~ (" 3 5x5 + 3x3 - gx + C. ~ 1 1-6/5 f (x =~=X65= x. = x~~5 + c = 55X + c V I NTEGRAALREKENING.

Maat: px

Weergave met pagina beginnen:

Download "~ (" 3 5x5 + 3x3 - gx + C. ~ 1 1-6/5 f (x =~=X65= x. = x~~5 + c = 55X + c V I NTEGRAALREKENING."

Nora Eilander
7 jaren geleden
Aantal bezoeken:

1 1 I NTEGRAALREKENING. Onder een primitieve funktie F(x) van een funktie f(x) verstaan we de funktie F(x) waarvoor geldt: F ' (x) = f (x) B i j v. f (x) = x F (x) = x + c (c R) een primitieve funktie f(x) = x de primitieve funktie f(x) = x F(x) = x F(x) = x + c Rekenregels: Als f(x) = c F(x) = cx + C f (x) = xn (n~1) F (x) = n+1 xn+l + C f (x) = 4(x) + v(x) f (x) = sin x f (x) =cos x f (x) _ ~ cosx f (x) = ex f (x) = X (= x- ~) F (x) = U (x) + V(x) + C F(x) _ - cos x + C F (x) = s i n x+ C F (x) = tan x + C F(x) = ex + C F (x) = In /x/+c Voorbeelden: Vb : 1. f (x) = 3x4 + x - g ~ _ 1 1 ~ (" 3 5x5 + 3x3 - gx + C ~ 1 1-6/5 f (x =~=X65= x F ~ x ~ _ 1-1/ 5-1/ 5x 5 x -1 / 5 + c = x~~5 + c = 55X + c V Het bepalen van de primitieve funktie noemt men wel onbepaald integreren.

2 ) Integreren van samengestelde funkties: vb:. f xdx = 3 x3 + C f (x + 1) dx = Noem: p = x + 1 dx = dp = dx dx = Z dp f (x + 1) dx d(x + 1) = dx dx = d (x + 1) f (p) dp Z 3 (~b) 3. (x + 1).dx z 3 (x+1) 3 +C 6 (x + 1) 3 + C _ (x + 1) Z d (x + 1) = Z (x+1) d(x + 1) = z p. dp = 3 p3 + C _ ~ (x+1) 3 +C Vb: 3. f sin x dx Noem: p = x dx dp=dx dx=z dp. f s i n x dx = j sin p. Z dp = Zfsin p dp = f sin p dp = Z (- cos p) + C _ -Z cos x + C

3 3) Vb: 4. f s i n x cos x dx Noem: p = sin x dx = cos x dp = cos x dx dx = cos x f sinx cosx dx = f p dp = Z p + C = s i nx + C Vb: 5. f x sin (3x - 4) dx Noem: ~ _ 3x - 4 dp = 6x dp = 6x dx dx = x p d 1 f x sin ~= f 6 sin p dp = 6 sin p dp 6 (-cos p) + C = 6 (-cos 3x - 4) + C _ -~ cos (3x -4) +C Vb: 6 ~ sin 5x dx p = 5x d = 5 dx = 5 dp. f sing 5x dx 1 = f sin p 5 dp ( cos p = 1 - sing p~ = 5 f sing p dp ~ 1 - cos ~ sin p = -p = 5 ~ ( - cos _Z p) dp 5 J dp 5 J cosp dp Zsinp + C 5 p _ ~ 10 p 0 sin p + C = x-0 sin 10x+C

4 4) vb: 7. f x cos(x + 1) dx x cos (x + 1) dx dg f x cos g Zx Stel: g = (x + 1) dg = x dx = Zg f cos g Zg = ~ cos g d ~ g f cos g 1 sin g+c dg 1 sin (x + 1) + C i 4~~ dx Stel : g = x + 1 x + 1 d g =x dx dg = x dx dx = gz 4x d9 _ f ~g = f g d9 f 9 x = In / g / + C = to /x + 1 /+C Een van: primitieve funktie wordt een logaritme c. K' (x) K x indien f(x) de vorm heeft Vb: 9 ( x ex+4. dx J = 1 x. e9 d g ( 1 eg dg 1 f eg dg = eg +C ex+4 + C. Stel: g = x + 4 dg = x dg = x dx dx = g

5 5) vb: ~o. cos x dx Stel : g = sin x sin3x dg d x cos x s in-3x cos x dx dg = cos x dx _ ( d d g-3 cos x cos x dx cos x. J f g-3 dg fi g- + ~_ - 1 sin x + C

6 6) BEPAALDE INTEGRALEN EN OPPERVLAKTEBEREKENING. Onder een bepaalde integraal, aangeduid met b f f(x) dx, verstaan we F(b) - F(a) a f (x) hee.t de integrand. a = ondergrens. b = bovengrens. 1 Voorbeeld 1: f x.dx ~ x + C ~ _ (~ 1 o ~ 0 ~~~ + ~~ - ~Z.o + c) Re els: = +c-o+c 1 =. ~ ~ b b f c. f (x) dx = c f f (x) a a dx Bew i j s: c f (x) dx = c F (x) = c F (b) - c F (a) b = c ( F(b) - F(a) ) a = c. f (x) dx. ~ b c b f f (x) dx = f f (x) dx + f' f (x) dx met a C c < b a a c 6 f f(x) dx = F(b) - F(c) + a f f(x) dx + f f(x) dx = F(b) - F(a) (b f(x) dx. a c a

7 7) ~.~...~~ ~ ',j x. dx + f x. dx = ~ ~ x ~ + ~ ~ x J _ ( - 1) + ( 3 - ) = 4. f X.dx ( X1 3 1 ~ =4. 4.f /x-3 / dx / x-3 / x-3 als x ~ 3 - x+3 als x ~ f /x-3/dx=.1/x-3/dx+ j /x-3/dx = l -(x-3) dx +.l (x-3) dx 3 3 4,l (-x+3) dx + j (x-3) dx C 1 x + 3x~ + L 1 X 3x~ 3 = C- 9 +g) - (.4+6) + ( 16-1) ( 9-9 ) = Z = 1

8 OPPERVLAKTE BEREKENING. Gegeven een funktie f(x) op C a,bj x ~ --~ Ox 1 x --~ Ox Bij elke x E ~a,b' behoort precies een Ox: dit is dus een funktie 0(x) p (x) = Ox ) p (x+h) = Ox+h ~ opp. P.QRS = Ox + h - Ox opp. PQRS ~ h. f (x) f (x) ~ p (x+h) - p (x) h. Pax+h) - P(x) 1 im f (x) =h ~ ~ h. f (x) = p' (x) p (x) = F(x) + C p(a) = F(a) + C p (a) = 0. F(a) + C = 0 C =- F(a) p (x) = F(x) - F(a) opp. ABCD = pb(b) = F(b) - F(a) opp. ABCD = ( f(x) dx..1 a

9 JJ Stell ing: De oppervlakte van een positieve funktie tussen de grenzen a,b is gel ijk aan b f f(x) dx. a Indien de oppervlakte onder de x-as l igt geldt dat deze oppervlakte gel ijk is aan b f f (x) a Voorbeeld 1: Bereken de opp. van het vlakdeel ingesloten door dx de 1 i jnen f (x) = x, (x = 0), x = 4 en de x-as =,~ f (x) dx = f x. dx = x 4 = 4-0 = 8 ~ 0 Voorbeeld : Bereken de opp. ingesloten door f(x) = x - 4, x = 0, x = 1 en de x-as = - j f (x) dx = - J (x - 4). dx = - ~ 3x3-4x~

10 10) Voorbeeld 3: Bereken de opp. van de vlakdelen ingesloten door de grafieken van f(x) = cos x X = 0, X = i en de x-as..i[. Tt" "f"f q~ = J f(x) dx = J cos x dx = sin x zc = sin - sin o = 1 - o = 1 T~ ~i'~ 0~ _ - f (x) dx = - J cos x dx = - ~ s i n x~ ~.~ ~ _ - ( sin"1'i~' - sin' ) _ - (o - 1) _ - ( - 1) = 1 tot -~ +1 =.

11 Voorbeeld 4: Als voorbeeld 3, maar f(x) = sing x. ~~ 0 = f f(x). dx = ~ sinx dx. f c~sx dx cosx = 1 - s i nx, = cosx - 1 Tf = f c - ~os x) dx 0 sinx = 1 - cosx, s inx = 1 - cosx _ T ~ x- s i n ~y~ 0 -,( TI - 4 sirs~tt) -.( sin.0) _L_L. Voorbeeld 5: De opp. van het vlakdeel ingesloten door f (x), y = 1, y = 3 en de y-as;, a ~ s, f (x~ ~ 7 x~-4 0 = f(x) dx = -1-1 x+4.dx - ~n / x+4 / = In 6 - In 3 = 1n36 = In

12 1) Voorbeeld 6: Bereken de opp. van het vlakdeel f (x) = x en g (x) = x + 3. Berekening van de snijpunten: f (x) = g (x) x =x+3 x - x - 3 = x ~~ = ~ +4 x~ =3 x= = f g (x) dx - f f (x) dx (x x) dx 3 _ ~x + 3x - 3x3, _ (g+9-g) - (1-3+ 3) = g /3-1

13 13) Voorbeeld 7: Opp. vlakdeel ingesloten door f (x) = x - x - 4 en g (x) = x + x + Snijpunten: f(x) = g(x) x -x-4=-x +x+1 x - 3x - 5 = o x =-1 v x=5 X Snijpunt x-as: f(x) = 0: x - x - 4 = 0 + ~Z 0 '/ x1, x~ = 1 + 5x = 1 - V 5. X1, - x1 } ~ 5 X ~ 5' We verschuiven de x-as tot het to berekenen vlakdeel boven de x-as komt to l iggen. De x-as over 5 eenheden Haar beneden schuiven is hetzelfde als de grafieken over 5 eenheden Haar boven schuiven. T.o.v. het nieuwe a ssenstelsel worden de vergel ijkingen resp.

14 14) f (x) = x - x (5) = x - x + 1. g(x) =-x +x+ 1 + (5) _ -x +x =! g(x) dx - 1 f(x).dx = f g (x) - f (x) dx x3 + x + 5x~ 5 1 _ ( -4 +~8+~ ) - (3+ - 5) = C ~ ~ - ~ - 4 ) 343 4

15 15) Voorbeeld 8: f(x) = cosx + sin x met 0 ~~ x ~ 360. a) Snijpunten met de x-as b) Bepaa 1 f' (x) c) Bereken de lokale extremen d) Bereken de buigpunten (x coordinaten) e) Bereken de opp. van het vlakdeel dat boven de x-as ligt. a ) Sni jpunten met de x-as: f x = ~ cos x + Z s i n x= sinx + sin x = 0 sinx - sin x - 1 = 0 sin = ± Vts sin x = 1 + ~ v sin x= 1 - V s in x =,4 geen opl. v sin x = - 0,4 x = 05 0 x = 335 b) f' (x): Stel : f' (x) = 0 - cos x s i n x+ cos x~ o Z cos x (- sin x + 1) = 0 cos x= 0 v s i n.x = 1 cos x = 0 x = 90. x =9po v x = 70 f ~ + o _ o ~0 700 max. min. F st., dal., st. 90 7~

16 16) ~~- ~~ c) Maximum voor x = g0 : f(9~~) = =. Minimum voor x = 70 : f(70 ) = = -. Randextremen voor x = 0 f(0) = 1. Randextremen voor x = 360 f(0) = 1. d) Buigpunten. f ' (x) _- s i n x cos x+ cos x f" (x) = sin x sin x -.cos x cos x - sin x = sinx - sin x- cost x s inx - sin x - cosx = 0 s inx - sin x + sinx - 1 = 0 sinx - sin x - 1 = 0 sinx- sinx+sin x- 1 =0 sin x~ _ - Z sin x = 1. x ~ = 10 x = 9~~ v x~ = 33p o _ o B.P. B.P._ + ~ 360 o g BUIC n n

17 i~ ~~ ~ 17) e) O tot. ~ f(x).dx + ~~ f (x) dx of 0 = ~ f (x). dx tot. -X50 05 (cos x+ s i n x) dx _ ~cos~x sin x) -5 dx 05 _ ~ ~cos,~x + ~ + sin x) dx -5 3,6 1 1 ~ sinx + x - cos x ~ -0,44 4 sin (3,6) - cos 05-4 sin(- 5~)~ + Z -.cos(-5) 0 -~4. 0, ,8 -. (-0,91), - C ~+ (0,766) - 0, -.0,91 = 0, ,8 + 1,81 - C- 0,191-0, - 1,8 (3,811) - (-,31) = 6,04

18 18) Voorbeeld 9~ 1 Gegeven: f(x) = x+4. Bereken de opp. van het vlakdeel ingesloten door f (x) y= 3 y= 1 en de y-as. 1e manier: f(x) = 3 3 = ~ f(x) = 1 1 = X+4 3x+1= 1 x+4= 1 3x = -11 x = -3 x = tot - 3 3=3= 11 0 = 3.7 = ~1 x dx = -3 1 n / x+4~~ _ l"(- 3 = In / -3+4 / - In /~+ 4 / = In 1 - In 3 = 0 - In 3 = 0 - (ln 1 - In 3) = 0 - (0 - In 3) = In 3 tot = n 3 = 8-1n 3

19 ,.,.~ y x f ~"~ - ~-t X+. y = 1 ~. --~ x= y+4. ~ y=x = - (( -~ - 4).dx = - ~ 1n / x / - 4x~ ~ J 1 _ -~(ln 3-1) - (ln 1-4)} _ - ln ~ _ ~ ~ n3-8~ = 8- ln3

20 0) t Voorbeel d _1 D: Gegeven: f (t) = e1 tb ( _ = 10 sec) Gevraagd: 1) Voor Welke t geldt f(t) = 0,8 fmax. a) Bereken fmax. e = e Df= ~t/t>, 0~ f ' ~t) = e-~'~ t - ~. 10 e ~ 1 0 e~ 10 t 10 ~ 0 voor elke t ~ f' (t) < 0 voor elke t f ' (t) < 0 -~ f(t) datend voor elke t f (t) dalend Randmax. treedt op voor t = 0 f (0) = fmax = e~ - ~ = e f (t) = 0,8 f max e1-0,1t _ 0,8 e In e 1-0,1t _ ~n 0,8 e - 0,1t = In 0,8 (1-0,1t) 1 = In 0,8 + In e t = -10 In 0,8 1-0,1t = In 0,8 + 1

21 1) Voorbeeld 11: f(x) = x.e-x +1 a) Snijpunten met de x-as: x = 0 v e-x +1 _ ~ Ov = x = 0 ~ S = (0,0) b) f' (x) - e-x +1 + x. (-x) e-x + 1 = e -x +1 ~ - x + 1~ E) Extremen waarden: Stel : f' (x) = 0 e-x +1 _x + 1) = 0 e-x +1 _ 0 v -x + 1 = 0 - x = -1 _, x - Z x =+ v x= - b a f z ~ +Z f. dal. m;n st. max dal. -Z +Z Minimum voor x = -1r: f(-z~) _ - ~.e = - ~ ~e = -Z e,~ - 1,16 Maximum voor x = z ~: f(z~)= Z V ~.e = Y ~ e 1,16.

22 ) x --~ c~ x + c~ exl I = U ) d) Bereken de opp. van het gearceerde vlak: Z1~ ZV 0 = ~ f (x) dx = f x. e-x Primitieve funktie ~ x e-x +1. dx. dx Stel: g = -x+1 gd = -x - ~ dg x. eg-x _ ~ --Zeg dg dx= d9 -x Z.eg + C _ - e-x+1 + C ~/- ~ Z 0 J,~ _ - ~ + Z e = (e- 1~e)

23 3) x Voorbeeld 1: F (x) = f t ~~ dt a) T.b F(x) = In / x - 1 / b) Ber. F(1), F(0) en F(1) -F(0) x a) F(x) _ ~ t~~ dt 0 x = I ln / t-1 /] 0 = In/x-1 /- In/0-1 / = In / x-1 / b) F(1) = In / 1-1 / = In 0 bestaat niet. F (0) = In / 0-1 / = In + 1: = 0 F(1) - F(0) bestaat niet want F(1) bestaat niet. Voorbeeld 13: f(x) = In xx1 Oplossing: a) X x _~ > 0 Opl.: x, 1 teller noemer breuk Gevraagd: a) Domein _b)-snijpun~en_met de x-a_s c) Extremen en~'de waa'rden van x waarvoor ze optreden d) Grafiek e) Buigpunten. + + o Q o ~ b) Snijpunt x-as: Stel: f(x) = 0: In X_~ = 0 X_~ = 7 x = x - 1 x -x+l =0 D ~ 0 ~ geen snijpunten.

24 4) c ) f' (x) - x-1 x (x-1) -x. x (x-1) Z x-1 =. x x - x - x ( x-1) x - x - x x (x-1) (x-1).x (x-) x (x-1) x- x x-1 x =. f ' Q ~ X= f / ~ del min st. %1 x= M inimum voor x = f() = In 4 ~ = In 4 d) X= ~.

25 5) e) Buigpunten: f' (x) = x- x- x x-1 x- f " (x) = 1. (x-x) - (x-) (x - 1) ~ X - x) -x + 4x - x(x-1) Stel : f"(x) = 0 - x + 4x - = 0-4 ± ~16r-~8 x1 - x ~ ~ = -4 ± ~ - x = + ~ v x = ~ -~Z vervalt (L 1) + Q V 'L Buigpunt voor x = + V Z.

Vergelijkbare documenten

CONTINUTTEIT EN DISCONTINUTTEIT. x --+s a dew t' *a o+~ ~" y,,,~: ~~~y ~' ~ v.;

CONTINUTTEIT EN DISCONTINUTTEIT. We zeggen dat een funktie continu is als we de grafiek kunnen tekenen zonder het potlood van het papier to nemen. E r mogen in de grafiek dus geen gaten of sprongen voorkomen.