De druk van het grondwater. De stroming van het grondwater. De stroming van het grondwater

Transcriptie

1 WISB356, Utrecht, september 0 Scentfc Computng WISB356, Utrecht, september 0 Grondwaterstromng Gerard Slepen Rob Bsselng Alessandro Sbrzz Department of Mathematcs sle0/ Gerard Slepen Department of Mathematcs sle0/ Programma Inledng De druk van het grondwater De stromng van het grondwater Wet van behoud van massa Numereke smulate Modelleren s vereenvoudgen. W vereenvoudgen extra ) ter vermdng van routnematg extra programmeerwerk ) maar met (zoveel mogelke) behoud van prncpes Randvoorwaarden Verspredng van een verontrengng: dffuse advecte Absorpte en bacterële verontrengng Voorbeeld. -d, rechte rveren, rechthoekge gebeden,... Modelleren s vereenvoudgen

2 De druk van het grondwater 40 In een zeker gebed zn we geïnteresseerd n de druk φ(x, y, z) van het grondwater. Aanname. De stuate s statonar (tdsonafhankelk) De druk wordt gemeten n meters (m) Voor de plaats gebruken we het Cartessch coördnaten systeem waarb: x s een coördnaat n de oost-west rchtng, y n de noord-zud rchtng en z n de depte. Alle grootheden n meters. Het punt (0,0,0) lgt n de top-zud-west (n fete: westzud-top) hoek van ons gebed De stromng van het grondwater In een zeker gebed zn we geïnteresseerd n de druk φ(x, y, z) van het grondwater. Aanname. De stuate s statonar (tdsonafhankelk). Druk verschl ledt tot stromng: water stroomt van hoge druk naar lage druk: x (x, y, z) grad φ(x, y, z) = φ(x, y, z) y (x, y, z) z (x, y, z) Grootte van de stromng hangt af van de grondsoort: u(x, y, z) a(x, y, z) φ(x, y, z) met a postef reëel waardg: a s de doorlaadbaarhedscoëffcënt. De stromng van het grondwater In een zeker gebed zn we geïnteresseerd n de druk φ(x, y, z) van het grondwater. Aanname. De stuate s statonar (tdsonafhankelk). Druk verschl ledt tot stromng: water stroomt van hoge druk naar lage druk: x (x, y, z) grad φ(x, y, z) = φ(x, y, z) y (x, y, z) z (x, y, z) Grootte van de stromng hangt af van de grondsoort: u(x, y, z) a(x, y, z) φ(x, y, z) met a postef reëel waardg: a = a(x, y, z) n m 3 /dagm m. De snelhed u van de grondwaterstromng s n m 3 /dagm

3 De stromng van het grondwater In een zeker gebed zn we geïnteresseerd n de druk φ(x, y, z) van het grondwater. Aanname. De stuate s statonar (tdsonafhankelk). Druk verschl ledt tot stromng: water stroomt van hoge druk naar lage druk: x (x, y, z) grad φ(x, y, z) = φ(x, y, z) y (x, y, z) z (x, y, z) De stromng van het grondwater In twee dmenses (-d) [ ] u(x, y) x (x, y) U(x, y) = = K(x, y) φ(x, y) = K(x, y) v(x, y). y (x, y) In een dmense (-d) U(x) = u(x) = K(x) φ(x) = K(x) x (x). De stroomsnelhed u hangt af van het drukverschl en de grondsoort: U(x, y, z) K(x, y, z) φ(x, y, z) met K symmetrsch 3 3 matrx waardg, plaats afhank.. Wet van behoud van massa Om een vergelkng te krgen voor de druk φ van het grondwater gebruken we de Wet van behoud van massa: Wet. De hoeveelhed water de door de randen ut een zeker volume grond stroomt s gelk aan de hoeveelhed water de door de randen er nstroomt plus de hoeveelhed water de er n dat volume rechtstreeks bkomt of utgaat. Om de tekenngen overzchtelk te houden voeren we de afledng dmensonaal ut (alleen n de oost-west rchtng en de noord-zud rchtng). Samenvattng. In t dag stroomt t ( U(x, y, z), n(x, y, z)) d O (y, z) Γ west water door het stukje westelke oppervlak Γ west. Herb s U(x, y, z) de stroomsnelhed n het punt (x, y, z) van Γ west, ( ) n(x, y, z) de normaal vector n (x, y, z) op Γ west, d.w.z., de vector ter lengte de loodrecht op Γ west staat n de rchtng waarn de nstroom gemeten moet worden (als n naar het oosten wst en ( ) heeft bv. een negateve waarde, dan stroomt het water naar westen). (, ) het standaard nproduct. Als Γ west een klen oppervlakte s van x b z meter, dan s ( ) ongeveer gelk aan u(x x, y, z) t y z.

4 Wet van behoud van massa Wet van behoud van massa Als n het gebedje alleen water nkomt of utgaat door stromng door de rand (dus geen pomp, geen rver, geen regenbu) dan geldt n -d u(x x, y) t y u(x + x, y) t y + v(x, y y) t x v(x, y + y) t x = 0. Delen we door t x y, dan zen we dat x [u(x x, y) u(x + x, y)] + y [v(x, y y) v(x, y + y)] = 0 Nemen we de lmet x 0 en y 0, dan dv U U u x v y = 0 Als n een omgevng van een punt alleen water nkomt of utgaat door stromng door de rand (dus geen pomp, geen rver, geen regenbu) dan geldt n dat punt dv U U u x v y w z = 0 (+) Stellng. Onder bovenstaand aanname (K φ) = 0 ( ) Een vectorveld U waarvoor (+) geldt op een gebed s dvergente vr op dat gebed. Het snelhedsveld van de grondwaterstromng s dus dvergente vr op een gebed als er n dat gebed alleen water b komt of af gaat door stromng door de rand. Randvoorwaarden D s een gebed met rand Γ = D. In een punt (x, y, z) Γ geldt de essentële of Drchlet randvoorwaarde als φ(x, y, z) = φ 0 (x, y, z) de natuurlke of Neumann randvoorwaarde als ( K φ) n = χ 0 de gemengde of Robn randvoorwaarde als α( K φ) n = γ(φ χ 0 ) Stellng. Als op D ( ) geldt en n eder punt van Γ een van bovenstaande randvoorwaarden en n mnstens een punt geldt een Drchlet randvoorwaarde dan s de oplossng φ unek. Verspredng van gf Laat n een punt (x, y, z) van het gebed D ψ(x, y, z) de concentrate van n zeker gf voorstellen (gemeten n gram per m 3 grondwater), waarvan we de verspredng wllen modelleren. We nemen weer aan dat de ψ tdsonafhankelk s: we beschouwen de statonare stuate. Het gf verspredt zch om twee redenen: door dffuse en advecte (meegenomen worden door de grondwater stromng).

5 Dffuse We nemen eerst aan dat het grondwater stl staat (net stroomt: φ = 0 op D). Het gf verspredt zch dan doordat eder molecuul beweegt volgens de standaard thermsche dynamek. De snelhed waarmee het gf zch door dffuse verspredt kan beschreven worden door het vectorveld K ψ, waarb K een evenredgheds constante s de afhangt van de grondsoort. Advecte Het gf wordt ook meegenomen door het grondwater dat stroomt met een snelhed U = K φ. Dt effect heet advecte of, n andere toepassngen, convecte. Als er geen dffuse s dan wordt de snelhed waarmee de concentrate van het gf verandert beschreven door ψ U Advecte-dffuse vergelkng Als er n de buurt van een punt (x, y, z) n het gebed D de concentrate gf alleen verandert door dffuse en advecte dan geldt n dat punt ( K ψ + ψ U) = 0 Stellng. De vergelkng heeft een uneke oplossng als n eder punt op de rand Γ van D een Drchlet, Neumann of Robn randvoorwaarde geldt en n mnstens een punt een Drchlet randvoorwaarde. Absorpte Vaak wordt het gf n de loop der td afgebroken. De vermnderng van de concentrate gf door afbraak s evenredg met de concentrate. De evenredghedsconstante c s weer grondsoort (dus plaats) afhankelk (c > 0). ( K ψ + ψ U) cψ = 0 Opgave. We hebben c > 0 veronderstelt. c < 0 heeft ook een znnge nterpretate. Welke?

6 In de praktk Modelleren s vereenvoudgen ) zal de zwaartekracht verwerkt moeten worden ) hangen de doorlaadbaarhedscoëffcënten af van de druk: a = a(x, y, z, φ(x, y, z)) WISB356, Utrecht, september 0 Dscretseer Grondwatervergelkngen 3) kan grond water vasthouden (absorberen). 4) s het probleem net statonar door regenbuen, wsselende waterstanden n rveren, etc..... Gerard Slepen Department of Mathematcs sle0/ Programma Het model Het model Symmetrsche endge dfferentes Dscreet Domen Gedscretseerde dfferentaal vergelkng Gedscretseerde randvoorwaarden Twee dmensonaal model Randdscretsate voor een verschoven rooster Andere dscretsates We gebruken het volgende model. Op D = [0, X] [0, Y ] geldt x (a x ψ) y (b y ψ) + (ψ u) + (ψ v) + cψ = f x y Herb zn a, b (doorlaadbaarhedscoeëffcënten), u, v (stromngsveld n x- en y-rchtng) c (absorpte coeëffcënt) en f (bron term, regenbu) bekende functes en moeten we ψ bepalen. Met randvoorwaarden ( K ψ, n) = ν(ψ ψ 0 ) waarb op eder punt (x, y) op de rand Γ = D van D, n(x, y) de naar buten gerchte normaal vector s en ν(x, y) en ψ 0 (x, y) bekende waarden hebben.

7 Het model Op de transparanten leden we de formules af voor het -d model. Op D = [0, X] geldt x (a x ψ) + (ψ u) + cψ = f x Met op de westrand de randvoorwaarde a(0) x ψ(0) = ν west[ψ(0) ψ west ] en op de oostrand a(x) x ψ(x) = ν oost[ψ(x) ψ oost ] Opgave. Stel telkens na edere -d afledng, de -d (en 3-d) varant op. Symmetrsche endge dfferentes Beschouw een functe g op D [0, X]. Voor h > 0 en x [h, X h] benaderen we g x (x) door x g(x) [g(x + h) g(x h)] h Toepassngen. Kes n x N en h x X/(n x + ). Schrf x h x en g g(x ) = g( h x ) met α west voor { k k Z, 0 k h x X} ( a ψ ) (x ) + x x x (ψ u)(x ) + (c ψ)(x ) a h x u h x, α west raal ψ + raal ψ + α oost ψ + a + a + h x +c, α oost a + h x + u + h x Symmetrsche endge dfferentes Beschouw een functe g op D [0, X]. Voor h > 0 en x [h, X h] benaderen we g x (x) door x g(x) [g(x + h) g(x h)] h Symmetrsche endge dfferentes Beschouw een functe g op D [0, X]. Voor h > 0 en x [h, X h] benaderen we g x (x) door x g(x) [g(x + h) g(x h)] h Opmerkngen. α west ψ + ψ + α oost ψ + = f. Deze vergelkng volgt ut de dfferentaal vergelkng en s gedefneerd voor =,,..., n x. (Waarom?) Voor = 0 s ψ een functewaarde buten het gebed! We hebben dus n x vergelkngen met n x + onbekenden. De extra vergelkngen komen van de randvoorwaarden De oplossng ψ benadert ψ n het punt x = h x. a s op het hele gebed [0, X] bekend. In het bzonder s a + = a(( + )h x) bekend. Opmerkngen. α west ψ + ψ + α oost ψ + = f. Randvoorwaarde. a(0) ψ x (0) = ν west(ψ(0) ψ west). Dscretseer: ν west (ψ 0 ψ west ) = a(0) ψ x (0) Met α oost 0 a 0 h x en 0 ν west + a 0 h x a(0) ψ(h x) ψ(0) h x = a 0 h x (ψ ψ 0 ) 0 ψ 0 + α oost 0 ψ f 0 ν west ψ west s

8 Symmetrsche endge dfferentes Beschouw een functe g op D [0, X]. Voor h > 0 en x [h, X h] benaderen we g x (x) door x g(x) [g(x + h) g(x h)] h Opmerkngen. α west Gebruk om ψ 0 te elmneren ut (Df) ψ + ψ + α oost ψ + = f. 0 ψ 0 + α oost 0 ψ f 0 (r west ) α west ψ 0 + ψ + α oost ψ = f. (df) ( α west α oost ) 0 ψ +α oost ψ = f α west 0 f 0 0. Symmetrsche endge dfferentes Notate. In -d model met D [0, X] [0, Y ]: Kes n x, n y N en h x X/(n x + ), h y Y/(n y + ) Schrf x x h x en y y j j h y Als g : [0, X] [0, Y ] R, dan g g(x, y ) = g(x, y j ) = g( h x, j h j ) Voor eder nwendg roosterpunt p s er een vergelkng α west ψ,j + ψ + α oost ψ +,j + α zud ψ,j + α noord ψ,j+ = f waar geen functewaarde buten D b betrokken s (dus, bv, α west,j = 0 en α zud, = 0) en de een dscretsate s van het -d model. Opdracht. Druk de stencl coëffcënten α xxx n termen van de bekende grootheden a, b, c, ν xxx en ψ xxx. De vergelkng α west ψ,j + ψ + α oost Stencls ψ +,j + α zud ψ,j + α noord ψ,j+ = f wordt vaak gerepresenteerd mddels een stencl: α west α noord α zud α oost Een stencl (voor het punt p ) s een compacte maner om aan te geven hoe n het rooster punt p de onbekende functewaarden ψ,j n de buurpunten van p (de punten met en j j ) gekoppeld zn. Waarschuwng. Een stencl s een matrx, maar de acte s net als de van de gebrukelke matrx.