Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8. M. van der Pijl. Transfer Database"

Transcriptie

1 Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 M. van der Pijl Transfer Database

2 ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs. Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: of via onze klantenservice (088) ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 0. Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 6 Auteurswet j o het Besluit van augustus 985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 060, 0 KB Hoofddorp ( Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 6 Auteurswet 9) dient men zich tot de uitgever te wenden. Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs zie De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

3 Rekenen met goniometrische eenheden. De eenheidscirkel. Het verband tussen sinus, cosinus en tangens 4. Radialen 9.4 Het decimale hoekstelsel 6 Grafieken van goniometrische verbanden 6. Het tekenen van de grafiek van de sinus, de cosinus en de tangens 6. Grafieken met radialen 9 Formules opstellen bij goniometrische grafieken 54. Formules opstellen van goniometrische functies 54 4 Sinusregel en cosinusregel 6 4. Sinusregel 6 4. Cosinusregel 67

4

5 Rekenen met goniometrische eenheden De eenheidscirkel In figuur is een rechthoekige driehoek getekend die een schuine zijde heeft met een lengte. Deze driehoek noemen we de eenheidsdriehoek. C SZ = OR A α AR B Figuur OR = overstaande rechthoekzijde AR = aanliggende rechthoekzijde SZ = schuine zijde In deze eenheidsdriehoek geldt: OR OR AR AR sinα = = = OR en cosα = = = AR SZ SZ In figuur a beweegt de lijn met de pijl zich tegen de wijzers van de klok in omhoog tot hij een hoek van 90 maakt met het horizontale vlak. In figuur b is te zien dat de lijn met de pijl te beschouwen is als de straal van een cirkelsector waarvan de middelpuntshoek achtereenvolgens 5, 0, 45, 60, 75 en 90 is. De lengte van de straal is.

6 Rekenen met goniometrische eenheden -as,0 90o 75 o 60 o,0 90o 75 o 60 o 0,8 45 o 0,8 45 o 0,6 0 o 0,6 0 o 0,4 0,4 0, 5 o sin 5 o 0, r = 5 o o 0 0, 0,4 0,6 0,8,0 0 0, 0,4 0,6 0 o -as 0,8,0 cos 5 o Figuur a Figuur b Vanuit het punt op de cirkelomtrek waar de middelpuntshoek 5 is, is een hoogtelijn getekend. Hierdoor ontstaat een rechthoekige driehoek. Zie figuur b. Hier geldt: OR OR sinα = = = = r Met een eenheidsdriehoek kunnen we dus de sinus van een hoek aflezen op de verticale as. Vb. We willen de sinus van 5 bepalen met een eenheidsdriehoek. Gegeven: eenheidsdriehoek met α = 5. Gevraagd: sin5. Oplossing: we lezen af: sin 5 = 0, 6. Controle met de rekenmachine: sin 5 = 0, 59. Zo kan de cosinus worden afgelezen op de horizontale as, omdat geldt: AR AR cosα = = = = r We willen de cosinus van 5 bepalen met een eenheidsdriehoek. Gegeven Eenheidsdriehoek met α = 5. Gevraagd cos5 Oplossing We lezen af: cos 5 = 0, 97. Controle met de rekenmachine: cos 5 = 0, 966.

7 Rekenen met goniometrische eenheden Oefeningen Bepaal met behulp van figuur b de onderstaande waarden: a sin0 = b sin0 = c sin 45 = d sin60 = e sin90 = f cos0 = g cos0 = h cos 45 = i cos60 = j cos90 =

8 4 Rekenen met goniometrische eenheden Het verband tussen sinus, cosinus en tangens Uit oefening kunnen we twee regels afleiden, namelijk: sin α = cos( 90 α) en cosα = sin( 90 α) Oefeningen Bereken de volgende hoeken: a sin 0 = cos... b sin 0 = cos... c sin 45 = cos... d sin 60 = cos... e sin 90 = cos... Bereken α : a cos( 90 α) = 0, 906 b sin( 90 α) = 0, 588 c cos( 90 α) = 0, 59 d sin( 90 α) = 0, 7

9 Rekenen met goniometrische eenheden 5 e cos( 90 α) = 0, 966 In figuur is de cirkelsector uit figuur aangevuld tot een hele cirkel met r =. Deze cirkel noemen we de eenheidscirkel. Het middelpunt is het punt ( 0, 0) ; de omtrek is π. Deze eenheidscirkel is verdeeld in vier kwadranten: I van 0 tot 90 ; II van 90 tot 80 ; III van 80 tot 70 ; IV van 70 tot o 05 o 90 o,0 75 o 60 o 5 o 0,8 45 o 65 o 50 o II 0,6 0,4 0, I 0 o 5 o 80 o 0 o / 60 o -,0-0,8-0,6-0,4-0, 0, 0,4 0,6 0,8,0 95 o 0 o III -0, -0,4-0,6 IV 0 o 45 o 5 o -0,8 5 o 40 o 55 o -,0 70 o 85 o 00 o Figuur De sinus van een hoek wordt net als bij oefening steeds afgelezen op de verticale as. De cosinus op de horizontale as. Als de draairichting tegen de wijzers van de klok in gaat, zijn de hoeken positief. Met de wijzers van de klok mee, noemen we de hoeken negatief. Dus: + 00 = 60.

10 6 Rekenen met goniometrische eenheden Oefeningen 4 Maak de juiste rondjes zwart. Kwadrant Kwadrant Kwadrant Kwadrant 4 Sinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief Cosinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief Tabel 5 Bepaal met behulp van figuur : a sin40 b sin( 0 ) c sin50 d sin0 e sin75 f sin60 g cos40

11 Rekenen met goniometrische eenheden 7 h cos( 0 ) i cos 70 j cos 0 k cos 0 l cos 45 6 In welk kwadrant liggen de hoeken van: a sin40 b sin( 0 ) c sin50 d sin0 e sin75 f sin60

12 8 Rekenen met goniometrische eenheden g cos40 h cos( 0 ) i cos 70 j cos 0 k cos 0 l cos 45 Tussen sinus, cosinus en tangens bestaat een verband. Dit verband drukken we uit in de volgende formule: sin α tan α = cosα Oefeningen 7 Maak de tabel compleet voor de tangens. kwadrant kwadrant kwadrant kwadrant 4 Sinus positief positief negatief negatief Cosinus positief negatief negatief positief Tangens Tabel

13 Rekenen met goniometrische eenheden 9 Radialen In de techniek drukken we de grootte van een hoek vaak uit in radialen in plaats van in graden. De eenheid radiaal korten we meestal af tot rad. We gaan nu het verband tussen hoeken en radialen bekijken. De grootte van een middelpuntshoek α is radiaal als de bijbehorende booglengte even groot is als de straal. Zie figuur 4. B M r α = rad r boog AB = r A Figuur 4 De lengte van de cirkelboog AB kunnen we berekenen met de formule: α AB = π r 60 Daarbij moeten we α in graden uitdrukken! Als we α in radialen uitdrukken, geldt: α = rad als boog AB = r ; α = rad als boog AB = r ; α = rad als boog AB = r ; α = π rad als boog AB = π r. Voor α in radialen geldt blijkbaar voor de lengte van de cirkelboog AB de volgende formule: AB = α r Vb. We willen de booglengte AB berekenen van een cirkelsector met een straal van m en een middelpuntshoek van 0, 5rad. Gegeven r = m en α = 0, 5rad Gevraagd AB Oplossing AB = α r AB = 0, 5rad m = 0, 5m

14 0 Rekenen met goniometrische eenheden Oefeningen 8 Hoe groot is de booglengte AB als r = m en: a α = rad b α = rad c α = rad d α = π rad We hebben gezien dat de grootte van de middelpuntshoek in de eenheidscirkel π rad is als de booglengte gelijk is aan π. Deze booglengte komt overeen met de omtrek van de hele eenheidscirkel, want: omtrek = π r = π = π De middelpuntshoek van een volledige cirkel is echter ook 60. Hieruit volgt dus dat 60 overeenkomt met π rad, ofwel dat 80 overeenkomt met π rad. Dit noteren we als volgt: 60 π rad, ofwel 80 π rad. Nu we het verband tussen graden en radialen weten, kunnen we ze eenvoudig in elkaar omrekenen: π 80 π rad rad 80 π Dus door het aantal graden te vermenigvuldigen met, krijgen we het aantal radialen π rad = 80 rad =. π Door het aantal radialen te vermenigvuldigen met graden. 80 π, krijgen we de hoek in

15 Rekenen met goniometrische eenheden Vb. We willen een hoek van, 5rad omrekenen in graden en een hoek van in radialen. Gegeven a. α =, 5rad b. β = Gevraagd a. α in graden b. β in radialen Oplossing 80 a. α =, 5rad α, 5 = 85, 9 π π b. β = β = 0, 56rad 80 9 Reken de volgende hoeken om van graden naar radialen: a 48 b 4 c 70 d 90 e 5 f 0

16 Rekenen met goniometrische eenheden 0 Reken de volgende hoeken om van radialen naar graden: a α = 0, 78 rad b α = 0, 5rad c α = 0, 5π rad d α = 0, π rad e α = 5rad f α = 4, 4rad Als we met onze rekenmachine de sinus, cosinus of tangens van een hoek willen berekenen, moeten we eerst controleren of onze rekenmachine op de juiste eenheid ingesteld staat. Als we moeten rekenen met graden, moet de rekenmachine ingesteld staan op (DEG). Werken we in radialen, dan zetten we de rekenmachine op RAD. Met de rekenmachines van CASIO werkt dit als volgt: Onze rekenmachine staat normaal op graden (DEG). We stellen onze machine in op radialen met mode mode []. We kunnen hem altijd opnieuw op graden instellen met mode mode []. Werken we met een rekenmachine van TI, dan stellen we onze machine in op radialen met: DRG, kiezen vervolgens met de cursortoets voor RAD en eindigen met =. We kunnen hem opnieuw op graden instellen door: DRG, kiezen voor DEG en eindigen met =.

17 Rekenen met goniometrische eenheden Oefeningen Bereken in decimalen nauwkeurig: a sin, 4 b sin 4 π c cos 8 d cos8 e tan 0, 5π f tan, 05 g sin5 h sin 45 i cos 5, 67 j cos, 5π

18 4 Rekenen met goniometrische eenheden k tan60 l tan50 Vb. 4 Gegeven a. sin α = 0, 56 b. cos α = 0, 4 c. tan α =, 45 Gevraagd a. Bereken α in radialen. b. Bereken α in radialen. c. Bereken α in radialen. Oplossing,0 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 -,0 π 6 π π π 5π 6 π 7π 6 4π π 5π π 6 π Figuur 5

19 Rekenen met goniometrische eenheden 5,0 0,8 0,6 0,4 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 -,0 π 6 π π π 5π 6 π 7π 6 4π π 5π π 6 π Figuur 6 a. sin α = 0, 56, α = 0, 6 rad of α = π 0, 6 =, 78 rad. Zie figuur 5. b. cos α = 0, 4, α =, rad of α = π, = 5, 06 rad. Zie figuur 6. c. tan α =, 45, α =, 7rad Oefeningen Bereken α in radialen. a sin α = 0, 85 b sin α = 0, 5 c sin α = 0, 866 d sin α = 0, 5 e cos α = 0, 4 f cos α = 0, 866

20 6 Rekenen met goniometrische eenheden g cos α = 0, 04 h cos α = 0, 5 i tan α =, 8 j tan α =, 8 k tanα = 4 Het decimale hoekstelsel Bij het landmeten gebruiken we meestal nog een andere hoekmaat. Het hoekstelsel met een rechte hoek van 90 blijkt niet handig in de praktijk. Daarom is in de landmeetkunde het decimale hoekstelsel ingevoerd met als eenheid de gon. In het decimale hoekstelsel is een rechte hoek niet 90 graden, maar 00gon. De middelpuntshoek van een cirkel is daarom geen 60 graden, maar 400 gon. Dus: 90 00gon waaruit volgt dat: gon α Bij het omrekenen van graden naar gon gebruiken we de formule: 400gon Door het aantal graden te vermenigvuldigen met, krijgen we de hoek in gon. 60 α Bij het omrekenen van gon naar graden draaien we de zaak om: gon 60 Door het aantal gon te vermenigvuldigen met krijgen we de hoek in graden. 400 Zoals we geleerd hebben, moeten we de rekenmachine instellen op DEG als we de sinus of cosinus van een hoek in graden willen berekenen. Als de hoeken in radialen zijn gegeven, stellen we de rekenmachine in op RAD. Op de meeste wetenschappelijke rekenmachines vinden we behalve deze twee insteltoetsen nog een derde toets: de GRA-toets bij CASIO-machines of de GRD-toets bij TI-rekenmachines. Deze instelling hebben we nodig als we de sinus, cosinus of tangens van een hoek in gon willen berekenen.

21 Rekenen met goniometrische eenheden 7 Met de rekenmachines van CASIO werkt dit als volgt: Onze rekenmachine staat normaal op graden (DEG). We stellen onze machine in op gon met mode mode [ ]. We kunnen hem altijd opnieuw op graden instellen met mode mode [ ]. Werken we met een rekenmachine van TI, dan stellen we onze machine in op gon met: DRG, kiezen voor GRD en bevestigen met =. We kunnen opnieuw op graden instellen met: DRG, kiezen voor DEG en bevestigen met =. In het volgende overzicht staat aangegeven hoe we in de verschillende hoekstelsels de sinus van een rechte hoek berekenen: Hoek: Bereken: Rekenmachine op: Intoetsen: Uitkomst: 90 sin90 DEG sin [90] 00 gon sin00 GRA of GRD sin[00] π rad sin π RAD sin ([0,5] [ ]) Tabel Tip: als de rekenmachine geen GRA of GRD-toets heeft, zoals de grafische rekenmachine TI-8/84, rekenen we de hoeken in gon eerst om naar graden. Vervolgens bepalen we daarvan de sinus, cosinus of tangens. Vb. 5 We willen een hoek α van 60 omrekenen in gon. Gegeven α = 60 Gevraagd α in gon Oplossing 400 α = 60 α 60 = 66, 7gon 60

22 8 Rekenen met goniometrische eenheden Oefeningen Reken om van graden naar gon : a 80 = b 0 = c 5 = d 75 = e 75 = f 45 = Vb. 6 We willen een hoek α van 60gon omrekenen in graden. Gegeven α = 60gon Gevraagd α in graden. Oplossing 60gon 60 gon 60 = gon

23 Rekenen met goniometrische eenheden 9 4 Reken om van gon naar graden: a 80gon = b 65gon = c 40gon = d 50gon = e 00gon = f 80gon = 5 Bereken: a sin0 b cos5 c tan75 d sin60 gon e cos40 gon

24 0 Rekenen met goniometrische eenheden f tan0gon g sin 0, π h cos π i tan Vb. 7 Gegeven We willen de hoek α in gon berekenen als: a. sin α = 0, 56 b. cosα = 0, 4 c. tan α =, 45 Gevraagd a. α in gon b. α in gon c. α in gon Oplossing a. sin α = 0, 56 α =, gon of α = 00gon, gon = 76, 8gon (in plaats van 80 α ) b. cos α = 0, 4 α = 77, 8gon of α = 400gon 77, 8gon =, gon (in plaats van 60 α ) c. tan α =, 45 α = 74, gon Oefeningen 6 Bereken α in gon : a sin α = 0, 564 b cos α = 0, 7

25 Rekenen met goniometrische eenheden c tan α = 0, 45 d sin α = 0, 75 e cos α = 0, 89 f tan α = 0, 57

26 Rekenen met goniometrische eenheden Antwoorden a 0 b 0, 5 c 0, 7 d 0, 87 e f g 0, 87 h 0, 7 i 0, 5 j 0 a 90 b 60 c 45 d 0 e 0 a α = 7, b α = 60, 0 c α = 6, 7 d α = 47, 8 e α = 8, 4 4 Kwadrant Kwadrant Kwadrant Kwadrant 4 Sinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief Cosinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief Tabel 5a 0, 64 b 0, 5 c 0, 94 d 0, 5 e 0, 96 f 0 g 0, 77 h 0, 5 i 0 j 0, 64

27 Rekenen met goniometrische eenheden k 0, 87 l 0, 7 6a kwadrant b kwadrant 4 c kwadrant d kwadrant 4 e kwadrant f kwadrant g kwadrant h kwadrant i kwadrant 4 j kwadrant k kwadrant 4 l kwadrant 7 kwadrant kwadrant kwadrant kwadrant 4 Sinus positief positief negatief negatief Cosinus positief negatief negatief positief Tangens positief negatief positief negatief Tabel 4 8a m b m c m d 6, 8 m 9a 0, 84 rad b, 6rad c 4, 7rad d, 57rad e, 9rad f 5, 76rad 0a 45 b 8, 8 c 90 d 59, 4 e 86, f 5, 8 a 0, 78 b 0, 707 c 0, d 0, 66 e

28 4 Rekenen met goniometrische eenheden f, 74 g 0, 4 h 0, 707 i 0, 88 j 0, 707 k, 7 l 0, 577 a α = 0, 97rad of α =, 7rad b α = 0, 5rad of α =, 66rad c α =, 05rad of α = 4, 9rad d α = 0, 56rad of α =, 58 rad e α =, 6rad of α = 5, rad f α =, 6rad of α =, 66rad g α =, 55rad of α = 4, 7rad h α =, 09rad of α = 4, 9rad i α = 0, 85rad j α = 0, 85rad k α = 0, 79rad a 00 gon b 8, 9gon c 05, 6gon d 66, 7gon e 8, gon f 6, gon 4a 4 b 58, 5 c 6 d 5 e 80 f 7 5a 0, 5 b 0, 574 c, 7 d 0, 809 e 0, 588 f, 96 g 0, 809 h i 0, 4

29 Rekenen met goniometrische eenheden 5 6a 8, gon of 6, 9gon b 4, gon of 75, 7gon c 7, 0gon d 54, gon of 45, 9gon e 9, 7gon of 70, gon f 6, 0gon

30 Grafieken van goniometrische verbanden Het tekenen van de grafiek van de sinus, de cosinus en de tangens We beginnen met het tekenen van de grafiek van de sinus, dus = sin. Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een -as en een -as. Vervolgens stellen we een tabel op waarin we voor een aantal waarden voor de bijbehorende berekenen. We nemen hierin voor het interval [ 0 ; 60 ] met steeds stappen van 0. De bijbehorende -waarde kunnen we met onze rekenmachine berekenen. Let op dat onze rekenmachine op graden (DEG) staat ingesteld , 5 0, 866 0, 866 0, , 5 0, 866 0, 866 0, 5 0 Tabel De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur.,5,0 0,5 0-0,5 60 o 0 o 80 o 40 o 00 o 60 o -,0 -,5 Figuur

31 Grafieken van goniometrische verbanden 7 Op dezelfde wijze kunnen we ook de grafiek van de cosinus tekenen. Vb. Teken de grafiek van = cos op het interval [ 0 ; 60 ]. Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij de -waarden de waarde voor te berekenen , 866 0, 5 0 0, 5 0, , 866 0, 5 0 0, 5 0, 866 Tabel De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur.,5,0 0,5 0-0,5 60 o 0 o 80 o 40 o 00 o 60 o -,0 -,5 Figuur We vervolgen met de grafiek van de tangens. Vb. Teken de grafiek van = tan op het interval [ 0 ; 60 ]. Eerst tekenen we weer een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel om bij de -waarden de waarde voor te berekenen , 577, 7-0, 7 0, , 577, 7-0, 7 0, Tabel

32 8 Grafieken van goniometrische verbanden Als we met onze rekenmachine tan90 en tan70 berekenen, krijgen we geen uitkomst (Math ERROR). Met andere woorden: deze waarde valt niet te berekenen. We zeggen ook wel dat tan90 en tan70 onbepaald zijn. De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur Figuur 60 o 0 o 80 o 40 o 00 o 60 o In de volgende paragraaf zullen we werken met radialen in plaats van graden. Let op dat bij alle berekeningen onze rekenmachine nu op radialen moet zijn ingesteld. Voor het verband tussen graden en radialen geldt: 60 = π radialen. Met dit verband kunnen we de volgende tabel opstellen: graden radialen graden radialen π =, π = 0, 5 6 π =, 05 π =, 57 π =, 09 5 π =, π = 4, 9 70 π = 4, 7 00 π = 5, π = 5, π = 6, 8 80 π =, 4 Tabel 4

33 Grafieken van goniometrische verbanden 9 Grafieken met radialen Vb. Teken de grafiek van = sin op het interval [ 0; π ]. Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. De term π benaderen we door 0, 5 om deze -waarde op de getallenlijn te 6 kunnen tekenen. Voor het berekenen van de bijbehorende -waarde moeten we sin ( π / 6 ) = intpen! 0 6 π = 0, 5 π =, 05 π =, 57 π =, π =, 6 π =, 4 0 0,5 0, 866 0, 866 0, π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, π = 5, 76 π = 6, 8 0, 5 0, 866 0, 866 0, 5 0 Tabel 5 De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur Figuur 4

34 0 Grafieken van goniometrische verbanden Vb. 4 Bereken: sin = 0, 6 We berekenen dit op de volgende manier met de rekenmachine:. We stellen onze rekenmachine in op radialen.. We tpen in: SHIFT sin [ 0. 6 ] = met als afgerond resultaat 0, Figuur In figuur 5 zien we dat de grafieken = sin en = 0, 6 nog een tweede snijpunt hebben. Dat tweede snijpunt kunnen we als volgt berekenen: = π 0, 64 =, 50. Tussen 0 en π vinden we dus de antwoorden: = 0, 64 rad en =, 50 rad. Omdat = sin een periodieke functie is en = 0, 6 een horizontale lijn, zijn er oneindig veel uitkomsten. Dezelfde antwoorden komen steeds na π terug. Die waarde π noemen we de periode. Alle oplossingen kunnen we daarom kortweg noteren als: = 0, 64 rad + k π en =, 50 rad + k π. Daarbij is k een willekeurig geheel getal. Voor k = 0 vinden we = 0, 64 rad + 0 π = 0, 64 rad of =, 50 rad + 0 π =, 50 rad. Voor bijvoorbeeld k = vinden we = 0, 64 rad + π = 6, 9rad of 4 =, 50 rad + π = 8, 78 rad. We controleren die laatste oplossing: sin 8, 78 rad = 0, 60, en dat klopt! Dus als we voor de vergelijking sin = a met onze rekenmachine een oplossing α vinden, geldt: = α + k π of = ( π α) + k π. Het is handig om bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen de grafiek van de betreffende goniometrische functie op het interval [ 0; π ] te schetsen. Op deze manier zien we eenvoudig hoe we aan de tweede oplossing moeten komen zonder een formule te onthouden.

35 Grafieken van goniometrische verbanden Oefeningen Los de volgende vergelijkingen op: a sin = 0, 866 b sin = 0, c sin = d sin = 0, 5 e sin = 0 f sin = 0, g sin = 0, 65

36 Grafieken van goniometrische verbanden Vb. 5 Teken de grafiek van = cos op het interval [ 0; π ]. Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 π =, 05 π =, 57 π =, π =, 6 π =, 4 0, 866 0, 5 0 0, 5 0, π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, π = 5, 76 π = 6, 8 0, 866 0, 5 0 0, 5 0, 866 Tabel 6 De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur Figuur 6

37 Grafieken van goniometrische verbanden Vb. 6 Bereken: cos = 0, 4 We gaan dit op de volgende manier met de rekenmachine berekenen: We controleren of onze rekenmachine op radialen staat. Vervolgens tpen we in: SHIFT cos [ 0. 4 ] = met als afgerond resultaat, Figuur 7 In figuur 7 zien we dat het eerste snijpunt van de grafieken = cos en = 0, 4 een -waarde heeft van, 6. Ook hier zien we een tweede snijpunt, dat we als volgt berekenen: = π, 6 = 6, 8, 6 = 5,. De antwoorden zijn: =, 6rad of = 5, rad. Omdat = cos een periodieke functie is en = 0, 4 een horizontale lijn is, zijn ook hier weer oneindig veel uitkomsten. Dezelfde antwoorden komen steeds na π terug. Dit noteren we als: =, 6rad + k π of = 5, rad + k π. Dus als we voor de vergelijking cos = a met onze rekenmachine een oplossing α vinden, geldt: = α + k π of = ( π α) + k π.

38 4 Grafieken van goniometrische verbanden Oefeningen Los de volgende vergelijkingen op: a cos = 0, 6 b cos = 0, c cos = 0 d cos = e cos = 0, 866 f cos = 0, 6 g cos = 0, 5

39 Grafieken van goniometrische verbanden 5 Vb. 7 Teken de grafiek van = tan op het interval [ 0; π ]. Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 π =, 05 π =, 57 π =, π =, 6 π =, 4 0 0, 577, 7 -, 7 0, π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, π = 5, 76 π = 6, 8 0, 577, 7 -, 7 0, Tabel 7 De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur Figuur

40 6 Grafieken van goniometrische verbanden Vb. 8 Bereken: tan =, 5 We berekenen dit op de volgende manier met de rekenmachine: We controleren of onze rekenmachine op radialen staat. Vervolgens tpen we in: SHIFT tan [, 5 ] = met als afgerond resultaat 0, Figuur In figuur 9 zien we dat het eerste snijpunt van de grafieken = tan en =, 5 een -waarde heeft van 0, 90. Het tweede snijpunt kunnen we als volgt berekenen: = 0, 90 + π = 0, 90 +, 4 = 4, 04. Omdat = tan een periodieke functie is en =, 5 een horizontale lijn is, zijn er ook hier weer oneindig veel uitkomsten. Het verschil met de sinus en cosinus is dat hier dezelfde antwoorden niet na π, maar steeds na π terugkomen. De tangens heeft dus een periode van π. We kunnen daarom de oplossingen, = 0, 90 rad + k π of = 4, 04 rad + k π combineren en kortweg schrijven als = 0, 90 rad + k π. Dus als tan = a, dan is = α + k π. Oefeningen Los de volgende vergelijkingen op. a tan = 0, b tan = 5

41 Grafieken van goniometrische verbanden 7 c tan = d tan = e tan = 0, 866 f tan =, 6 g tan = 0, Vb. 9 Teken de grafiek van = sin op het interval [ 0; π ]. Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 4 π = 0, 79 π =, 05 π =, , 866 0, π =, 09 4 π =, π =, 6 π =, 4 0, 866 0, Tabel 8

42 8 Grafieken van goniometrische verbanden De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur Figuur 0 We zien nu op het interval [ 0; π ] twee sinussen getekend dus een volledige sinusgolf op het interval [ 0; π ]. De periode is in dit geval π. Oefeningen 4 Teken de grafieken van de volgende functies op het interval 0, π. a = sin b = sin c = sin 4 d = cos 0, 5 e = cos f = cos, 5 g = tan h = tan 0, 5 i = sin, 5 j = cos 4

43 Grafieken van goniometrische verbanden 9 We hebben gezien dat = sin en = cos een periode hebben van π. De periode van = tan is π. Als we een getal voor de zetten, zoals bij = sin, zal ook de periode veranderen. Vb. 0 Los de volgende vergelijking op: sin 4 = 0, 5 Oplossing We gebruiken de grafiek van oefening 4c. Zie figuur Figuur 4 = 0, 5rad + k π of 4 = π 0, 5 =, 4 0, 5 =, 6rad + k π (delen door 4 ). = 0, rad + k 0, 5π of = 0, 66 + k 0, 5π Zoals we ook aan de grafiek zien, is de periode van = sin 4 gelijk aan π. Oefeningen 5 Los de volgende vergelijkingen op: a cos = 0, 6 b tan =

44 40 Grafieken van goniometrische verbanden c sin = 0, 866 d cos, 5 = 0, 5 e sin = 0, 866 f tan =, 7 g sin 0, 5 = h cos 0, 5 =

45 Grafieken van goniometrische verbanden 4 Vb. Teken de grafiek van = sin op het interval [ 0; π ] en bereken sin =, 5 Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 π =,05 π =, 57 π =, π =, 6 π =, 4 0, 7, π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, π = 5, 76 π = 6, 8, 7, 7 0 Tabel 9 De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur Figuur sin =, 5 (links en rechts delen door ) sin = 0, 75 = 0, 85 en = π 0, 85 =, 4 0, 85 =, 9 = 0, 85rad + k π en =, 9rad + k π We zien dat door het getal voor de sinusfunctie de -waarden zijn verdubbeld, de periode blijft onveranderd π.

46 4 Grafieken van goniometrische verbanden Oefeningen 6 Bereken: a, 5sin = b cos =, 5 c 0, 5tan = Vb. Teken de grafiek van f( ) = sin( π ) op het interval [ 0; π ] en bereken sin( π ) = 0, 6. Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 π =, 05 π =, 57 π =, π =, 6 π =, 4 0, 866 0, 5 0 0, 5 0, 866 0, π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, π = 5, 76 π = 6, 8 0, 5 0 0, 5 0, 866 0, 866 Tabel 0

47 Grafieken van goniometrische verbanden 4 De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur Figuur sin( π) = 0, 6 π = 0, 64 en π = π 0, 64 =, 4 0, 64 =, 50 π = 0, 64 (links en rechts π ) π =, 50 (links en rechts π ) = 0, 64 + π = 0, 64 +, 05 =, 69 en =, 50 + π =, 50 +, 05 =, 55 =, 69rad + k π en =, 55rad + k π We zien dat als er een getal achter de staat zoals bij = sin( π ), de grafiek langs de -as verschoven wordt. De periode blijft weer gelijk. Oefeningen 7 Teken de grafiek van de volgende functies en los de bijbehorende vergelijkingen op. a sin( + π) = 0, 8 6

48 44 Grafieken van goniometrische verbanden b cos( 0, 5) = 0, c cos( π) = 0, 4 6 d sin( + ) = 0, 75 e tan( π) = 6 f tan( + ) = 6 π,5 g sin( π) =, 5 h cos( + π) = 6 i tan( π) =

49 Grafieken van goniometrische verbanden 45 Vb. Teken de grafiek van f( ) = + sin op het interval 0; π. Eerst tekenen we een assenstelsel met een -as en een -as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal -waarden de waarde van uitrekenen. 0 6 π = 0, 5 π =, 05 π =, 57 π =, π =, 6 π =, 4 0 0,5 0,866 0, 866 0, π =, 67 π = 4, 9 π = 4, 7 π = 5, π = 5, 76 π = 6, 8 0, 5 0, 866 0, 866 0, 5 0 Tabel De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur Figuur 4 Door een getal bij de functie op te tellen, zoals bij f( ) = + sin, zien we een verschuiving van de grafiek langs de -as.

50 46 Grafieken van goniometrische verbanden Oefeningen 8 Teken de grafieken van de volgende functies op het interval 0; π. a f( ) = cos b f( ) = + tan c f( ) = + sin

51 Grafieken van goniometrische verbanden 47 d f( ) = + cos

52 48 Grafieken van goniometrische verbanden Antwoorden a =, 05rad + k π of =, 09rad + k π b = 0, 0 rad + k π of =, 94 rad + k π c =, 57rad + k π d = 0,5 rad + k π en =, 66rad + k π e = 0 rad + k π f = 0,0 rad + k π en =, 44 rad + k π g = 0,7 rad + k π en =, 85rad + k π a = 0, 9rad + k π en = 5, 5rad + k π b =, 7rad + k π en = 5, 0rad + k π c =, 57rad + k π en = 4, 7 rad + k π d =, 4 rad + k π e =, 6rad + k π en =, 66rad + k π f =, rad + k π en = 4, 07rad + k π g =, 8rad + k π en = 4, 46rad + k π a = 0, 9rad + k π b =, 7rad + k π c = 0, 79rad + k π d = 0, 79rad + k π e = 0, 7rad + k π f =,0rad + k π g = 0, 0 rad + k π 4a Zie figuur Figuur 5

53 Grafieken van goniometrische verbanden 49 b Zie figuur Figuur 6 c Zie figuur Figuur 7 d Zie figuur Figuur 8

54 50 Grafieken van goniometrische verbanden e Zie figuur Figuur 9 f Zie figuur Figuur 0 g Zie figuur Figuur

55 Grafieken van goniometrische verbanden 5 h Zie figuur Figuur i Zie figuur Figuur j Zie figuur Figuur 4

56 5 Grafieken van goniometrische verbanden 5a = 0, rad + k 0, 67π en =, 78 + k 0, 67π b =, 58 + k π c =, 5rad + k 6π en = 6, 7 + k 6π d = 0, 84 rad + k 0, 8π en =, 68 + k 0, 8π e = 0, 5rad + k 0, 67π en =, 9 + k 0, 67π f =, 0 + k 0, 5π g =, 4 rad + k 4π h =, 56rad + k 8π 6a = 0, 7rad + k π en =, 4rad + k π b = 0, 7rad + k π en = 5, 56rad + k π c =, rad + k π 7a = 0, 4rad + k π en =, 69rad + k π b =, 7rad + k π en = 5, 0rad + k π c =, 68 rad + k π en = 5, 64 rad + k π d =, 85rad + k π en =, 99rad + k π e =, 6rad + k π f = 0, 98 rad + k π g =, 90 rad + k π en =, 4 rad + k π h = 0, rad + k π en = 4, 9rad + k π i =, 0rad + k π 8a Zie figuur Figuur 5

57 Grafieken van goniometrische verbanden 5 b Zie figuur Figuur 6 c Zie figuur Figuur 7 d Zie figuur Figuur 8

58 Formules opstellen bij goniometrische grafieken Formules opstellen van goniometrische functies Een goniometrische functie kunnen we weergeven met een van de volgende formules: π f( ) = d + c sin ( ± a) b of π f( ) = d + c cos ( ± a) b of π f( ) = d + c tan ( ± a) b Hierbij is: a de verschuiving op de -as; b de periode; c de amplitude of maimale uitwijking bij een sinus- en cosinusvorm; bij een tangensvorm is c een vermenigvuldigingsfactor die meestal moeilijk af te lezen is; d de verschuiving op de -as. Bij het opstellen van de formule of functievoorschrift van een goniometrische grafiek doorlopen we de volgende stappen: Stap Bepaal of de grafiek te herleiden is tot een sinus-, cosinus- of tangensvorm. Stap Bepaal de amplitude of maimale uitwijking. Stap Bepaal de verschuiving op de -as: verschuiving van a naar links: ( + a) verschuiving van a naar rechts: ( a) Stap 4 Bepaal de verschuiving op de -as.

59 Formules opstellen bij goniometrische grafieken 55 Stap 5 Bepaal de periode (dit is de afstand op de -as waarin één volledige beweging wordt uitgevoerd). Vb. Geef het functievoorschrift van de volgende goniometrische grafiek. Zie figuur Figuur Oplossing Stap De grafiek is te herleiden tot een sinusvorm. Stap De amplitude is, 5 dus c =, 5. Stap Verschuiving 0, 5 naar rechts, dus ( 0, 5 ). Stap 4 Er is geen verschuiving op de -as dus d = 0. Stap 5 De periode is π, dus b = π. Met de bovenstaande gegevens kunnen we het volgende functievoorschrift opstellen: π f( ) = d + c sin ( ± a) f( ), sin ( b = π π 0, 5) f( ) =, 5 sin( 0, 5)

60 56 Formules opstellen bij goniometrische grafieken Oefeningen Geef het functievoorschrift van de volgende grafieken: a Zie figuur Figuur b Zie figuur Figuur

61 Formules opstellen bij goniometrische grafieken 57 c Zie figuur Figuur 4 d Zie figuur Figuur 5

62 58 Formules opstellen bij goniometrische grafieken e Zie figuur Figuur 6 f Zie figuur Figuur 7 g Zie figuur Figuur 8

63 Formules opstellen bij goniometrische grafieken 59 h Zie figuur Figuur 9 Geef het functievoorschrift van de volgende grafieken: a Zie figuur Figuur

64 60 Formules opstellen bij goniometrische grafieken b Zie figuur Figuur c Zie figuur Figuur d Zie figuur Figuur

65 Formules opstellen bij goniometrische grafieken 6 De hiervoor behandelde goniometrische vormen zijn voorbeelden van periodieke functies. Dat zijn functies die zich met een vaste periode herhalen. De meeste willekeurige periodieke functies, zoals een blokgolf of een zaagtandspanning, kunnen we wiskundig opvatten als een som van verschillende sinus- en/of cosinus vormen. We spreken dan van een Fourierreeks (spreek uit foerjee-reeks). De coëfficiënten kunnen we bepalen met een wiskundige techniek die we Fourieranalse noemen.

66 6 Formules opstellen bij goniometrische grafieken Antwoorden a f( ) = sin( + 0, 5) b f( ) = + sin c f( ) = 0, 5 + cos d f( ) = cos( ) e f( ) = + tan f f( ) = +, tan( 0, 5) g f( ) = + 0, 5 sin h f( ) = + cos( + 0, 5) a f( ) = sin 0, 5( 0, 5) b f( ) = + cos ( + ) c f( ) = + sin 4( ) d f( ) = cos ( + 0, 5)

67 4 Sinusregel en cosinusregel Sinusregel De sinusregel kunnen we toepassen om zijden en hoeken te berekenen in een wille keurige driehoek. Deze driehoek hoeft dus niet rechthoekig te zijn. Zie figuur. C b γ a A Figuur α c β B De volledige sinusregel luidt: a b c = = sin α sin β sin γ In een driehoek kunnen we de niet gegeven zijde(n) en hoek(en) berekenen met de sinusregel als gegeven zijn: twee zijden en de hoek tegenover een van deze zijden; of twee hoeken en de zijde tegenover een van deze hoeken.

68 64 Sinusregel en cosinusregel Vb. Gegeven C b a A Figuur α c B In figuur is een driehoek getekend waarvan a =, 8cm, b = 4, 4 cm en α = 49. Gevraagd Bereken de overige hoeken en zijde c. Oplossing a b sin α = sin β, 8 cm 4, 4 cm = Na kruislings vermenigvuldigen volgt: sin 49 sin β 4, 4 sin 49, 8 sin β = 4, 4 sin 49 sin β = = 0, 874, 8 β = 60, 9 γ = , 9 = 70, a c sin α = sin γ, 8 cm c = sin 49 sin 70,, 8 sin 70, c = = 4, 7cm sin 49

69 Sinusregel en cosinusregel 65 Oefeningen In ABC is a = 0 cm, b = 6 cm en β = 0. a Maak een tekening. b Bereken de ontbrekende hoeken en zijde. In ABC is a = 0 cm, α = 50 en β = 70. a Maak een tekening. b Bereken de ontbrekende hoek en zijden.

70 66 Sinusregel en cosinusregel De kerktoren in stadje A is 50 m verwijderd van de televisietoren in dorp B. Joop loopt vanaf de televisietoren 60 m langs de rivier. Als hij in punt C is aangekomen, ziet hij beide torens onder een hoek van 55. Zie figuur. Bereken de afstand tussen Joop en de kerktoren in stadje A. A C Figuur 55 o B 4 Van ABC is gegeven: a = 4 cm, b = 5cm en A = 50. a Maak een tekening. b Bereken B en zijde c.

71 Sinusregel en cosinusregel 67 Cosinusregel Bij de voorgaande opgaven hebben we gebruik gemaakt van de sinusregel. Het ging hierbij om driehoeken waar de volgende zaken bekend waren: twee zijden + de hoek tegenover een van deze zijden; of twee hoeken + de zijde tegenover een van deze hoeken. Dit is niet altijd het geval. Soms kennen we: drie zijden; of één hoek + twee zijden die niet tegenover de gegeven hoek liggen. In deze gevallen kunnen we de sinusregel niet gebruiken en moeten we gebruik maken van de cosinusregel. De volgorde in de cosinusregel is afhankelijk van de bekende zijden en hun ingesloten hoek. Zie figuur 4. C b α A c Figuur 4a C a B b a A Figuur 4b C c β B b γ a A Figuur 4c c B Figuur 4a: b, c en α bekend a = b + c b c cosα Figuur 4b: a, c en β bekend b = a + c a c cosβ Figuur 4c: a, b en γ bekend c = a + b a b cos γ Als er drie zijden gegeven zijn, berekenen we één hoek met de cosinusregel en de tweede hoek met de sinusregel. Die tweede hoek kunnen we ook met de cosinusregel berekenen, maar de sinusregel werkt eenvoudiger. De derde hoek volgt ten slotte door beide berekende hoeken van 80 af te trekken.

72 68 Sinusregel en cosinusregel Vb. Gegeven In een stomphoekige ABC geldt AB = 6, cm, AC = 4, 6cm en BC = 9, cm. Zie figuur 5. C γ A α β B Figuur 8 Gevraagd Bereken de drie hoeken. Oplossing a = b + c b c cosα ( 9, cm) = ( 4, 6 cm) + ( 6, cm) 4, 6 cm 6, cm cosα 86, 49 =, 6 + 8, 44 57, 04 cosα 6, 89 = 57, 04 cos α 6, 89 cos α = = 0, 47 57, 04 α = 8 De tweede hoek gaan we met de sinusregel berekenen: a b sin α = sin β 9, cm 4, 6 cm = sin8 sin β 4, 6 sin8 sin β = = 0, 47 9, β = 5, 9, γ = , 9 = 6, Oefeningen 5 Van ABC is gegeven: a = 4 cm, b = 5cm en c = 7cm. Bereken de hoeken α, β en γ van deze driehoek (in decimaal na de komma nauwkeurig).

73 Sinusregel en cosinusregel 69 6 Van ABC is gegeven: a = 5cm, b = 6cm en c = 0cm. Bereken de hoeken α, β en γ van deze driehoek (in decimaal na de komma nauwkeurig). 7 Van ABC is gegeven: b = 9cm, c = 6cm en α =. Bereken de lengte van a en de hoeken β en γ van deze driehoek (in decimaal na de komma nauwkeurig). 8 Van ABC is gegeven: a = 8cm, b = 9cm en γ = 40. Bereken de lengte van c en de hoeken α en β van deze driehoek (in decimaal na de komma nauwkeurig).

74 70 Sinusregel en cosinusregel Antwoorden b α = 56, 4, γ = 9, 6, c =, 0cm b γ = 60, b = 4, 5cm, c =, 6cm AC = 95m 4b B = 7,, c = 4, 4 cm 5 α = 4, β = 44,, γ = 0, 7 6 α =,, β = 4,, γ = 05, 5 7 a = 4, 0cm, β = 5, 7, γ = 05, 8 c = 6, 0cm, α = 8, 7, β =,

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Wet van Ohm. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Wet van Ohm. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Wet van Ohm J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Weerstand. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Weerstand. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Weerstand J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en

Nadere informatie

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden

7.0 Voorkennis. tangens 1 3. Willem-Jan van der Zanden 7.0 Voorkennis Bij bepaalde aantallen graden hebben de sinus, cosinus en tangens een exacte oplossing. In deze gevallen moet je de exacte oplossing geven: hoek 30 45 60 sinus cosinus 2 tangens 3 3 3 2

Nadere informatie

Werkwoordspelling 2 Toelichting en Antwoorden

Werkwoordspelling 2 Toelichting en Antwoorden Werkwoordspelling 2 Toelichting en Antwoorden COLOFON Auteurs Frank Pollet Illustraties Liza-Beth Valkema Basisvormgeving LS Ontwerpers bno, Groningen Omslag illustratie Metamorfose ontwerpen BNO, Deventer

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013. M. van der Pijl.

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013. M. van der Pijl. Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 1 2012-2013 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen

Nadere informatie

Goniometrische functies

Goniometrische functies Goniometrische functies gonè (Grieks) = hoek metron (Grieks) = maat Goniometrie, afkomstig van de Griekse woorden voor hoek en maat, betekent letterlijk hoekmeetkunde. Daarmee wordt aangegeven dat het

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Stroom. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Stroom. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Stroom J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie

Nadere informatie

Zelfstandig werken. Ajodakt. Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek van de serie

Zelfstandig werken. Ajodakt. Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek van de serie Zelfstandig werken Ajodakt Dit antwoordenboekje hoort bij het gelijknamige werkboek van de serie 9 789074 080705 Informatieverwerking Groep 7 Antwoorden Auteur P. Nagtegaal ajodakt COLOFON Illustraties

Nadere informatie

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1]

6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] 6.1 Eenheidscirkel en radiaal [1] De eenheidscirkel heeft een middelpunt O(0,0) en straal 1. De draaiingshoek van P is α overstaande rechthoekzijde sin schuine zijde PQ yp sin yp OP 1 aanliggende rechthoekzijde

Nadere informatie

Inleiding goniometrie

Inleiding goniometrie Inleiding goniometrie We bekijken de volgende twee hellingen: 1 2 Duidelijk is dat de tweede helling steiler is dan de eerste helling. Ook zien we dat hellingshoek 2 groter is dan hellingshoek 1. Er bestaat

Nadere informatie

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Lenzen. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Lenzen. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Lenzen J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair nderwijs, Algemeen Voortgezet nderwijs, Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I WISKUNDE. MAVO-D / VMBO-gt

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I WISKUNDE. MAVO-D / VMBO-gt UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VAK: NIVEAU: WISKUNDE MAVO-D / VMBO-gt EXAMEN: 2002-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 EXAMEN: 2001-I UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I VAK: WISKUNDE B 1,2 NIVEAU: HAVO EXAMEN: 2001-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I D

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I D UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2001-I D VAK: NIVEAU: EXAMEN: WISKUNDE MAVO 2001-I D De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen.

Nadere informatie

Stenvert. Taalmeesters 6. Zelfstandig werken Taal Groep 8 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Taal Taalmeesters 6 Antwoorden Groep 8

Stenvert. Taalmeesters 6. Zelfstandig werken Taal Groep 8 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Taal Taalmeesters 6 Antwoorden Groep 8 Zelfstandig werken Taal Groep 8 Antwoorden Stenvert maakt deel uit van ThiemeMeulenhoff Zelfstandig werken (Z). Dit bestaat uit een groot assor ment leermiddelen voor alle leerjaren. Op onze Z-site vindt

Nadere informatie

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011

Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 Eindopdracht Wiskunde en Cultuur 2-4: Geostationaire satellieten Door: Yoeri Groffen en Mohamed El Majoudi Datum: 20 juni 2011 1 Voorwoord Satellieten zijn er in vele soorten en maten. Zo heb je bijvoorbeeld

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: goniometrie en meetkunde. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: goniometrie en meetkunde 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Stenvert. Rekenmeesters 5. Zelfstandig werken Rekenen Groep 7 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Rekenen Rekenmeesters 5 Antwoorden Groep 7

Stenvert. Rekenmeesters 5. Zelfstandig werken Rekenen Groep 7 Antwoorden. Zelfstandig werken Stenvert Rekenen Rekenmeesters 5 Antwoorden Groep 7 Zelfstandig werken Rekenen Groep 7 Antwoorden Stenvert maakt deel uit van ThiemeMeulenhoff Zelfstandig werken (Z). Dit bestaat uit een groot assor ment leermiddelen voor alle leerjaren. Op onze Z-site vindt

Nadere informatie

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden

4.0 Voorkennis. 1) A B AB met A 0 en B 0 B B. Rekenregels voor wortels: Voorbeeld 1: Voorbeeld 2: Willem-Jan van der Zanden 4.0 Voorkennis Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.0 Voorkennis Voorbeeld 3: 3 3 6 3 6 6 6 6 6 1 2 6 Let op: In

Nadere informatie

Lessen wiskunde uitgewerkt.

Lessen wiskunde uitgewerkt. Lessen Wiskunde uitgewerkt Lessen in fase 1. De Oriëntatie. Les 1. De eenheidscirkel. In deze les gaan we kijken hoe we de sinus en de cosinus van een hoek kunnen uitrekenen door gebruik te maken van de

Nadere informatie

2.1 Gelijkvormige driehoeken[1]

2.1 Gelijkvormige driehoeken[1] 2.1 Gelijkvormige driehoeken[1] 5 25 50 100 25 125 250 x Hierboven staat een verhoudingstabel. Kruiselings vermenigvuldigen van de getallen geeft: 5 x 125 = 25 x 25 (= 625) 5 x 250 = 25 x 50 (= 1250) 25

Nadere informatie

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 2. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 2. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau Periode M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies

Hoofdstuk 4 - Periodieke functies Hoofdstuk - Periodieke functies ladzijde 98 V-a Na seconden. Het hart klopt c, millivolt = slagen per minuut. V-a Ja, met periode ; nee; misschien met periode. Evenwichtsstand y = ; -; y =. Amplitude is

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Goniometrie, vlakke meetkunde en rekenen met vectoren in de fysica (versie 0 juli 008) Rekenen met vectoren is een basisvaardigheid voor vakken natuurkunde.

Nadere informatie

Werken met de rekenmachine

Werken met de rekenmachine Werken met de rekenmachine De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine van de nieuwe generatie met een twee-regelig display zoals de fx-82tl of de afgebeelde fx-82ms. Onze rekenmachine

Nadere informatie

Exacte waarden bij sinus en cosinus

Exacte waarden bij sinus en cosinus acte waarden bij sinus en cosinus n enkele gevallen kun je vergelijkingen met sinus en cosinus eact oplossen. Welke gevallen zijn dat? 0, π 0, π f() = sin π π 8 9 0, g() = cos π π π 8 9 π 0, ierboven zie

Nadere informatie

De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82ms. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin.

De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82ms. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin. Rekenmachine 1. Rekenmachine De uitleg in dit moduul is gebaseerd op een CASIO rekenmachine fx-82ms. Voor de verschillen met de TI-30X II zie de bijlage achterin. Onze rekenmachine geeft het resultaat

Nadere informatie

tan c b + a c c b HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN

tan c b + a c c b HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN HOOFDSTUK 8 DRIEHOEKSMETING IN EEN RECHTHOEKIGE DRIEHOEK EXTRA OEFENINGEN ) Gegeven: een rechthoekige driehoek ABC. Schrijf de volgende goniometrische getallen in functie van de lengten van de zijden van

Nadere informatie

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen.

Deze stelling zegt dat je iedere rechthoekige driehoek kunt maken door drie vierkanten met de hoeken tegen elkaar aan te leggen. Meetkunde Inleiding We beginnen met het doorlezen van alle theorie uit hoofdstuk 3 van het boek. Daar staan een aantal algemene regels goed uitgelegd. Waar je nog wat extra uitleg over nodig hebt, is de

Nadere informatie

6. Goniometrische functies.

6. Goniometrische functies. Uitwerkingen R-vragen hodstuk 6 6. Goniometrische functies. R1 Wat heeft een cirkelomwenteling te maken met een sinus cosinus? ls een punt met constante snelheid een cirkelbeweging uitvoert en je zet hoogte

Nadere informatie

Delta Nova. Delta Nova Analyse deel 1 3 lesuren. Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit:

Delta Nova. Delta Nova Analyse deel 1 3 lesuren. Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit: Delta Nova bestaat voor de eerste en tweede graad uit: Delta Nova Eerste graad Delta Nova a leerboek en werkboek Delta Nova b leerboek en werkboek Delta Nova a leerboek en werkboek Delta Nova b leerboek

Nadere informatie

Hoofdstuk 4: Meetkunde

Hoofdstuk 4: Meetkunde Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde VMBO 2011/2012 www.lyceo.nl Hoofdstuk 4: Meetkunde Wiskunde 1. Basisvaardigheden 2. Grafieken en formules 3. Algebraïsche verbanden 4. Meetkunde Getallen Assenstelsel Lineair

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reflectie en breking. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reflectie en breking. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Reflectie en breking J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. 2. Verbanden Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband

Nadere informatie

Zestigdelige graden radialen honderddelige graden

Zestigdelige graden radialen honderddelige graden Rekenen met hoeken Zestigdelige graden radialen honderddelige graden Hoeken kunnen uitgedrukt worden in verschillende hoekeenheden. De meest bekende hoekeenheid is de zestigdelige graad. Deze hoekeenheid

Nadere informatie

2004 Gemeenschappelijke proef Algebra - Analyse - Meetkunde - Driehoeksmeting 14 vragen - 2:30 uur Reeks 1 Notatie: tan x is de tangens van de hoek x, cot x is de cotangens van de hoek x Vraag 1 In een

Nadere informatie

Cirkel en cirkelsector

Cirkel en cirkelsector middellijn 3 Cirkel en cirkelsector 1 CIRKEL In figuur 1 zien we een cirkel. Het middelpunt van de cirkel duiden we meestal aan met de letter M. Verder onderscheiden we de begrippen diameter (middellijn)

Nadere informatie

42 blok 6. Een huis inrichten. Teken de meubels in het huis. Plaats ze waar jij wilt. Vul in. Hoeveel eet elke hond? Hoeveel kilo vlees?

42 blok 6. Een huis inrichten. Teken de meubels in het huis. Plaats ze waar jij wilt. Vul in. Hoeveel eet elke hond? Hoeveel kilo vlees? 42 blok 6 C1 Een huis inrichten. Teken de meubels in het huis. Plaats ze waar jij wilt. C2 Vul in. Hoeveel eet elke hond? Hoeveel kilo vlees? Hoeveel pakken brokken? Hoeveel bakjes water? Fido 3 2 1 4

Nadere informatie

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude

Trillingen en geluid wiskundig. 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude Trillingen en geluid wiskundig 1 De sinus van een hoek 2 Uitwijking van een trilling berekenen 3 Macht en logaritme 4 Geluidsniveau en amplitude 1 De sinus van een hoek Eenheidscirkel In de figuur hiernaast

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 8 tijdvak woensdag 8 juni 3.3-6.3 uur wiskunde B, Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 8 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 8 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

= cos245 en y P = sin245.

= cos245 en y P = sin245. G&R havo B deel C. von Schwartzenberg / a b overstaande rechthoekszijde PQ PQ sinα = (in figuur 8.) sin = = PQ = sin 0, 9. schuine zijde OP aanliggende rechthoekszijde OQ OQ cosα = (in figuur 8.) cos =

Nadere informatie

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet

Wiskunde D voor HAVO. Periodieke functies Gert Treurniet Wiskunde D voor HAVO Periodieke functies Gert Treurniet . Inleiding Een toon is een trilling. De trilling van lucht brengt ons trommelvlies in beweging. De beweging van ons trommelvlies nemen we waar als

Nadere informatie

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn.

De grafiek van een lineair verband is altijd een rechte lijn. Verbanden Als er tussen twee variabelen x en y een verband bestaat kunnen we dat op meerdere manieren vastleggen: door een vergelijking, door een grafiek of door een tabel. Stel dat het verband tussen

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur Eamen HAV 2015 1 tijdvak 1 woensdag 20 mei 13.30-16.30 uur wiskunde B (pilot) Dit eamen bestaat uit 16 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten

Nadere informatie

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reader Periode 3 Leerjaar 3. J. Kuiper. Transfer Database

Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal. Reader. Reader Periode 3 Leerjaar 3. J. Kuiper. Transfer Database Noorderpoort Beroepsonderwijs Stadskanaal Reader Reader Periode Leerjaar J. Kuiper Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs, Beroepsonderwijs

Nadere informatie

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A.

Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Wiskunde voor het hoger onderwijs deel A Errata 00 Noordhoff Uitgevers Correcties en verbeteringen Wiskunde voor het Hoger Onderwijs, deel A. Hoofdstuk. 4 Op blz. in het Theorieboek staat halverwege de

Nadere informatie

2 Trigonometrie. Domein Meetkunde havo B

2 Trigonometrie. Domein Meetkunde havo B Domein Meetkunde havo B Trigonometrie Inhoud.. Sinus, cosinus en tangens.. Lijnen en hoeken.. De sinusregel.4. De cosinusregel.5. Overzicht In opdracht van: Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs ctwo Utrecht

Nadere informatie

Les 1 Oppervlakte driehoeken. Opl. Les 2 Tangens, sinus en cosinus. Aantekening HAVO 4B Hoofdstuk 2 : Oppervlakte en Inhoud

Les 1 Oppervlakte driehoeken. Opl. Les 2 Tangens, sinus en cosinus. Aantekening HAVO 4B Hoofdstuk 2 : Oppervlakte en Inhoud antekening HVO 4B Hoofdstuk 2 : Oppervlakte en Inhoud Les 1 Oppervlakte driehoeken Oppervlakte driehoek = ½ basis hoogte Oppervlakte parallellogram = basis hoogte Oppervlakte trapezium = ½ (basis + top)

Nadere informatie

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut.

d. Met de dy/dx knop vind je dat op tijdstip t =2π 6,28 het water daalt met snelheid van 0,55 m/uur. Dat is hetzelfde als 0,917 cm per minuut. Hoofdstuk A: Goniometrische functies. I-. a. De grafiek staat hiernaast. De periode is ongeveer,6 uur. b. De grafiek snijden met y = levert bijvoorbeeld x,00 en x,8. Het verschil is ongeveer,7 uur en dat

Nadere informatie

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde.

1 Vlaamse Wiskunde Olympiade 1995-1996 : Tweede Ronde. Vlaamse Wiskunde Olympiade 995-996 : Tweede Ronde De tweede ronde bestaat uit 0 meerkeuzevragen, opgemaakt door de jury van VWO Het quoteringssysteem werkt als volgt : een deelnemer start met 0 punten

Nadere informatie

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB

Deel 3 havo. Docentenhandleiding havo deel 3 CB Deel 3 havo De hoeveelheid leerstof is gebaseerd op drie lesuren per week. Met drie lesuren is het in ieder geval mogelijk om de basisstof van tien hoofdstukken door te werken, eventueel met de verkorte

Nadere informatie

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14

1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 INHOUD 1 De cirkel 9 1.1 Definities en benamingen 9 Oefeningen 11 1.2 Cirkel door drie punten 13 Oefeningen 14 1.3 Onderlinge ligging van een rechte en een cirkel 20 1.3.1 Aantal snijpunten van een rechte

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 Oppervlakte en inhoud

Hoofdstuk 2 Oppervlakte en inhoud Hoofdstuk 2 Oppervlakte en inhoud Les 1 Aant. 2.1 Oppervlakte van vlakke figuren Theorie A: Oppervlakte van vlakke figuren Oppervlakte driehoek = ½ zijde bijbehorende hoogte Oppervlakte parallellogram

Nadere informatie

Goniometrie. Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings

Goniometrie. Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings Goniometrie Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings 1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt

Nadere informatie

06950181_voorw 01-03-2005 15:47 Pagina I. Een Goed. Feedbackgesprek. Tussen kritiek en compliment. Wilma Menko

06950181_voorw 01-03-2005 15:47 Pagina I. Een Goed. Feedbackgesprek. Tussen kritiek en compliment. Wilma Menko 06950181_voorw 01-03-2005 15:47 Pagina I Een Goed Feedbackgesprek Tussen kritiek en compliment Wilma Menko 06950181_voorw 01-03-2005 15:47 Pagina II Een goede reeks ISBN Een goede vergadering 90 06 95017

Nadere informatie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie

Voorkennis wiskunde voor Biologie, Chemie, Geografie Onderstaand overzicht volgt de structuur van het boek Wiskundige basisvaardigheden met bijhorende website. Per hoofdstuk wordt de strikt noodzakelijke voorkennis opgelijst: dit is leerstof die gekend wordt

Nadere informatie

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet.

R. Van Nieuwenhuyze. Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. R. Van Nieuwenhuyze Hoofdlector wiskunde, lerarenopleiding HUB, Brussel. Auteur Van Basis tot Limiet. roger.van.nieuwenhuyze@gmail.com Van Nieuwenhuyze Roger Probleemoplossend werken in de tweede graad

Nadere informatie

Vraag Antwoord Scores. 1 maximumscore 2 De staplengte is 1600 : 2754 1 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) (of 0,58 meter) 1

Vraag Antwoord Scores. 1 maximumscore 2 De staplengte is 1600 : 2754 1 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) (of 0,58 meter) 1 Eindexamen wiskunde vmbo gl/tl 00 - I Beoordelingsmodel Stappenteller maximumscore De staplengte is 600 : 754 De staplengte is 0,580 meter, dit is 58 (cm) ( 0,58 meter) Als het antwoord in meters gegeven

Nadere informatie

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies

Hoofdstuk 8 - Periodieke functies Havo B deel Uitwerkingen Moderne wiskunde Hoofdstuk 8 - Periodieke functies ladzijde 8 V-a c Na seconden = slagen per minuut ca., millivolt V-a Ja, met periode Nee Mogelijk, met periode = en amplitude

Nadere informatie

REKENTOPPERS 4. Antwoordenboek. Rekenen en wiskunde. Pascal Goderie. Auteur

REKENTOPPERS 4. Antwoordenboek. Rekenen en wiskunde. Pascal Goderie. Auteur REKENTOPPERS 4 Rekenen en wiskunde Antwoordenboek Auteur Pascal Goderie KAART KAART 2. Zet de getallen op de goede plaats 2 7. Sjoelen Elke behaalt 4 punten. Willem: veertig punten 4 3 5 8 6 9 2. Pijltjes

Nadere informatie

Meetkundige ongelijkheden Groep A

Meetkundige ongelijkheden Groep A Meetkundige ongelijkheden Groep A Oppervlakteformules, sinus- & cosinusregel, de ongelijkheid van Euler Trainingsweek, juni 011 1 Oppervlakteformules We werken hier met ongeoriënteerde lengtes en voor

Nadere informatie

Hoofdstuk 7 - Periodieke functies

Hoofdstuk 7 - Periodieke functies Voorkennis: Goniometrische verhoudingen ladzijde 9 V-a vereenkomstige hoeken zijn gelijk. 7 7, c PR 7, AC, 7, QR 7, BC, 7, 0 V-a In deze driehoeken is A C en ook zijn de hoeken ij U en V gelijk. CR AQ

Nadere informatie

Opgave 4. Opgave 5. Opgave 6. (5) a) Isoleer de variabele B uit de formule P A B P B. (6) b) Isoleer de variabele B uit de formule

Opgave 4. Opgave 5. Opgave 6. (5) a) Isoleer de variabele B uit de formule P A B P B. (6) b) Isoleer de variabele B uit de formule EXAMEN SCHAKELCURSUS MIDDELBARE LASTECHNIEK WISKUNDE 009 Datum: 14 jan 009 Aantal opgaven: 6 Beschikbare tijd: 100 minuten De maximale score is 90 punten, vooraf 10 punten: totaal 100 punten. Aantal te

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 7 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 78 punten te behalen. Voor elk

Nadere informatie

Poolcoördinaten (kort)

Poolcoördinaten (kort) Poolcoördinaten (kort) WISNET-HBO update juli 2013 Carthesiaanse coördinaten In het algemeen gebruiken we voor de plaatsbepaling in het platte vlak de gewone (Carthesiaanse) coördinaten voor, in een rechthoekig

Nadere informatie

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht

Atheneum Wispelberg - Wispelbergstraat 2-9000 Gent Bijlage - Leerfiche (3 e jaar 5u wiskunde): Meetkunde overzicht Hoofdstuk 1 : Hoeken -1 - Complementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken zijn complementair als... van hun hoekgrootten... is. Supplementaire hoeken ( boek pag 7) Twee hoeken noemen we supplementair als...

Nadere informatie

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek

Uitwerkingen Mei 2012. Eindexamen VWO Wiskunde B. Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Uitwerkingen Mei 01 Eindexamen VWO Wiskunde B A B C Nederlands Mathematisch Instituut Voor Onderwijs en Onderzoek Onafhankelijkheid van a Opgave 1. We moeten aantonen dat F a een primitieve is van de

Nadere informatie

Uitgewerkte oefeningen

Uitgewerkte oefeningen Uitgewerkte oefeningen Algebra Oefening 1 Gegeven is de ongelijkheid: 4 x. Welke waarden voor x voldoen aan deze ongelijkheid? A) x B) x [ ] 4 C) x, [ ] D) x, Oplossing We werken de ongelijkheid uit: 4

Nadere informatie

wiskunde B pilot havo 2016-I

wiskunde B pilot havo 2016-I De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2 C liggen op c. Punt Q is het midden van

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO. wiskunde B1,2. tijdvak 1 dinsdag 2 juni uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. amen VWO 2009 tijdvak dinsdag 2 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B,2 Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 9 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen)

Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Voorbeeld paasexamen wiskunde (oefeningen) Beschouw de 4 termen: x y, x, 6, 9x Voor welke waarden van x en y vormen deze termen een rekenkundige rij? x 9x x, 6, 9 x : RR 6 0x x 0,9 0,9 y ;,9 ; 6 ; 8,,

Nadere informatie

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde

Overzicht eigenschappen en formules meetkunde Overzicht eigenschappen en formules meetkunde xioma s Rechten en hoeken 3 riehoeken 4 Vierhoeken 5 e cirkel 6 Veelhoeken 7 nalytische meetkunde Op de volgende bladzijden vind je de eigenschappen en formules

Nadere informatie

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek.

Ook de volledige spiraal van de stroken van lengte 1, 3, 5,, 99 past precies in een rechthoek. Een spiraal In deze opgave bekijken we rechthoekige stroken van breedte en oneven lengte:, 3, 5,..., 99. Door deze stroken op een bepaalde manier aan elkaar te leggen, maken we een spiraal. In figuur is

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl)

Examen VWO. wiskunde B1,2 (nieuwe stijl) wiskunde B, (nieuwe stijl) Examen VWO Voorbereidend Wetenschappelijk Onderwijs Tijdvak Woensdag 3 juni 3.30 6.30 uur 0 04 Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te behalen; het examen bestaat uit 9 vragen.

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv 8 Voorkennis: Sinusfuncties ladzijde 9 V- Uit 8 radialen volgt 8 radialen Je krijgt dan de volgende tael: V-a V-a 8 graden 6 9 8 radialen O 6 6 7 8 9 Aflezen:,,,, c Aflezen:, d Aflezen:, e Aflezen: O Aflezen:,,,

Nadere informatie

Antwoordmodel - Vlakke figuren

Antwoordmodel - Vlakke figuren Antwoordmodel - Vlakke figuren Vraag 1 Verbind de termen met de juiste definities. Middelloodlijn Gaat door het midden van een lijnstuk en staat er loodrecht op. Bissectrice Deelt een hoek middendoor.

Nadere informatie

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel.

Construeer telkens twee hoeken waarvan de cosinus of sinus gegeven is. Teken voor elke opgave een andere goniometrische cirkel. Herhalingsoefeningen Driehoeksmeting Van de opgaven die geel gemarkeerd zijn, vind je achteraan de oplossingen. De oplossingen van de andere mag je steeds afgeven of er vragen over stellen. Oef 1 Construeer

Nadere informatie

GONIOMETRIE MAAR DAN ANDERS. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14

GONIOMETRIE MAAR DAN ANDERS. Dit materiaal is gemaakt binnen de Leergang Wiskunde schooljaar 2013/14 GONIOMETRIE MAAR DAN ANDERS Inhoudsopgave Achtergrondinformatie... 3 Docentenhandleiding... 5 BIJLAGEN... 10 Goniometrie, leerling blad 1... 10 INTRODUCTIE sinusoïde... 11 WISKUNDIGE DENKACTIVITEIT GONIOMETRIE...

Nadere informatie

Eerste deel van de cursus Algebra

Eerste deel van de cursus Algebra Eerste deel van de cursus Algebra Procentrekenen Toename met p%: groeifactor = 1 + p% Afname met p% : groeifactor = 1 p% Toename in procenten = Afname in procenten = toename beginwaarde afname beginwaarde

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 24 juni uur

Examen VWO. wiskunde B1. tijdvak 2 woensdag 24 juni uur Examen VWO 2009 tijdvak 2 woensdag 24 juni 3.30-6.30 uur wiskunde B Dit examen bestaat uit 8 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een

Nadere informatie

Examen havo wiskunde B 2016-I (pilot)

Examen havo wiskunde B 2016-I (pilot) Eamen havo wiskunde B 2016-I (pilot) De rechte van Euler Gegeven is cirkel c met middelpunt ( 1, 1 ) 3p 1 Stel een vergelijking op van c. De punten B( 3, 0) en ( 4, 0) M die door het punt A( 0, 4) 2 2

Nadere informatie

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen HAVO. wiskunde B (pilot) tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Eamen HAV 2016 tijdvak 1 maandag 23 mei 13:30-16:30 uur wiskunde B (pilot) Bij dit eamen hoort een uitwerkbijlage. Dit eamen bestaat uit 18 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 77 punten te behalen. Voor

Nadere informatie

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x )

sin( α + π) = sin( α) O (sin( x ) cos( x )) = sin ( x ) 2sin( x )cos( x ) + cos ( x ) = sin ( x ) + cos ( x ) 2sin( x )cos( x ) = 1 2sin( x )cos( x ) G&R vwo B deel Goniometrie en beweging C. von Schwartzenberg / spiegelen in de y -as y = sin( x f ( x = sin( x f ( x = sin( x heeft dezelfde grafiek als y = sin( x. spiegelen in de y -as y = cos( x g(

Nadere informatie

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Examen VWO 2013. wiskunde B. tijdvak 1 woensdag 22 mei 13.30-16.30 uur. Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Examen VWO 203 tijdvak woensdag 22 mei 3.30-6.30 uur wiskunde B Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 9 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf

klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf Checklist 3 HAVO wiskunde klas 3 havo Checklist HAVO klas 3.pdf 1. Hoofdstuk 1 - lineaire problemen Ik weet dat de formule y = a x + b hoort bij de grafiek hiernaast. Ik kan bij een lineaire formule de

Nadere informatie

Practicum hoogtemeting 3 e klas havo/vwo

Practicum hoogtemeting 3 e klas havo/vwo Deel (benaderbaar object) Om de hoogte van een bepaald object te berekenen hebben we geleerd dat je dat kunt doen als je in staat bent om een rechthoekige driehoek te bedenken waarvan je één zijde kunt

Nadere informatie

6.1 Rechthoekige driehoeken [1]

6.1 Rechthoekige driehoeken [1] 6.1 Rechthoekige driehoeken [1] In het plaatje hiernaast is een rechthoekige driehoek getekend. Aan elke zijde van deze driehoek ligt een vierkant. Het gele vierkant heeft een oppervlakte van 9 hokjes;

Nadere informatie

1. Invoering van de goniometrische cirkel

1. Invoering van de goniometrische cirkel . Invoering van de goniometrische cirkel We beschouwen de eenheidscirkel. Beschouwen we eveneens twee loodrechte assen door O. We duiden (E o, E δ ) aan : een orthonormale basis van het vlak. We kunnen

Nadere informatie

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET

PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET PROBLEEMOPLOSSEND DENKEN MET Van onderzoekend leren naar leren onderzoeken in de tweede en derde graad Luc Gheysens DPB-Brugge 2012 PROBLEEM 1 Stelling van Pythagoras en gelijkvormige driehoeken Hieronder

Nadere informatie

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen

1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Overzicht voorkennis algebraïsch rekenen 1 Merkwaardige producten, ontbinden in factoren 1.1 Merkwaardige producten ( ) ( ) a+ b = a + ab+ b a b = a ab+ b ( ) ( ) a+ b = a + ab+ ab + b a b = a ab+ ab

Nadere informatie

6 - Geschiedenis van het getal Pi

6 - Geschiedenis van het getal Pi 6 - Geschiedenis van het getal Pi De opdracht omschrijving voor dit hoofdstuk bestond uit het volgende: F1 - Lees de hoofdstukken 1 t/m 4 en 9 uit het Zebra-boekje Pi. Maak uit de hoofdstukken 2 t/m 4

Nadere informatie

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VAK: ECONOMIE 1 EXAMEN: 2002-I

UITWERKING TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EXAMEN 2002-I VAK: ECONOMIE 1 EXAMEN: 2002-I TOELICHTING OP DE ANTWOORDEN VAN HET EAMEN 2002-I VAK: ECONOMIE 1 NIVEAU: HAVO EAMEN: 2002-I De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenen die

Nadere informatie

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek.

2010-II bij vraag 1. Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. 200-II bij vraag Vooraf: De stelling van de constante (omtreks)hoek. Een applet (animatie) hierover is te vinden op bijvoorbeeld: http://home.planet.nl/~hietb062/java3.htm#constantehoek De punten P op

Nadere informatie

8.1 Rekenen met complexe getallen [1]

8.1 Rekenen met complexe getallen [1] 8.1 Rekenen met complexe getallen [1] Natuurlijke getallen: Dit zijn alle positieve gehele getallen en nul. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,... Het symbool voor de natuurlijke getallen is Gehele getallen: Dit zijn

Nadere informatie

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen.

Examen VWO. wiskunde B (pilot) tijdvak 2 woensdag 18 juni 13.30-16.30 uur. Achter dit examen is een erratum opgenomen. Eamen VW 04 tijdvak woensdag 8 juni.0-6.0 uur wiskunde B (pilot) Achter dit eamen is een erratum opgenomen. Dit eamen bestaat uit 6 vragen. Voor dit eamen zijn maimaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer

Nadere informatie