Oefeningen Dynamica. 2 de Bachelor ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar:

Transcriptie

1 Oefeningen Dynamica 2 de Bachelor ingenieurswetenschappen Katholieke Universiteit Leuven Academiejaar:

2 Inhoudstafel Oefenzitting 1: Dynamica van materiële systemen Krachtwerking bij de seriële robot Krachtwerking bij de poliep Krachtwerking bij de afstoot Energiewerking bij de afstoot Oefenzitting 2: 3D Kinematica en 3D Dynamica Kinematica bij de robot Kinematica bij de poliep Dynamica bij de poliep Dynamica bij de robot Oefenzitting 3: 2D Kinematica en 2D Dynamica D Kinematica en 2D Dynamica bij de poliep D Kinematica en Dynamica bij de sprong Oefenzitting 4: Relatieve beweging en traagheidskrachten Relatieve beweging bij de poliep Relatieve beweging en traagheidskrachten bij de robot Relatieve beweging en traagheidskrachten bij de poliep Oefenzitting 5: Virtuele arbeid Vituele arbeid bij de sprong Virtuele arbeid bij de sprong

3 Oefenzitting 1: Dynamica van materiële systemen 1. Krachtwerking bij de seriële robot Hoe kan je de krachten en momenten berekenen die moeten opgevangen worden door de verbinding tussen de robot en de grondplaat (vaste omgeving) zonder het systeem op te splitsen in zijn onderdelen? Gegevens: Snelheid V=(0, 2, -2) m/s en constant Snelheid III=(0.63, 1.09, 1.09) m/s Versnelling III=(0.59, 1.99, -5.95) m/s² m I = 70 kg, m II = 70 kg, l II = 0.8 m, m III = 40 kg, m IV = 40 kg, l IV = 0.7 m, m V = 5 kg, m VI = 2 kg, l VI = 0.1 m. De robot staat op een sokkel: m sokkel = 100 kg, h sokkel = 0.6 m. De hoeken in de gegeven stand: θ 1 = 180, θ 2 = 60, θ 3 = Oplossing Bovenstaande afbeelding toont de vereenvoudigde vrijgemaakte robot. Op deze robot werken de volgende krachten en momenten in. Er dient opgemerkt te worden dat de oorsprong genomen wordt in de sokkel en niet in I, zoals de figuur zou doen vermoeden: 3

4 Aangezien punt I stilstaat en punt V een constante snelheid heeft, is punt III het enige punt met een versnelling, verschillend van nul. Toepassen van het tweede postulaat van Newton levert onderstaande uitdrukking op: Wat overeenkomt met volgend stelesel, wanneer men de gegevens invult: { } { } { } { } { } Uit bovenstaande vergelijkingen bekomt men de reactiekracht in punt I 56,189,2685)N. Vervolgens wordt de momentenvergelijking bepaald. De momentenvergelijking levert het reactiemoment in punt I(0, 0, 0.6) op en ziet er als volgt uit: ( ) Wat neerkomt op het berekenen van onderstaande determinanten: { } Dit levert volgende vectorvergelijking op: { } { } { } { } Uit bovenstaande vergelijkingen bekomt men het reactiemoment in punt I 637, - 130)Nm. Tenslotte wordt de definitie van impulsmoment toegepast om het impulsmoment te berekenen om de oorsprong: Wanneer men bovenstaande uitdrukking herschrijft, bekomt men volgende vectorvergelijking: { } Na uitwerking van bovenstaande determinanten, bekomt men onderstaande uitdrukking: 4

5 { } { } { } Hieruit haalt men het impulsmoment 5

6 2. Krachtwerking bij de poliep Geef de vergelijkingen voor het berekenen van de resulterende verbindingskracht, het totale impulsmoment en het totale moment van de poliep op de vaste omgeving O 1 (zonder het systeem te splitsen in zijn onderdelen). Beschouw het systeem als een verzameling van puntmassa s, waarbij de massa van de onderdelen geconcentreerd zit in de respectievelijke massacentra. Veronderstel alle versnellingen gekend. 5 y 2 O 2 O 4 C 4 D 3 O 3 1 O 1 x Oplossing Bovenstaande afbeelding toont de vereenvoudigde vrijgemaakt poliep, Op de poliep werken onderstaande krachten in. Er dient opgemerkt te worden dat de oorsprong O 1 wordt genomen. 6

7 Toepassen van het tweede postulaat van Newton levert onderstaande vergelijking op: De momentenvergelijking ziet er als volgt uit: De definitie van het impulsmoment: 7

8 3. Krachtwerking bij de afstoot We beschouwen een vereenvoudigde voorstelling van de springer. Veronderstel alle massa s geconcentreerd in het massacentrum en ga er van uit dat je de versnellingen van alle punten kent. Onder invloed van inwendige krachten en momenten komt het systeem in beweging:,, gegeven,,, 0. De voetplank met O 1 beweegt niet. Hoe bereken je de verbindingskracht met de grond (Ry, Rx) en de positie van het aangrijpingspunt A zonder het systeem te splitsen in zijn onderdelen? Schrijf de vergelijkingen. Schrijf ook een uitdrukking op voor het berekenen van het totale impulsmoment van de springer tov punt O 1. C3 III Oplossing O3 C2 C1 O1 II O2 I RY A Rx Bovenstaande afbeelding toont de vereenvoudigde vrijgemaakte springer. De volgende krachten werken in op de springer. 8

9 Het tweede postulaat van Newton toegepast op de springer levert onderstaande uitdrukking op. Aangezien men de snelheden van de massacentra moet kennen voor de impulsmomentwet op te stellen, worden deze eerst afgeleid. De snelheid van, kan men zien als een rotatie van het punt om het punt, met straal. De hoekversnellingsvector wordt. Dit levert volgende uitdrukking op voor de snelheid van : De snelheid van kan men beschouwen als een samengestelde beweging met een bewegend assenstelsel in, dat mee roteert met om. De relatieve beweging is een rotatie van om, met hoeksnelheid. Dit levert volgende uitdrukking op voor de snelheid van. De snelheid van kan men beschouwen als een samengestelde beweging met een bewegend assenstelsel in, waarvan de beweging kan geschreven worden als een samengestelde beweging met een roterend assenstelsel in, dat mee roteert met om. Het punt roteert omheen het punt met een hoeksnelheid. Dit levert onderstaande uitdrukking op voor de snelheid van. De definitie van het impulsmoment wordt gebruikt om het impulsmoment van de springer tov het punt te berekenen. 9

10 4. Energiewerking bij de afstoot We beschouwen opnieuw een springer tijdens de afstoot (uitgangspositie θ = 30 ). Deze situatie is een verdere vereenvoudiging van bovenstaand systeem. Tijdens de hele afstoot blijft de romp van de springer verticaal en bevindt de enkel zich recht onder de romp. Voor deze opgave worden onder- en bovenbeen even lang beschouwd (l = 0.4 m), de massa s en traagheidsmomenten blijven zoals oorspronkelijk opgegeven. We zijn geïnteresseerd in de hoeveelheid arbeid die geleverd moet worden tijdens de afstoot. Hoeveel arbeid heeft de springer geleverd op het moment dat θ = 60, gesteld dat er nergens energie verloren gegaan is? De romp beweegt op dat moment met een snelheid van 1 m/s verticaal omhoog. segment lengte massa Traagheidsmoment (m) (kg) (kgm 2 ) I II III Oplossing: Aangezien het bovenbeen even lang is als het onderbeen, bekomt men gelijke en tegengestelde rotatiesnelheden voor bovenbeen en onderbeen. Dit is een zeer belangrijk gegeven, dat verder aan bod komt in de uitwerking van deze oefening. Aangezien er geen wrijving wordt verondersteld bij de afstoot, wordt behoud van energie toegepast. De hoogten van de massacentra kunnen als volgt geschreven worden: { Om de grootten van de snelheden te bepalen, heeft men de hoeksnelheid nodig. Deze kan men bekomen door de snelheid van de knie op twee verschillende manieren te schrijven. Enerzijds kan de snelheid van de knie geschreven worden in een stilstaand assenstelsel in. De snelheid van de knie ziet er dan als volgt uit: 10

11 Anderzijds kan de snelheid van de knie beschreven worden in een translerend assenstelsel met de romp. Dit leidt tot volgende uitdrukking: Beide uitdrukkingen dienen hetzelfde resultaat op te leveren. Aangezien de hoek bekomt men als algemene uitdrukking voor de grootte van de hoeksnelheidsvector: gekend is, Aangezien uitdrukking om de hoeksnelheid te bepalen:, kan men deze invullen in bovenstaande De energie-inhoud van het materieel systeem in de begintoestand is de som van de potentiële energieën van de massacentra( ): De energie-inhoud van het materieel systeem in de eindtoestand is de som van de potentiële energieën en kinetische energieën van de massacentra( ): 11

12 Oefenzitting 2: 3D Kinematica en 3D Dynamica 1. Kinematica bij de robot We willen de aslijn van de eindeffector een translatie volgens een rechte lijn laten uitvoeren met een gegeven constante snelheid v V en tegelijkertijd de eindeffector een rotatie rond zijn aslijn laten uitvoeren met een gegeven constante hoeksnelheid ( // vv ). Gegeven: De componenten van v V volgens het vaste assenstelsel X, Y, Z zijn (0, 2, -2) m/s. De componenten van zijn (0, 3, -3) rad/sec. De hoeken in de gegeven stand: θ 1 = 180, θ 2 = 60, θ 3 = De lengtes van de armen zijn: l II = 0.8 m, l IV = 0.7 m De robot staat op een sokkel: h sokkel = 0.6 m Welke combinatie van rotatiesnelheden ( 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) moet uitgevoerd worden om in de gegeven stand de gevraagde boorbeweging te realiseren? Z III m + (m + m )/2 III II IV 2 II 4 IV m V + m IV/2 V VI 5 2 I v V X m I + m II/2 1 6 Oplossing: Y Bovenstaande afbeelding geeft een vrijlichaamsdiagram met de snelheden en hoeksnelheden. De hoeksnelheden kunnen geschreven worden in volgende componenten: ( ) 12

13 De resulterende rotatievector is de som van de rotatievectoren en kan dus geschreven worden als: { } { } { } { } { } { } { } Bovenstaande vectorvergelijking levert onderstaand stelsel van scalaire vergelijkingen op: { De resulterende snelheid van de eindeffector kan geschreven worden als de som van de verschillende snelheden. Dit levert onderstaande uitdrukking op: Bovenstaande uitdrukking kan geschreven worden als onderstaande vectorvergelijking, na het uitwerken van de vectoriele producten: { } { } { } { } Deze vectorvergelijking kan geschreven worden als een stelsel van scalaire vergelijkingen, dat er als volgt uitziet: { Beide stelsels van vergelijkingen kan men samenvoegen tot één stelsel met 6 vergelijkingen en 6 onbekenden. Als resultaten voor de hoeksnelheden, vindt men de volgende: de groottes van de rotatievectoren zijn (volgens de richting en zin aangegeven in de opgave): 1 = rad/s, 2 = rad/s, 3 = 0 rad/s, 4 = rad/s, 5 = rad/s, 6 = rad/s. 13

14 2. Kinematica bij de poliep We concentreren ons op één bakje met inzittende (het uiterst linkse). We bekijken de beweging op het ogenblik dat de poliep door de schuine stand gaat. Bereken de rotatiesnelheid (vector) van het bakje en de snelheid (vector) van het massacentrum C van het geheel bakje + inzittende. Schrijf eerst de nodige vectoriële uitdrukkingen op. Gegeven: Posities (in m) van de aangegeven punten in rechte stand (Fout! Verwijzingsbron niet evonden.) (in het getekende xyz-assenstelsel): O 1 (0, 0, 0), O 2 (0, 5.8, 0), O 3 (-6.5, 0.8, 0), O 4 (-8.5, 0.8, 0), C (-8.5, 2.2, 0) Rotatiesnelheden (in rad/s): 1 = π/3, 2 = π/15, 3 = 2π/3, 4 = 2π/15 5 y 2 O 2 O 4 C 4 D 3 O 3 1 O 1 x Oplossing: Bovenstaande afbeelding toont de poliep met rotatiesnelheden. De rotatiesnelheidsvector van het massacentrum C is de som van de rotatiesnelheidsvectoren van de poliep. Dit levert een vectorvergelijking op waaruit de rotatiesnelheid van het massacentrum kan bekomen worden: { } { } { } { } { } De rotatiesnelheidsvector van het massacentrum is dus:. Vervolgens wordt de snelheid van het massacentrum C berekend. De snelheid van het massacentrum is de som van de snelheden van het massacentrum tov de andere punten. Om deze te berekenen, zijn de positievectoren nodig, die hieronder berekend worden: 14

15 Bijgevolg kan de snelheid bepaald worden: Deze uitdrukking kan geschreven worden als: Wat neerkomt op onderstaande vectorvergelijking: { } { } { } { } De snelheid van het massacentrum ziet er als volgt uit: 15

16 3. Dynamica bij de poliep We concentreren ons op één bakje met inzittende. We bekijken de beweging op het ogenblik dat de poliep door de schuine stand gaat, beschouw voor deze opgave 2 = 2 = 0. Bereken de resulterende verbindingskrachten en momenten tussen T-arm en bakje in punt O 4 en het resulterende moment tussen T-arm en bakje in punt O 4. De versnelling van het punt C is gegeven: a C =(26.45, 0.76, -1.05) m/s². Gegevens: Bakje met inzittende: m bak = 100 kg, I xx = I zz = 60 kgm², I yy = 80 kgm². Het massacentrum van het gehele bakje + inzittende (te beschouwen als één voorwerp) bevindt zich in C, op de draaias van het bakje. Het bakje met inzittende mag rotatiesymmetrisch beschouwd worden. Posities (in m) van de aangegeven punten in rechte stand (zie figuur 3 p. 7) (in het getekende xyz-assenstelsel): O 1 (0, 0, 0), O 2 (0, 5.8, 0), O 3 (-6.5, 0.8, 0), O 4 (-8.5, 0.8, 0), C (-8.5, 2.2, 0) Rotatiesnelheden (in rad/s): 1 = π/3, 2 = 0, 3 = 2π/3, 4 = 2π/15. 5 y 2 O D 1 C O 4 O 3 O 1 x Methodiek: Welke bewegingen voert het bakje uit (spil, precessie, nutatie)? Teken de rotatievectoren op onderstaande figuur. Bereken de ogenblikkelijke rotatievector van het bakje. Bereken en teken de impulsmomentvector L. Hoe zou je het bewegend assenstelsel leggen? Leg het assenstelsel volgens hoofdtraagheidsassen, maar maak het niet vast aan het bakje zelf (geen spilbeweging). Kijk vanuit bewegend assenstelsel naar L (en zijn projecties), wat zie je, wat is de relatieve verandering van het impulsmoment in dit assenstelsel? Laat het hoofdtraagheidsassenstelsel volledig meebewegen met het bakje (ook de spilbeweging). Kijk vanuit dit bewegend assenstelsel naar L (en zijn projecties), wat zie je, wat is de relatieve verandering van het impulsmoment in dit assenstelsel? Bereken, in beide hoofdtraagheidsassenstelsels de absolute verandering van het impulsmoment Bereken de verbindingskrachten, vermeld hierbij in welk assenstelsel de componenten zijn uitgedrukt, en transformeer ze indien nodig naar het wereldassenstelsel. Bereken de verbindingsmomenten, vermeld hierbij in welk assenstelsel de componenten zijn uitgedrukt, en transformeer ze indien nodig naar het wereldassenstelsel. 16

17 Bijkomende vraagjes: Wat gebeurt er als 1 gelijk is aan nul? Wat gebeurt er als 2 verschillend is van nul? Herneem de vraag over de krachtwerking bij de poliep uit reeks 1. Wat verandert er aan de oplossing als het de massa s niet langer geconcentreerd in de massacentra verondersteld? Oplossing: Om de verbindingskracht te bepalen van het bakje, wordt er gebruik gemaakt van het tweede postulaat van Newton. Dit levert onderstaande uitdrukking op: Bovenstaande uitdrukking kan herschreven worden naar de verbindingskracht, wat leidt tot volgende vectorvergelijking: { } { } { } De verbindingskracht kan dus geschreven worden als:. Methode 1: Assenstelsel x y z dat mee roteert met Vervolgens wordt het impulsmoment berekend in het assenstelsel x y z, dat roteert met. Bijgevolg verkrijgt men onderstaand impulsmoment: De relatieve verandering van de impulsmomentvector met de tijd, die dus overeenkomt met de verandering in grootte van de impulsmomentvector bedraagt is gelijk aan de nulvector, omwille van het gekozen assenstelsel x y z. 17

18 Bijgevolg is de enige verandering die de impulsmomentvector kent, een verandering in grootte dat weergegeven wordt in volgende uitdrukking (met ) { } (Methode 2: Assenstelsel x y z dat mee roteert met ) Aangezien men de verandering van de impulsmomentvector heeft bepaald, kan de impulsmomentwet toegepast worden om het verbindingsmoment te berekenen in C. Bovenstaande uitdrukking leidt tot onderstaande vectorvergelijking: { } { } { } Dit levert volgend verbindingsmoment op:. 18

19 4. Dynamica bij de robot We willen de aslijn van de eindeffector een translatie volgens een rechte lijn laten uitvoeren met een gegeven constante snelheid v V en tegelijkertijd de eindeffector een rotatie rond zijn aslijn laten uitvoeren met een gegeven constante hoeksnelheid ( // vv ). De componenten van v V volgens het vaste assenstelsel X, Y, Z zijn (0, 2, -2) m/s. De componenten van zijn (0, 3, -3) rad/sec. Welke zijn op dit ogenblik de krachten en momenten die werken op en tussen de zes onderdelen? We vragen hier naar de resulterende krachtwerking (verbindingskracht en moment) in de verbindingspunten. We maken geen gebruik meer van de vereenvoudigde voorstelling, maar we stellen bijkomend 1 = 1 = 0. De massa s, traagheidsmomenten en afmetingen van de armen en gewrichtsblokken zijn: m II = 70 kg, l II = 0.8 m, I II = 4 kgm² volgens de assen loodrecht op de arm en I II = 0.5 kgm² volgens de langsas van de arm, d II = afstand tussen I en het massacentrum van II = 0.3 m m IV = 40 kg, l IV = 0.7 m, I IV = 1.7 kgm² loodrecht op de arm en I IV = 0.2 kgm² volgens de arm, d IV = 0.3 m, De hoeken in de gegeven stand: θ 1 = 180, θ 2 = 60, θ 3 = Methodiek: Segmenten III en V zijn puntmassa s, segment I staat stil en segment VI beweegt met een constante (hoek)snelheid. Hierdoor worden de momentenvergelijkingen voor deze segmenten sterk vereenvoudigd ( M = 0). Het uitwerken van deze onderdelen levert volgende krachten en momenten op: Verbindingskracht en moment van V op VI: R VI = (0, 0, 20) N, M VI = (0.707, 0, 0) Nm Verbindingskracht en moment van IV op V: R V = (0, 0, 70) N, M V = (0.707, 0, 0) Nm Verbindingskracht en moment van II op III: R III = (37.1, 125.2, 495.8) N, M III = (6.2, 114.4, -5.1) Nm Verbindingskracht en moment van de sokkel op I: R I = ( ) N, M I = (- 57.3, 591.5, ) Nm Verbindingskracht en moment van de grond op de sokkel: R = (52.5, 177.6, ) N, M = (-163.9, 623, ) Nm In deze oefeningen gaan we enkel kijken naar de segmenten II en IV. We maakten deze segmenten reeds vrij. De versnellingen van de massacentra zijn gekend vanuit de kinematica van de robot: a C,II = (0.2, 07, -2.2) m/s², a C,IV = (0.33, 1.14, -3.4) m/s²; evenals de waarde van de rotatieversnellingen: 2 = rad/s 2, 3 = rad/s 2, 4 = rad/s 2. 19

20 Segment II : Segment II ondervindt de reactiekrachten en momenten vanwege gewrichtsblokken I en III. O III is het verbindingspunt met segment III, O II is het verbindingspunt met het segment I. Opmerking: houdt er bij het opstellen van de impulsmomentvector rekening mee dat deze slechts zijn eenvoudige vorm aanneemt in een hoofdtraagheidsassenstelsel x y z. Alle snelheden, versnellingen, krachten en momenten zijn uitgedrukt in het vaste assenstelsel XYZ. De transformatiematrix om van het XYZ-assenstelsel naar het x y z -assenstelsel over te gaan is de volgende: x' -cos(θ 2 ) 0 -sin(θ 2 ) X y' = Y z' -sin(θ 2 ) 0 cos(θ 2 ) Z Voor segment II ligt de z'-as volgens de lengte-as van het segment in het XZ-vlak en de y'-as evenwijdig met de Y-as (maar met tegengestelde zin). Enkel bij deze oriëntatie van het assenstelsel is de opgegeven transformatiematrix geldig. Segment IV : Segment II Segment IV ondervindt de reactiekrachten en momenten vanwege gewrichtsblokken V en III. O III is het verbindingspunt met segment III, O IV is het verbindingspunt met het segment V. Opmerking: houdt er bij het opstellen van de impulsmomentvector rekening mee dat deze slechts zijn eenvoudige vorm aanneemt in een hoofdtraagheidsassenstelsel x y z. Alle snelheden, versnellingen, krachten en momenten zijn uitgedrukt in het vaste assenstelsel XYZ. De transformatiematrix om van het XYZ-assenstelsel naar het x y z -assenstelsel over te gaan is de volgende: x' -cos(θ3 - θ 2 ) cos(θ 4 ) sin(θ 4 ) sin(θ3 - θ 2 ) cos(θ 4 ) X y' = -cos(θ3 - θ 2 ) sin(θ 4 ) -cos(θ 4 ) sin(θ3 - θ 2 ) sin(θ 4 ) Y z' sin(θ 3 - θ 2 ) 0 cos(θ3 - θ 2 ) Z 20

21 Segment IV Bijkomend vraagjes: Voor segment 2 kan de momentenvergelijking uitgewerkt worden ten opzichte van 2 punten. Welke zijn deze punten? Probeer beide manieren. Bij het berekenen van het verbindingsmoment voor segment 4 kan de afgeleide van de impulsmomentvector op 2 manieren berekend worden, waarbij er voor 1 van deze manieren gebruik gemaakt wordt van de axisymmetrie van het segment. Probeer beide manieren. Oplossing: Segment II 21

22 Bovenstaande afbeelding toont het vrijgemaakte segment II. Segment II ondervindt de reactiekrachten en momenten vanwege gewrichtsblokken I en III. Toepassen van het tweede postulaat van Newton levert onderstaande uitdrukking op: Bovenstaande uitdrukking kan herschreven worden naar volgende vectorvergelijking: { } { } { } Uit bovenstaande vectorvergelijking haalt men de reactiekracht in II: Vervolgens wordt de momentenvergelijking uitgewerkt ten opzichte van een hoofdtraagheidsassenstelsel x y z in het vaste uiteinde van segment II. De rotatievector van segment II kan in het assenstelsel x y z geschreven worden d.m.v. een vermenigvuldiging met de gegeven transformatiematrix, als: Vervolgens kan de impulsmomentvector bepaald worden. Toepassen van de stelling van Steiner levert de traagheidsmomenten tegenover het uiteinde van segment II op: I x x =I y y =10.3 kgm². De impulsmomentvector ziet er bijgevolg als volgt uit: De verandering van het impulsmoment kan geschreven worden als de vectorsom van de verandering van de grootte van de impulsmomentvector en de verandering van de richting van de impulsmomentvector. De verandering van de grootte van de impulsmomentvector is dan: ( ) Invullen van de gegevens geeft de verandering van de grootte van de impulsmomentvector: ( ) De verandering van de richting kan berekend worden als volgt: 22

23 De totale verandering van de impulsmomentvector van segment II is dan gelijk aan de verandering van de grootte. ( ) Dit moet gelijk zijn aan de som van de momenten die werken op segment II volgens de impulsmomentwet. ( ) Dit levert onderstaand stelsel van scalaire vergelijkingen op: { ( ) ( ) ( ) ( ) Dit geeft als reactiemoment in segment II: { } Segment IV 23

24 Bovenstaande afbeelding toont het vrijgemaakte segment IV. Segment IV ondervindt de reactiekrachten en momenten vanwege gewrichtsblokken III en IV. Toepassen van het tweede postulaat van Newton levert onderstaande uitdrukking op: Bovenstaande uitdrukking kan herschreven worden naar volgende vectorvergelijking: { } { } { } Uit bovenstaande vectorvergelijking haalt men de reactiekracht in IV: Vervolgens wordt de momentenvergelijking uitgewerkt in een centraal hoofdtraagheidsassenstelsel x y z, vastgemaakt aan segment IV. De rotatievector van segment IV kan in het assenstelsel x y z geschreven worden dmv een vermenigvuldiging met de gegeven transformatiematrix, als: [ ] [ ] [ ] Vervolgens kan de impulsmomentvector bijgevolg als volgt uit: bepaald worden. De impulsmomentvector ziet er [ ] [ ] [ ] De verandering van het impulsmoment kan geschreven worden als de vectorsom van de verandering van de grootte van de impulsmomentvector en de verandering van de richting van de impulsmomentvector. De verandering van de grootte van de impulsmomentvector is dan: ( ) De verandering van de richting kan berekend worden als volgt: 24

25 De totale verandering van de impulsmomentvector van segment IV is dan gelijk aan de vectorsom van de verandering van de grootte en de grootte van de richting. Dit moet gelijk zijn aan de som van de momenten die werken op segment II volgens de impulsmomentwet. ( ) Dit levert onderstaand stelsel van scalaire vergelijkingen op: ( ) { ( ) Dit geeft als reactiemoment in segment IV: { } 25

26 Oefenzitting 3: 2D Kinematica en 2D Dynamica 1. 2D Kinematica en 2D Dynamica bij de poliep We bekijken het systeem in de rechte stand, met 2 = 0 en 1 = π/3, 3 = 2π/3 en 4 = 2π/15, maar met een hoekversnelling 1 = 1 rad/s 2. Uit het gedeelte 3D kinematica berekenden we reeds v C = (0, 0, 12.7) m/s en v D = (0,0, 9.5) m/s Bereken de totale rotatiesnelheid van het bakje en de positie P van de zuivere ogenblikkelijke rotatieas van het bakje (de rotatieas die gaat door het ogenblikkelijke rotatiecentrum). Bereken opnieuw de snelheid van het voetpunt D van de persoon in het bakje, gebruik makende van de positie van het ogenblikkelijk rotatiecentrum. Wat is de versnelling van C en de rotatieversnelling van het bakje? Wat is de versnelling van het voetpunt D van de persoon in het bakje? Bijkomend vraagje: In de cursus worden 2 manieren behandeld om de positie van de ogenblikkelijke rotatieas te bepalen: een analytische (formule ) waarbij gesteld wordt dat de translatiesnelheid van een punt op de rotatieas nul is, en een grafische, waarbij het zwaartepunt van de snelheden van verschillende punten van hetzelfde voorwerp bepaald wordt. Probeer deze vraag op te lossen via beide methodes. Oplossing: De resulterende rotatievector is de som van de rotatievectoren en kan dus geschreven worden als: De positie van de zuivere rotatie-as van het bakje kan bepaald worden door een punt P te zoeken (niet noodzakelijk een punt van het bakje), dat een snelheid gelijk aan nul heeft. De uitdrukking voor de snelheid van P ziet er dan als volgt uit: Vooraleer bovenstaande uitdrukking uit te werken, dient er opgemerkt te worden dat er oneindig veel punten P bestaan, die voldoen aan deze voorwaarde. Bijgevolg kan men het zichzelf een stuk eenvoudiger maken door het snijpunt van de rotatie-as met de x-as te nemen, zodat men het punt x p bekomt. Volgende uitdrukking leidt tot het vinden van het snijpunt P van de rotatie-as met de x-as. Dit komt neer op het uitwerken van bovenstaande vectoriele producten, waarmee men dus enkel rekening dient te houden met de z-projectie: ( ) ( ) 26

27 De snelheid van het voetpunt D kan bepaald worden door de rotatiebeweging van D tov het rotatiecentrum P. De snelheid van het voetpunt D ziet er dan als volgt uit: { } { } De rotatieversnelling van C kan bepaald worden door de rotatievector af te leiden naar de tijd. Aangezien de enige rotatievector die niet constant is, de rotatievector, draagt deze enkel bij tot de rotatieversnelling: De versnelling van C kan geschreven worden aan de hand van de stelling van de samengestelde beweging. De versnelling van C is de som van de versnelling van het punt O 3, dat dus de sleepversnelling voorstelt en de versnelling van C t.o.v. O 3, de relatieve versnelling. De versnelling van O 3 kan zelf geschreven worden met de stelling van de samengestelde beweging. De versnelling van O 3 is de som van de versnelling van het punt O 1 (de oorsprong), de sleepversnelling, en de versnelling van O 3 t.o.v. O 1, de relatieve versnelling. De versnelling van O 3 ziet er bijgevolg als volgt uit: ( ) De versnelling van C kan dan geschreven worden volgens onderstaande uitdrukking: ( ) Invullen van de gegevens levert als oplossing voor de versnelling van C:. De versnelling van het voetpunt D kan op analoge manier berekend worden als de versnelling van C. In dit geval kan men de versnelling van D bepalen door toepassen van de stelling van de samengestelde beweging, waarbij de versnelling van C de sleepversnelling is en de versnelling van D t.o.v. C de relatieve versnelling is. 27

28 2. 2D Kinematica en Dynamica bij de sprong We hernemen de oefening uit de eerste reeks over de krachtwerking bij de sprong (afstoot). Schrijf de uitdrukkingen op die aanleiding geven tot het berekenen van de versnellingen van de massacentra en bereken hun waarde. Nu ben je in staat de oefening uit de eerste reeks volledig uit te werken. Oplossing: Het tweede postulaat van Newton toegepast op de springer levert onderstaande uitdrukking op. Aangezien men de snelheden van de massacentra moet kennen voor de impulsmomentwet op te stellen, worden deze eerst afgeleid. De snelheid van, kan men zien als een rotatie van het punt om het punt, met straal. De hoekversnellingsvector wordt. Dit levert volgende uitdrukking op voor de snelheid van : { } { } De snelheid van kan men beschouwen als een samengestelde beweging met een bewegend assenstelsel in, dat mee roteert met om. De relatieve beweging is een rotatie van om, met hoeksnelheid. Dit levert volgende uitdrukking op voor de snelheid van. { } { } De snelheid van kan men beschouwen als een samengestelde beweging met een bewegend assenstelsel in, waarvan de beweging kan geschreven worden als een samengestelde beweging met een roterend assenstelsel in, dat mee roteert met om. Het punt roteert omheen het punt met een hoeksnelheid. Dit levert onderstaande uitdrukking op voor de snelheid van. { } 28

29 Oefenzitting 4: Relatieve beweging en traagheidskrachten 1. Relatieve beweging bij de poliep Een kermisattractie draait rond met een hoeksnelheid 0 van 0,75rad/s. De uitbater loopt rond op de attractie om de kaartjes op te halen. Na het laatste kaartje in ontvangst genomen te hebben in punt B, loopt de uitbater naar zijn cabine in het vaste punt A. De geroutineerde uitbater loopt vanuit B met een snelheid van 3 m/s t.o.v. de attractie, in een richting zodanig dat hij voor een waarnemer buiten de attractie recht naar zijn cabine toeloopt met een versnelling van 1,125 m/s². Met welke versnelling loopt de uitbater over de attractie? Oplossing: De absolute snelheid van het punt B is een horizontale snelheid, gericht volgens de negatieve x-as Deze kan geschreven worden a.d.h.v. de stelling van de samengestelde beweging. Zo kan de snelheid van B geschreven worden als de vectorsom van de sleepbeweging (de rotatiebeweging die het roterende assenstelsel x y z beschrijft) en een relatieve beweging (beweging van het punt B t.o.v. het roterende assenstelsel x y z ). Deze kan als volgt geschreven worden: { } { } { } { } { } Hieruit kan de verticale component van de relatieve snelheid bepaald worden. Vervolgens kan men, aangezien de grootte van de relatieve snelheid gekend is, de x-component van de relatieve snelheid bepalen. Bijgevolg vindt men als uitdrukking voor de relatieve snelheid: { } { } De versnelling van B kan geschreven worden als de som van de sleepversnelling, relatieve versnelling en het tegengestelde van de complementaire versnelling. Bijgevolg kan deze uitdrukking herschreven worden naar de relatieve versnelling en bekomt men onderstaande uitdrukking. De absolute versnelling van het punt B is gegeven en gelijk aan:. 29

30 De sleepversnelling kan gevonden worden door het berekenen van onderstaande uitdrukking: ( ) Aangezien de hoekversnelling gelijk aan nul is, kan de sleepversnelling geschreven worden als: { } De complementaire versnelling kan geschreven worden volgens onderstaande uitdrukking: { } Bijgevolg vindt men voor de relatieve versnelling van het punt B: { } { } { } { } 30

31 2. Relatieve beweging en traagheidskrachten bij de robot De robot staat in een assemblagelijn op een platform dat met een versnelling van 1 m/s² omhoog beweegt. Verwaarloos voor deze opgave massa s IV, V en VI. Bereken de versnelling van het punt C en de verbindingskrachten in het punt B. Neem ω1 = 0 rad/s, 2 = 1.5 rad/s en constant. De massa m II is 70 kg en mag geconcentreerd worden in het massacentrum van II (d II = 0.3 m = de afstand tussen B en het massacentrum). De massa m III is 40 kg en kan beschouwd worden als puntmassa in het punt C.De hoek tussen de arm BC en de horizontale is gelijk aan 30. Methodiek: Welke bewegingen voert het systeem uit? Wanneer je een niet-inertieel assenstelsel moet gebruiken, waar leg je dit dan? Welke bewegingen voert het systeem uit voor een waarnemer die met het gekozen assenstel meebeweegt? Oplossing: De totale versnelling van het punt C kan berekend worden via onderstaande uitdrukking: Er wordt gekozen voor een assenstelsel dat transleert met versnelling. De relatieve versnelling kan geschreven worden als volgt: ( ) Bijgevolg is de relatieve versnelling gelijk aan:. De complementaire versnelling is gelijk aan de nulvector, aangezien de rotatievector van het beschouwde assenstelsel gelijk aan nul is. Zo bekomt men voor de versnelling van C: 31

32 Vrijmaken van het systeem levert, 2 gewichten, een reactiekracht in B en twee traagheidskrachten op. Toepassen van de krachtenvergelijking in een niet-inertieel assenstelsel levert volgende uitdrukking op: Uitgeschreven voor de beende krachten en versnellingen levert dit onderstaande vectorvergelijking op: Voor de traagheidskracht in het massacentrum van staaf II kan men dit schrijven als : ( ) { } Voor de traagheidskracht in C, kan men dit op dezelfde manier schrijven, waarbij de nodige componenten van de versnelling reeds eerder gevonden zijn: Bijgevolg kan de krachtenvergelijking geschreven worden als: { } { } { } { } { } { } { } 32

33 3. Relatieve beweging en traagheidskrachten bij de poliep We blokkeren de rotaties 2, 3 en 4 terwijl 1 = π/3 zijn waarde blijft behouden zoals in de opgave werd gegeven (poliep nog steeds in schuine stand). We bekijken de beweging in het assenstelsel dat draait met 1. Beschouw het bakje als een puntmassa. Wat is in dit assenstelsel de totale traagheidskracht die werkt op C? Bereken uitgaande van deze traagheidskracht opnieuw de verbindingskracht in O 4. Alle massa s en afmetingen van de onderdelen zijn bekend: Posities (in m) van de aangegeven punten in figuur 3 (in het getekende xyz-assenstelsel): O 1 (0, 0, 0), O 2 (0, 5.8, 0), O 3 (-6.5, 0.8, 0), O 4 (-8.5, 0.8, 0), C (-8.5, 2.2, 0) m bak = 100 kg 5 y 2 O 2 O 4 C 4 D 3 O 3 1 O 1 x Methodiek: Welke bewegingen voert het systeem uit? Wanneer je een niet-inertieel assenstelsel moet gebruiken, welk soort assenstelsel kies je en waar leg je dit dan? Welke bewegingen voert het systeem uit voor een waarnemer die met het gekozen assenstel meebeweegt? Wat verandert er wanneer 2 een waarde krijgt verschillend van nul? Oplossing: Het vrijgemaakte lichaam levert op dat er een gewicht, reactiekracht en een traagheidskracht op het bakje inwerken. 33

34 De totale traagheidskracht op C kan ontbonden worden in twee krachten - Middelpuntvliedende kracht: - Corioliskracht: De totale traagheidskracht is bijgevolg gelijk aan: Toepassen van de krachtenvergelijking levert onderstaande uitdrukking op: Wanneer men bovenstaande uitdrukking uitwerkt, bekomt men onderstaande vectorvergelijking, waaruit de verbindingskracht in O 4 volgt: { } { } { } Wanneer verschillend is van de nulvector, bekomt men een Corioliskracht die een bijdrage gaat leveren tot de totale traagheidskracht. Bijgevolg zal de verbindingskracht in O 4 toenemen of afnemen, naargelang de oriëntatie van. 34

35 Oefenzitting 5: Virtuele arbeid 1. Vituele arbeid bij de sprong De springer neemt in een lift de houding aan zoals beschreven in onderstaande afbeelding(enkelgewricht onder romp, romp rechtop). De lift beweegt omhoog met een versnelling van 1 m/s². Bereken, met behulp van de virtuele arbeid, het heupmoment dat moet geleverd worden om deze houding aan te houden in de bewegende lift. Vereenvoudig hierbij de massaverdeling: concentreer de massa van segment i in het massacentrum van het segment. Oplossing: segment Lengte Massa (m) (kg) I II III Het stappenplan voor de methode van de virtuele arbeid wordt toegepast op bovenstaand probleem. Eerst worden er voor elk massapunt de positievector en de versnelling gezocht. De coördinaten kunnen in dit geval eenvoudig uitgedrukt worden d.m.v. de hoek. Wanneer men de positievectoren afleidt naar de hoek bekomt men onderstaande veranderingen: { } { } { } { } { } { } De versnelling van elk van bovenstaande punten is gelijk aan 1 m/s² volgens de y-as. 35

36 Vervolgens kan de vergelijking van de virtuele arbeid opgesteld worden: Specifiek betekent dit voor deze situatie het volgende: Wanneer men bovenstaande uitdrukking herschrijft naar het heupmoment, bekomt men het volgende: Indien men het kniemoment wil berekenen, dient er nog een correctiefactor 2 bij de hoekverandering aangebracht te worden, aangezien de knie de invloed ondervindt van twee hoeken, terwijl de hoek die van één hoek ondervindt. 36

37 2. Virtuele arbeid bij de sprong Bereken het moment geleverd in de heupen (Fout! Verwijzingsbron niet gevonden.), bij het egin van de afstoot, m.b.v. de methode van de virtuele arbeid. De massa s en lengtes van de segmenten zijn gegeven in Fout! Verwijzingsbron niet gevonden.. De massa s mogen econcentreerd worden in het massacentrum. Segment lengte massa (m) (kg) I II III C3 III O3 II C2 O2 I C1 R O1 Y Rx A De versnelling van het massacentrum van segment III is gelijk aan (-0.6, 1.13, 0). Methodiek: Hoeveel vrijheidsgraden telt dit systeem, welke zijn het? Welke krachten en momenten kunnen virtuele arbeid leveren in dit systeem (zowel actieve krachten als traagheidskrachten)? Stel de algemene vergelijking van de virtuele arbeid voor dit systeem op. Druk de posities van de aangrijpingspunten van de actieve krachten uit i.f.v. de vrijheidsgraden. Voor welke vrijheidsgraad zal je de bovenstaande vergelijking moeten opschrijven om het gevraagde moment te berekenen? Werk uit, gebruik makende van de versnellingen berekend in reeks 3 (2D kin en dyn). Bijkomend vraagje: Wat is het verschil tussen het hier berekende heupmoment en het moment M III,Z dat je kan berekenen met de vergelijkingen van de dynamica als je het systeem in zijn onderdelen splitst? Opmerking: Wanneer we de berekening overdoen zonder de massa te concentreren in het massacentrum, bekomen we een moment dat minder dan 10 % afwijkt van het moment dat hierboven 37

38 berekend werd (o.w.v. klein traagheidsmoment en hoekversnelling). veronderstelling is in dit geval toelaatbaar. Oplossing: De gemaakte In dit geval zijn er drie vrijheidsgraden: de drie hoeken De positievectoren van de massapunten kunnen geschreven worden als volgt: { } { } { } Aangezien enkel de hoekverandering van de hoek van belang is in dit geval, wordt enkel de verandering van de positievector van C 3. Deze wordt door onderstaande uitdrukking gegeven: { } Vervolgens wordt enkel de hoekverandering van de hoek enige bepalende factor is voor het heupmoment. beschouwd, aangezien deze de Aangezien de versnelling gegeven is, kan de stelling van de virtuele arbeid geschreven worden als: 38

39 Wanneer men bovenstaande scalaire producten uitwerkt, bekomt men onderstaande uitdrukking: Dit levert voor het heupmoment: ( ) 39