Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen)

Transcriptie

1 Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen (homogeen)

2 Voorbeeld Voorbeeld ( 7., Opgave 22) Op t = 0 bevatten de vaten respectievelijk 25 en 5 oz (ounces) zout. 3 september 206

3 Onderzoeken we hoeveel zout per tijdseenheid deze twee communicerende vaten instroomt dan vinden we: dq = dt 0 Q Q met dq 2 dt = Q (0) = 25 Q 2 (0) = 5 0 Q 5 Q september 206 2

4 Voorbeeld Voorbeeld ( 7., Opgave 7) Beschouw een massa-veersysteem waarbij ge e n demping optreedt maar wel op beide massa s uitwendige krachten worden uitgeoefend. Deze uiwendige krachten zijn gelijk aan respectievelijk F (t) en F2 (t). 3 september 206 3

5 Met behulp van het volgende diagram en gebruik makend van de tweede wet van Newton vinden we een stelsel tweede orde differentiaalvergelijkingen: d2 x m 2 = k x + k2 (x2 x ) + F (t) dt m2 d2 x2 = k2 (x2 x ) k3 x2 + F2 (t) dt 2 3 september 206 4

6 of na herordening van de termen: d x m dt 2 = (k + k 2 )x + k 2 x 2 + F (t) d 2 x 2 m 2 dt 2 = k 2 x + (k 2 + k 3 )x 2 + F 2 (t) 3 september 206 5

7 Van hogere orde differentiaalvergelijking naar een stelsel differentiaalvergelijkingen Doel Het omschrijven van een differentiaalvergelijking van de n-de orde naar een stelsel van n eerste orde differentiaalvergelijkingen. Waarom? Omdat we dan meer over de oplossingen kunnen zeggen. 3 september 206 6

8 Voorbeeld ( 3., opgave 0) Gegeven is het beginwaardeprobleem: y + 4y + 3y = 0 y(0) = 3 y (0) = Hoe kunnen we dit herschrijven? Laat u = y en u 2 = y. Dan: u = y = u 2 u 2 = y = 3y 4y = 3u 4u 2 u (0) = y(0) = 3 u 2 (0) = y (0) = u = u 2 u 2 = 3u 4u 2 u (0) = 3 u 2 (0) = 3 september 206 7

9 Beschouw de n-de orde differentiaalvergelijking: y (n) = F (t, y, y (),..., y (n ) ) en laat u = y, u 2 = y (),..., u n = y (n ). u = u 2 u 2 Dan = u 3. u n = F (t, u, u 2,..., u n ) 3 september 206 8

10 Opgaven 7., Opgaven en 4 Schrijf de volgende differentiaalvergelijkingen als een eerste orde stelsel differentiaalvergelijkingen: u + 3u + 2u = 0 2 u (4) 3u = 0 3 september 206 9

11 7., Opgave 5 Schrijf het volgende beginwaardeprobleem als een eerste orde stelsel differentiaalvergelijkingen met de bijbehorende beginvoorwaarden: u + 2u + 4u = 2 cos 3t u(0) = u (0) = 2 3 september 206 0

12 De evenwichtsoplossingen van het stelsel differentiaalvergelijkingen bij de communcerende vaten zijn: dq dt dq 2 dt = 0 Q Q = 0 Q 5 Q zijn: Q (t) = 42 Q 2 (t) = 36 3 september 206

13 Als u = Q 42 en u 2 = Q 2 36 dan: du dt = dq dt = 0 Q Q = 0 (u + 42) (u ) = 0 u u 2 en du 2 dt = 0 u 5 u 2 3 september 206 2

14 Hieruit volgt: du dt = Au waarbij A = en u = [ u u 2 ]. En verder: u (0) = Q (0) 42 = = 7 en u 2 (0) = Q 2 (0) 36 = 5 36 = 2 [ ] 7 zodat u(0) = 2 3 september 206 3

15 Doel Laat A een vierkante matrix zijn (bijvoorbeeld 2 2) dan willen we het lineaire stelsel differentiaalver gelijkingen: oplossen. dx dt = Ax Omdat de differentiaalvergelijking x = ax een algemene oplossing heeft van de vorm x = e rt c waarbij c R proberen we als oplossing: x(t) = e rt ξ (de scalar c wordt vervangen door een vector). 3 september 206 4

16 Laat x : R R n gegeven door x(t) = e rt ξ een oplossing zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen dx dt = Ax. Dan dx(t) = Ax(t) voor t R dt re rt ξ = e rt Aξ voor t R e rt {Aξ rξ} = 0 Aξ = rξ r is een eigenwaarde van A en ξ is een eigenvector van A bij deze eigenwaarde. Wij bekijken in het vervolg alleen de situatie dat er een verzameling {ξ, ξ 2,..., ξ n } lineair onafhankelijke, eventueel complexe, eigenvectoren van A bestaat (Bekijk 7.8 voor andere gevallen). 3 september 206 5

17 De algemene oplossing van het stelsel differentiaalvergelijkingen dx = Ax wordt dan gegeven door: dt x = c e rt ξ + c 2 e r2t ξ c e rnt ξ n = {}}{ c x (t) x 2(t) x n(t) {}}{{}}{{}}{ e rt ξ e r2t ξ 2... e rnt c 2 ξ n. c c n = Ψ(t) {}}{ [x (t) x 2 (t)... x n (t)] c 3 september 206 6

18 Definitie Ψ(t) wordt een fundamentaalmatrix bij het stelsel differentiaalvergelijkingen dx = Ax genoemd. dt Opmerking Voegen we aan het stelsel differentiaalvergelijkingen de beginvoorwaarden x(0) = x 0 toe. Dan: x(0) = x 0 Ψ(0)c = x 0 [ξ ξ 2... ξ n ] c = x 0 zodat c kan worden gevonden door de laatste matrixvergelijking op te lossen. 3 september 206 7

19 Doelen (n = 2) Een stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen oplossen eventueel met daaraan beginvoorwaarden (beginwaardeprobleem) toegevoegd. 2 Een kwalitatief idee krijgen van de oplossingen van een stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen door het fasevlak te tekenen met daarin eventueel banen. 3 september 206 8

20 Opgave 7.5, Opgave 5 Los het volgende beginwaardeprobleem op: A {[ }} ]{ [ ] dx dt = 5 3 x en x(0) = 3 Beschrijf de oplossing als t. Bepaalde de eigenwaarden van [ A en ] bij deze eigenwaarden, [ ] eigenvectoren: (r = 2, ξ = ), (r 2 = 4, ξ 2 = ). 3 2 Bepaal de algemene oplossing: x = c e rt ξ + c 2e r2t ξ 2. 3 Leg de beginvoorwaarden op: c = 2, c 2 = 5. 4 Als t dan x c 2e r2t ξ 2. 3 september 206 9

21 Fasevlak Teken een rechthoekig assenstelsel [ met] x langs de horizontale as en x 2 langs de verticale as (x = 2 Als x(t 0 ) = x 0 dan is de bewegingsrichting vanuit x 0 : x (t 0 ) = Ax 0. Teken in x(t 0 ) = x 0 een vector met richting Ax 0. Deze vector geeft de bewegingsrichting aan. Definitie Een baan is de grafiek van een kromme x(t) (t in een interval) waarbij x een oplossing is van het stelsel differentiaalvergelijkingen. x x 2 ). 3 september

22 Voorbeeld [ ] [ ] dx 2 dt = 2 x, x(0) = [ ] [ 2 (r = 2, ξ =, r 2 =, ξ 2 = 3 ] ) (a) Fasevlak (b) Oplossingen x en x 2 3 september 206 2

23 Voorbeeld [ ] [ ] dx 2 5 dt = x, x(0) = [ ] [ (r =, ξ =, r 2 =, ξ 2 = 3 ] ) (a) Fasevlak (b) Oplossingen x en x 2 3 september

24 Voorbeeld ( 7.5, opgave 6) dx dt = [ (r = 2, ξ = ] [ x, x(0) = ] [ 4 4 ], r 2 = 2, ξ2 = [ ] ) (a) Fasevlak (b) Oplossingen x en x 2 3 september

25 Type en stabiliteit evenwichtsoplossing De evenwichtsoplossing 0 van het stelsel differentiaalvergelijkingen dx = Ax heet: dt een stabiele knoop als 0 > r > r 2, een stabiel sterpunt als 0 > r =, r 2, een zadelpunt als r > 0 > r 2, een instabiele knoop als r > r 2 > 0 en een instabiel sterpunt als r = r 2 > 0. 3 september

26 Opgave Los nu het probleem van de communicerende vaten op. Wat kun je zeggen over het type en de stabiliteit van de evenwichtsoplossing? 3 september