Mechanica, deel 2. Daniël Slenders Faculteit Ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven

Transcriptie

1 Mechanca, deel 2 Danël Slenders Facultet Ingeneurswetenschappen Katholeke Unverstet Leuven Academejaar

2 Knematca De knematca beschrjft de bewegng van een voorwerp. Samenstellng van ogenblkkeljke rotates Bewegng bestaande ut combnate van verschllende rotates. Voor de rotatesnelhed geldt: ω = ω Voor de snelhed van een wllekeurg punt P geldt: v P = ω O P Samengestelde bewegng Een assenstelsel Ax y z beweegt ten opzchte van een wereldassenstelsel Oxyz. Herdoor kan de bewegng van een punt beschreven worden door de bewegng n het relatef assenstelsel v relatef opgeteld met een bewegng van dt relatef assenstelsel v sleep. Voor de poste geldt: r P = r A + r P r P = r A + r P A (1) Voor de snelhed geldt: v P = v sleep + v relatef v P = v A + ω r P (2) Voor de versnellng geldt: a P = a sleep + a relatef + a complementar a P = a A + α r P + ω ( ω r P) + a relatef + 2( ω v P) (3) waarbj ω de rotatecomponent van de sleepbewegng s. 1

3 Traaghedskrachten Voor de wetten van Newton n een net-nerteel assenstelsel geldt: F = m a = m( a r + a s + a c ) F m a s a c = m a r F + F T = m a r (4) met F T de traaghedskrachten. 2

4 Dynamca De dynamca beschrjft de oorzaken van de bewegng van een voorwerp. Impuls De mpuls s gegeven door: p = m v (5) De wet van behoud van mpuls: d p dt = F = m a (6) met F de utwendge krachten. Impulsmoment Het mpulsmoment s gegeven door: L O = r m v (7) Met behulp van het massacentrum C wordt dt: L O = L C + r C m v C L O = I C ω C + r C m v C (8) De wet van behoud van mpulsmoment: d L O dt = M O = I C α C + di C dt ω C + r C m a C (9) 3

5 Stappenplan om het moment te bepalen Dt stappenplan s brukbaar als de snelhed geljk s aan nul, dus een bewegng beschreven door hoeksnelheden. Stel Oxyz het wereldassenstelsel en Ax y z het bewegend assenstelsel. 1. transformate hoeksnelhed naar bewegend assenstelsel: 2. berekenng mpulsmoment n bewegend assenstelsel: ω ω (10) L = I ω (11) 3. afleden van mpulsmoment n bewegend assenstelsel: dl ( dt = dl ) + ω A L dt (12) 4. moment s geljk aan veranderng mpulsmoment rel M = d L dt (13) 5. moment transformeren naar wereldassenstelsel: M M (14) Stellng van Stener De stellng van Stener laat toe het traaghedsmoment te bepalen rond een as de net door het massacentrum gaat. I a = I a + d 2 m (15) met d de loodrechte afstand tussen a (de as waarrond I te bepalen) en a (de as door het massacentrum). 4

6 Vrtuele arbed Dt s een methode om het evenwcht van een systeem te bepalen. Voor een nerteel assenstelsel moet gelden: δ u C,δ θ C : δv = n F δ u + n M δ θ = 0 (16) =1 =1 Voor een net-nerteel assenstelsel moet gelden: δ u C,δ θ C : δv = n ( F + F ) T, δ u + n M δ θ = 0 (17) =1 =1 Bj één veralgemeende coördnaat: δ u C n functe van δ θ C zetten of omgekeerd. Bj meerdere veralgemeende coördnaten: steeds één van de vrtuele veranderngen net geljk aan nul stellen, de andere wel, en dan vergeljkng per vergeljkng utrekenen. Stappenplan 1. bepaal voor alle massapunten poste r versnellng a 2. bepaal voor alle aangrjpngspunten poste r 3. afleden van postevectoren δ r 4. opstellen vergeljkng van vrtuele arbed n ( F δ r m a δ r + M δθ ) I α δθ =1 n ( F δ r + F T, δ r + M δθ + M T, δθ ) =1 = 0 (18) = 0 (19) 5