Bepaalde Integraal (Training) Wat reken je uit als je een functie integreert

Transcriptie

1 Bepaalde Integraal (Training) WISNET-HBO update april 2009 Wat reken je uit als je een functie integreert De betekenis van de integraal is een optelling van uiterst kleine onderdelen. In dit voorbeeld is het de optelling van de oppervlaktes van heel veel smalle strookjes met breedte dx en waarvan de hoogte steeds de functiewaarde is. Het integraalteken is eigenlijk een vervormde S die staat voor sommatie. De grenzen van de integraal bepalen het begin en eindpunt van de te nemen sommatie. Merk op dat de functiewaarden ook wel eens negatief zijn en dat je dan in feite een

2 negatieve bijdrage berekent van de sommatie. script van de figuur De bepaalde integraal Zoals in de les van de primitieve uiteengezet is, is de onbepaalde integraal Hierin is. Afleiding De primitieve bepalen betekent in feite de functie bepalen waarvoor geldt dat Anders geschreven: Links en rechts maal dx: df = f dx De betekenis van df is een klein stukje toename van F. De betekenis van f dx betekent de functiewaarde f maal een kleine toename van x. Nu links en rechts integreren (alle kleine stukjes optellen) waarbij alle kleine toenamen df tesamen F oplevert. Je kunt je voorstellen dat als je de functie F gevonden hebt, dat ook waarbij C een constante is. Immers de afgeleide van een constante is gelijk aan 0. voldoet, Bij de bepaalde integraal worden er delen van oppervlakken onder de grafiek van f opgeteld.

3 Ga na dat als je onder de grafiek de oppervlakte moet uitrekenen van tot, dat je dan ook net zo goed de oppervlakte van q tot b kunt nemen en daarvan aftrekken de oppervlakte onder de grafiek van q tot a. = voorbeeld script van de figuur

4 Bereken de primitieve van de functie. Bereken vervolgens. De berekening van de oppervlakte tussen grafiek en horizontale as In het volgende voorbeeld wordt de oppervlakte bepaald tussen de grafiek van de functie f en de x-as. We moeten hierbij rekening houden dat de functiewaarden ook wel eens negatief kunnen zijn De negatieve bijdragen van de oppervlakte moeten weer positief gemaakt worden om de

5 échte oppervlakte te berekenen. Het duidelijkst is om de oppervlakte in etappes te berekenen. Het blauwe gedeelte van tot is een positieve bijdrage en het grijze gedeelte van tot zal een negatieve bijdrage leveren omdat de functiewaarde daar negatief is. Berekening van de oppervlakte in gedeelten

6 Berekening van de nulpunten om te weten wat de grenzen van de integraal moeten zijn. script van de figuur 0 3 4

7 Berekening van de oppervlakte in één keer Handiger is als je over het hele integratietraject van a tot c de absolute waarde van de functie neemt. Alle functiewaarden worden dan in feite positief gemaakt en je krijgt de echte oppervlakte in een keer met: In feite wordt de grafiek van de functie dan als volgt waarbij alle negatieve waarden positief gemaakt worden. Inderdaad is met het integreren van deze functie in één keer de ware oppervlakte te bepalen.

8 Oppervlakte tussen twee grafieken Bij het berkenen van de oppervlakte tussen twee grafieken hou je in het achterhoofd weer de optelling van de strookjes in gedachten. Zie de figuur hieronder waar het grijsgekleurde oppervlak bepaald wordt.. Wat je nodig hebt is de functievoorschriften van de functie g en de functie g. Verder heb je ook het snijpunt nodig van de twee grafieken van deze functies. Neem in gedachten de optelsom van de staafjes onder de grafiek van de functie g. De staafjes hebben hoogte g en breedte dx waarbij x loopt van 0 tot a (het snijpunt). Vervolgens neem je de staafjes onder de grafiek van functie g. Deze staafjes hebben hoogte g en breedte dx waarbij x loopt van a tot.

9 Het berekenen van het snijpunt A Het snijpunt van de twee grafieken is het punt A waarvoor de x-waarde gelijk is aan het getal a.

10 Schript van de figuur van de oppervlakte

11 Berekening van de oppervlakte Bedenk weer dat het een optelling van allemaal verticale strookjes kan zijn en doe het in twee gedeelten. Eerst het stuk onder de grafiek van g waarbij x loopt van 0 tot a. Vervolgens het stuk onder de grafiek van f waarbij x loopt van a tot oneindig. Training oppervlaktebepaling Aanwijzing bij de volgende oefeningen: Denk steeds aan de verticale staafjes ter hoogte f en ter breedte dx om de optelling te doen. oefening 1 Stel de integraal op van de oppervlakte van de gearceerde figuur waarbij de randen gevormd worden door de cosinus en de sinusfunctie.

12 Bereken daarna het antwoord. antwoord berekening oefening 2 Stel de integraal op van de oppervlakte van de gearceerde figuur waarbij de randen gevormd worden door de cosinus en de sinusfunctie. Bereken daarna het antwoord. antwoord

13 berekening oefening 3 Stel de integraal op van de oppervlakte van de gearceerde figuur waarbij de randen gevormd worden door de cosinus en de sinusfunctie. antwoord berekening oefening 4 Stel de integraal op van de oppervlakte van het lichtgrijze gebied tussen de functies van de sinus en de cosinus. Bereken vervolgens de integraal. antwoord berekening

14 Figuren