2 Vectorrekening - Peter Bueken

Transcriptie

1 ÀÓ Ö Ú ÖØ ÓÓÐ ÒØÛ ÖÔ Ò ÙÐØ Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ÖÓ Ô ÌÓ Ô Ø Ò Ü Ø Ï Ø Ò ÔÔ Ò Î ØÓÖÖ Ò Ò È Ø Ö Ù Ò HZS-OE5-NW142 Eerste jaar Bachelor Nautische Wetenschappen Versie oktober 2014

2 2 Vectorrekening - Peter Bueken

3 ÁÒ ÓÙ Ø Ð Inhoudstafel 3 1 Vectorrekening Inleiding 1.2 Vectoren in het lak en de drie-dimensionale ruimte Definities Scalair eeloud an een ector Som en erschil an rije ectoren Kentallen an een (rije) ector Scalair produkt Scalaire en ectoriële projectie Vectorprodukt en tripelprodukt Vergelijkingen an rechten en lakken Vergelijking an een rechte Vergelijking an een lak 18 Versie oktober 2014

4 4 Vectorrekening - Peter Bueken

5 ÀÓÓ ØÙ ½ Î ØÓÖÖ Ò Ò 1. Inleiding Voor het beschrijen an bepaalde erschijnselen uit o.a. de mechanica en de fysica kan men niet olstaan met het gebruik an scalaire grootheden (die oorgesteld orden door een reëel getal en een eenheid, zoals bijoorbeeld afstand, temperatuur, druk) maar hebben e ectoriële grootheden nodig. Dit zijn grootheden die niet alleen een grootte hebben, maar aaraan ook een richting en een zin (en eentueel een aangrijpingspunt) geassociëerd ordt. Voorbeelden an ectoriële grootheden zijn de snelheid en ersnelling an een puntmassa, de kracht die uitgeoefend ordt op een massa, een erplaatsing die een oorerp uitoert. 2. Vectoren in het lak en de drie-dimensionale ruimte 1. Definities Een (gebonden) ector in het lak of de drie-dimensionale ruimte bestaat uit tee punten A en B uit deze ruimte, in een bepaalde olgorde. Een gebonden ector komt met andere oorden oereen met een koppel punten (A,B) uit de beschoude ruimte. We noemen A en B respectieelijk het beginpunt (of aangrijpingspunt) en het eindpunt an de gebonden ector, en e noteren deze ector als AB. We stellen de ector AB grafisch oor als een pijl met beginpunt A en eindpunt B. Versie oktober 2014

6 6 Vectorrekening - Peter Bueken B D AB CD E EF A C Figuur 1. Enkele gebonden ectoren F Bij gebonden ectoren spelen het beginpunt en het eindpunt an de ector een belangrijke rol. We beschouen tee gebonden ectoren AB en CD als erschillend anneer hun beginof eindpunten erschillen, dus AB = CD A = C en B = D. In sommige toepassingen is het aangrijpingspunt an een ector echter niet belangrijk, maar ordt de ector slechts gebruikt om een grootheid met een richting, zin en grootte uit te drukken. Gebonden ectoren met dezelfde zin, richting en grootte maar een erschillend beginpunt orden dan als erschillende oorstellingen an dezelfde ectoriële grootheid beschoud. We spreken in dat geal an een (rije) ector. Tee gebonden ectoren AB en CD zijn ertegenoordigers an dezelfde rije ector als de puntenkoppels(a, B) en(c, D) equipollent zijn, dit il zeggen dat er een translatie (of erschuiing) T an de ruimte bestaat die de begin- en eindpunten an de gebonden ectoren op elkaar afbeeldt, dus AB = CD T(A) = C en T(B) = D. Praktisch ormen de punten A, B, C, D de hoekpunten an een parallellogram, of kunnen beide puntenkoppels erbonden orden door tee parallellogrammen (in het geal aarin de punten op dezelfde rechte gelegen zijn). Een rije ector is met andere oorden een equialentieklasse an equipollente puntenkoppels of an de oereenkomstige gebonden ectoren. Wenoterenderijeectorenaakmetbehulpandesymbolen a, b,,,...inatolgtzullen e ons oornamelijk richten op de studie an rije ectoren, die e korteg ectoren zullen noemen.

7 Hoofdstuk 1. Vectorrekening 7 D B CD AB C F H A EF G GH K KL K E N M MN Figuur 2. Vrije ectoren met enkele ertegenoordigers De modulus AB an een gebonden ector AB is de afstand tussen het beginpunt A en het eindpunt B an deze ector (of de lengte an de pijl die de grafische oorstelling ormt an de ector). We definiëren de modulus an een rije ector als de modulus an een illekeurige ertegenoordiger AB an deze rije ector. Een eenheidsectoris een ector aaran de modulus gelijk is aan 1. De nulector 0 is de rije ector die oereenkomt met de gebonden ectoren aaran begin- en eindpunt samenallen, AA. Het is duidelijk dat de modulus an de nulector gelijk is aan 0. De tegengestelde ector an een gebonden ector AB is de ector BA. De rije ector die oereenkomt met de tegengestelde ector BA an een illekeurige ertegenoordiger AB an een rije ector ordt de tegengestelde ector an genoemd, en e duiden deze ector aan als. De tegengestelde ector heeft dezelfde grootte en richting als, maar heeft de tegengestelde zin. 2. Scalair eeloud an een ector Beschouen e een rije ector a en een reëel getal k. Dan definiëren e het scalair eeloud k a als een ector met dezelfde richting als a, aaran de modulus ordt gegeen door k a = k a. De zin an k a en a is dezelfde (resp. tegengesteld) indien k positief (resp. negatief) is. Als de ector a erschilt an de nulector, is het eenoudig in te zien dat de ector 1 a a een eenheidsector is met dezelfde richting en zin als de ector a. De constructie an een eenheidsector in de richting an een gegeen ector ordt normaliseren an de ector genoemd.

8 8 Vectorrekening - Peter Bueken B AB BA Figuur 3. Tegengestelde ectoren Figuur 4. Enkele scalaire eelouden an een rije ector 3. Som en erschil an rije ectoren Stel dat a en b tee rije ectoren zijn, die respectieelijk oereenkomen met de gebonden ectoren OA en AB. We definiëren dan de som of de resultante a+ b an de rije ectoren

9 Hoofdstuk 1. Vectorrekening 9 1/ = u = 1 Figuur 5. Normaliseren an een rije ector a en b als de rije ector die oereenkomt met de gebonden ector OB. Deze constructie an de som an tee ectoren ordt de kop-aan-staart -constructie genoemd. + + Figuur 6. Som en erschil an rije ectoren Een alternatiee methode oor de constructie an de som is de parallellogram -methode. Als A en B de eindpunten zijn an de gebonden ectoren OA en OB die de rije ectoren a en b ertegenoordigen, dan ordt de som a + b an deze ectoren ertegenoordigd door een gebonden ector OC, aarbij C het ierde hoekpunt is an het parallellogram met hoekpunten O, A en B. Het erschil an de ectoren a en b definiëren e als de som a b = a+( b) an de ector a en de tegengestelde ector an b.

10 10 Vectorrekening - Peter Bueken 4. Kentallen an een (rije) ector Door oor elke rije ector een ertegenoordiger te kiezen met beginpunt in een ast punt O, zien e dat de erzameling der rije ectoren oereenkomt met die an de gebonden ectoren OV, die op haar beurt oereenkomt met de erzameling an alle punten an onze ruimte (de eindpunten V an de ectoren OV). Beschouen e nu de erzameling an alle rije ectoren in de tee-dimensionale ruimte, en kiezen e in deze ruimte een coördinatenstelsel Oxy, bestaande uit tee loodrecht op elkaar staande assen x en y door het punt O, aarop e een eenheid aangeen. Elke rije ector komt dan oereen met het eindpunt V an de gebonden ector OV. De coördinaten (x, y ) an het punt V noemen e de kentallen of coördinaten an de rije ector. We besluiten dat de rije ectoren in het lak kunnen oorgesteld orden als teetallen an reële getallen, ( x, y ). Y b V = a i + b j bj O a X j i a i Figuur 7. Kentallen an een ector in het lak Op dezelfde manier kunnen e, oor de drie-dimensionale ruimte, een coördinatenstelsel Oxyz construeren, bestaande uit drie onderling loodrechte assen x, y en z door het punt O, uitgerust met een eenheid. We zullen hierbij steeds kiezen oor een rechtshandig coördinatenstelsel, dit il zeggen dat de zin an de as z zó gekozen ordt dat de drie assen x, y en z oereenkomen met de duim, ijsinger en middeninger an de rechterhand. Elke rije ector komt in dit geal oereen met een drietal reële getallen ( x, y, z ), de coördinaten an het eindpunt V an de gebonden ector OV die een ertegenoordiger is an. Dit drietal noemen e opnieu de kentallen of coördinaten an de ector.

11 Hoofdstuk 1. Vectorrekening 11 Z a i + b j + c k c V k i O j b Y a X Figuur 8. Kentallen an een ector in de drie-dimensionale ruimte Beschouen e nu tee punten A en B in de tee- of drie-dimensionale ruimte, en stellen e dat de coördinaten an deze punten gegeen orden door A(a x,a y,a z ), B(b x,b y,b z ). Het is dan eenoudig in te zien dat de kentallen an de rije ector = OB OA, die ertegenoordigd ordt door de gebonden ector AB, gegeen orden door (b x a x,b y a y,b z a z ). De modulus an een ector met kentallen ( x, y ) ordt gegeen door = 2 x +2 y, en de modulus an een ector met kentallen ( x, y, z ) ordt gegeen door = 2 x + 2 y + 2 z. De kentallen an de nulector zijn (0,0) of (0,0,0).

12 12 Vectorrekening - Peter Bueken Indien a gegeen ordt door de kentallen (a x,a y ) (resp. (a x,a y,a z )), dan zijn de kentallen an de ector k a gelijk aan (ka x,ka y ) (resp. (ka x,ka y,ka z )). De kentallen an de ector a tegengesteld aan de ector a met kentallen (a x,a y ) (resp. (a x,a y,a z )) orden gegeen door ( a x, a y ) (resp. ( a x, a y, a z )). Als de ectoren a en b gegeen orden door hun kentallen (a x,a y ) (of (a x,a y,a z )) en (b x,b y ) (of (b x,b y,b z )), dan ordt de som an de ectoren gegeen door de kentallen (a x +b x,a y +b y ) of (a x +b x,a y +b y,a z +b z ). Het erschil an deze ectoren heeft bijgeolg kentallen (a x b x,a y b y ) of (a x b x,a y b y,a z b z ). In at olgt duiden e de eenheidsector in de richting en zin an de x-as, dit il zeggen de rije ector met kentallen (1,0) (of (1,0,0) als e met ectoren in de drie-dimensionale ruimte erken), aan met het symbool i. Op dezelfde manier schrijen e j oor de rije ector met kentallen (0,1) (of (0,1,0)), dus de eenheidsector met de richting en zin an de y-as, en duiden e met k de eenheidsector aan die de richting en zin an de z-as heeft, en dus oereenkomt met kentallen (0,0,1). Het is dan duidelijk dat de ector a met kentallen (a x,a y ) (resp. (a x,a y,a z )) steeds kan geschreen orden als een som a = a x i+a y j, resp. a = a x i+a y j +a z k. 5. Scalair produkt Beschouen e tee rijeectoren a en b. We definiëren het scalair produkt andeze ectoren als a b = a b cosϕ, aarbij ϕ de hoek oorstelt tussen de tee ectoren. Het is dan duidelijk dat en dat a b = b a, a a = a 2 cos0 = a 2. Verder is het eenoudig in te zien dat a b = 0 indien a = 0 of b = 0 of a b. Tenslotte kan men aantonen dat ( a+ b) c = a c+ b c, (k a) b = k ( a b). We besluiten dat, oor de hierboen ingeoerde basisectoren i, j (en k), geldt dat i i = j j = k k = 1, i j = i k = j k = 0; Bijgeolgordthetscalairproduktanteeectorenmetkentallen(a x,a y )(resp. (a x,a y,a z )) en (b x,b y ) (resp. (b x,b y,b z )) gegeen door a x b x +a y b y (resp. a x b x +a y b y +a z b z ).

13 Hoofdstuk 1. Vectorrekening 13 x φ n φ φ Figuur 9. Beschouen e nu tee rije ectoren a en b. Omdat a b = a b cosϕ, kunnen e de hoek ϕ tussen tee ectoren a en b bepalen met behulp an de formule cosϕ = a b a b. Beschouen e nu een ector a in het lak, gegeen door de kentallen (a x,a y ). De hoek geormd door de ector a en de (positiee) x-as ordt dan bepaald door cosα = a i a = a x a 2 x +a 2 y terijl de hoek met de (positiee) y-as gegeen ordt door cosβ = a j a = a y a 2 x +a2 y,. De hoeken tussen de ector a = a x i + a y j + a z k in de driedimensionale ruimte en de coördinaatsassen orden gegeen door de getallen cosα = a i a = a x a j, cosβ = a a = a y a k, cosγ = a a die e de richtingscosinussen an de ector a noemen. Het is duidelijk dat cos 2 α+cos 2 β +cos 2 γ = 1. = a z a,

14 14 Vectorrekening - Peter Bueken 6. Scalaire en ectoriële projectie Beschouen e tee rije ectoren a en b. We kunnen de ector a loodrecht projecteren op de richting gegeen door de ector b, dit il zeggen dat e de ector a schrijen als een som a = t+ n, aarbij de ector t = k b eenijdig is met b en n loodrecht staat op b. De ector t ordt de ectoriële projectie an a op b genoemd. De scalaire projectie an de ector a op de ector b ordt gedefinieerd als k b, dus als de modulus an de ector t, aaraan e een teken hechten: de scalaire projectie is positief indien t dezelfde zin heeft als b, negatief indien beide ectoren een tegengestelde zin hebben. n t n t Figuur 10. We berekenen de scalaire projectie an a op b als a cosϕ = a b b, terijl de ectoriële projectie gegeen ordt door t = a cosϕ ( ) b b = a b b. b 2

15 Hoofdstuk 1. Vectorrekening 15 x φ n φ φ Figuur Vectorprodukt en tripelprodukt Beschouen e tee (lineair onafhankelijke) rije ectoren a en b in de drie-dimensionale ruimte, dan kunnen e een eenheidsector n construeren, die loodrecht staat op het lak geormddoor aen b,enaarandezinzógekozenisdat a, ben neenrechtshandigassenstelsel ormen. We definiëren dan het ectorproduct a b als de ector a b sinϕ n, aarbij ϕ de hoek is tussen de ector a en de ector b. Uit de constructie olgt dat terijl indien a = 0 of b = 0 of a b. a b = b a, a b = 0 Verder is het eenoudig in te zien dat a b = a b sinϕ gelijk is aan de opperlakte an het parallellogram opgespannen door de tee ectoren a en b, en kunnen e aantonen dat a ( b+ c) = a b+ a c, a (k b) = k ( a b).

16 16 Vectorrekening - Peter Bueken De definitie toont ons onmiddellijk dat, oor de hierboen ingeoerde basisectoren i, j en k, geldt dat i i = j j = k k = 0, i j = k, j k = i, k i = j, j i = k, k j = i, i k = j, en het ectorprodukt an de ectoren met kentallen (a x,a y,a z ) en (b x,b y,b z ) ordt bijgeolg gegeen door (a y b z a z b y ) i+(a z b x a x b z ) j +(a x b y a y b x ) k. We kunnen dit produkt dan ook (formeel) uitrekenen als de determinant i j k a x a y a z b x b y b z. Beschouen e nu drie ectoren a, b en c in de driedimensionale ruimte. We definiëren dan het drieoudig produkt of tripelprodukt an deze drie ectoren als het reële getal a ( b c). Een eenoudige berekening toont aan dat, oor ectoren met kentallen (a x,a y,a z ), (b x,b y,b z ) en (c x,c y,c z ), dit drieoudig produkt oereenkomt met de determinant a x a y a z b x b y b z c x c y c z. De absolute aarde an het drieoudig produkt is het olume an het parallellepipedum opgespannen door de drie ectoren a, b en c, terijl het teken an dit getal aanduidt of de ectoren een rechtshandig of een linkshandig assenstelsel ormen. 3. Vergelijkingen an rechten en lakken

17 Hoofdstuk 1. Vectorrekening 17 a x b = S n h n c h n b a S Figuur Vergelijking an een rechte Een rechte in de drie-dimensionale ruimte ordt olledig bepaald door een punt P 0 (met coördinaten (x 0,y 0,z 0 )) en een richting, gegeen door een (rije) ector a 0 met kentallen (a,b,c). Een punt P (met coördinaten (x,y,z)) behoort tot de rechte indien de ector P 0 P dezelfde richting heeft als de ector a, dus P 0 P = k a, k Ê. De kentallen an de ector P 0 P orden gegeen door (x x 0,y y 0,z z 0 ), en e inden bijgeolg de parameterergelijking oor de rechte, x = x 0 +ka, y = y 0 +kb, z = z 0 +kc. Deze ergelijking geeft, oor elke reële aarde k Ê, de coördinaten an een punt P op de rechte. Elimineren an de parameter k uit deze ergelijkingen leert ons de ergelijking oor de rechte op, dit is de ooraarde aaraan de coördinaten an een punt P moeten oldoen om tot de rechte te behoren. Als alle kentallen an de ector a erschillen an 0, inden e x x 0 a = y y 0 b = z z 0. c

18 18 Vectorrekening - Peter Bueken Wanneer één an de kentallen an a gelijk is aan nul, bijoorbeeld a = 0, leert de parameterergelijking ons de ergelijking y y 0 x = x 0, = z z 0, b c tee kentallen gelijk aan nul, bijoorbeeld a = b = 0, leert de ergelijking 2. Vergelijking an een lak x = x 0, y = y 0. Een lak in de drie-dimensionale ruimte ordt olledig bepaald door een punt P 0 met coördinaten (x 0,y 0,z 0 ) en een richting loodrecht op het lak, die e de normale richting noemen. De normale richting ordt astgelegd door een (rije) ector n 0 met kentallen (n 1,n 2,n 3 ). Een punt P behoort dan tot het lak indien de ector P 0 P, die oereenkomt met een richting in het lak, loodrecht staat op de normale richting, dus P 0 P n, P 0 P n = 0. De kentallen an de ector P 0 P orden gegeen door (x x 0,y y 0,z z 0 ), en e inden dus de ergelijking n 1 (x x 0 )+n 2 (y y 0 )+n 3 (z z 0 ) = 0. Deze ergelijking kan geschreen orden als n 1 x+n 2 y +n 3 z = d, d = n OP 0 = n 1 x 0 +n 2 y 0 +n 3 z 0. We kunnen een lak ook astleggen met behulp an een punt P 0 en tee (erschillende) richtingen in het lak, gegeen door lineair onafhankelijke ectoren r 1 = (a 1,b 1,c 1 ) en r 2 = (a 2,b 2,c 2 ). Een punt P behoort dan tot het lak indien de ector P 0 P kan geschreen orden als een combinatie an de ectoren r 1 en r 2, P 0 P = k 1 r 1 +k 2 r 2, k 1,k 2 Ê, en e inden de parameterergelijkingen x = x 0 +k 1 a 1 +k 2 a 2, y = y 0 +k 1 b 1 +k 2 b 2, z = z 0 +k 1 c 1 +k 2 c 2, De ergelijking an het lak ordt in dat geal bekomen door eliminatie an de parameters k 1 en k 2, en ordt gegeen door de ergelijking x x 0 y y 0 z z 0 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 = 0. Opmerking. Het ectorproduct r 1 r 2 is een ector die loodrecht staat op de tee richtingsectoren. Bijgeolg leert dit ectorproduct ons een ector op die de normale richting op het lak oorstelt, en kunnen e de ergelijking an het lak inden door te stellen dat P 0 P ( r 1 r 2 ) = 0. De definitie an het drieoudig product leert ons dan opnieu de hierboen aangegeen determinantooraarde als ergelijking an het lak.