Tentamen numerieke analyse van continua I

Transcriptie

1 Tentamen numerieke analyse van continua I Donderdag 13 november 2008; Code: 8W030, BMT 3.1 Faculteit Biomedische Technologie Technische Universiteit Eindhoven Het eamen is een volledig open boek eamen. Het bestaat uit 10 opgaven. Elke opgave levert een maimum van 10 punten op. Vraagstuk 1: Een één-dimensionaal element heeft 4 knopen die liggen op de posities als gegeven in onderstaande figuur. element Geef de 4 vormfuncties N i (i=1,2,3,4) die behoren bij dit element. Vraagstuk 2: Gegeven is de volgende integraal: d Bereken een benaderingsoplossing voor deze integraal door gebruik te maken van een numerieke 2-punts Gauss integratie. Vraagstuk 3: Bewijs dat numerieke integratie van de kwadratische functie f() = a + b + c 2 (met a, b en c willekeurige constanten) op het domein 1 1 met behulp van 2-punts Gauss integratie tot de eacte oplossing van de integraal leidt. 1

2 Vraagstuk 4: Een eindige-elementen-mesh wordt gegeven in de onderstaande figuur. Het bijbehorende y 6 7 (4) (3) 4 5 (5) (1) (2) top array is (in MATLAB format): top =[ ] Het dest array (in MATLAB format) wordt gegeven door: dest = [4 ; 1 ; 5 ; 3 ; 2 ; 7 ; 6] Geef het bijbehorende array pos. Vraagstuk 5: Bij de mesh van opgave 4 wordt het volgende array usercurves gegeven (MATLAB format): usercurves = [ ] Het oplossingsarray sol wordt gegeven door(matlab format): sol =[0.3 ; 0.4 ; -0.2 ; 0.5 ; -0.7 ; 0.8 ; 0.0] Bereken de som van de oplossingen in de knooppunten op usercurve 4. Gebruik ook de gegevens bij opgave 4. 2

3 Vraagstuk 6: We willen de twee-dimensionale diffusievergelijking oplossen met de eindige elementen methode: (c u) + f = 0. De zwakke formulering leidt tot de volgende vergelijking: N el v T e K e ue = v T e f e, e=1 N el e=1 waarbij de elementmatri K e wordt gegeven door: K e = Ω e c ( N T N + N N T) y y dω. We kiezen c = 1. Verder kiezen we een element met 4 knooppunten dat in het globale assenstelsel ligt als gegeven is in de figuur. Een programma om de matri numeriek uit y te rekenen m.b.v. 4-punts Gauss integratie zou de volgende opzet kunnen hebben: c = 1; % coordinaten van de integratiepunten coordint=[ ; ; ; ]; % startwaarde voor de te berekenen matri K=zeros(4); %loop over integratiepunten for i=1:4 = coordint(i,1); y = coordint(i,2); dnd=[ ; ; ; ]; dndy=[ ; ; ; ]; K = ; end K Maak het programma af en geef de matri K e (schrijf het programma ook uit op uw antwoordvel, zodat de docent kan zien waar het eventueel fout gaat). 3

4 Vraagstuk 7: We willen de volgende gewone differentiaalvergelijking voor u = u(t) oplossen: du dt + Au = sin(ωt) Daarbij zijn ω en A constanten en is t de tijd. We verdelen de tijdas in N discrete tijdsintervallen. We schrijven u n+1 = u(t n+1 ) en u n = u(t n ). Leidt een relatie af waarmee u n+1 te bepalen is als u n bekend is. We gebruiken daarvoor een θ schema met θ = 0.5 (Crank-Nicholson). Let op: er wordt alleen gevraagd om het recursieve schema. Er wordt niet gevraagd de vergelijking daadwerkelijk op te lossen! Vraagstuk 8: Een stukje dun weefsel bevindt zich in een vloeistof met aan één zijde een hoge concentratie van een stof en aan de andere zijde een lage concentratie. Er wordt een vloeistofstroom door het (poreuze) weefsel geforceerd van de kant met een lage concentratie naar de kant waar die hoog is, zie figuur. concentratie laag v Weefsel concentratie hoog 1 mm Een onderzoeker wil weten wat de concentratieverdeling van de stof in het weefsel is bij een gegeven snelheid van de vloeistof. Daartoe wil hij de een-dimensionale convectiediffusievergelijking oplossen en gebruikt daarvoor een mesh met 10 lineaire elementen. De lengte van het domein waarop wordt gerekend is 1 [mm]. Voor de diffusieconstante van het domein geldt: c = [mm 2 s 1 ]. Bij welke snelheid v van de hoofdstroming verwacht u op grond van deze gegevens stabiliteitsproblemen bij het numeriek oplossen? 4

5 Vraagstuk 9: In een testopstelling wordt een doorbuiging van een balkje gebruikt om krachten te meten. Om de dimensies goed te krijgen doet de onderzoeker een aantal analyses met het model als gegeven in de figuur. In de figuur wordt aangegeven welke userpoints en y 7 (5) 8 III (9) (10) 15 4 (3) 5 (4) 6 (6) I (7) II (8) 5 1 (1) 2 (2) usercurves gedefinieerd kunnen worden om het model te maken. De afmetingen zijn in millimeters. Je kunt uitgaan van een toestand van vlakke spanning. Gebruik bi-lineaire rechthoekige elementen. Subarea I kan worden gemodelleerd met 10 5 elementen. Subarea II met 3 5 elementen en subarea III met 3 10 elementen. De verplaatsingen van de onderrand (y = 0) van het model moeten worden onderdrukt. Op userpoint 7 wordt een kracht voorgeschreven in -richting met grootte 0.01 N. De E-modulus is 100 [N mm 2 ], de dwarscontractiecoëfficiënt is 0.3 [-]. Bereken de horizontale verplaatsing van de balk in userpoint 7 (plaats waar de kracht aangrijpt). 5

6 Vraagstuk 10: Een eindige elementen mesh voor een twee-dimensionaal vaste-stof-probleem met 3 rechthoekige 4-knoops elementen is gegeven in onderstaande figuur. Er werkt geen verdeelde belasting. y F F De bijbehorende dest-matri wordt (in MATLAB format) gegeven door: dest=[1 2 ; 3 4 ; 5 6 ; 7 8 ; 9 10 ; ; ; ] De verplaatsing van knoop 1 wordt in twee richtingen onderdrukt, de verplaatsing van knoop 3 wordt onderdrukt in y-richting. Op knoop 8 werkt een kracht F 1 (voor richting zie figuur), op knoop 4 werkt een kracht F 2 in negatieve -richting. Na alle stappen tot en met de assemblage van de eindige elementen leiden de evenwichtsvergelijkingen tot een stelsel K u = f. Geef aan, welke vrijheidsgraden in de rechterlidvector f onbekend zijn, welke een bekende voorgeschreven waarde ongelijk aan nul hebben en welke gelijk zijn aan nul. 6