Tentamen CT2031 ConstructieMechanica 3 2 april 2007 MODELUITWERKING. a) De grenzen kunnen m.b.v. de basisgevallen van Euler worden bepaald:

Transcriptie

1 MODELUITWERKING VRAAGSTUK : Theorie Dee a) De grenzen kunnen m.b.v. de basisgevaen van Euer worden bepaad: r 0 en k 0 : π k 4 r inf en k 0 : r inf en k inf: 4π k r 0 en k inf : De knikast kan, afhankeijk van de stijfheden variëren tussen : k k π π Dee π 4 4π k Opmerking : eantwoording m.b.v. knikengten is uiteraard het equivaent. b) Steing : Onjuist, aeen voor starre staven gedt dat de vergrotingsfactor n/(n-)exacte resutaten evert, de benadering m.b.v. de vergrotingsfactor is overigens voor buigzame staven veea goed genoeg maar niet exact. Steing : Onjuist, er za een trancedente vergeijking moeten worden opgeost. Hiervoor bestaat geen gesoten opossing. c) De echte vrijheidsgraad van dit starre bok is de enige verpaatsingsmogeijkheid en dat is de rotatie ϕ van het bok om de scharnierende opegging. d) Neem hiervoor trekkrachten aan in de veren en ste vervogens de evenwichtsvoorwaarde op die hoort bij de rotatievrijheidsgraad. Dit is de momentenevenwichtsvergeijking om de opegging. De verenging e van iedere veer kan worden uitgedrukt in de enige vrijheidsgraad van dit systeem: evenwichtsvergeijking T 0: c+ a b 0 constitutieve vergeijking k e k e kinematische vergeijking e ϕ a e + ϕ b e) Uitwerken evert: ka + kb c ϕ ϕ c k a + k b (voor specifieke waarden van k en r is, gezien de bandbreedte, nader onderzoek noodzakeijk) verpaatsingenmethode a ϕ c b

2 VRAAGSTUK : Statisch onbepaade constructies- a) Steunpuntsmoment t.g.v. een enke beast ved ( maak gebruik van VGN-tjes ): M 8q q 8 4 3kNm Dit is een negatief buigend moment (trek aan de bovenzijde van de igger). Teken een correcte momentenijn met de juiste vervormingstekens en geef de raakijnen aan. b) T.g.v. de temperatuursinvoeden op het inker ved ontstaat er in een positief steunpuntsmoment (trek aan de onderzijde). In absoute zin za de 3 knm dus in grootte keiner worden. Merk op dat de reatie tussen kromming en M-ijn in het geva van temperatuursbeastingen niet dezefde is as die voor normae beastingen. Deze vraag is dus een regerechte instinker voor die studenten die de theorie niet hebben bestudeerd. c) Statisch bepaad hoofdsysteem zijn twee iggertjes op twee steunpunten. De vormveranderingsvoorwaarde is de rotatie t.p.v. het middensteunpunt. θ T 8 kn/m A x z, w M 8,0 m De vrij optreedbare hoekverdraaiing inks t.g.v. aeen de temperatuursbeasting bedraagt: A T T α T ϕ θ κ h De hoekveranderingsvoorwaarde voor het gehee wordt hiermee: α T M M 3 q h Hieruit vogt het steunpuntsmoment: M 3,0 knm Dit steunpuntsmoment veroorzaakt trek aan de bovenzijde en is in het gehanteerde assenstese dus een negatief buigend moment. Teken een correcte momentenijn met de juiste vervormingstekens en geef de raakijnen aan

3 VRAAGSTUK 3 : Statisch onbepaade constructies- a) De constructie betreft een statisch onbepaade constructie met verpaatsbare knopen. As de constructie wordt opgedeed in iggers op twee steunpunten ontstaat een mechanisme. De kinematica van het mechanisme kan met één vrijheidsgraad worden beschreven. Hieronder is het mechanisme weergegeven. Essentiee daarbij is de juiste aanduiding van de rotaties van ieder (staaf)dee van de constructie. A q M ψ M 3a θ 4a M De statisch onbepaaden zijn de momenten in en. De vrijheidsgraad van het mechanisme is de derde onbekende. Om de onbekenden op te ossen zijn twee v.v.v. s nodig en één extra evenwichtsvoorwaarde voor het evenwicht van het mechanisme in de vorm van een virtuee arbeidsvergeijking. De horizontae roopegging in A kan vervangen worden gedacht door een verticae pende. Op het snijpunt van deze pende met de pende igt het rotatiecentrum van staaf A. Staaf A draait dus om punt. Aangezien A in vast verbonden zit met kan de rotatie van staaf A worden uitgedrukt in die van. As we de rotatie van kiezen as de vrijheidsgraad waarmee de verpaatsing van het mechanisme wordt beschreven dan vogt uit de kinematica van het mechanisme: De v.v.v. s zijn: ψ 3 θ 3 ψ θ A u u a a (ae staven draaien dus met dezefde hoek) 3 A M 4a q (4 a) M 5a M 5a ϕ ϕ + θ θ M 5a M 5a ϕ 0 + θ 0 3 Voor de virtuee arbeidsvergeijking gedt: δ A ( q 4 a) δθ 3a δθ M δθ + M δθ M δθ 0 b) Uit deze aatste vergeijking vat het moment in weg en resteert direct een uitdrukking voor het moment in waarmee vervogens M en θ kunnen worden bepaad: 8 M 5 3a 8qa 54 knm; M - 9 qa + a 3 knm; θ rad 0 - -

4 Met de nu bekende momenten in en is de M-ijn te tekenen. 3 knm 3 knm 3 knm 54 knm M-ijn c) Uit de heing van de M-ijn vogt de V-ijn. 8,5 kn 7 kn V-ijn 43,75 kn d) De verticae opegreactie in A vogt direct uit de V-ijn. Uit het verticae evenwicht vogt direct de verticae opegreactie in. Uit de horizontae evenwichtsvergeijking vogt direct de horizontae opegreactie in aangezien A een horizontae roopegging betreft. A V H V M 8, 5 kn 30 kn 43,75 kn 54 knm e) De verpaatsing van punt vogt direct uit de starre rotatie van het mechanisme: u v θ 3a 0,05 m θ 4a 0,033 m - -

5 VRAAGSTUK 4 : Stabiiteit a) De drukkracht in de schuine staven is 50 kn. (ontbinden angs twee werkijnen, zie T03, coege ) Opmerking: Het betreft een raamwerk met niet verpaatsbare knopen, beast met puntasten in de knopen. M.b.v. de theorie m.b.t. statisch onbepaade constructies is bekend dat de beasting dan outer en aeen via normaakracht wordt afgedragen. b) Let op de bovenrege kan op twee manieren verbuigen. Er zijn dus twee knikvormen te onderscheiden. Uiteraard za de knikvorm met de aagste knikast maatgevend zijn. Zie de theorie. Een nette schets is een vereiste voor toekenning van de punten. c) Vanwege de inkemming en de vormvastheid van de constructie zuen de knopen op hun paats bijven. Het mode dat moet worden toegepast is dus het mode voor de geschoorde, aan beide zijden, verend ingekemde buigigger. De veerstijfheid t.p.v. de inkemming wordt op oneindig gested. De aagste veerstijfheid t.g.v. het verbuigen van de bovenrege is: r a d) Het betreft een geschoorde constructie dus er kan gebruik worden gemaakt van de ρ-formue: r 5a 5 ρ ; ρ 3 ( ) ( ρ ) 5+ ρ π 5 + π π 000 kn 0 3 k (5 a) a 0a a ( merk op : eerst de ρ wegdeen i.v.m. het oneindig zijn, zie ook de coegevoorbeeden) Dat de constructie geschoord is heeft te maken met de symmetrie en de inkemming onderaan. Hierdoor ontstaat een raamwerk waarvan de knopen op hun paats bijven. e) De vergrotingsfactor kan worden bepaad met: k 000 n 0,0 N 50 n vergrotingsfactor, 05 n - 3 -

6 VRAAGSTUK 5 : Easticiteitseer a) De cirke van Mohr kan worden getekend met de gegeven spanningen op de vakjes A en. 4 (0; 8) xy σ yx r 0 MPa () y yy yx ( + 4; + ) () x σ m σ 4 σ σ yy ( ;) xy R σ xy xy ( + ; + 0) 0 b) Zie bovenstaande figuur. c) Spanningstensor in x-y assenstese : σ 4 d) De hoofdrekken kunnen worden bepaad uit de hoofdspanningen m.b.v.: 7 5 ε ( σ νσ) ( 0,5 ( 4)) 8, E ε ( σ νσ) ( 4 0,5 ()) 4, E De hoofdrekrichting vat voor een homogeen isotroop materiaa samen met de hoofdspanningsrichting () en () zoas in de figuur is aangegeven