g. 2. Steunend op de steing van Steiner (steing van de evenwijdige assen) kan je de traagheidsmomenten I en I 2 ten opzichte van de assen door O en O 2 uitdrukken in termen van het traagheidsmoment I CM t.o.v. de as door het massamiddepunt: I = I CM +M 2 en I 2 = I CM +M 2 2. Hierbij zijn en 2 de afstanden van O en O 2 tot het massamiddepunt. Uit het gegeven weet je dat I I 2 T = 2π = 2π. gm gm 2 Hieruit haa je I 2 = I 2. As je I en I 2 uitdrukt in termen van I CM dan vind je I CM = M 2

9 en dus I = I CM +M 2 = M ( + 2 ) = M en I 2 = M 2. Hierdoor wordt de singerperiode T = 2π g en dus g = ( 2π ) 2. T

10 Vraag 4 [3pt] Een star ichaam bestaat uit vier ideaen staven van engte die iggen vogens de zijden van een vierkant. In ek hoekpunt zit een puntmassa m. Het gehee kan wrijvingsoos bewegen over een horizontaa vak en is oorspronkeijk in rust. Pots wordt er gedurende een zeer korte tijd een krachtstoot #» P gegeven aan een van de massa s zoas aangegeven in de figuur. Bepaa de verdere beweging van het starre ichaam. #» P m m m m

11 Opossing vraag 4 We gebruiken het impus- en impusmomentprincipe om de beweging van het starre ichaam na de krachtstoot te bepaen. Omdat er, na de botsing, geen uitwendige krachten met horizontae componenten op het starre ichaam inwerken za het massamiddepunt een eenparig rechtijnige beweging in de richting van #» P uitvoeren en za daarenboven het star ichaam aan constante hoeksneheid in uurwerkwijzerzin draaien rond een verticae as door het massamiddepunt. We moeten nu nog de groottes v van de sneheid van het massamiddepunt en ω van de hoeksneheid vinden. Eerst ste je dat de verandering van de component van de totae impus vogens de richting van #» P geijk is aan P Daarom is 4mv = P. v = P 4m. Om de hoeksneheid te bepaen, doe je iets anaoogs voor het impusmoment. De krachtmomentstoot van de uitwendige krachten t.o.v. een verticae as door het massamiddepunt is de toename van het totae impusmoment P 2 = I CM ω = 2m 2 ω. Je vindt zo ω = P 2 2m.