INTRODUCTIE VERPLAATSINGENMETHODE

Transcriptie

1 IRODUCIE VERPLSIGEMEHODE Blo op eren Op onderstaande blo, in het platte la, grijpen in het massaentrum een ertiale raht, een horizontale raht u en/of een oppel aan. Het blo is in, B en C met eren elastish ondersteund. Deze eren hebben ieder een eigen eerstijfheid i. De afstanden an de aangrijpingspunten an de eren op het blo tot het massaentrum zijn aangegeen in de figuur met a, b en. C, ϕ u, u, B 1 a b Het blo heeft drie bewegingsmogelijheden : u, en ϕ. Dit zijn de enige rije erplaatsingen an het systeem en deze worden dan oo de systeemrijheidsgraden genoemd. Het blo an alleen belast worden in het massaentrum in de rihting an deze drie rijheidsgraden. Met behulp an de erplaatsingenmethode zal een systematishe methode worden geïntrodueerd waarmee de erplaatsingen an het blo unnen worden bepaald bij gegeen belastingen. De erlenging e i an iedere eer 1 an worden uitgedrut in de drie erplaatsingen die het blo an ondergaan. ls het blo positiee erplaatsingen ondergaat leert dit de olgende inematishe relaties: e1 a ϕ e1 0 1 a u e b ϕ e e u+ ϕ e ϕ inematishe (1) De rahten in de eren t.g.. deze erlengingen e i unnen worden geonden met behulp an de onstitutiee relatie en diret worden uitgedrut in de erplaatsingen an het blo: 1 1 e a u e e ϕ onstitutiee inematrihe () 1 We gaan hierbij uit an leine erplaatsingen en gebruien daarom, zoals tot nu toe gebruielij, de gelineariseerde uitdruingen oor de erlenging e. Geef het blo positiee erplaatsingen u, en een positiee rotatie ϕ en bepaal hiermee de erlenging an iedere eer. Hans Welleman de 006/mrt 007

2 De rahten in de eren zullen als het blo wordt rijgemaat olgens het prinipe atie en reatie weren op het blo zoals in de onderstaande figuur is weergegeen. Hierbij is de situatie geteend waarbij in alle eren trerahten optreden ( positiee ):, ϕ, u, u a b 1 De drie eenwihtsergelijingen oor het blo zijn: hor u u er a b + 0 a+ b+ MC 1 1 Deze eenwihtsrelaties unnen in notatie als olgt worden weergegeen: u a + b + eenwihts () Door () in () te substitueren ontstaat: a u u a + b ϕ eenwihts onstitutiee inematishe (4) Hiermee is de relatie tussen de uitwendige belasting op het blo en de erplaatsing an het blo eenduidig astgelegd. In deze betreing herennen we de inematishe uit ergelijing (1), de onstitutiee uit () en de eenwihts uit (). Opallend is oerigens dat de eenwihts an uitdruing (4) juist de getransponeerde inematishe is. Deze eigenshap geldt in zijn algemeenheid waardoor het stelsel (4) diret an worden opgesteld indien de inematishe en onstitutiee matries beend zijn. Uitweren an (4) leert het stelsel: u 0 u 0 1 a1 b + a1 b a 1+ b + ϕ Voor gegeen belastingen{ u,, } unnen de erplaatsingen { u,, ϕ } an het blo worden bepaald. Mer oerigens op dat het aantal eren niet uitmaat. In dit geal is het blo statish bepaald opgelegd maar oo met meer dan drie eren blijft het aantal op te lossen ergelijingen gelij aan het aantal rijheidsgraden, in dit geal drie. Hans Welleman - - de 006/mrt 007

3 We oeren nu een formele shrijfwijze in waarbij we de matries als olgt definiëren: Kinematishe relatie: Legt het erband tussen de erorming (erlenging) en de erplaatsingen an de systeemrijheidsgraden.; e1 0 1 a u e B u e b {} [ ]{} e ϕ (1) Constitutiee relatie: Legt het erband tussen de eerrahten en de erorming an de eren; e D e e { } [ ]{} e Eenwihtsrelatie: Legt het erband tussen de uitwendige aangrijpende belasting in de rihting an de systeemrijheidsgraden en de eerrahten; () erplaatsingenmethode u B { } [ ] { } a + b + () Het uiteindelij op te lossen stelsel ergelijingen wordt geonden door de inematishe relatie in de onstitutiee relatie in te ullen en dit resultaat erolgens in de eenwihtsrelatie in te ullen. ls we deze olgorde aanhouden spreen we an de erplaatsingenmethode. Dit stelsel is dan te shrijen als: { } [ B] [ D][ B]{} u { } K { u} K [ B] [ D][ B] systeem systeem Uitweren an de relaties uit dit oorbeeld leert oor de systeemstijfheids: a 1 Ksysteem [ B] [ D][ B ] a + b K systeem 0 1 a1 b + a1 b a 1+ b + Mer op dat de systeemstijfheids een symmetrishe is. Dit als tegenhanger an de eerder behandelde rahtenmethode waarbij de ergelijingen in omgeeerde olgorde werden doorlopen. Hans Welleman - - de 006/mrt 007

4 Reenoorbeeld ls getallenoorbeeld wordt een blo geozen waaroor gegeen is: a,0 m 1000 /m 1 b,0 m 000 /m 1,0 m 000 /m u m Uitweren an dit probleem leidt tot het oplossen an het olgende stelsel ergelijingen: u 50,0 0 u 150, , ϕ u 0,067 m 0,05190 m ϕ 0,0057 rad De onbeende erplaatsingen unnen eenoudig met de grafishe reenmahine of met MPLE worden geonden. Oo an een bereening worden uitgeoerd met het programma RIGIDBLOCK. MPLE sheet: > restart; > with(linalg): > Bg:([[0,-1,-a],[0,-1,b],[-1,0,]]); > Bg:transpose(Bg); > Dg:([[1,0,0],[0,,0],[0,0,]]); > K:multiply(Bg,Dg,Bg); > a:; b:; :1; 1:1000; :000; :000; > :inerse(k); > load:etor([50,150,-5]); > disp:multiply(,load); > ealf(disp[1]); ealf(disp[]); ealf(disp[]); Resultaten RIGIDBLOCK: Mer op: RIGIDBLOCK wert in prinipe olledig D en het blo heeft dan zes rijheidsgraden. In het platte la worden er ehter drie niet gebruit. Zie de eduatiee website op Hans Welleman de 006/mrt 007

5 Willeeurig geplaatste eer In het oorgaande oorbeeld waren de eren eenwijdig geozen aan de rihtingen an de translaties an het blo. In het geal een willeeurig geplaatste eer aan het blo wordt geoppeld erandert er feitelij niets aan de aanpa. lleen de uitdruing oor de erlenging an de eer wordt iets ingewielder. Hieronder wordt dat toegeliht. C, ϕ u, u u, B d 1 α a b De erlenging an de shuine eer an worden bepaald met behulp an de erplaatsingen an punt. Deze erplaatsingen in zijn gerelateerd aan de rijheidsgraden an het blo. Ga zelf na, door het blo een positiee erplaatsing u, en een positiee rotatie ϕ te geen, dat de erplaatsingen in gelij zijn aan: u u+ ϕ d en + ϕ a u osα sinα u Deze erplaatsingen leiden tot een erlenging an de eer die an worden geonden door de erplaatsingen in te projeteren op de oorspronelije stand an de eer. We gebruien hieroor in feite een Williot. We maen zo alleen gebrui an de lineaire termen in de α uitdruingen oor de erlenging an de eer. Dit is alleen geoorloofd oor leine erplaatsingen 4. In de figuur rehts is de projetie an de erplaatsing in langs de oorspronelije eerrihting weergegeen. De erlenging e 1 an de eer wordt hiermee: 1 ( ) ( ) e u osα sinα osα u+ ϕ d sinα + ϕ a In notatie an oor deze erlenging worden geshreen 5 : u e1 [ osα sin α ( a sinα + d os α) ] ϕ (5) In de eerder beshreen aanpa zal hierdoor de eerste rij in de inematishe (4) moeten worden erangen door (5). Dat houdt dan teens in dat oo de eerste olom in de eenwihts moet worden aangepast aangezien dit de getransponeerde is an de inematishe. 4 Zie Engineering Mehanis, Volume 1, Hartsuijer en J.W. Welleman, 15.. en Volume, Controleer zelf dat oor α90 o de eerder gehanteerde uitdruing ontstaat. Hans Welleman de 006/mrt 007