Wat kan er (niet) zonder ε-δ?

Transcriptie

1 Oneindig klein. Wat kan er (niet) zonder ε-δ? Michel Roelens University Colleges Leuven Limburg Maria-Boodschaplyceum Brussel Hilde Eggermont Sint-Pieterscollege Leuven Redactie Uitwiskeling

2 Afgeleide aanbrengen Contexten: Helling van een berg (skilatten) Raaklijn aan een cirkel Snelheid Gemeenschappelijk aspect: van snijlijn naar raaklijn

3 Afgeleide aanbrengen De afgeleide van een functie f in a is de helling van de raaklijn van f in het punt P(a, f(a)). Notatie: f (a) Geen meetkundige interpretatie maar de DEFINITIE!

4 Afgeleide berekenen P a, f a Q(a + h, f a + h ) helling PQ = f a + h f a h Dan h 0

5 met formule: Afgeleide berekenen f a = lim h 0 f a + h f a h h 0 limiet differentiequotiënt gemiddelde toename helling van de snijlijn

6 Afgeleide berekenen Functies met een knik Functies met een verticale raaklijn

7 Integraal De integraal van f van a tot b is de georiënteerde oppervlakte tussen de grafiek van f en de x-as. Notatie: a b f x dx DEFINITIE!

8 Integraal berekenen Ondersommen Bovensommen Riemannsommen BEREKENINGS- WIJZE!

9 Integraalfunctie F a x = a x De hoofdstelling f t dt Hoofdstelling F a x = f(x)

10 Primitieve functies Vervolg integralen Integralen berekenen met een primitieve functie Rekentechnieken om primitieve functies te vinden (onbepaalde integralen) Toepassingen: oppervlakteberekeningen, volume, manteloppervlakte, toepassingen uit de fysica en economie

11 Gemeenschappelijk aspect

12 Problemen met visuele definities Vreemde functies (en 0 0) Augustin-Louis Cauchy (19 de eeuw)

13 Problemen met visuele definities (en 0 0) Karl Weierstrass (19 de eeuw)

14 Problemen met visuele definities (en 0 0)

15 Problemen met visuele definities Blanc-mangerfunctie 高木貞治 Teiji Takagi (20 de eeuw)

16 Problemen met visuele definities Johann Dirichlet (19 e siècle)

17 Verfijnde definities Rare functies: problemen met begrippen raaklijn en oppervlakte, ononderbroken grafiek. Afgeleide, integraal, continu definiëren met limieten. Hiermee raaklijn en oppervlakte definiëren. Dus: verfijnde definitie van limiet nodig!

18 Verfijnde definities: limiet We gaan op zoek naar een definitie van limiet die (in principe) niet steunt op het visuele. Bij dit zoeken naar gebruiken we nog wel visuele inspiratie. Gevallen: Limiet in een punt Limiet in oneindig Linker-, rechterlimiet Limiet is getal Limiet is oneindig

19 Verfijnde definities: limiet Idee: je kunt zo f(x) zo dicht bij b brengen als je wilt, door x dicht genoeg bij a te nemen.

20 betekent: a δ < x a < a + δ b ε < f x < b + ε

21 Verfijnde definities: limiet Analoog voor lim x f(x) en voor limiet van een rij. lim f x = b betekent: x + ε > 0: k: x > k b ε < f x < b + ε

22 Verfijnde definities: continuïteit f is continu in a betekent de limiet van f in a bestaat en is gelijk aan f(a).

23 Verfijnde definities: continuïteit (en 0 0) (en 0 0)

24 Verfijnde definities: afgeleide f a+h f a Als lim h 0 h bestaat en gelijk is aan een getal, dan noemen we dit getal de afgeleide van f in a. Notatie: f (a). De raaklijn in a, f a is per definitie de rechte y f a = f a x a.

25 Verfijnde definities: afgeleide (en 0 0) (en 0 0) (en 0 0) g 0 = lim h 0 g 0 + h g 0 h 1 h sin = lim h 0 h 0 h = lim h 0 sin 1 h g 0 = lim h 0 g 0 + h g 0 h h 2 1 sin = lim h 0 h 0 h = lim h 0 h sin 1 h

26 Verfijnde definities: integraal f begrensd; [a, b] in het domein. Verdeel [a, b] in n gelijke stukjes (breedte x). Ondersom met ; bovensom en f is integreerbaar als lim s n en lim S n gelijk zijn aan hetzelfde getal. Dit getal is de integraal Berhard Riemann (19 de eeuw)

27 Verfijnde definities: integraal Neem [0, 1]. s n = 0 S n = 1 lim s n = 0 lim S n = 1 Niet integreerbaar.

28 Bewijzen in deze nieuwe wereld Wat blijft er nog overeind van de visuele fase? Strikt genomen: alles opnieuw doen Exemplarisch uitwerken Niet voor iedereen!

29 Voorbeeld bewijs nieuwe wereld Limiet van een som Stel lim f x = b en lim g x = c x a x a Dan: lim f x + g x = b + c x a Te bewijzen: ε > 0: δ > 0: voor x a: δ < x a < δ ε < f x + g x (b + c) < ε

30 Bewijzen met de verfijnde definities TB: ε > 0: δ > 0: voor x a: δ < x a < δ ε < f x + g x b c < ε (*) Neem ε willekeurig. We weten: We zoeken δ zo dat (*) waar is. ε 1 : δ 1 : x a: δ 1 < x a < δ 1 ε 1 < f x b < ε 1 ε 2 : δ 2 : x a: δ 2 < x a < δ 2 ε 2 < g x c < ε 2 VERBAND?

31 Bewijzen met de verfijnde definities ongelijkheden optellen: ε 1 < f x b < ε 1 ε 2 < g x c < ε 2 + ε 1 ε 2 < f x + g x b c < ε 1 + ε 2 Verdeel ε ε 10 2 Het zou goed zijn als dit gelijk was aan

32 Bewijzen met de verfijnde definities Hoe krijgen we ε 2 < f x b < ε 2? ε 1 : δ 1 : x a: δ 1 < x a < δ 1 ε 1 < f x b < ε 1 Neem ε 1 = ε 2 dan δ 1 : x a: δ 1 < x a < δ 1 ε 2 < f x b < ε 2 En analoog: δ 2 : x a: δ 2 < x a < δ 2 ε 2 < g x c < ε 2

33 Bewijzen met de verfijnde definities x moet dicht genoeg bij a liggen voor beide functies, dus: min δ 1, δ 2 < x a < min δ 1, δ 2 Neem bijgevolg δ = min δ 1, δ 2

34 Bewijzen met de verfijnde definities Dan geldt als x a en δ < x a < δ: ε 2 < f x b < ε 2 + ε 2 < g x c < ε 2 ε < f x + g x b c < ε Wat we wilden bewijzen!

35 Problemen met visuele definities Karl Johannes Thomae (19 de en 20 de eeuw)

36 t 2 3 = 1 3 t 7 3 = 1 3 t π 3 = 0 t 1 = 1 t 0,03 = t 3,14 = 1 50 Periodiek? Ja; periode = 1.

37 Verfijnde definities: limieten

38 Verfijnde definities: limieten lim x = 0 x a Punten boven lijn: eindig aantal Neem = hor. afstand tot het dichtste punt. a δ < x < a + δ t x < ε

39 Verfijnde definities: limieten Dus: limiet in elk getal is nul. Voor irrationale getallen is dat ook de functiewaarde. Voor rationale niet. Dus: de functie is continu in elk irrationaal getal en discontinu in elk rationaal getal.

40 Verfijnde definities: integraal

41 Verfijnde definities: integraal We willen bewijzen: = 0 Er geldt: lim s n = 0. We moeten dus aantonen: lim S n = 0, wat betekent: > 0: k: n > k S n < ondersom bovensom

42 Verfijnde definities: integraal

43 Verfijnde definities: integraal t(0) = 1 t(1) = 1 y =

44 Verfijnde definities: integraal We willen bewijzen: = 0 Er geldt: lim s n = 0. We moeten dus aantonen: lim S n = 0, wat betekent: > 0: k: n > k S n <

45 ? > 0: k: n > k S n < Beschouw > 0, willekeurig klein. Teken de rechte y = ε 2. Totale opp. (rechthoeken onder de rechte) ε 2

46 ? > 0: k: n > k S n < Beschouw > 0, willekeurig klein. Teken de rechte y = ε 2. Totale opp. (rechthoeken onder de rechte) ε 2 Eindig aantal rechthoeken (m) steken boven de rechte uit. Totale opp. (rechthoeken die uitsteken) m 1 n Neem dus n zo dat m 1 n < ε 2, of nog: n > 2m ε k. Dan: n > k S n ε 2 + m 1 n < ε 2 + ε 2 = ε

47 Historisch Fasen 4. Bewijzen met de verfijnde definities 3. Verfijnde definities 19 de eeuw: Cauchy, Weierstrass, Riemann 2. Problemen met de visuele definities 17 de eeuw: Galilei, Huygens, Newton, Leibniz 1. Visueel

48 Bibliografie Bressoud, D. (1994). A radical approach to analysis. MAA, Washington. Hairer, E., Wanner, G. (1996). Analysis by its history, Springer, New York. Eggermont, H., Roelens, M. (2009). Begrippen definiëren in de analyse, Uitwiskeling 25/4, Eggermont, H., Roelens, M. Définir les concepts de l analyse: une approche phasée, Losanges 13, Eggermont, H., Roelens, M. (2011). Defining derivatives, integrals and continuity in secondary school: a phased approach inspired by history. In: Barbin, E., Kronfellner, M., Tzanakis, C. (editors), History and Epistemology in Mathematics Education: Proceedings of the Sixth European Summer University (ESU 6), Wien Verlag Holzhausen GmbH Wien.

49 Bedankt! Wist je dat... Ook Nederlanders een abonnement mogen nemen op UITWISKELING?