Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman"

Transcriptie

1 Uitwerkingen van de opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus Topologie Poincaré dacht na over ruimtelijke objecten, oppervlakken, die worden gevormd door driehoeken aan elkaar te plakken. Hierbij ging het hem niet om de precieze details van hoeken en lengten maar om de globale vorm, de toplogie. Welke oppervlakken lijken op elkaar en welke helemaal niet en hoe bewijs je dat? Om zulke vragen te beantwoorden gebruikte Poincaré het zogenaamde Eulergetal. Het Eulergetal χ (chi) kun je eenvoudig berekenen door het aantal punten V (vertices), het aantal zijden E (edges) en het aantal driehoeken F (faces) te tellen. Het Eulergetal is dan χ = V E + F. 1.1 Opgave bouwplaten Hieronder staan bouwplaten voor vijf oppervlakken. Iedere bouwplaat bestaat uit een aantal driehoeken waarvan de zijden met dezelfde kleur volgens de pijltjes aan elkaar vast moeten zitten. De punten die dezelfde kleur hebben komen ook op elkaar terecht en vormen dus samen één hoekpunt. Bouwplaat b bestaat bijvoorbeeld uit twee losse stukken van twee driehoeken elk die volgens de instructies uiteindelijk allemaal aan elkaar komen te zitten. Uiteindelijk blijven er twee punten en zes zijden (ribben) over. a. Bereken van elk van de vijf oppervlakken het Eulergetal. b. Schets zo goed mogelijk hoe het figuur er uit komt te zien wanneer we de pijltjes daadwerkelijk aan elkaar vast zouden plakken. Hierbij zullen de rechte lijnen en vlakken noodzakelijk vervormd moeten worden. Dat is geen probleem, dat is nu juist topologie! c. Zie je een verband tussen het Eulergetal en de globale vorm van je schetsen? 1

2 Figuur 1: Bouwplaten van oppervlakken. 2

3 Uitwerking Hieronder staat een tabel van globale schetsen van het oppervlak zoals gevraagd in onderdeel b met het correcte Eulergetal χ er onder. De derde kolom komt later aan bod. We hebben de schetsen opzettelijk globaal gehouden en niet getekend waar de driehoeken precies zitten. Dat komt omdat het eigenlijk niet om de driehoeken gaat maar om het oppervlak dat ze samen vormen. Eigenlijk is het al bedenkelijk om een oppervlak in R 3 te willen tekenen. Het gaat namelijk niet om hoe je het ruimtelijk tekent (soms kan dat zelfs niet). Het gaat om de intrinsieke waarde van het oppervlak, het oppervlak als ruimte op zichzelf. Figuur 2: Uitwerking van de opgave. 2 Meetkunde Perelman pakte het probleem van het classificeren van oppervlakken heel anders aan: Hij probeerde ze in een zo regelmatig mogelijke standaardvorm te brengen. De vorm van een oppervlak wor bepaald door iedere lijn een specifieke lengte te geven, dit heet ook wel een (discrete) metriek. In figuur 3 is bij elke bouwplaat uit figuur 1 een metriek gegeven. Voor het gemak hebben we eenvoudige getallen gekozen. Er zijn een hoop metrieken mogelijk, maar welke is nu de mooiste? Welke metriek is het regelmatigste? Om hier een antwoord op te vinden gebruikte Perelman het begrip kromming. De kromming is een getal dat in ieder hoekpunt de meetkundige vorm van het oppervlak beschrijft. De kromming in een punt p (notatie κ p ) wor berekend uit de som van de hoeken rond dat punt. Preciezer gezegd is de kromming gedefinieerd door κ p = 2π hoeksom. 2.1 Opgave kromming Hieronder staan drie bouwplaten voor een stukje van een oppervlak. De hoeken van de driehoeken zijn in radialen weergegeven. a. Geef voor elk van de drie gevallen aan of de kromming positief, negatief of 0 is in het punt p. 3

4 b. Schets ook hoe het oppervlak ruimtelijk uit zou komen te zien als de rode zijden in de bouwplaat aan elkaar zouden plakken. c. Op welke plaatsen op een zwemband denk je dat de kromming positief is? En waar is die juist negatief? Figuur 3: Drie typische mogelijkheden voor de kromming in een punt p. Uitwerking De uitwerking van deel a en b wor gegeven door de volgende figuur uit de syllabus: Figuur 4: Uitwerking van delen a en b. 4

5 De uitwerking van deel c staat in de figuur hieronder (Links). Rechts staat de platte torus die wel overal dezelfde kromming heeft. Figuur 5: Links de kromming op de ronde torus, rode punten hebben negatieve kromming, blauwe punten positieve kromming. Rechts staat de platte torus. 2.2 Opgave totale kromming a. Bereken met behulp van de cosinusregel de kromming in ieder punt van de bouwplaten in figuur 3. Pas op, op de rand van de bouwplaat komen vaak meerdere punten bij elkaar (die hebben dezelfde kleur) bovendien zijn de bouwplaten niet op schaal getekend. Alle hoeken die bij deze punten samenkomen vormen samen de hoeksom voor één enkel punt. b. Waarom verandert de kromming niet wanneer we de lengten van alle zijden met een positief getal vermenigvuldigen (schalen)? c. Bereken steeds ook de totale kromming, de som van de krommingen in alle punten van het oppervlak. d. Zie je een verband met opgave 1.1? 5

6 Figuur 6: De lengte (metriek) van iedere zijde is er bij geschreven. 6

7 Uitwerking a. De kromming in het rode punt van bouwplaat a is π 2. De kromming in de drie andere punten is 7π 6. De kromming in de twee punten van bouwplaat b is 0. De kromming in het rode, blauwe en groene punt van bouwplaat b is 5π 6, die in het linker zwarte punt is 2π 3 en die in het rechter zwarte punt is 0. De kromming in het rode punt van bouwplaat d is π. De kromming in de twee andere punten is 3π 2. De kromming in het rode punt van bouwplaat e is 2π 3 de kromming in het zwarte punt is 2π 3. b. De kromming hangt alleen van de hoeken af en die veranderen niet als we alle lengten met hetzelfde positieve getal vermenigvuldigen. c,d De totale kromming κ tot staat gegeven in de tabel bij de uitwerking van opgave Opgave de optimale metriek De mooist mogelijke vorm, de optimale metriek van een oppervlak is volgens Perelman die metriek waar de kromming overal constant is. Hij bewees dat deze metriek op schalen na uniek is. a. Ga na dat de metriek die de vier zijden in het midden van bouwplaat e (figuur 3) lengte 2 geeft en de rest lengte 2, de constante kromming metriek is. b. Zoek ook voor de andere bouwplaten van de bouwplaten uit de vorige opgave de optimale metriek. Uitwerking De metriek is alleen uniek als we onszelf beperken tot zogenaamde cirkelmetrieken (zie de volgende opgaven). In het algemeen zijn er meerdere optimale metrieken mogelijk. De optimale cirkelmetrieken zijn gegeven in het volgende figuur voorzover ze niet zoals bij bouwplaten a,b,c gewoon alle zijden gelijke lengte geven. 7

8 Figuur 7: De optimale (cirkel)metriek bij de bouwplaten d en e. 3 Differentiaalvergelijkingen Perelman slaagde er in om het Poincarévermoeden op te lossen door iedere ruimte, hoe vreemd ook, in zijn optimale vorm te brengen. Voor ons betekent de optimale vorm de metriek met constante kromming. Perelmans belangrijkste gereedschap was de Ricci-flow, een stelsel differentiaalvergelijkingen voor de metriek. 3.1 Opgave cirkelmetrieken Om de Ricci-flow te beschrijven beperken we ons tot een speciaal soort metrieken: cirkelmetrieken. Aan ieder punt kennen we een positief getal toe: de straal. De lengte van een zijde wor nu bepaald door de som van de stralen van begin- en eindpunt te nemen. (Ook als begin en eindpunt gelijk zijn). a. Welke van de metrieken uit figuur 3 komt van een cirkelmetriek? b. Wat zijn de bijbehorende stralen? Uitwerking a. Alle metrieken in deze figuur (hier figuur 6) komen van een cirkelmetriek. De meeste metrieken zijn echter geen cirkelmetrieken. Geven we bijvoorbeeld de rode zijden in bouwplaat a lengte 2.1, de groene zijde lengte 2.2 en de paarse zijde lengte 1.9 dan hebben we een tegenvoorbeeld gevonden. b. De straal in het rode punt van bouwplaat a is 2 1 en de stralen van de andere punten zijn 1. De straal in de punten van bouwplaat b is 3 2. De straal van alle punten behalve het rechter zwarte punt in bouwplaat c is 1. De straal in dit laatste punt is

9 De straal van het rode punt in bouwplaat d is 2 2 en de stralen van de andere twee punten zijn De straal van beide punten in bouwplaat e is Opgave straal en kromming De Ricci-flow is gebaseerd op de antwoorden op volgende vragen: a. Hoe verandert de kromming in een punt als we de straal in dat punt wijzigen? b. Hoe verandert de kromming in een nabijgelegen punt? Met de cosinusregel kunnen we de kromming in ieder punt altijd expliciet uitdrukken in termen van de stralen (in het onderstaande geval kan het wat eenvoudiger). Om dit te doen voor bouwplaat e in figuur 1 noemen we de punten p en q. Het punt p is het punt midden in de bouwplaat. De vier punten op de hoeken van de bouwplaat worden samengeplakt tot het enkele punt q. Er komen dus acht hoeken samen rond q en vier rond p. c. Schrijf de krommingen κ p (r p, r q ) en κ q (r p, r q ) als functies van de stralen r p en r q. Uitwerking a. Vergroten we de straal in een punt dan zal de kromming in dat punt ook altijd groter worden. Dit volgt uit het feit dat de hoeken verkleinen als de straal vergroot. Zie het plaatje hieronder. Een plaatje is natuurlijk geen bewijs dus met de cosinusregel kunnen we door te differentieeren ook zien dat α r < 0 voor alle hoeken α in het punt p met straal r. Daarom is dus κ p r p > 0. b. We weten dat de hoeksom in iedere driehoek constant is, dus als een hoek afneemt zullen de twee andere hoeken toenemen. Terugvertalen naar kromming geeft voor een punt q naast punt p dat κq r p > 0 c. De krommingen κ p en κ q worden gegeven door: ( 2r 2 q κ p (r p, r q ) = 2π 4 arccos 1 (r p + r q ) 2 ( ) r q κ q (r p, r q ) = 2π 8 arccos (r p + r q ) We weten dat voor alle positieve r p en r q deze twee functies samen 0 zijn, want de totale kromming is 0. Het is een aardige oefening in de gonioformules om dit weer uit de gegeven uitdrukkingen te halen. Gemakkelijker is het om op te merken dat de hoeken in de gelijkbenige driehoeken samen π zijn. ) 9

10 Figuur 8: De hoek in een punt neemt af als de straal daar toeneemt. 3.3 Opgave Ricci-flow Het idee van de Ricci-flow is om met een willekeurige cirkelmetriek te beginnen en die vervolgens stapje voor stapje aan te passen tot de kromming overal constant is. Voor de pauze hebben we gezien dat de totale kromming niet afhangt van de gekozen metriek. Delen we de totale kromming door het aantal punten dan krijgen we de gemiddelde kromming, notatie κ. Het doel is dus om de kromming in ieder punt gelijk aan κ te maken. Om de aanpassingen van de stralen goed bij te houden schrijven we de straal in ieder punt als een functie van de tijd, r p (t). Op basis van de ideeë uit de vorige opgave stelde Perelman de volgende Ricci-flow vergelijkingen voor om de stralen aan te passen. De Ricci-flow is het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen (één vergelijking voor ieder punt p): dr p (t) = r p (t)(κ p (t) κ) a. Laat de tijd in stapjes t gaan en vervang de afgeleide in de bovenstaande formule door het differentiequotient. b. Beredeneer hiermee dat de Ricci-flow in iedere stap de kromming gunstig aanpast. c. Schrijf de twee Ricci-flow vergelijkingen op voor de bouwplaat e uit figuur 1. Wat is κ in dit geval? 10

11 Uitwerking a. Benaderen we de afgeleide met het differentiequotient rp(t+ t) rp(t) t krijgen we: r p (t + t) = r p (t)(1 κ p (t) t) en b. We kunnen deze formule als volgt interpreteren. De straal een tijdje later, r p (t + t) is de straal nu, r p (t) vermenigvuldigd met (1 κ p (t) t). De factor (1 κ p (t) t) reguleert of de nieuwe straal groter of kleiner zal worden. Is κ p (t) positief dan is de kromming te groot en weten we moet r p kleiner worden. Dat klopt want dan is de factor juist kleiner dan 1. Anders is de factor juist groter dan 1. c. Allereerst is κ = 0 want bouwplaat e stelt een torus voor. Gebruikmakend van opgave 3.2c worden de twee Ricci-flow vergelijkingen dus: ( ) dr p (t) 2rq 2 = r p (t)(2π 4 arccos 1 (r p + r q ) 2 ) dr q (t) ( = r q (t)(2π 8 arccos r q (r p + r q ) ) ) 3.4 Opgave convergentie van de Ricci-flow We gaan dieper in op de Ricci-flow in het geval van bouwplaat e in figuur 1. Om het onszelf gemakkelijker te maken schalen we de metrieken zo dat de straal in het punt q steeds gelijk is aan 1. Kies verder een willekeurige beginstraal in het andere punt p. Bijvoorbeeld ook gelijk aan 1. Dus r p (0) = 1. Het doel van deze opgave is om te laten zien dat de oplossing r p (t) van de Ricci-flow vergelijking in het punt p convergeert naar de cirkelmetriek met constante kromming 0. De optimale standaardvorm dus. Volgens opgave 2.3a betekent dat in ons geval dat lim t r p(t) = 2 1 a. Schrijf de Ricci-flow vergelijking voor het punt p op. b. Pas de substitutie r p (t) = e u(t) toe en herschrijf de vergelijking in de vorm du(t) =.... c. Gebruik opgave 3.2a (of de formule) om in te zien dat κ p (r p ) monotoon dalend is in r p. Leg uit waarom κ p (e u(t) ) dus ook dalend is in u(t). d. Vind getallen u 1 en u 2 zo dat κ p (e u1 ) > 0 en κ p (e u2 ) < 0. Leid nu uit deel c af dat κ p (e u ) een uniek nulpunt u 0 heeft. e. Ga na dat de oplossing van de vergelijking uit deel b de eigenschap heeft dat als κ p (e u(t) ) positief is, de u(t) toeneemt en dat u(t) afneemt als κ p (e u(t) ) negatief is. f. Concludeer uit deel e dat de oplossing u(t) convergeert naar het nulpunt u 0 uit deel d. 11

12 g. Concludeer tot slot dat r p (t) = e u(t) daarom convergeert naar e u0 en dat dit inderdaad de straal is zo dat de kromming in p gelijk is aan 0. h. Waarom is de kromming in q dan automatisch ook 0? Uitwerking a. Met behulp van opgave 3.3c vinden we door r q = 1 te stellen: dr p (t) ( ) 2 = r p (t)(2π 4 arccos 1 (r p + 1) 2 ) b. Uit de substitutie volgt dat drp(t) = du(t) r p (t). De factoren r p kunnen links en rechts worden weggestreept en zo vinden we dan du(t) = κ p (e u(t) ) Waarbij κ p (r p ) de kromming in het punt p voorstelt. c. Volgens opgave 3.2a is κp r p > 0 dus is κ p (r p ) monotoon stijgend in r p. De functie e u is ook monotoon stijgend in u dus volgens de kettingregel is ook de samenstelling van deze functies monotoon stijgend in u. Het minteken maakt dat κ p (e u(t) ) juist monotoon dalend is in u(t). d. We kunnen gemakkelijk u 2 = 0 nemen want κ p (e 0 ) = 3π 2 < 0. Voor u 1 is het het gemakkelijkst om een heel klein getal in te vullen want lim u inftyκ p (e u ) = κ p (0) = 2π. Omdat de functie continu is zal de waarde 0 ergens tussen u 1 en u 2 worden aangenomen. Omdat de functie monotoon dalend is, is dit nulpunt uniek. e. Dit is wat de vergelijking letterlijk zegt: De verandering van oplossing u is positief waneer de functie κ p (e u(t) ) dat is. In het bijzonder is de verandering 0 in het unieke punt u 0 waarvoor gel κ p (e u0 ) = 0. f. Is de beginwaarde u(0) van u zo dat κ p (e u ) > 0 dan zal de oplossing van de differentiaalvergelijking u(t) toenemen zolang κ p (e u ) > 0. Omdat κ p (e u ) dalend is in u gel dan lim t u(t) = u 0. Is u(0) > u 0 dan daalt u(t) volgens dezelfde principes richting u 0. g. De e-macht is continu dus, lim t u(t) = u 0 impliceert lim t r p (t) = lim t e u(t) = e u0. Omdat κ p (e u0 ) = 0 weten we uit opgave 3.2a dat ln u 0 = 2 1 inderdaad de unieke cirkelmetriek met constante kromming oplevert. h. De totale kromming is volgens Gauss-Bonnet gelijk aan 0 en omdat er maar twee punten p en q zijn en de kromming in p gelijk is aan 0 moet ook de kromming in q nul zijn. 12

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Opgaven bij het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen Inleiding Deze reeks opgaven is bedoeld voor de werkcolleges van de vakantiecursus Wiskunde in Wording, Augustus 2013. 1

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

1 Het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman

1 Het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman 1 Het vormen van ruimte: van Poincaré tot Perelman Roland van der Veen, Universiteit van Amsterdam Voorwoord In deze bijdrage geven we een kort overzicht van recente ontwikkelingen in het vakgebied van

Nadere informatie

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken

Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Sum of Us 2014: Topologische oppervlakken Inleiding: topologische oppervlakken en origami Een topologisch oppervlak is, ruwweg gesproken, een tweedimensionaal meetkundig object. We zullen in deze tekst

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback

Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 15 september 2014: algemene feedback IJkingstoets 5 september 04 - reeks - p. /0 Ijkingstoets industrieel ingenieur aangeboden door UGent en VUB op 5 september 04: algemene feedback In totaal namen 5 studenten deel aan deze ijkingstoets industrieel

Nadere informatie

12. Uitwerkingen van de opgaven

12. Uitwerkingen van de opgaven 12. Uitwerkingen van de opgaven 12.1. Uitwerkingen opgaven van hoofdstuk 3 Opgave 3.1 3,87 0,152 641, 2 Bereken met behulp van Maxima: 2,13 7,29 78 0,62 45 (%i1) 3.87*0.152*641.2/(2.13*7.29*78*0.62*45);

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Donderdag 25 mei uur Wiskunde B Profi Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Donderdag 25 mei 3.30 6.30 uur 20 00 Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een

Nadere informatie

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax

2010-I. A heeft de coördinaten (4 a, 4a a 2 ). Vraag 1. Toon dit aan. Gelijkstellen: y= 4x x 2 A. y= ax 00-I De parabool met vergelijking y = 4x x en de x-as sluiten een vlakdeel V in. De lijn y = ax (met 0 a < 4) snijdt de parabool in de oorsprong en in punt. Zie de figuur. y= 4x x y= ax heeft de coördinaten

Nadere informatie

Deel 2. Basiskennis wiskunde

Deel 2. Basiskennis wiskunde Deel 2. Basiskennis wiskunde Vraag 26 Definieer de functie f : R R : 7 cos(2 ). Bepaal de afgeleide van de functie f in het punt 2π/2. (A) f 0 ( 2π/2) = π (B) f 0 ( 2π/2) = 2π (C) f 0 ( 2π/2) = 2π (D)

Nadere informatie

Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren

Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren Werkblad Cabri Jr. Vermenigvuldigen van figuren Doel Het onderzoeken van de vermenigvuldigingsafbeelding (homothetie) en het bekijken van de relaties tussen het origineel en het beeld van een meetkundige

Nadere informatie

Functies van één veranderlijke

Functies van één veranderlijke Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek

Afdeling Wiskunde. Onderwijs. Onderzoek Wiskunde nu Afdeling Wiskunde Onderwijs Onderzoek Afdeling Wiskunde In recente jaren aanzienlijk uitgebreid en verjongd Nu ± 25 vaste medewerkers en postdocs, ook aanzienlijk aantal deeltijd hoogleraren

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking Tentamen Calculus, 2DM10, maandag 22 januari 2007 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking Tentamen Calculus, DM, maandag januari 7. (a) Gevraagd is het polynoom f() + f () (x ) + f (x ). Een eenvoudige rekenpartij

Nadere informatie

9.1 Recursieve en directe formules [1]

9.1 Recursieve en directe formules [1] 9.1 Recursieve en directe formules [1] Voorbeeld: 8, 12, 16, 20, 24, is een getallenrij. De getallen in de rij zijn de termen. 8 is de eerste term (startwaarde, u 0 ) 12 is de tweede term (u 1 ) 24 is

Nadere informatie

Opgave 3 - Uitwerking

Opgave 3 - Uitwerking Mathrace 2014 Opgave 3 - Uitwerking Teken de rode hulplijntjes, en noem de lengte van dit lijntje y. Noem verder de lengte van een zijde van de gelijkzijdige driehoek x. Door de hoek van 45 graden in de

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006

Analyse I. 1ste Bachelor Ingenieurswetenschappen Academiejaar 2005-2006 1ste semester 31 januari 2006 1ste semester 31 januari 2006 Analyse I 1. Onderstel dat f : [a, b] R continu is, en dat f(a)f(b) < 0. Toon aan dat f minstens 1 nulpunt heeft gelegen in het interval (a, b). 2. Gegeven is een functie

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

Machten, exponenten en logaritmen

Machten, exponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Machten, eponenten en logaritmen Macht, eponent en grondtal Eponenten en logaritmen hebben alles met machtsverheffen te maken. Een macht als 4 is niets anders dan de herhaalde

Nadere informatie

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig.

Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. 6 Totaalbeeld Samenvatten Je moet nu voor jezelf een overzicht zien te krijgen over het onderwerp Complexe getallen. Een eigen samenvatting maken is nuttig. Begrippenlijst: 21: complex getal reëel deel

Nadere informatie

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i

4 + 3i 4 3i (7 + 24i)(4 3i) 4 + 3i COMPLEXE GETALLEN Invoering van de complexe getallen Definitie Optellen en vermenigvuldigen Delen De complexe getallen zijn al behoorlijk oud; in de zestiende eeuw doken ze op bij het oplossen van algebraïsche

Nadere informatie

Domein A: Inzicht en handelen

Domein A: Inzicht en handelen Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Preambule Domein A is een overkoepeld domein dat altijd in combinatie met de andere domeinen wordt toegepast (of getoetst). In domein A wordt benoemd: Vaktaal: het

Nadere informatie

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde.

Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Tussentoets Analyse 2. Natuur- en sterrenkunde. Dinsdag 9 maart 2010, 9.00-11.00. Het gebruik van een rekenmachine is toegestaan. Motiveer elk antwoord dat je geeft d.m.v. een berekening of redenering.

Nadere informatie

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen:

2 1 e x. Vraag 1. Bereken exact voor welke x geldt: f (x) < 0,01. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: 0-II De functie f( ) e Vraag. Bereken eact voor welke geldt: f () < 0,0. De vergelijking oplossen: e 00

Nadere informatie

Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud

Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud Extra oefeningen hoofdstuk 12: Omtrek - Oppervlakte - Inhoud 1 Een optische illusie? Welk gebied heeft de grootste oppervlakte: het gele of het donkergroene? Doe eerst een schatting en maak daarna de nodige

Nadere informatie

K.1 De substitutiemethode [1]

K.1 De substitutiemethode [1] K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met

Nadere informatie

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A

Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Rekentijger - Groep 7 Tips bij werkboekje A Omtrek en oppervlakte (1) Werkblad 1 Van een rechthoek die mooi in het rooster past zijn lengte en breedte hele getallen. Lengte en breedte zijn samen gelijk

Nadere informatie

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen

Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge. Roland van der Veen Worteltrekken modulo een priemgetal: van klok tot cutting edge Roland van der Veen Modulorekenen Twee getallen a en b zijn gelijk modulo p als ze een veelvoud van p verschillen. Notatie: a = b mod p Bijvoorbeeld:

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid.

16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. 16.1 De Afgeleide Functie [1] Met het differentiequotiënt bereken je de gemiddelde verandering per tijdseenheid. Voorbeeld: f() = Differentiequotiënt van f() op [0, 3] = y f (3) f (0) 6 0 30 30 y 1 16.1

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30

Tentamen WISN101 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov :30 16:30 Tentamen WISN11 Wiskundige Technieken 1 Ma 7 nov 16 13:3 16:3 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt Goed begrepen en goed uitgevoerd met voldoende toelichting, eventueel enkele onbelangrijke

Nadere informatie

6 - Geschiedenis van het getal Pi

6 - Geschiedenis van het getal Pi 6 - Geschiedenis van het getal Pi De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: F1 - Lees de hoofdstukken 1 t/m 4 en 9 uit het Zebra-boekje Pi. Maak uit de hoofdstukken 2 t/m 4

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr.

Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor. Opgedragen aan Th. J. Dekker. H. W. Lenstra, Jr. Numerieke aspecten van de vergelijking van Cantor Opgedragen aan Th. J. Dekker H. W. Lenstra, Jr. Uit de lineaire algebra is bekend dat het aantal oplossingen van een systeem lineaire vergelijkingen gelijk

Nadere informatie

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine

WISKUNDE 5 PERIODEN. DATUM : 4 juni 2010. Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine EUROPEES BACCALAUREAAT 2010 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 4 juni 2010 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (240 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische

Nadere informatie

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 16 mei uur

Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak 1 Woensdag 16 mei uur Wiskunde B Profi (oude stijl) Eamen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 6 mei 3.30 6.30 uur 20 0 Voor dit eamen zijn maimaal 9 punten te behalen; het eamen bestaat uit 7 vragen.

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1

Kettingbreuken. 20 april 2010 1 K + 1 E + 1 T + 1 T + 1 I + 1 N + 1 G + 1 B + 1 R + 1 E + 1 U + 1 K + E + 1 N 1 2 + 1 0 + 1 A + 1 P + 1 R + 1 I + 1 Kettingbreuken Frédéric Guffens 0 april 00 K + E + T + T + I + N + G + B + R + E + U + K + E + N 0 + A + P + R + I + L + 0 + + 0 Wat zijn Kettingbreuken? Een kettingbreuk is een wiskundige uitdrukking

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1},

(iii) intervallen, bijvoorbeeld afgesloten intervallen zoals D = [0, 1] := {x en halfopen intervallen zoals D = (0, 1] := {x R 0 < x 1}, Hoofdstuk II Calculus Les Differentiatie van functies Waarscijnlijk eeft iedereen wel een idee ervan wat een functie is, maar voor de duidelijkeid zal et andig zijn om de meest belangrijke begrippen na

Nadere informatie

Combinatoriek groep 2

Combinatoriek groep 2 Combinatoriek groep 2 Recursie Trainingsdag 3, 2 april 2009 Homogene lineaire recurrente betrekkingen We kunnen een rij getallen a 0, a 1, a 2,... op twee manieren definiëren: direct of recursief. Een

Nadere informatie

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende.

Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Cabri-werkblad Rond het zwaartepunt van een driehoek Een bekende eigenschap van de middens van de zijden van een driehoek is de volgende. Stelling De verbindingslijn van de middens van twee zijden van

Nadere informatie

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo

Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Tussendoelen wiskunde onderbouw vo vmbo Domein A: Inzicht en handelen Subdomein A1: Vaktaal wiskunde 1. vmbo passende vaktaal voor wiskunde herkennen en gebruiken voor het ordenen van het eigen denken

Nadere informatie

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt

Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt Bijlage bij Inversie Appendix Inversie bekeken vanuit een complex standpunt In dee paragraaf gaan we op een andere manier kijken naar inversie. We doen dat met behulp van de complexe getallen. We veronderstellen

Nadere informatie

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme

Speciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 14 mei uur

Examen HAVO. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 14 mei uur Examen HAVO 014 tijdvak 1 woensdag 14 mei 1.0-1.0 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 19 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1.

1. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + 1) = 1. Tentamen-wiskunde?. De basiswiskunde. Een van mijn collega s, liet een mooi verhaal zien: De opgave was: Los op ln(x + 2) ln(x + ) =. Oplossing : ln(x + 2) = + ln(x + ) x + 2 = ln + x + 3 = ln dus x =

Nadere informatie

Cabri werkblad. Meetkundige plaatsen

Cabri werkblad. Meetkundige plaatsen Cabri werkblad Meetkundige plaatsen 1. Wat is een meetkundige plaats? We geven direct maar een Definitie Een meetkundige figuur heet meetkundige plaats van punten met een bepaalde eigenschap indien: 1.

Nadere informatie

Analytische Meetkunde

Analytische Meetkunde Analytische Meetkunde Meetkunde met Geogebra en vergelijkingen van lijnen 2 Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 4 Meetkunde met Geogebra... 6 Stelling van Thales...... 7 3 Achtergrondinformatie Auteurs

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

More points, lines, and planes

More points, lines, and planes More points, lines, and planes Make your own pictures! 1. Lengtes en hoeken In het vorige college hebben we het inwendig product (inproduct) gedefinieerd. Aan de hand daarvan hebben we ook de norm (lengte)

Nadere informatie

3.1 Soorten hoeken [1]

3.1 Soorten hoeken [1] 3.1 Soorten hoeken [1] Let op: Een lijn heeft geen eindpunt; Een halve lijn heeft één eindpunt Een lijnstuk heeft twee eindpunten; Het plaatje is een bovenaanzicht; De persoon kan het gedeelte binnen de

Nadere informatie

Complexe e-macht en complexe polynomen

Complexe e-macht en complexe polynomen Aanvulling Complexe e-macht en complexe polynomen Dit stuk is een uitbreiding van Appendix I, Complex Numbers De complexe e-macht wordt ingevoerd en het onderwerp polynomen wordt in samenhang met nulpunten

Nadere informatie

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I

Eindexamen vwo wiskunde B 2013-I Formules Vlakke meetkunde Verwijzingen naar definities en stellingen die bij een bewijs mogen worden gebruikt zonder nadere toelichting. Hoeken, lijnen en afstanden: gestrekte hoek, rechte hoek, overstaande

Nadere informatie

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010

Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Complexe Analyse - Bespreking Examen Juni 2010 Hier volgt een bespreking van het examen van Complexe Analyse op 18 juni. De bedoeling is je de mogelijkheid te geven na te kijken wat je goed en wat je minder

Nadere informatie

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde

1 Junior Wiskunde Olympiade : tweede ronde 1 Junior Wiskunde Olympiade 005-006: tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het oplossen van sommige vragen 1,1 1,71 5,61 π,116 1 ls a a 17 a m = a 006, met a R + \{0, 1}, dan is m gelijk

Nadere informatie

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014

Wiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 2 januari 2014 Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen januari 4 Normering voor 4 pt vragen (andere vragen naar rato): 4pt 3pt pt pt pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met of onbelangrijke rekenfoutjes

Nadere informatie

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules

Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 2: Grafieken en formules Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

Primitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen)

Primitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen) Primitiveren WISNET-HBO update april 2006 Inleiding Soms moet je juist de functie bepalen waarvan de afgeleide bekend is. Dit omgekeerd differentiëren (de primitieve bepalen) heet in het Engels de antiderivative.

Nadere informatie

Open priemproblemen. Jan van de Craats

Open priemproblemen. Jan van de Craats Open priemproblemen Jan van de Craats Misschien denk je dat over priemgetallen, de bouwstenen van het rekenen, wel zo ongeveer alles bekend is. Dat er op dat terrein geen onopgeloste vraagstukken meer

Nadere informatie

1 Coördinaten in het vlak

1 Coördinaten in het vlak Coördinaten in het vlak Verkennen Meetkunde Coördinaten in het vlak Inleiding Verkennen Beantwoord de vragen bij Verkennen. (Als je er niet uitkomt, ga je gewoon naar de Uitleg, maar bekijk het probleem

Nadere informatie

Practicum hoogtemeting 3 e klas havo/vwo

Practicum hoogtemeting 3 e klas havo/vwo Deel (benaderbaar object) Om de hoogte van een bepaald object te berekenen hebben we geleerd dat je dat kunt doen als je in staat bent om een rechthoekige driehoek te bedenken waarvan je één zijde kunt

Nadere informatie

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 1 Voorwoord Satellieten zijn er in vele soorten en maten. Zo heb je bijvoorbeeld

Nadere informatie

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv

Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Lijnen van betekenis meetkunde in 2hv Docentenhandleiding bij de DWO-module Lijnen van betekenis Deze handleiding bevat tips voor de docent bij het gebruiken van de module Lijnen van betekenis, een module

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 donderdag 23 juni 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VW 016 tijdvak donderdag 3 juni 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 81 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B. tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 2010 tijdvak 1 dinsdag 25 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 18 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien:

Gaap, ja, nog een keer. In één variabele hebben we deze formule nu al een paar keer gezien: Van de opgaven met een letter en dus zonder nummer staat het antwoord achterin. De vragen met een nummer behoren tot het huiswerk. Spieken achterin helpt je niets in het beter snappen... 1 Stelling van

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen

Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Nu een leuk stukje wiskunde ter vermaak (hoop ik dan maar). Optellen van oneindig veel getallen Ter inleiding: tellen Turven, maar: onhandig bij grote aantallen. Romeinse cijfers: speciale symbolen voor

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

Ricci-stroming in 2D

Ricci-stroming in 2D 1 212 NAW 5/12 nr. 3 september 2011 Ricci-stroming in 2D Eef van Dongen, Jill Vervoort, Walter D. van Suijlekom Eef van Dongen Pastoor Jeukenstraat 6 5966 NM America eefvandongen@gmail.com Jill Vervoort

Nadere informatie

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra

Dossier 4 VECTOREN. Dr. Luc Gheysens. bouwstenen van de lineaire algebra Dossier 4 VECTOREN bouwstenen van de lineaire algebra Dr. Luc Gheysens 1 Coördinaat van een vector In het vlak π 0 is het punt O de oorsprong en de punten E 1 en E 2 zijn zodanig gekozen dat OE 1 OE 2

Nadere informatie

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (526) op dinsdag 26 augustus 28, 9. 2. uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen

Tentamen Wiskunde B. Het gebruik van een mobiele telefoon of andere telecommunicatieapparatuur tijdens het tentamen CENTRALE COMMISSIE VOORTENTAMEN WISKUNDE Tentamen Wiskunde B Datum: 6 januari 04 Tijd: 4.00-7.00 uur Aantal opgaven: 5 Zet uw naam op alle in te leveren blaadjes. Laat bij elke opgave door middel van een

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1989-1990: Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 989-990: Tweede Ronde Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw is een officiële foreign coordinator voor de welbekende AHSME-competitie (American High School Mathematics Examination -

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I

Compex wiskunde A1-2 vwo 2005-I Zalm Wanneer van een vissoort te veel gevangen wordt, kan de populatie zich niet herstellen en valt er op den duur niets meer te vangen. Visserijbiologen streven dan ook naar een evenwichtssituatie waarbij

Nadere informatie

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006

Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Studiewijzer Wiskunde 1 voor B(2DB00, 2DB30), cursus 2005/2006 Inleiding In de cursus Wiskunde 1 voor B (2DB00) wordt gebruikt het boek Calculus, Robert T. Smith, Roland B. Minton, second edition, Mc Graw

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTAFETTE KUN 2003 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 1 (20 punten) Gekleurde sokken Op de planeet Swift B6 wonen de Houyhnhnms. Ze lijken sprekend op paarden;

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 6 Etra oefening - Basis B-a 0 y 9 8 8 9 b y = + y 8 0 6 8 0 6 O 8 c Zie de tekening hierboven. De symmetrieas is de y-as. d De coördinaten van de top zijn (0, ). B-a r = ( s+ )( s + ) e h= ( + i)( i +

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500

WISKUNDE-ESTAFETTE Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 500 WISKUNDE-ESTFETTE 2014 60 Minuten voor 20 opgaven. Het totaal aantal te behalen punten is 00 1 (20 punten) Gegeven zijn drie aan elkaar rakende cirkels met straal 1. Hoe groot is de (donkergrijze) oppervlakte

Nadere informatie

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren.

Differentiaalrekening. Elementaire techniek van het differentieren. Differentiaalrekening Elementaire techniek van het differentieren. Saxion Hogescholen Oktober 2008 Differentiaalrekening Een van de belangrijkste technieken in de wiskunde is differentiaalrekening. Deze

Nadere informatie

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl )

Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) Tussendoelen Rekenen en wiskunde Rekenen en wiskunde ( bb kb gl/tl ) vmbo = Basis Inzicht en handelen Vaktaal wiskunde Vaktaal wiskunde gebruiken voor het ordenen van het eigen denken en voor uitleg aan

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren

Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren Hoofdstuk 7 : Gelijkvormige figuren 141 Eventjes herhalen : Wat is een homothetie? h (o,k) : Een homothetie met centrum o en factor k Het beeld van een punt Z door de homothetie met centrum O en factor

Nadere informatie

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want

RECHTEN. 1. Vul in met of. co(a) = (-2,3) a y = -2x + 1 A a want 3-2.(-2)+3 co(a) = (4,1) a 3x -5y -2 = 0 A a want ANALYTISCHE MEETKUNDE: HERHALING DERDE JAAR OEFENINGEN Lees eerst de formules op het andere blad, en los vervolgens de oefeningen van het bijbehorende deel op. Wanneer je alles hebt opgelost, maak je de

Nadere informatie

De wiskunde van de beeldherkenning

De wiskunde van de beeldherkenning De wiskunde van de beeldherkenning Op zoek naar wat er niet verandert! In het kader van: (Bij) de Faculteit Wiskunde en Informatica van de TU/e op bezoek c Faculteit Wiskunde en Informatica, TU/e Inhoudsopgave

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen)

Examen havo wiskunde B 2016-I (oefenexamen) Examen havo wiskunde B 06-I (oefenexamen) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt (, ) p Stel een vergelijking op van c. De punten B(, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) C liggen

Nadere informatie