Primitiveren. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen)

Transcriptie

1 Primitiveren WISNET-HBO update april 2006 Inleiding Soms moet je juist de functie bepalen waarvan de afgeleide bekend is. Dit omgekeerd differentiëren (de primitieve bepalen) heet in het Engels de antiderivative. Voor het bepalen van de antiderivative (ook wel primitieve genoemd) zijn eigenlijk geen rekenregels. Je moet door ervaring in het differentiëren er achter komen wat de primitieve is. Omgekeerd differentiëren (primitieve bepalen) Neem pen en papier om de voorbeelden na te doen. voorbeeld 1 Gegeven is de afgeleide functie Bepaal de functie. Voor het bepalen van de functie We proberen zijn dus eigenlijk geen rekenregels. en gaan door middel van differentiëren controleren of deze primitieve de juiste is. Op een constante na is deze uitkomst goed. De functie was ook goed geweest. Er was echter nog een extra gegeven nodig geweest om te bepalen welke functie je zou moeten hebben. voorbeeld 2 Gevraagd wordt nu een functie te bepalen waarvoor geldt dat en waarvan de afgeleide gegeven is.

2 differentiaalvergelijking De formule wordt differentiaalvergelijking genoemd. Het is een vergelijking waarin de afgeleide van een bepaalde functie voorkomt. Probeer de functie Differentiëren van deze functie levert het gewenste resultaat. Vul hierin en je kunt achterhalen wat de waarde van C is geweest als. differentiaalvergelijking De opdracht is hier steeds om de functie te zoeken waarvan de afgeleide gegeven is. De formule wordt differentiaalvergelijking genoemd. Het is een vergelijking waarin de afgeleide van een bepaalde functie voorkomt. Als je deze vergelijking oplost, dan zoek je naar de functie waarvoor geldt dat de afgeleide gelijk is aan. Bij een dergelijke differentiaalvergelijking moet ook altijd een zogenoemde randvoorwaarde gegeven zijn, wil je dé functie vinden waar het om gaat. Immers je kunt van allerlei functies vinden die hieraan voldoen omdat er altijd nog een constante bij komt die na differentiëren toch weer 0 oplevert. Voor het oplossen van dit soort vragen wordt verwezen naar de cursus Differentiaalvergelijkingen. Primitiveren (theorie) De primitieve bepalen betekent in feite de functie bepalen waarvoor geldt dat Anders geschreven: Links en rechts maal dx: df = f dx

3 De betekenis van df is een klein stukje toename van F. De betekenis van f dx betekent de functiewaarde f maal een kleine toename van x. Nu links en rechts integreren (alle kleine stukjes optellen) waarbij alle kleine toenamen df tesamen F oplevert. Je kunt je voorstellen dat als je de functie F gevonden hebt, dat ook waarbij C een constante is. Immers de afgeleide van een constante is gelijk aan 0. voldoet, voorbeeld Gegeven is een functie. Een primitieve is gelijk aan waarbij C een willekeurige constante is. In de figuur zie je de grafiek van f in het rood. In het blauw een primitieve (Engels = antiderivative). In het groen alle mogelijke primitieven met verschillende waarden van de constante C. Ga na dat de afgeleide van de functies met groene en de blauwe grafiek de rode grafiek oplevert.

4 Een Maplet om mee te oefenen Oefeningen primitiveren In de volgende opgaven moet je nagaan wat de primitieve functie is geweest als de afgeleide functie gegeven is. Neem pen en papier om de oefeningen te doen. LET OP. Verander de volgorde niet bij de invoer van Maple: Als er een functie is gedefiniëerd, wordt deze onthouden tot je een nieuwe functie definieert waarbij de oude functie "vergeten" wordt door het programma. 1 Bepaal de functie als de afgeleide is gegeven. Verder is nog als randvoorwaarde gegeven dat : aanwijzing De differentiaalvergelijking is gegeven. Dat wil zeggen dat de afgeleide van de functie is gegeven. Bepaal nu met het extra gegeven (de randvoorwaarde) wat de functie is geweest.

5 oplossing 2 Bepaal de functie als de afgeleide is gegeven. Verder is nog als randvoorwaarde gegeven dat : aanwijzing De differentiaalvergelijking (dv) is gegeven. Dat wil zeggen dat de afgeleide van de functie is gegeven. Bepaal nu met het extra gegeven (de randvoorwaarde (rv) ) wat de functie is geweest. oplossing 3 Bepaal de functie als de afgeleide is gegeven. Verder is nog als randvoorwaarde gegeven dat : aanwijzing De differentiaalvergelijking (dv) is gegeven. Dat wil zeggen dat de afgeleide van de functie is gegeven. Bepaal nu met het extra gegeven (de randvoorwaarde (rv) ) wat de functie is geweest. oplossing

6 4 Bepaal de functie als de afgeleide is gegeven. Verder is er geen randvoorwaarde gegeven. aanwijzing 1 De differentiaalvergelijking (dv) is gegeven. Dat wil zeggen dat de afgeleide van de functie is gegeven. Bepaal nu met het extra gegeven (de randvoorwaarde (rv) ) wat de functie is geweest. aanwijzing 2 Je kunt schrijven als oplossing Als er geen randvoorwaarde gegeven is, dan kan de functie op een constante na die we _C1 kunnen noemen. bepaald worden 5 Gegeven is de Dwarskracht op elke plaats x in een balk met lengte L. Bekend is dat de afgeleide van het moment gelijk is aan de Dwarskracht Verder is gegeven dat het moment. Bepaal het moment.

7 aanwijzing 1 Vat en L als constanten op. Dat wil zeggen dat is ook constant en is ook constant! Het komt dus neer op het integreren van. Er moet gelden dat. We moeten dus de primitieve vinden van. Onbepaald integreren De primitieve bepalen betekent in feite de functie bepalen waarvoor geldt dat Anders geschreven: Links en rechts maal dx: df = f dx De betekenis van df is een klein stukje toename van F. De betekenis van f dx betekent de functiewaarde f maal een kleine toename van x. Nu links en rechts integreren (alle kleine stukjes optellen) waarbij alle kleine toenamen df tesamen F oplevert. Je kunt je voorstellen dat als je de functie F gevonden hebt, dat ook waarbij C een constante is. Immers de afgeleide van een constante is gelijk aan 0. voldoet, Een oefening om de primitieve te bepalen met behulp van de standaardintegralen.

8 oefening 1 Kijk in de lijst met standaardintegralen. Daarin staat de primitieve van. Daarin kun je a vervangen door. Je moet dan natuurlijk wel met breuken kunnen werken! oefening 2 Probeer als primitieve ook weer en differentieer deze. Goedmaken met een en een en een minteken. oefening 3 oefening 4 Probeer en differentieer dit. Je zult zien dat als je met de kettingregel differentiëert, dat je er dan nog een extra x bij krijgt (gelukkig maar).

9 Je hoeft dan alleen nog met goed te maken. Het is dus in deze situatie niet aan te raden om eerst de haakjes weg te werken en dan te integreren. Het is dan = + C haakjes wegwerken van het De haakjes van het kunnen weggewerkt worden maar dat is niet aan te raden. anwoord met de computer Als je de computer de berekening laat doen, worden de haakjes automatisch weggewerkt en de constante wordt op 0 gezet. oefening 4a 1 Schrijf de integraal als volgt: 2 Probeer als en differentiëer dit. Als je het goed differentiëert met de kettingregel, dan krijg je automatisch de x terug (gelukkig maar) en je hoeft alleen maar goed te maken met een minteken en een. oefening 5

10 Let op dat p een constante is, dus is ook een constante. Er staat dus. oefening 6 oefening 7 oefening 7a Als de graad van de teller één lager is dan de graad van de noemer, probeer dan met ln. Immers als je differentiëert, dan moet de kettingregel toegepast worden! Probeer dus met en differentiëer dit. Goedmaken met een. oefening 7b

11 Kijk in de lijst met standaardintegralen en herken daarin iets met de arctangens. Probeer en differentiëer dit en pas de kettingregel toe. De afgeleide van is Werk deze breukencombinatie uit en je zult zien dat er uitkomt: aanvulling op de lijst met standaardintegralen Als je wilt, kun je een aanvulling maken op de lijst van standaardintegralen: oefening 8 Herken hierin dat de noemer van de tweede graad is en de teller van de eerste graad in v. Zie ook oefening 7a Let verder op dat a en b constanten zijn. oefening 8a

12 Herken hierin dat de noemer van de tweede graad is en de teller van de eerste graad in x. Zie ook oefening 7a en 8 oefening 9 1 Let op dat kleine r de variabele is en de grote R is een constante. 2 Je kunt er ook twee integralen van maken en de constante voor het integraalteken zetten.. oefening 10 Schrijf de integrand als en probeer als. Je hoeft dan alleen nog maar met een minteken en een 2 goed te maken. oefening 11

13 De graad van de teller is één lager dan de graad van de noemer Probeer dan met ln te werken zoals in oefening 7a en 8. oefening 12 De graad van de teller is één lager dan de graad van de noemer. Probeer dan met ln te werken. Je hoeft hier alleen maar met een 5 goed te maken.