Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "Rekenvaardigheden voor klas 3 en 4 VWO"

Transcriptie

1 Rekenvaardigheden voor klas en VWO Een project in het kader van het Netwerk VO-HO West Brabant Voorjaar 00 Samenstelling: M. Alberts (Markenhage College, Breda) I. van den Bliek (Mencia de Mendoza, Breda) E. Lambeck (Newmancollege, Breda) H. Sterk (Technische Universiteit Eindhoven) J. Verschuren (Mgr. Frencken College, Oosterhout) H. Voorn (Mgr. Frencken College, Oosterhout)

2

3 Een oefenreeks algebraïsche vaardigheden voor VWO Inleiding Algebraïsche vaardigheden vormen een onmisbaar onderdeel van de wiskundige vorming van leerlingen in het voortgezet onderwijs. De afgelopen jaren is echter op diverse plaatsen geconstateerd dat de algebraïsche vaardigheden merkbaar zijn afgenomen. De aansluiting met vervolgopleidingen in het hoger onderwijs is mede hierdoor in gevaar gekomen. Met de documenten `Rekenvaardigheden voor de bovenbouw VWO en Rekenvaardigheden voor klas en VWO beoogt de productgroep Wiskunde (VWO) uit het Netwerk West-Brabant de docenten wiskunde een handvat te bieden om algebraïsche vaardigheden gedurende de leerjaren tot en met 6 VWO voldoende aan bod te laten komen. Zo krijgen zij de mogelijkheid een serieus aansluitingsprobleem in een vroeg stadium gericht het hoofd te bieden, terwijl in de huidige situatie de rekenvaardigheidsproblematiek voornamelijk door instellingen voor hoger onderwijs wordt aangepakt, (te) laat dus. Op termijn zullen de methoden die in het voortgezet onderwijs gebruikt worden ongetwijfeld de lacunes opvullen. Het is zaak ons tot die tijd zelf actief met (dit aspect van) de aansluitingsproblematiek bezig te houden. Gunstig neveneffect van het project is ook dat samenstellers en gebruikers van het materiaal met de door hen opgedane ervaring een nuttige bijdrage zullen kunnen leveren aan de inrichting van het toekomstige wiskundeonderwijs, met oog voor aansluiting. De inrichting van het materiaal Algebraïsche vaardigheden vormen met nadruk een onderdeel van het wiskundeonderwijs. Wiskunde en wiskundeonderwijs behelzen uiteraard veel meer, en we willen niet de indruk wekken dat algebraïsche vaardigheden het centrale onderdeel van de wiskunde zijn. De door de productgroep samengestelde materialen moeten gezien worden als een coherente aanvulling bij het bestaande curriculum, waarmee een majeur aansluitingsprobleem in een vroeg stadium aangepakt kan worden. Bij de samenstelling van het materiaal hebben we ons laten leiden door de volgende uitgangspunten. Een oefenlijn voor meerdere jaren Het is van belang rekenvaardigheden gedurende langere tijd te trainen. Om die reden is materiaal samengesteld dat geschikt is om te gebruiken in de klassen tot en met 6 VWO. Korte aanduidingen van de betekenis Voor de hogere klassen is ervoor gekozen, waar mogelijk, een korte indicatie te geven waarom een techniek nuttig is. Doorgaans gebeurt dit aan de hand van een concreet voorbeeld. Hiermee hopen we leerlingen te motiveren, maar ook docenten aan te zetten op dezelfde weg verder te gaan en materiaal te verzamelen waarmee zij hun leerlingen kunnen stimuleren zich een techniek eigen te maken. Kriskrasopgaven Naast opgaven per onderwerp is ook een opgavenreeks opgenomen waarvan elk item een willekeurig rekenvaardigheidsaspect belicht. Leerlingen kunnen op deze manier uiteindelijk vaststellen of zij in een onbekende' situatie adequaat het standaardarsenaal aan technieken weten in te zetten. Maurice Alberts (Markenhage College) Ingrid van de Bliek (Mencia de Mendozalyceum) Ernst Lambeck (Newmancollege) Hans Sterk (Technische Universiteit Eindhoven) José Verschuren en Hans Voorn (Mgr. Frencken College)

4

5 Inhoudsopgave. Breuken blz.. Gelijksoortige termen samennemen 8. Rekenen met machten 9. Rekenen met wortels 0. Breuken met letters 6. Algebraïsche producten. Ontbinden in factoren 8. Eerstegraads vergelijkingen 9. Eerstegraads ongelijkheden 0. Tweedegraads vergelijkingen 6. Vervolg tweedegraads vergelijkingen. Tweedegraads ongelijkheden 8 Oefening 9 Oefening Oefening Oefening Oefening Kris Kras Opgaven 9 Antwoorden oefening t/m

6 6

7 . Breuken Hier komen gewone breuken aan de orde zoals en. Let op : ½ betekent + ½. Vereenvoudigen van breuken : b a b k a k (teller en noemer delen door k) vb. 0 8 Optellen van gelijknamige breuken : b c a b c b a + + vb ) ( ) ( (een andere manier) 9 ) ( ) ( Vermenigvuldigen van breuken : bd ac d c b a vb Delen van breuken : bc ad c d b a d c : b a Algemeen: delen door een getal is vermenigvuldigen met de omgekeerde vb. : : :

8 . Gelijksoortige termen samennemen Een onderdeel van een optelling of aftrekking noemt men een term; een vorm met meerdere termen wordt een veelterm genoemd. Een onderdeel van een vermenigvuldiging of een deling noemt men een factor. vb. in de veelterm x + y zijn de termen x en y, in x zijn en x factoren. Men onderscheidt gelijksoortige termen en niet-gelijksoortige termen. vb. x en x zijn gelijksoortige termen (van het soort x), x en 8x zijn gelijksoortige termen (van het soort x ), a b en a b zijn gelijksoortige termen (van het soort a b), x y en xy zijn niet-gelijksoortig. Gelijksoortige termen neemt men samen tot één term. vb. x + x x x 8x x a b a b 0a b x y + 6xy kan je niet korter schrijven a a + 6a + a a 8a a + 6a a + a + a 8a a a 8

9 . Rekenen met machten Een macht is een kortere schrijfwijze voor een herhaalde vermenigvuldiging van dezelfde factoren. vb. a aaa ( p) ( p)( p)( p)( p) (x + y) (x + y)(x + y) Let op het verschil tussen 9 en ( ) ( )( ) 9 Voor het rekenen met machten zijn enkele regels afgeleid a. Optellen en aftrekken van machten Alleen gelijksoortige machten kunnen samen worden genomen (zie gelijksoortige termen) vb. x + 9x x 6x 8x : kan je niet korter schrijven b. Vermenigvuldigen van machten : a p a q a p + q vb. a a a 0 x x 6 x x 6 8x 8 x x x x x (bij het rekenen met machten is x x) 9x y xy x y p p a a p q a c. Delen van machten : en a als p > q en als p < q p q q q p a a a a p vb. 6x y 6 x y x y x y x y xy 9xy y p pq d. Macht van een macht : ( ) vb. ( ) x x a q a p p e. Macht van een product : ( ) vb. ( x) x 8x ( x ) ( ) x x p ab a 6 6 ( a ) ( a ) a a 8a ( p q) p q p 6 ( pq ) p q q b 9

10 . Rekenen met wortels a is het niet-negatieve getal waarvan het kwadraat gelijk is aan a. vb. 6 want 6 9 want 9 Wortels zijn te benaderen met decimale getallen, daarvoor kun je je rekenmachine gebruiken. Het is gebruikelijk in de wiskunde en ook vaak nuttig om de wortels waar mogelijk te vereenvoudigen. Hieronder bespreken we hoe je dat aanpakt. a. Optellen en aftrekken van wortels Alleen gelijksoortige wortels kunnen worden samen genomen tot één wortel (zie gelijksoortige termen) vb dit kan je niet eenvoudiger schrijven b. Vermenigvuldigen van wortels : a b ab vb c. Delen van wortels : 8 vb. 9 a b a b d. Vereenvoudigen van wortels Als er een wortel in het antwoord voorkomt en er wordt niet gevraagd naar een benadering, is het gebruikelijk de wortels zover mogelijk te vereenvoudigen. Dit betekent dat je zoveel mogelijk kwadraten buiten de wortel brengt. vb

11 . Breuken met letters a. Vereenvoudigen van breuken vb. 8a + b 8a 0ab + b b + b 0ab b a + b b + b ab + b b. Optellen van breuken : a c a c + + b b b vb. x z x z + + y y y Vaak moeten eerst de breuken gelijknamig gemaakt worden. vb. a + b r x + y x b b a a + b + b b r x + x y x y r + x x y c. Vermenigvuldigen van breuken : vb. x r rx y s sy u x u x v v ux v a b c d ac bd a c a d ad d. Delen van breuken : : b d b c bc Algemeen: delen door een getal is vermenigvuldigen met de omgekeerde. vb. xy y : z x xy x z y y x z y y x z

12 6. Algebraïsche producten Een techniek die veel wordt toegepast op algebraïsche vormen is het herleiden van producten tot een som of een verschil. We herkennen daarbij een aantal veel voorkomende technieken.. e Algemeen product : a(b + c) ab + ac vb. x(x 6) 6x 8x. e Algemeen product : (a + b)(c + d) ac + ad + bc + bd vb. (x + )(x 6) 6x x + 9x 8 6x x 8 vb. (x )(x + 9) x + x 6 vb. (p 6)(p ) p p + 0 de e term ontstaat uit de som van en 9 en de e term uit het produkt van en 9. e Bijzondere product : (a b)(a + b) a b vb. (x )(x + ) 9x 6. e Bijzondere product : (a + b) a + ab + b De middelste term, ab, noemt men het dubbelproduct. vb. (x + ) x + x + 9 vb. (x ) x x + 9

13 . Ontbinden in factoren Dit betekent dat een som van termen wordt geschreven als product. We kennen daarvoor een aantal methoden. De methoden zijn afgeleid van de algebraïsche producten. a. Gemeenschappelijke factor buiten haakjes halen vb. x 8x x(x ) vb. 6a b ab ab(a b) vb. x + x x (neem het min-teken mee naar buiten) x(x x + ) b. Som-product methode vb. x + x + 6 (x + )(x + ) want + en x 6 vb. p p 0 (p )(p + ) want + en x 0 c. Verschil van kwadraten vb. x y (x y)(x + y) vb. a 6 (a )(a + ) vb. 9a b (a b)(a + b)

14 8. Eerstegraads vergelijkingen Een eerstegraads vergelijking is een vergelijking die te herleiden is tot ax + b c. Het oplossen van de vergelijking is het zoeken naar een getal dat, na invulling voor de onbekende, een ware bewering oplevert. vb. x + x + heeft als oplossing x want + + ( ) De methode die we hier gebruiken is de balans-methode. Je mag aan beide kanten van het "" teken met hetzelfde getal vermeerderen, verminderen, vermenigvuldigen en delen, zonder dat de oplossing verandert. vb. x + x + [ x] x + [ ] x [ -] x vb. / x / x + [ 6] x 8 0x + 8 [ 0x] x 8 8 (+8] x 6 [:-] 6 x Eerstegraads vergelijkingen hebben precies één oplossing.

15 9. Eerstegraads ongelijkheden Het oplossen van de ongelijkheid is het zoeken naar alle getallen die, na invulling voor de onbekende, ware beweringen opleveren. De methode die we hier gebruiken lijkt sterk op de balans-methode van de eerstegraads vergelijkingen, maar er is een belangrijk verschil. Je mag aan beide kanten van het ">" en < teken met hetzelfde getal vermeerderen, verminderen, met een positief getal vermenigvuldigen en door een positief getal delen, zonder dat de oplossing verandert. Echter vermenigvuldig je met of deel je door een negatief getal, dan slaat het teken om. vb. x + > x + [ x] x + > [ ] x > 6 [ : ] x > vb. (x ) < (x +) [haakjes wegwerken] x < 6x + [ 6x] x < [+] x < [:-] x > /

16 0. Tweedegraads vergelijkingen Het oplossen van de vergelijking is het zoeken naar getallen die, na invulling voor de onbekende, ware beweringen opleveren. vb. x + x heeft twee oplossingen, nl. en, want ( ) + ( ) en + De methode om deze vergelijkingen op te lossen berust op het volgende principe: Een product is gelijk aan nul als een van de factoren gelijk aan nul is. In formule: als a b 0 dan moet gelden a 0 of b 0 De methode: werk eventuele haakjes weg, herleid de vergelijking op nul, ontbind het linkerlid in factoren (zie ontbinden in factoren), pas toe: ab 0 d.w.z. a 0 of b 0, werk de twee eerstegraads vergelijkingen verder uit. vb. x + x (op nul herleiden) x + x 0 (ontbinden in factoren; som-product-methode) (x + )(x ) 0 x + 0 of x 0 x of x vb. ½x + x 0 (ontbinden in factoren: gemeenschappelijke factor) ½x(x 6) 0 ½x 0 of x 6 0 x 0 of x 6 vb. x 6 (op nul herleiden) x 6 0 (ontbinden in factoren: verschil van kwadraten) (x )(x + ) 0 x 0 of x + 0 x of x nb. vaak zal je bij dit type het antwoord snel kunnen geven en kan je alle stappen overslaan. x 6 x of x 6

17 . Vervolg tweedegraads vergelijkingen Als het linkerlid van de vergelijking niet eenvoudig is te ontbinden, dan is er nog een alternatieve methode, de abc-formule. We gaan uit van de algemene vorm: ax + bx + c 0 We berekenen eerst de Discriminant D b ac Daarna kunnen we de oplossingen berekenen met: x b a D en x b + a D vb. x x 0 a, b en c D ( ) ( ) x of x + (controleer met je rekenmachine dat het antwoord goed is!) vb. 8x + 6x + [ ] 8x + 6x + 0 dan a 8, b 6 en c + D x of x

18 . Tweedegraads ongelijkheden Om de ongelijkheid f(x) > g(x) op te lossen, vraag je je af: Voor welke x of x en ligt het punt (x,f(x)) van de grafiek van f boven het punt (x,g(x)) van de grafiek van g?. Vergelijkbaar is natuurlijk de ongelijkheid f(x) < g(x). Het is daarvoor nodig de grafieken van f en g te tekenen. Daarna moeten de coördinaten van het snijpunt (of de snijpunten) berekend worden. Oplosmethode: het -stappen-plan. voer in op je GR y linkerlid y rechterlid. schrijf het venster op en schets de grafiek. bereken de coördinaten van het snijpunt (de snijpunten) door de vergelijking f(x) g(x) op te lossen: hetzij algebraïsch, hetzij met je GR. lees het antwoord af uit de grafiek vb. Los algebraïsch op x + x + > x. y x + x + y x. [,] x [,]. snijden: f(x) g(x) x + x + x x + x x x 6 0 (x + )(x ) 0 x v x. x + x + > x geeft < x < 8

19 Oefening Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. a + a 9a + 0a b. ab 9a b + ab + a b c. a b 8a b a b + 9a b d. 9x 8x 0x + 6x x + x Opgave. Herleid de volgende machten: a. x y ( 6x y) b. (a ) c. ( x y)( 6xy ) d. (x y 6 ) Opgave. Herleid de volgende wortels: a. ( 6 ) b c. 9 d. ( ) Opgave. Herleid tot een som of een verschil: a. x(x ) e. xy(x + y 6) b. (x + )(9x 6) f. (x + 9)(x + ) c. (x + )( x ) g. (p q)(p + q) d. (x + )(x ) h. (x + 0) Opgave. Ontbind in factoren: a. x x e. x + x + b. ½ p + p p f. 8p q pq c. x 6 g. a a d. a b ab h. k + k 0k Opgave.6 Los de volgende vergelijkingen op: a. (x 6) + x (x 8) + b. ¼ x + x 8 c. / x ½ (x ) d. / x (x ) / (x ) + (x ) 9

20 Opgave. Los de volgende vergelijkingen op: a. x x e. p(p+ ) p b. x 6 f. ½ x x c. x + x + 0 g. x d. a h. x ½ x Opgave.8 Herleid tot één breuk: a. b. c. d. + e. 8 f. 9 + g h. : Opgave.9 Herleid: a. b. xy 8x abc ac c. d. pq + ps p p + q p + q Opgave.0 Los algebraïsch op: a. x x > 0 b. x < 6x 0

21 Oefening Opgave. Herleid: a. b. c. 8 d. 8 9 e.. 0 f. : 00 g. 8 h. 6 8 i. : j : Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. x (x + x ) + 6x b. x(x 8) 9x(x + ) c. x ( 9x) ½(x + ) d. / (x ) ½(x + ) Opgave. Herleid: a. (x y) ( xy ) xy b. (a 6 b ) ( ab ) c. d. 0a ab 9xy x b y e. f. ( xy (x x xy y ) y) xy : x y Opgave. Herleid de volgende wortels: a. + 0 b. 0 c. 6 + d. ( 0 ) e. ( ) 6 9

22 Opgave. Herleid: a. x(x 8) (x x + ) e. (x ) b. (x )(½ x + ) f. (x + ) c. (x + 0)(x 0) g. x(x )(x + ) d. (x )(x + 0x + ) h. (½ x 6) Opgave.6 Ontbind in factoren: a. x 8x e. x x + 9 b. x + x 0 f. x 6x c. / x x + 6x g. ½ p q p q d. x + 0 h. t + t + t Opgave. Los op: a. / x ½ (x ) + c. 9x 0(x + ) > 8(x 6) b. / (x 9) ½ ( + x) x 0 d. ¼ x / (x + 0) < ½ (x 6) Opgave.8 Los op: a. x 0 d. x x + 8 b. x x e. x 0 c. ½ x + (x + ) f. x(x + ) Opgave.9 Herleid de volgende formules: a. b. T P a + 0b + a 6a a c. d. x 60x y 0x p + p A p + p + 6 Opgave.0 Los op, rond je antwoord af op één decimaal: a. 0,x + x + 6 > 0 b. x x + >

23 Oefening Opgave. Herleid: a. b. 6 c. 9 d. e. : f. : Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. x(x ) (x )(x ) c. (x ) + (x + )(x ) b. (x )(x + )(x + ) d. / (x ) ½ (x + ) Opgave. a. b. xy x y ( xy x ) y Herleid: c. d. a ab b a b : ab ( a) ( a) Opgave. Herleid de volgende wortels: a. b c. d. ( ) 8 Opgave. Ontbind in factoren: a. ½a a e. x 0x + b. x + x 8 f. x + x c. p g. x(x ) + (x ) d. x x h. ab ab Opgave.6 Los op: a. (x + ) (x ) > (x + ) x b. ¼(x + ) x / (x + 0) < ½ x(x 6)

24 Opgave. Los op: a. x c. x + x 6 b. ½x 6x d. x x 9 x Opgave.8 Herleid: a. b. c. a a + c c x x + y y x y x + y 0x y 9x y x y d. e. f. + a a x y a b : c b Opgave.9 Los algebraïsch op: a. x + x > b. x > 9 c. x + x > 0 d. x 9 < 0

25 Oefening Opgave. Herleid de volgende breuken: a. 6 b. 0 c. 6 d. + 9 Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. ab a b + ab a b b. a b 8a b a b + 9a b c. 9x + 6x x + x 8x 0x d. p + p 9p + 0p Opgave. Herleid: a. (x y) ( xy ) xy b. (p 6 q ) ( pq ) c. d. a b ab 6x 8x y y Opgave. Herleid de volgende wortels: a. b c. d. ( ) 8 Opgave. Herleid: a. (p 9)(9p ) d. (a + )(a + ) b. (x + 6)( x 6) e. (x )(x + 8) c. x(x ) f. 6xy(x + y )

26 Opgave.6 Ontbind in factoren: a. a a d. x + x + 6 b. x + x + x e. 9p q pq c. p p f. a b ab Opgave. Los op: a. x c. x x b. ½x 8x d. 6 x x + x Opgave.8 Herleid: a. b. c. xy y 9 x x 9p p q q d. e. f. x y ab c x y x : y a 9bc x : y Opgave.9 Los op, rond je antwoord zo nodig af op één decimaal: a. x x < b. x x < (x )(x + ) 6

27 Oefening Opgave. Herleid: a. b. 8 c. : d. : Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. (p + p ) + 6p + p b. ( 6x) (x + ) c. ½ (a + ) / (a ) Opgave. Herleid tot een som of een verschil: a. a(a ) d. xy(x + y 6) b. (p + )(p 6) e. (a )(a + ) c. ( x + 6)( x 6) f. (p q)(p + q) Opgave. Herleid de volgende wortels: a b. 6 + c. ( d. ( ) ) 6 + Opgave. Ontbind in factoren: a. x 8x d. x 6x + 6 b. a + 6a 0 e. x x c. ½ x ½ x + 9x f. a b a b Opgave.6 Los op: a. / x ½ (x ) + c. 9x 0(x + ) > 8(x 6) b. ¼ (x 9) ½ ( + x) x 0 d. ¼ x / (x + 0) < ½ (x 6)

28 Opgave. Los de volgende vergelijkingen op: a. x x d. x(x + ) ( ½ x) b. x + 8 e. ½ a a c. x + x f. p Opgave.8 Herleid a. b. c. x + x + x + x x + x x d. e. f. + x + x 0y y : x + x x x + 9 x Opgave.9 Los op: a. (x )(x ) < 0 exact b. (x + 6) < exact c. ½ x > x + 9 op decimaal d. x + < x exact 8

29 Kris Kras Opgaven : : : ab 0. ( ) : a. ( a ) a a ( xy ). a x b 6. ( ) ab ( ) 9

30 . ( + ) 8. ( ) ( ). 0( ). ( ) ( ). ( + )( ). 6. a + 8b a 8b. t v v + t p ab p a + b x 0. + xy y... x y + a ab b a y a b 0

31 x. xy y x. : x y a 6. b ab. : p p 8. p q p : 9q a a : ( ) 9. b b 0. ( x + 6) ( x ) ). ( x ) ( x. (x 6)(x + 6). Ontbind in zoveel mogelijk factoren: a b ab + b. Ontbind in zoveel mogelijk factoren: x + x + 6. Ontbind in zoveel mogelijk factoren: x 6x + x 6. Ontbind in zoveel mogelijk factoren: a 00b. Ontbind in zoveel mogelijk factoren: x x + 6x 8. Ontbind in zoveel mogelijk factoren: x 9x 9. Los algebraïsch op: 0. Los algebraïsch op: (x ) (x + ) > x. Los algebraïsch op: ( x + 0). Los algebraïsch op: x( x ) x. Los algebraïsch op: ( x + 0)

32 . Los algebraïsch op: x x. Los algebraïsch op: x + x > (x ) 6. Gegeven is de functie f(x) x x Bereken f(), f( ), f(p), f(p), f( ), f( ) p p. Gegeven is de functie f(x) x x + Bereken f(), f( ), f(p), f(p), f( ), f( ) p p

33 Antwoorden oefening Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. a + a 9a + 0a a + a b. ab 9a b + ab + a b 8ab a b c. a b 8a b a b + 9a b a b d. 9x 8x 0x + 6x x + x x x + x Opgave. Herleid de volgende machten : a. x y ( 6x y) x y b. (a ) a 6 c. ( x y)( 6xy ) 8x y d. (x y 6 ) 6x 0 y Opgave. Herleid de volgende wortels: a. ( 6 ) b c. 9 8 d. ( ) 8 6 Opgave. Herleid tot een som of een verschil: a. x(x ) e. xy(x + y 6) 6x x 6x y 9xy + 8xy b. (x + )(9x 6) f. (x + 9)(x + ) 6x x 8 x + 0x + 99 c. (x + )( x ) g. (p q)(p + q) x p 9q d. (x + )(x ) h. (x + 0) x x 8 x + 0x + 00

34 Opgave. Ontbind in factoren : a. x x e. x + x + x(x ) (x + )(x + ) b. ½p + p p f. 8p q pq ½p(p 6p + ) pq(p ) c. x 6 g. a a (x + )(x ) (a 6)(a + ) d. a b ab h. k + k 0k ab(a b) k(k )(k + ) Opgave.6 Los de volgende vergelijkingen op : a. (x 6) + x (x 8) + x 0 x / b. ¼x + x 8 / x x 0 c. / x ½(x ) / 6 x x 8 d. / x (x ) / (x ) + (x ) 6 / x 8 / x / 9 Opgave. Los de volgende vergelijkingen op: a. x x e. p(p+ ) p x(x ) 0 (p )(p + ) 0 x 0 v x p v p b. x 6 f. ½x x x v x x(x 0) 0 x 0 v x 0 c. x + x + 0 g. x (x + )(x + ) 0 x x x v x d. a h. x ½x a v a x(6x ) 0 x 0 v x / 6

35 Opgave.8 Herleid tot één breuk: a. b. c. d. + e f g h. : Opgave.9 xy pq + ps a. y c. q + s 8x p abc b. b ac p + q (p + q) d. p + q p + q Opgave.0 a. x x > 0 ) y x x y 0 ) [,0] x [ 60,0] ) snijden: x x 0 x(x ) 0 x 0 of x ) x x > 0 y > y geeft x < 0 v x >

36 b. x < 6x ) y x y 6x ) [,0] x [ 0,0] ) snijden: x 6x x 6x 0 x(x 6) 0 x 0 of x 6 ) x < 6x y < y geeft 0 < x < 6 6

37 Antwoorden oefening Opgave. Herleid: a. b. 9 8 c. 8 0 d e f. : g. 9 8 h. i. j 6 8 : 8 : Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. x (x + x ) + 6x x x x + 6x x + x b. x(x 8) 9x(x + ) 8x 6x 9x + 8x x + x c. x ( 9x) ½(x + ) x + 9x x ½ x ½ d. / (x ) ½(x + ) / x / x ½ / x / 6

38 Opgave. Herleid: a. (x y) ( xy ) xy 0x 9 y 9 b. (a 6 b ) ( ab ) a b c. d. 0a ab 6a b 9xy x y x b y e. f. ( xy (x y x x y xy x y ) y) xy : x y Opgave. a. + 0 b c d. ( 0 ) 0 0 e. ( ) 6 9 Herleid de volgende wortels: Opgave. Herleid: a. x(x 8) (x x + ) e. (x ) x 9x x 6x +9 b. (x )(½x + ) f. (x + ) x +8x 0 x + 8x +9 c. (x + 0)(x 0) g. x(x )(x + ) x 00 x +x x d. (x )(x + 0x + ) h. (½ x 6) x + 0x x 0x 8 / x 6x + 6 8

39 Opgave.6 Ontbind in factoren: a. x 8x e. x x + 9 x(x + ) (x ) b. x + x 0 f. x 6x (x + 8)(x ) x(x + )(x ) c. / x x + 6x g. ½ p q p q / x(x 6x + 8) ½ p q ( 8p q ) d. x + 0 h. t + t + t K.N. t(t + )(t + ) Opgave. Los op: a. / x ½ (x ) + c. 9x 0(x + ) > 8(x 6) / 6 x 8 x > x 8 x < / b. / (x 9) ½ ( + x) x 0 d. ¼ x / (x + 0) < ½ (x 6) / x 0 9 / 0 x < x / x > / 9 Opgave.8 Los op: a. x 0 d. x x + 8 x x x 8 0 x v x (x )(x + ) 0 x v x b. x x e. x 0 x x 0 x x(x ) 0 x x x 0 v x / c. ½ x + (x + ) f. x(x + ) ½ x x 0 (x + 8)(x ) 0 ½ x(x 6) 0 x 8 v x x 0 v x 6 Opgave.9 a + 0b (a + b) a. T a + b a + 6a a(a + ) b. P a + a a x 60x x(x 0) c. y (x 0) x 0x 0x 0 0 p + p p(p + ) p d. A p + p + 6 (p + )(p + ) p + 9

40 Opgave.0 a. 0,x + x + 6 > 0 ) y 0,x + x + 6 y 0 ) [,0] x [ 0,0] ) snijden: 0,x + x [x ] x x 0 (x 6)(x + ) 0 x 6 of x ) 0,x + x + 6 > 0 y > y geeft x < v x > 6 b. x x + > ) y x x + y 0 ) [,0] x [,0] ) snijden: x x + x x + 0 a, b, c dus D ( ) 6 8 < 0 geen snijpunten ) x x + > y > y geldt voor alle waarden van x 0

41 Antwoorden oefening Opgave. a b c Herleid: d e. : f. : 9 8 Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. x(x ) (x )(x ) c. (x ) + (x + )(x ) x x x + x x 8x x x x x x x + b. (x )(x + )(x + ) d. / (x ) ½(x + ) (x + x )(x + ) / x / x ½ x + x x / x / 6

42 Opgave. Herleid: a. xy c. x y a b ab 6y b a x a b : ab b. x y ( xy xy ) d. ( a) ( a) 6a 6 Opgave. Herleid de volgende wortels: a c. ( 0 ) b d. 8 Opgave. Ontbind in factoren: a. ½a a e. x 0x + ½a(a ) (x ) b. x + x 8 f. x + x (x + )(x ) (x 6)(x 9) c. p g. x(x ) + (x ) (p + )(p 9) (x + )(x ) d. x x h. ab ab x(x )(x + ) ab(b ) Opgave.6 Los op: a. (x + ) (x ) > (x + ) x b. ¼(x + ) x / (x + 0) < ½ x(x 6) x + > 0x + / 0 x < x x < / x < 0 /

43 Opgave. Los op: a. x c. x + x 6 x x (x )(x + )0 x v x b. ½x 6x d. x x 9 x ½x(x )0 (x ) 0 x 0 v x x Opgave.8 a. b. c. d. e. f. a a a + c c c x 0x 9x x + y y y y y x y x x y xy xy xy + + a a a x y 0xy a b : c b a b b c a a 8 a c 6 a a c of ab 8bc a c Opgave.9 Los algebraïsch op: a. x + x > ) y x + x y ) [,8] x [ 0,] ) snijden: x + x x + x + 0 x x 0 (x 6)(x + ) 0 x 6 v x ) x + x > y > y geeft < x < 6

44 b. x > 9 ) y x y 9 ) [,] x [,] ) snijden: x 9 x v x ) x > 9 y > y geeft x < v x > c. x + x > 0 ) y x + x y 0 ) [,] x [,6] ) snijden: x + x 0 x(x + ) 0 x 0 v x ) x + x > 0 y > y geeft x < v x > 0 d. x 9 < 0 ) y x 9 y 0 ) [,] x [ 0,6] ) snijden: x 9 0 x 9 x 9 x v x ) x 9 < 0 y < y geeft < x <

45 Antwoorden oefening Opgave. Herleid de volgende breuken: a b c d Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. ab a b + ab a b ab a b b. a b 8a b a b + 9a b a b + a b c. 9x + 6x x + x 8x 0x 0x x + x d. p + p 9p + 0p p + p

46 Opgave. Herleid: a. (x y) ( xy ) xy x 6 y 9x y xy x 9 y 0 b. (p 6 q ) ( pq ) p 8 q p q 6 p q 8 c. d. a b ab a 6x b 8x y y y Opgave. Herleid de volgende wortels: a b. 8 6 c. d. ( ) Opgave. Herleid: a. (p 9)(9p ) d. (a + )(a + ) 6p 88p + 9 a + 9a + 60 b. (x + 6)(x 6) e. (x )(x + 8) x 6 x + x 6 c. x(x ) f. 6xy(x + y ) 0x 0x x y 6xy + 0xy 6

47 Opgave.6 Ontbind in factoren : a. a a d. x + x + 6 a(a ) (x + 6) b. x + x + x e. 9p q pq x(x x ) pq(p ) x(x )(x + ) c. p p f. a b ab (p 6)(p + ) ab(a b) Opgave. Los op: a. x c. x x x v x x + x 0 (abc-formule) a b c + x v b. ½x 8x d. 6 x x + x ½x 8x 0 x + 6x 6 0 ½x(x 6) 0 (x )(x + 8) 0 x 6 v x 0 x v x 8 x Opgave.8 a. b. c. d. e. f. x x xy y xy xy xy 9 x x 9p p q q x y ab c x y 9 x 9p q x p q x p q x x : y y a 9bc x : y 6a b 6bc x y y x a b c x y y x y x 6xy x y x y x x y y

48 Opgave.9 a. x x < ) y x x y ) [,0] x [,0] ) snijden: x x Calc intersect x, en y x, en y ) x x < y < y geeft, < x <, b. x x < (x )(x + ) ) y x x y (x )(x + ) ) [,] x [ 0,0] ) snijden: x x (x )(x + ) x x x + x x x x ) x x < (x )(x + ) y < y geeft x > 8

49 Antwoorden oefening Opgave. a b Herleid: c. : 6 6 d. 9 : Opgave. Schrijf zo kort mogelijk: a. (p + p ) + 6p + p p p + 6p + p p +p b. ( 6x) (x + ) + 6x 6x 0 c. ½(a + ) / (a ) a ½ / a / Opgave. Herleid tot een som of een verschil: a. a(a ) d. xy(x + y 6) 6a 0a x y + xy + 6xy b. (p + )(p 6) e. (a )(a + ) p 0p a a c. ( x + 6)( x 6) f. (p q)(p + q) x + x 6 p 9q 9

50 Opgave. Herleid de volgende wortels: a. b. 6 c.( 6 + d. ( 6 ) ) Opgave. Ontbind in factoren: a. x 8x d. x 6x + 6 x(x+) (x 8) b. a + 6a 0 e. x x (a )(a + 0) x(x ) x(x + )(x ) c. ½ x ½ x + 9x f. a b a b ½ x(x x + 8) a b ( a b ) Opgave.6 Los op: a. / x ½ (x ) + c. 9x 0(x + ) > 8(x 6) / 6 x 8 x 00 > x 8 x 8 x > x < / x < / b. / (x 9) ½ ( + x) x 0 d. ¼ x / (x + 0) < ½ (x 6) / x / x 0 / 0 x < ½ x ½ x / 9 / 0 x < x 0½ x > / 9 0

51 Opgave. Los de volgende vergelijkingen op: a. x x e. x(x+ ) ( ½ x) x x 0 x + x x x(x ) 0 x + x 0 x 0 v x (x + )(x ) 0 x v x b. x + 8 f. ½a a x 6 a 0a x v x a 0a 0 a(a 0) 0 a 0 v a 0 c. x + x g. p x + x + 0 p p (x + )(x + ) 0 x v x Opgave.8 a. x + x + x + x + x + b. x + x x + x x + x x + x(x + ) x(x + ) x(x + ) x(x + ) c. x (x ) x x + x + x x x(x ) x(x ) x(x ) x(x ) d. (x ) (x ) x + x x + x (x + )(x ) (x + )(x ) (x + )(x ) e. 0y y 0y x 0xy x : x + x x + y y (x + ) y(x + ) f. x + 6 (x + 6) (x + ) (x + ). 6x + 9 x x(6x + 9) (x + ) (x + ) 8x (x + )(x )

52 Opgave.9 a. (x )(x ) < 0 exact ) y (x )(x ) y 0 ) [,0] x [,0] ) snijden: (x )(x ) 0 (x x x + 6) 0 x + x + x 6 0 x + x + 0 x x 0 (x )(x + ) 0 x v x ) (x )(x ) < 0 y < y geeft x < v x > b. (x + 6) < exact ) y (x + 6) y ) [,] x [0,0] ) snijden (x + 6) x + 6 v x + 6 x v x ) (x + 6) < y < y geeft < x < c. ½ x > x + 9 op decimaal ) y ½ x y x + 9 ) [,0] x [0,0] ) snijden ½ x > x + 9 Calc intersect x, en y,6 x 6, en y, ) ½ x > x + 9 y > y geeft x <, v x > 6,

53 d. x + < x exact ) y x + y x ) [ 0, ;,] x [, ; 0,] ) snijden x + x x x + 0 a b c D 9 + x v x ) x + < x y < y geeft < x <

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4

Wiskunde klas 3. Vaardigheden. Inhoudsopgave. 1. Breuken 2. 2. Gelijksoortige termen samennemen 3. 3. Rekenen met machten 3. 4. Rekenen met wortels 4 Vaardigheden Wiskunde klas Inhoudsopgave. Breuken. Gelijksoortige termen samennemen. Rekenen met machten. Rekenen met wortels. Algebraïsche producten 6. Ontbinden in factoren 6 7. Eerstegraads vergelijkingen

Nadere informatie

3.1 Haakjes wegwerken [1]

3.1 Haakjes wegwerken [1] 3.1 Haakjes wegwerken [1] Oppervlakte rechthoek (Manier 1): Opp. = l b = (a + b) c = (a + b)c Oppervlakte rechthoek (Manier 2): Opp. = Opp. Groen + Opp. Rood = l b + l b = a c + b c = ac + bc We hebben

Nadere informatie

Rekenen met cijfers en letters

Rekenen met cijfers en letters Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 009 c Swier Garst - RGO Middelharnis Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters

Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Uitwerkingen Rekenen met cijfers en letters Maerlant College Brielle 5 oktober 2009 c Swier Garst - RGO Middelharnis 2 Inhoudsopgave Rekenen met gehele getallen 7. De gehele getallen.....................................

Nadere informatie

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen:

6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 6.1 Kwadraten [1] HERHALING: Volgorde bij berekeningen: 1) Haakjes wegwerken 2) Vermenigvuldigen en delen van links naar rechts 3) Optellen en aftrekken van links naar rechts Schrijf ALLE stappen ONDER

Nadere informatie

1.1 Rekenen met letters [1]

1.1 Rekenen met letters [1] 1.1 Rekenen met letters [1] Voorbeeld 1: Een kaars heeft een lengte van 30 centimeter. Per uur brand er 6 centimeter van de kaars op. Hieruit volgt de volgende woordformule: Lengte in cm = -6 aantal branduren

Nadere informatie

3.1 Kwadratische functies[1]

3.1 Kwadratische functies[1] 3.1 Kwadratische functies[1] Voorbeeld 1: y = x 2-6 Invullen van x = 2 geeft y = 2 2-6 = -2 In dit voorbeeld is: 2 het origineel; -2 het beeld (of de functiewaarde) y = x 2-6 de formule. Een functie voegt

Nadere informatie

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde

8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde 8.1 Herleiden [1] Herleiden bij vermenigvuldigen: -5 3a 6b 8c = -720abc 1) Vermenigvuldigen cijfers (let op teken) 2) Letters op alfabetische volgorde Optellen: 5a + 3b + 2a + 6b = 7a + 9b 1) Alleen gelijksoortige

Nadere informatie

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2

5.1 Herleiden [1] Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) 2 = a 2 b 2 Herhaling haakjes wegwerken: a(b + c) = ab + ac (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd (ab) = a b 5.1 Herleiden [1] Voorbeeld 1: (a + 5)(a 6) (a + 5)(-a + 7) = a 6a + 5a 30 ( a + 14a 5a + 35) = a 6a + 5a 30

Nadere informatie

Producten, machten en ontbinden in factoren

Producten, machten en ontbinden in factoren Joke Smit College Producten, machten en ontbinden in factoren Voor cursisten uit de volgende klassen: alle Havo en VWO klassen (wiskunde, wiskunde A en wiskunde B) Wat kun je oefenen? 1. Het uitrekenen

Nadere informatie

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a.

De wissel-eigenschap voor vermenigvuldigen Vermenigvuldigen kan in omgekeerde volgorde gebeuren, want voor ieder paar getallen a enbgeldt: a b=b a. 98 Algebra 3.3 Variabelen 3.3.1 Inleiding F= 9 5 15+32= 27+32=59 15 C= 59 F In de inleidende tekst aan het begin van dit hoofdstuk staat een afkorting waarmee de temperatuur in graden Celsius in graden

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 008 Algebraïsch rekenen (versie 7 juni 008) Inleiding In deze module worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op het symbolisch rekenen.

Nadere informatie

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels

Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Antwoordmodel - Kwadraten en wortels Schrijf je antwoorden zo volledig mogelijk op. Tenzij anders aangegeven mag je je rekenmachine niet gebruiken. Sommige vragen zijn alleen voor het vwo, dit staat aangegeven.

Nadere informatie

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1]

7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] 7.1 Grafieken en vergelijkingen [1] Voorbeeld: Getekend zijn de grafieken van y = x 2 4 en y = x + 2. De grafieken snijden elkaar in de punten A(-2, 0) en B(3, 5). Controle voor x = -2 y = x 2 4 y = x

Nadere informatie

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1]

1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] 1.1 Tweedegraadsvergelijkingen [1] Er zijn vier soorten tweedegraadsvergelijkingen: 1. ax 2 + bx = 0 (Haal de x buiten de haakjes) Voorbeeld 1: 3x 2 + 6x = 0 3x(x + 2) = 0 3x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = -2

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden

6.0 Voorkennis AD BC. Kruislings vermenigvuldigen: Voorbeeld: 50 10x. 50 10( x 1) Willem-Jan van der Zanden 6.0 Voorkennis Kruislings vermenigvuldigen: A C AD BC B D Voorbeeld: 50 0 x 50 0( x ) 50 0x 0 0x 60 x 6 6.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [] a [2] q a q p pq p

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels. 16 september dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters, stelsels 16 september 2017 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne, Leen Goyens (http://users.telenet.be/toelating)

Nadere informatie

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag

Basisvaardigheden algebra. Willem van Ravenstein. 2012 Den Haag Basisvaardigheden algebra Willem van Ravenstein 2012 Den Haag 1. Variabelen Rekenenis het werken met getallen. Er zijn vier hoofdbewerkingen: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Verder ken

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 1 Algebraïsch rekenen (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 011 Module 1 Algebraïsch rekenen (versie augustus 011) Inhoudsopgave 1 Rekenen met haakjes 1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren............. 1. De

Nadere informatie

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1]

4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] 4.1 Negatieve getallen vermenigvuldigen [1] Voorbeeld 1: 5 x 3 = 15 (3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15) Voorbeeld 2: 5 x -3 = -15 (-3 +-3 +-3 +-3 +-3 = -3-3 -3-3 -3 = -15) Voorbeeld 3: -5 x 3 = -15 Afspraak: In plaats

Nadere informatie

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat.

3.2 Basiskennis. 3.2.1 De getallenlijn. 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen. 92 Algebra. Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: Het=teken. =staat. 92 Algebra 3.2 Basiskennis Inhoofdstuk1zijnaandeordegeweest: 3.2.1 De getallenlijn... -5-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 5... 3.2.2 Symbolen, tekens en getallen Het=teken 5+2+3=10 = geeft aan dat wat links van = staat,

Nadere informatie

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling

1.1.2. Wiskundige taal. Symbolen om mee te rekenen + optelling - aftrekking. vermenigvuldiging : deling Examen Wiskunde: Hoofdstuk 1: Reële getallen: 1.1 Rationale getallen: 1.1.1 Soorten getallen. Een natuurlijk getal is het resultaat van een tellg van een edig aantal dgen. Een geheel getal is het verschil

Nadere informatie

Rekenen aan wortels Werkblad =

Rekenen aan wortels Werkblad = Rekenen aan wortels Werkblad 546121 = Vooraf De vragen en opdrachten in dit werkblad die vooraf gegaan worden door, moeten schriftelijk worden beantwoord. Daarbij moet altijd duidelijk zijn hoe de antwoorden

Nadere informatie

5.1 Lineaire formules [1]

5.1 Lineaire formules [1] 5.1 Lineaire formules [1] Voorbeeld : Teken de grafiek van y = 1½x - 3 Stap 1: Maak een tabel met twee coördinaten van deze lijn: x 0 2 y -3 0 Stap 2: Teken de twee punten en de grafiek: 1 5.1 Lineaire

Nadere informatie

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1]

14.1 Vergelijkingen en herleidingen [1] 4. Vergelijkingen en herleidingen [] Er zijn vier soorten bijzondere vergelijkingen: : AB = 0 => A = 0 of B = 0 ( - 5)( + 7) = 0-5 = 0 of + 7 = 0 = 5 of = -7 : A = B geeft A = B of A = - B ( ) = 5 ( )

Nadere informatie

7.1 Ongelijkheden [1]

7.1 Ongelijkheden [1] 7.1 Ongelijkheden [1] In het plaatje hierboven zijn vier intervallen getekend. Een open bolletje betekent dat dit getal niet bij het interval hoort. Een gesloten bolletje betekent dat dit getal wel bij

Nadere informatie

kwadratische vergelijkingen

kwadratische vergelijkingen kwadratische vergelijkingen In deze paragraaf: 'exact berekenen van oplossingen', 'typen kwadratische vergelijkingen' en 'de abc-formule en de discriminant'. de abc-formule Voor een tweedegraads vergelijking

Nadere informatie

Samenvatting Wiskunde B

Samenvatting Wiskunde B Bereken: Bereken algebraisch: Bereken eact: De opgave mag berekend worden met de hand of met de GR. Geef bij GR gebruik de ingevoerde formules en gebruikte opties. Kies op een eamen in dit geval voor berekenen

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr.

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters. 23 juli 2015. dr. Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: veeltermfuncties en berekening parameters 23 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be

Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten. Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be Te kennen leerstof wiskunde voor het toelatingsexamen graduaten Lea De Bie lea.debie@cvoleuven.be SOORTEN GETALLEN (Dit hoofdstukje geldt als inleiding en is geen te kennen leerstof). Natuurlijke getallen

Nadere informatie

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

1.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 1.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen en letters. 2 Voorbeeldenen met de (vierkants)wortel (Tweedemachts wortel) 1 Inleiding Wortels met getallen en letters WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht

Nadere informatie

Tussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen

Tussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen Wiskunde Leerjaar 3 - periode 3 Hogere machtsverbanden, gebroken functies, exponentiële functies en logaritmen Tussenhoofdstuk - oplossen tweedegraads vergelijkingen A. Ontbinden in factoren 1. Bij het

Nadere informatie

Vergelijkingen met breuken

Vergelijkingen met breuken Vergelijkingen met breuken WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het doorwerken van begin tot einde met behulp van pen en papier. 1 Oplossen van gebroken vergelijkingen Kijk ook nog

Nadere informatie

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013

Breuken met letters WISNET-HBO. update juli 2013 Breuken met letters WISNET-HBO update juli 2013 De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden

Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Hoofdstuk 1 Formules, grafieken en vergelijkingen (H4 Wis B) Pagina 1 van 11 Paragraaf 1.1 : Lineaire verbanden Les 1 Lineaire verbanden Definitie lijn Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = richtingscoëfficiënt

Nadere informatie

Voorbereidende sessie toelatingsexamen

Voorbereidende sessie toelatingsexamen 1/34 Voorbereidende sessie toelatingsexamen Wiskunde 2 - Veeltermen en analytische meetkunde Dr. Koen De Naeghel 1 KU Leuven Kulak, woensdag 29 april 2015 1 Presentatie en opgeloste oefeningen zijn digitaal

Nadere informatie

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

Veeltermen. Module 2. 2.1 Definitie en voorbeelden. Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm Module 2 Veeltermen 2.1 Definitie en voorbeelden Een veelterm met reële coëfficiënten in één veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n met a 0,a 1,a 2,...,a n Ê en n

Nadere informatie

Vergelijkingen en hun oplossingen

Vergelijkingen en hun oplossingen Vergelijkingen en hun oplossingen + 3 = 5 is een voorbeeld van een wiskundige vergelijking: er komt een = teken in voor, en een onbekende of variabele: in dit geval de letter. Alleen als we voor de variabele

Nadere informatie

1. Optellen en aftrekken

1. Optellen en aftrekken 1. Optellen en aftrekken Om breuken op te tellen of af te trekken maak je de breuken gelijknamig. Gelijknamig maken wil zeggen dat je zorgt voor 'gelijke noemers': Om de breuken met 'derden' en 'vijfden'

Nadere informatie

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS

x 3x x 7x x 2x x 5x x 4x G&R havo B deel 1 3 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/12 TOETS VOORKENNIS G&R havo B deel Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg / a x = x =. b x = x x =. c d x (x ) 0 x = 0 =. 9. e f x 0 x ( x ) 0. x x = x x ( x )( x + ). TOETS VOORKENNIS a ( x + ) = x c x e

Nadere informatie

Programma. - Sommetjes overschrijven!!!! - Voorkennis mag ook na paragraaf 1 t/m 3 - priemfactoren - rekenen met getallen. hfst 9 rekenen2.

Programma. - Sommetjes overschrijven!!!! - Voorkennis mag ook na paragraaf 1 t/m 3 - priemfactoren - rekenen met getallen. hfst 9 rekenen2. Programma - Sommetjes overschrijven!!!! - Voorkennis mag ook na paragraaf 1 t/m 3 - priemfactoren - rekenen met getallen 1 priemfactoren Programma - Sommetjes overschrijven!!!! - Voorkennis mag ook na

Nadere informatie

Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule

Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule Het oplossen van kwadratische vergelijkingen met de abc-formule door Pierre van Arkel Dit verslag is een voorbeeld hoe bij wiskunde een verslag er uit moet zien. Elk schriftelijk verslag heeft een titelblad.

Nadere informatie

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database

Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal. Reader. Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3. M. van der Pijl. Transfer Database Noorderpoortcollege school voor MBO Stadskanaal Reader Wiskunde MBO Niveau 4 periode 3 M. van der Pijl Transfer Database ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet

Nadere informatie

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus

Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Hoofdstuk 1 Functies en Grafieken (V4 Wis B) Pagina 1 van 9 Paragraaf 1.1 : Lineaire functies en Modulus Les 1 : Lineaire Formules Definities Algemene formule van een lijn : y = ax + b a = hellingsgetal

Nadere informatie

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B...

Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B... Een checklist is een opsomming van de dingen die je moet weten en kunnen. HAVO 4 wiskunde B 0. voorkennis In klas 3 heb je hoofdstuk 10 over algebraische vaardigheden gedaan. Hieronder zie je daarvan een

Nadere informatie

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek

WERKBOEK REKENVAARDIGHEID. Voeding en Diëtetiek WERKBOEK REKENVAARDIGHEID Voeding en Diëtetiek 11 INHOUDSOPGAVE ACHTERGROND 3 1. Elementaire bewerkingen 4 2. Voorrangsregels (bewerkingsvolgorde) 8 3. Bewerkingen met machten 11 4. Rekenen met breuken

Nadere informatie

1 Rekenen met gehele getallen

1 Rekenen met gehele getallen 1 Inhoudsopgave 1 Rekenen met gehele getallen... 1.1 De gehele getallen... 1. Optellen... 1. Opgaven... 1. Aftrekken... 1. Opgaven... 1. Vermenigvuldigen... 1. Opgaven... 1.8 Delen... 9 1.9 Opgaven...9

Nadere informatie

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk)

Breuken in de breuk. 1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk) Breuken in de breuk update juli 2013 WISNET-HBO De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers

Nadere informatie

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13

2 REKENEN MET BREUKEN 3. 2.3 Optellen van breuken 6. 2.5 Aftrekken van breuken 9. 2.7 Vermenigvuldigen van breuken 11. 2.9 Delen van breuken 13 REKENEN MET BREUKEN. De breuk. Opgaven. Optellen van breuken 6. Opgaven 8. Aftrekken van breuken 9.6 Opgaven 9.7 Vermenigvuldigen van breuken.8 Opgaven.9 Delen van breuken.0 Opgaven. Een deel van een deel.

Nadere informatie

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25

x 2x x 4x x 1x x 8x x x 12 = 0 G&R vwo B deel 1 1 Vergelijkingen en ongelijkheden C. von Schwartzenberg 1/25 C. von Schwartzenberg 1/ 1 I, II, IV en V zijn tweedegraadsvergelijkingen. (de hoogste macht van is steeds ; te zien na wegwerken haakjes?) (III is een eerstegraadsvergelijking en VI is een derdegraadsvergelijking)

Nadere informatie

4.1 Rekenen met wortels [1]

4.1 Rekenen met wortels [1] 4.1 Rekenen met wortels [1] Rekenregels voor wortels: 1) A B AB met A 0 en B 0 A A 2) met A 0 en B 0 B B 3) A 2 A Voorbeeld 1: 2 3 23 6 Voorbeeld 2: 9 9 3 3 3 1 4.1 Rekenen met wortels [1] Voorbeeld 3:

Nadere informatie

1.3 Rekenen met pijlen

1.3 Rekenen met pijlen 14 Getallen 1.3 Rekenen met pijlen 1.3.1 Het optellen van pijlen Jeweetnuwatdegetallenlijnisendat0nochpositiefnochnegatiefis. Wezullen nu een soort rekenen met pijlen gaan invoeren. We spreken af dat bij

Nadere informatie

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo

Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Bijlage 7 Vragen over algebraïsche vaardigheden aan het eind van klas 3 havo/vwo Deze vragen kunnen gebruikt worden om aan het eind van klas 3 havo/vwo na te gaan in hoeverre leerlingen in staat zijn te

Nadere informatie

Goed aan wiskunde doen

Goed aan wiskunde doen Goed aan wiskunde doen Enkele tips Associatie K.U.Leuven Tim Neijens Katrien D haeseleer Annemie Vermeyen Maart 2011 Waarom? Dit document somt de belangrijkste aandachtspunten op als je een wiskundeopgave

Nadere informatie

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x.

3.0 Voorkennis. Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 3.0 Voorkennis Voorbeeld 1: Los op: 6x + 28 = 30 10x. 6x + 28 = 30 10x +10x +10x 16x + 28 = 30-28 -28 16x = 2 :16 :16 x = 2 1 16 8 Stappenplan: 1) Zorg dat alles met x links van het = teken komt te staan;

Nadere informatie

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a:

10.0 Voorkennis. Herhaling van rekenregels voor machten: a als a a 1 0[5] [6] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 10.0 Voorkennis Herhaling van rekenregels voor machten: p p q pq a pq a a a [1] a [2] q a q p pq p p p a a [3] ( ab) a b [4] Voorbeeld 1: Schrijf als macht van a: 1 8 : a a : a a a a 3 8 3 83 5 Voorbeeld

Nadere informatie

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel)

Wortels met getallen. 2 Voorbeeldenen met de vierkantswortel (Tweedemachts wortel) Wortels met getallen 1 Inleiding WISNET-HBO update sept 2009 Voorkennis voor deze les over Wortelvormen is de les over Machten. Voor de volledigheid staat aan het eind van deze les een overzicht van de

Nadere informatie

WISNET-HBO. update aug. 2011

WISNET-HBO. update aug. 2011 Basiskennis van machten WISNET-HBO update aug. 0 Inleiding Deze les doorwerken met pen en papier! We noemen de uitdrukking a 4 (spreek uit: a tot de vierde macht) een macht van a (in dit geval de vierde

Nadere informatie

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014

Breuksplitsen WISNET-HBO NHL. update juli 20014 Breuksplitsen WISNET-HBO NHL update juli 20014 1 Inleiding Bij sommige opleidingen is het belangrijk dat er enige vaardigheid ontwikkeld wordt om grote breuken te manipuleren en om te zetten in een aantal

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Extra oefening - Basis B-a 5x + 6 7x + e 4x + 6 x + 6 x + 3x + 6 4 x 3x 5 x 4 : dus x x 5 : 3 dus x 5 b 9x + 0 34 + x f 8x + 5x + 38 8x + 0 34 3x + 38 8x 4 3x 6 x 4 : 8 dus x 3 x 6 : 3 dus x c 4x + 9 7x

Nadere informatie

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules

Paragraaf 4.1 : Kwadratische formules Hoofdstuk 4 Werken met formules H4 Wis B) Pagina 1 van 10 Paragraaf 41 : Kwadratische formules Les 1 : Verschillende vormen Er zijn verschillende vormen van kwadratische vergelijkingen die vaak terugkomen

Nadere informatie

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint.

logaritmen WISNET-HBO update jan Zorg dat je het lijstje met rekenregels hebt klaarliggen als je met deze training begint. Training Vergelijkingen met logaritmen WISNET-HBO update jan. 0 Inleiding Voor deze training heb je nodig: de rekenregels van machten de rekenregels van de logaritmen Zorg dat je het lijstje met rekenregels

Nadere informatie

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2. Omschrijving Rekenen en Wiskunde Getallen 2 Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep

Nadere informatie

1.1 Lineaire vergelijkingen [1]

1.1 Lineaire vergelijkingen [1] 1.1 Lineaire vergelijkingen [1] Voorbeeld: Los de vergelijking 4x + 3 = 2x + 11 op. Om deze vergelijking op te lossen moet nu een x gevonden worden zodat 4x + 3 gelijk wordt aan 2x + 11. = x kg = 1 kg

Nadere informatie

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214

Voorkennis getallenverzamelingen en algebra. Introductie 213. Leerkern 214 Open Inhoud Universiteit Appendix A Wiskunde voor milieuwetenschappen Voorkennis getallenverzamelingen en algebra Introductie Leerkern Natuurlijke getallen Gehele getallen 8 Rationele getallen Machten

Nadere informatie

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A

Hogeschool Rotterdam. Voorbeeldexamen Wiskunde A . Bereken zonder rekenmachine: + d. + 0 + 6 6 6 Hogeschool Rotterdam Voorbeeldeamen Wiskunde A 6 6 Oplossingen. Bereken zonder rekenmachine: + 6 b. + 6 0 + 9. Bereken zonder rekenmachine: 9 9 d.. Een supermarkt

Nadere informatie

1. Orthogonale Hyperbolen

1. Orthogonale Hyperbolen . Orthogonale Hyperbolen a + b In dit hoofdstuk wordt de grafiek van functies van de vorm y besproken. Functies c + d van deze vorm noemen we gebroken lineaire functies. De grafieken van dit soort functies

Nadere informatie

Checklist Wiskunde B HAVO HML

Checklist Wiskunde B HAVO HML Checklist Wiskunde B HAVO 4 2014-2015 HML 1 Hoofdstuk 1 Lineaire vergelijkingen en lineaire ongelijkheden oplossen. Wanneer klapt het teken om? Haakjes en breuken wegwerken. Ontbinden in factoren: x buiten

Nadere informatie

De 10 e editie havo-vwo OB

De 10 e editie havo-vwo OB De 10 e editie havo-vwo OB Presentatie havo/vwo onderbouw 10 e editie 1 HAVO/VWO 1 VWO 2 HAVO 2 HAVO/VWO 2 VWO De delen 10 e editie onderbouw 3 HAVO deel 1 3 HAVO deel 2 3 VWO deel 1 3 VWO deel 2 Presentatie

Nadere informatie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie

H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie H. 8 Kwadratische vergelijking / kwadratische functie 8. Kwadratische vergelijking Een kwadratische vergelijking (of e graadsvergelijking) is een vergelijking van de vorm: a b c + + = Ook wordt een kwadratische

Nadere informatie

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine

Hoofdstuk 2 - Algebra of rekenmachine Hoofdstuk - Algebra of rekenmachine Voorkennis: kwadratische vergelijkingen bladzijde V-a pp ( + ) b kk ( 0) c xx ( + ) d k( 8k 7) e qq ( + 9) f 0, tt+ ( ) g 7r( 9r) h p( 7p+ ) V-a fx () = x( x + ) b Nt

Nadere informatie

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5

INHOUDSTABEL. 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3. 2a. TEKENREGELS (fiche 2a)... 5 INHOUDSTABEL 1. BEWERKINGEN MET RATIONALE GETALLEN (fiche 1)... 3 2. TEKENREGELS (fiche 2)... 5 2b. TEGENGESTELDE GETAL - TEGENGESTELDE SOM (verschil) - TEGENSTELDE PRODUCT (fiche 2b)... 6 2c. OMGEKEERDE

Nadere informatie

Voorkennis : Breuken en letters

Voorkennis : Breuken en letters Hoofdstuk 1 Rekenregels en Verhoudingen (H4 Wis A) Pagina 1 van 11 Voorkennis : Breuken en letters Les 1 : Breuken Bereken : a. 4 2 3 b. x 5 = c. 12 3 x a. 4 2 3 = 8 3 = 2 2 3 b. x 5 = 1 5 x c. 12 3 x

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: cirkel en parabool 11/5/2013 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-a Als x = 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 3 5,6 = 67, m. b De lengte is meter, de totale breedte is 5 + x meter, dus voor de oppervlakte geldt A = (5 + x). Dus

Nadere informatie

Vergelijkingen oplossen met categorieën

Vergelijkingen oplossen met categorieën Vergelijkingen oplossen met categorieën De bewerkingen die tot de oplossing van een vergelijking leiden zijn niet willekeurig, maar vallen in zes categorieën. Het stappenplan voor het oplossen maakt gebruik

Nadere informatie

Instructies zijn niet alleen visueel, maar ook auditief, met hoogkwalitatief ingesproken geluid (geen computerstem).

Instructies zijn niet alleen visueel, maar ook auditief, met hoogkwalitatief ingesproken geluid (geen computerstem). Getallen 3 Doelgroep Getallen 3 is bedoeld voor leerlingen in klas 3-5 van de havo, klas 3-6 van het vwo en in mbo 3&4. Het programma is bijzonder geschikt voor groepen waarin niveauverschillen bestaan.

Nadere informatie

Lineaire formules.

Lineaire formules. www.betales.nl In de wiskunde horen bij grafieken bepaalde formules waarmee deze grafiek getekend kan worden. Lineaire formules zijn formules die in een grafiek een reeks van punten oplevert die op een

Nadere informatie

Algecadabra is een programma voor de bevordering van rekenvaardigheid. Met name zonder rekenmachine.

Algecadabra is een programma voor de bevordering van rekenvaardigheid. Met name zonder rekenmachine. Rekenen met Algecadabra Algecadabra is een programma voor de bevordering van rekenvaardigheid. Met name zonder rekenmachine. Het idee is dat de gebruiker (leerling) de rekenvaardigheden, die zijn aangeleerd

Nadere informatie

2.1 Lineaire formules [1]

2.1 Lineaire formules [1] 2.1 Lineaire formules [1] De lijn heeft een helling (richtingscoëfficiënt) van 1; De lijn gaat in het punt (0,2) door de y-as; In het plaatje is de lijn y = x + 2 getekend. Omdat de grafiek een rechte

Nadere informatie

Niveauproef wiskunde voor AAV

Niveauproef wiskunde voor AAV Niveauproef wiskunde voor AAV Waarom? Voor wiskunde zijn er in AAV 3 modules: je legt een niveauproef af, zodat je op het juiste niveau kan starten. Er is de basismodule voor wie de rekenvaardigheden moet

Nadere informatie

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN

Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1-6 H3. Negatieve getallen Hoofdstuk 3: NEGATIEVE GETALLEN 1. Wat moet ik leren? (handboek p. 96 123) 3.1 Positieve en negatieve getallen Het verschil verwoorden tussen positieve en negatieve getallen.

Nadere informatie

Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE. Deliverable 3.2. Hans Cuypers en Henk van der Kooij

Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE. Deliverable 3.2. Hans Cuypers en Henk van der Kooij Onderwerpen en kwaliteitscriteria VWO-WISKUNDE Deliverable 3.2 Hans Cuypers en Henk van der Kooij Inleiding In deze deliverable zullen we voor het domein van de VWO-WISKUNDE de onderwerpen vaststellen

Nadere informatie

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen

META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen META-kaart vwo3 - domein Getallen en variabelen In welke volgorde moet ik uitwerken? */@ Welke (reken)regels moet ik hier gebruiken? */@ Welke algemene vorm hoort erbij? ** Hoe ziet de bijbehorende grafiek

Nadere informatie

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename

opdracht 1 opdracht 2. opdracht 3 1 Parabolen herkennen Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 2014 x y toename Algebra Anders Parabolen uitwerkingen 1 Versie DD 014 1 Parabolen herkennen opdracht 1. x - -1 0 1 3 y 4 1 0 1 4 9-3 -1 + 1 + 3 +5 toename tt + + + + a) + b) De toename is steeds een nieuwe rand. De randen

Nadere informatie

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2

inhoudsopgave januari 2005 handleiding algebra 2 handleiding algebra inhoudsopgave Inhoudsopgave 2 De grote lijn 3 Bespreking per paragraaf 1 Routes in een rooster 4 2 Oppervlakte in een rooster 4 3 Producten 4 4 Onderzoek 5 Tijdpad 9 Materialen voor

Nadere informatie

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels

Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Hoofdstuk 5 Machten, exponenten en logaritmen (H Wis B) Pagina 1 van 1 Paragraaf 5.1 : Machten en wortels Machtsregels SPECIAAL GEVAL MACHTREGEL 1 : MACHTREGEL 2 : MACHTREGEL : a p a q = a p+q a p aq =

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008

Zomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008 Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :

Nadere informatie

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429)

Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) Getal en Ruimte wi 1 havo/vwo deel 1 hoofdstuk 4 Didactische analyse door Lennaert van den Brink (1310429) - een lijst met operationele en concrete doelen van de lessenserie, indien mogelijk gerelateerd

Nadere informatie

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde.

5.0 Voorkennis. Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. 5.0 Voorkennis Rekenen met machten: Let op het teken van de uitkomst; Zet de letters (indien nodig) op alfabetische volgorde. Vermenigvuldigen is eponenten optellen: a 3 a 5 = a 8 Optellen alleen bij gelijknamige

Nadere informatie

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011)

Zomercursus Wiskunde. Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 2011) Katholieke Universiteit Leuven September 20 Module 4 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie 22 augustus 20) Inhoudsopgave Rationale functies. Inleiding....................................2

Nadere informatie

Noordhoff Uitgevers bv

Noordhoff Uitgevers bv Voorkennis V-1a Als x 5 0,6 is de totale breedte 5,6 meter. De totale oppervlakte is 1 3 5,6 5 67, m. b De lengte is 1 meter, de totale breedte is 5 1 x meter, dus voor de oppervlakte geldt A 5 1(5 1 x).

Nadere informatie

Domeinbeschrijving rekenen

Domeinbeschrijving rekenen Domeinbeschrijving rekenen Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal auteur: Jan van de Craats 11 december 2007 Inleiding Dit document bevat een beschrijving van

Nadere informatie

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2

Getallen 2. Doelgroep Rekenen en Wiskunde Getallen 2 Getallen 2 Getallen 2 bestrijkt de uitbreiding van de basisvaardigheden van het rekenen, regels en vaardigheden die in het vmbo en de onderbouw van havo/vwo worden aangeleerd, geoefend en toegepast. Doelgroep

Nadere informatie

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN SUBFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN HUB HANDELSWETENSCHAPPEN ELEMENTAIR ALGEBRAÏSCH REKENEN Een zelfhulpgids voor letterrekenen Rekenregels Uitgewerkte voorbeelden

Nadere informatie

11. Eenvoudige programma s schrijven in Maxima

11. Eenvoudige programma s schrijven in Maxima 11. Eenvoudige programma s schrijven in Maxima We zullen in dit hoofdstuk een aantal eenvoudige Maxima programma s laten zien. 11.1. Aantal wortels van een vierkantsvergelijking Het onderstaande programma

Nadere informatie

1 Complexe getallen in de vorm a + bi

1 Complexe getallen in de vorm a + bi Paragraaf in de vorm a + bi XX Complex getal Instap Los de vergelijkingen op. a x + = 7 d x + 4 = 3 b 2x = 5 e x 2 = 6 c x 2 = 3 f x 2 = - Welke vergelijkingen hebben een natuurlijk getal als oplossing?...

Nadere informatie

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn

Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts. Wiskunde: functieverloop. 22 juli 2015. dr. Brenda Casteleyn Voorbereiding toelatingsexamen arts/tandarts Wiskunde: functieverloop 22 juli 2015 dr. Brenda Casteleyn Met dank aan: Atheneum van Veurne (http://www.natuurdigitaal.be/geneeskunde/fysica/wiskunde/wiskunde.htm),

Nadere informatie