UITBREIDING INTEGRALEN VAN HET TYPE. ««««««««««x ««2« ««9««««««««««1««6««x««««« ««1««««««««««u«««««2. f (x) 1 ««««««««

Transcriptie

1 INTEGRALEN VAN HET TYPE k. f (x). dx ««a««««««««b«.«««f«(«x«)««a. Een nieuwe fundamentele integraal Met behulp van de rekenregels van afgeleiden vinden we ook. du = arcsin u + c ««««««««««««u«««««arcsin x + c en dus ««««««««««««x«««««b. Voorbeelden We laten met enkele voorbeelden zien hoe we integralen van het type kunnen berekenen. k. f (x). dx ««a««««««««b«.«««f«(«x«)««voorbeeld ««4««««««««««x«««««du = ««««««««««««u«««««««««««««««x ««««arcsin u + c = arcsin x _ + c x 4 ««««««««««««««. du = ««««««««««««u«««««x u = du = dx du = dx Voorbeeld x ««9««««««««««««6««x«««««4 x ««««««««6x «««««««««4««9 x «««««««««««4x «««««««««. du = ««««««««««««u«««««8. du = 8 ««««««««««««u«««««_ 8 arcsin u + c = _ 8 arcsin 4x + c 4x u = 8x du = dx du = x dx 8

2 C. Toepassing We zoeken de oppervlakte ingesloten door de grafieken van f en g met voorschriften f(x) = en g(x) = ««4««««««««««x«««««f(x) = g(x) = ««4««««««««««x«««««Oplossing ««5 ««5 De snijpunten van f en g kunnen we bepalen met ICT, en, We weten dat deze oppervlakte gelijk is aan ««5 ««5 f(x) g(x) dx = dx ««5 ««5 ««4««««««««««x«««««Met behulp van het resultaat uit voorbeeld vinden we: a) dx =. dx dx = x arcsin x + c ««4««««««««««x«««««««4««««««««««x«««««««5 ««5 ««5 b) dx = [x] [ arcsin x ««5 ««4««««««««««x«««««««5 ] ««5 Met behulp van ICT vinden we:, , = 9, c) De gevraagde oppervlakte bedraagt dus ongeveer 9,0 (op 0,0 nauwkeurig)

3 INTEGRALEN VAN HET TYPE k. f (x). dx a + b.f(x) A. Een nieuwe fundamentele integraal Met behulp van de rekenregels van afgeleiden vinden we ook. du + u = arctan u + c. dx + x = arctan x + c en dus B. Voorbeelden We laten met enkele voorbeelden zien hoe we integralen van het type kunnen berekenen. k. f (x). dx a + b.f(x) Voorbeeld 6 + x 6 + x x 4. 4 du = 6 + u du = 4 + u _ 4 arctan u + c = _ 4 arctan x _ 4 + c x u = 4 du = dx 4 du = dx 4 Voorbeeld x 9 + 5x 4 x 9 + 5x 4 9 x 9 + 5x. du = 9 + u 0. du = 0 arctan u + c = u 0 arctan 5x + c 5x u = 0x du = dx du = x dx 0

4 C. Toepassing We zoeken de oppervlakte ingesloten door de grafiek van f met voorschrift f(x) =, 6 + x de x-as en de rechten met vergelijkingen x = en x =. f(x) = 6 + x Oplossing: We weten dat deze oppervlakte gelijk is aan dx. 6 + x Met behulp van het resultaat uit voorbeeld vinden we: a) dx = 4 arctan x 6 + x 4 + c b) dx = 4 arctan x 6 + x 4 + c = 4 arctan 4 arctan Met behulp van ICT vinden we 0, c) De gevraagde oppervlakte bedraagt dus ongeveer 0,8 (op 0,0 nauwkeurig). 4

5 : SPLITSEN IN PARTIEELBREUKEN A. Probleemstelling x x + We zoeken de oppervlakte ingesloten door de grafiek van f met voorschrift f(x) =, x + x de x-as en de rechten met vergelijkingen x = en x = 5. x x + f(x) = x + x 5 x x + Deze oppervlakte is gelijk aan: dx x + x We moeten hier dus een integraal van een gebroken rationale functie berekenen. B. Analyse van het probleem Aan de hand van enkele eenvoudige voorbeelden proberen we om het probleem te analyseren. We zullen het probleem echter niet verder uitdiepen dan nodig. Met behulp van Derive vinden we: x + vb: f (x) = = + x + x x + x 5

6 x vb: f (x) = = + x x x + (x + ) (x + ) (x ) x x + vb: f (x) = = x + + x + x x x + 4x + x 7x 46 vb4: f 4 (x) = = x x 0x + 9 4x 0x + 9 We stellen vast dat we, voor de gekozen functies f en f, elke gebroken rationale functie kunnen schrijven als een som van breuken. We spreken dan van splitsen in partieelbreuken. Voor f en f 4 hebben we nog een aanvulling met een veelterm omdat de graad van de teller groter dan of gelijk is aan de graad van de noemer. Met de regels die we al kennen kunnen we echter wel schrijven dat: x + vb: dx = dx + dx x + x x + x x + 5 vb: dx = dx dx + 4 x x x + x + x (x ) x x + vb: dx = (x ) dx + dx + dx x + x x x + 6

7 4x + x 7x 46 vb4: dx = (x + 5) dx + dx 4x 0x + 9 4x 0x + 9 Meteen worden de nieuwe problemen duidelijk. We moeten weten hoe we een aantal types moeten berekenen om de vier voorbeelden en het inleidend probleem op te lossen. In volgende paragraaf bespreken we deze types. C. Basisintegralen bij splitsen in partieelbreuken: type r dx met a, r 0 en b ax + b Deze integralen kunnen we al berekenen. Zo kunnen we nu al voorbeeld uitwerken: x + dx = dx + dx = du + dx x + x x + x u x = lnœuœ+ lnœxœ+ c = lnœx + œ + lnœxœ + c En zelfs voor voorbeeld zijn we nu al klaar; immers : u (x ) (x ) dx = u du = + c = + c u = x + du = dx u = x du = dx En dus vinden we: x x + (x ) x + x x x + dx = (x ) dx + dx + dx = + lnœxœ + lnœx+œ + c D. Basisintegralen bij splitsen in partieelbreuken: type r dx met a, r 0 en b (beperking tot een tweede macht) (ax + b) Deze integralen kennen we ook al. Zo kunnen we nu al voorbeeld berekenen; immers: u dx = (x ) dx = u du = + c = + c (x ) x u = x du = dx En dus vinden we: x + 5 x x x + x + x (x ) dx = dx dx + 4 dx 4 = lnœx+œ lnœx œ + c x 7

8 E. Basisintegralen bij splitsen in partieelbreuken: type r dx met a, r 0 en b,c en b 4ac < 0 ax + bx + c Voorbeeld 4x + x + 6 4x + x (x + ) x + «7 dx = dx = dx = dx «7 «7 «7 «7 = du = du = arctan u + c = arctan + c 7 + u 7 + u 4 4 x + «7 x + u = «7 «7 du = dx du = dx «7 F. Basisintegralen bij splitsen in partieelbreuken: type 4 rx + s dx met a, r 0 en b,c,s en b 4ac < 0 ax + bx + c EIGENSCHAP f (x) dx = lnœf(x)œ+ c f(x) BEWIJS f (x) dx = du = lnœuœ+ c = lnœf(x)œ+ c f(x) u Stel : u = f(x) du = f (x) dx 8

9 Voorbeeld 7x + 5 7x + ) dx = dx + dx 6x + x x + x x + x + 60 = lnœ6x + x + 60œ+ I (eigenschap) Denkwerk om eigenschap te kunnen toepassen D(6x + x + 60) = 7x + 7x + 5 = 7x + + c c = ) I = dx = dx + dx = dx 6x + x x + x (6x + ) x + «5«9 «5«9 «5«9 «5«9 «5«9 = du = du = arctan u + c = arctan + c 59 + u u x + «5«9 7x + 5 «5«9 Dus: dx = lnœ6x + x + 60œ+ arctan 6x + 6x + x «5«9 + c 6x + u = «5«9 6 «5«9 du = dx du = dx «5«9 6 9

10 Voorbeeld 4x + x 7x + 46 ) dx = (x + 5) dx + dx = I + I 4x 0x + 9 4x 0x + 9 (x +5) ) I = (x + 5) dx = u du = u + c = + c u = x + 5 du = dx 7x 46 9(8x 0) 4 ) I = dx = dx + dx 4x 0x + 9 4x 0x + 9 4x 0x + 9 = 9 lnœ4x 0x + 9œ+ 4 I (eigenschap) Denkwerk om eigenschap te kunnen toepassen D(4x 0x + 9) = 8x 0 7x 46 = 9(8x 0) + c c = 4 ) I = dx = dx + dx 4x 0x + 9 4x 0x (x 5) + 4 x 5 u = du = dx = dx = du = arctan u + c = arctan u + c 4 + x u 4 4 4x + x (x 5) 7 x 5 Dus: dx = + 9 lnœ4x 0x + 9œ+ arctan + c 4x 0x + 9 0

11 G. Toepassing x x + We zoeken de oppervlakte ingesloten door de grafiek van f met voorschrift f(x) =, x + x de x-as en de rechten met vergelijkingen x = en x = 5. x x + f(x) = x + x x x + Deze oppervlakte is gelijk aan: dx x + x ) In C hebben we gevonden dat: 5 x x + (x ) dx = (x ) dx + dx + dx = + lnœxœ+ lnœx+ œ+ c x + x x x + 5 x x + Bijgevolg is dx = (9 0) + (ln 5 ln ) + (ln 6 ln ) = 4,5 + ln 5 = 6, x + x De oppervlakte is dus ongeveer 6, (op 0,0 nauwkeurig). Uiteraard kunnen we dit resultaat weer controleren met ICT. Met Derive vinden we: