Inleiding Wiskundige Systeemtheorie

Transcriptie

1 Inleiding Wiskundige Systeemtheorie Docent : Anton Stoorvogel A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

2 Definitie Een ingang-uitgang systeem H heet een lineair systeem, indien voor alle (complexe) a 1 en a 2 en ingangssignalen u 1.t/ en u 2.t/ geldt: H.a 1 u 1 C a 2 u 2 / D a 1 H.u 1 / C a 2 H.u 2 /: 2/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

3 Definitie Een ingang-uitgang systeem H heet een tijdinvariant systeem, indien voor alle 2 R en voor ieder ingangssignaal u.t/ geldt: H. u/ D H.u/ 3/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

4 Causaal systeem Definitie Een ingang-uitgang systeem H heet causaal, indien voor elk tweetal ingangssignalen u 1.t/ en u 2.t/ met bijbehorende uitgangssignalen y 1 D H.u 1 / en y 2 D H.u 2 / en voor alle t 0 2 R geldt: u 1.t/ D u 2.t/ voor t < t 0 H) y 1.t/ D y 2.t/ voor t < t 0 : 4/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

5 Een systeem wordt gegeven door: y.t/ D u.t/ C u. t/; t 2 R (i) Is dit systeem lineair? (ii) Is dit systeem tijdinvariant? (iii) Is dit systeem causaal? 5/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

6 Een systeem wordt gegeven door: y.t/ D u.t 2 / u 2.t/; t 2 R (i) Is dit systeem lineair? (ii) Is dit systeem tijdinvariant? (iii) Is dit systeem causaal? 6/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

7 Een systeem wordt gegeven door: y.t/ D Z t u. 2 / d; t 2 R 0 (i) Is dit systeem lineair? (ii) Is dit systeem tijdinvariant? (iii) Is dit systeem causaal? 7/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

8 Een systeem wordt gegeven door: y.t/ D u.t/ C (i) Is dit systeem lineair? (ii) Is dit systeem tijdinvariant? (iii) Is dit systeem causaal? Z t 1 cos./u./ d 8/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

9 Toestand Gegeven een systeem D.T;W; B/. Een toestand is een functie x zodanig dat voor elke t 0 2 T geldt dat, gegeven x.t 0 /, de mogelijke toekomst van het systeem niet meer afhangt van het verleden van het systeem. 9/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

10 Voorbeeld: pendulum 10/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

11 Model 4` # 3 U g sin # C Us cos # D 0.M C m/us C m` U# cos #.#/ T 2 sin # D u (?) 11/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

12 T D R; W D R 3 w D # s u B D f w W T! W j w voldoet aan (?) g 12/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

13 Toestand Gegeven een systeem D.T;W; B/. Een toestand is een functie x zodanig dat voor elke t 0 2 T geldt dat, gegeven x.t 0 /, de mogelijke toekomst van het systeem niet meer afhangt van het verleden van het systeem. 13/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

14 Toestand Met behulp van een toestand kunnen we de relatie tussen u en y vaak in de volgende vorm schrijven: y.t/ D H.x.t 0 /; u./j 2Œt0 ;t; t/ 8t; t 0 2 T; t > t 0 14/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

15 Definitie Een systeem heet eindigdimensionaal, als er een eindig dimensionale ruimte X bestaat zodanig dat het systeem beschreven wordt door: y.t/ D H.x.t 0 /; u./j 2Œt0 ;t; t/ 8t; t 0 2 T; t > t 0 met x.t 0 / 2 X voor alle t 0 2 T. 15/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

16 Temperatuur van een verwarmde staaf D T.t; 2 r/ D 0; A ˇ ˇrD0 D u.t/ 16/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

17 Niet-lineaire toestandsvergelijkingen Toestand x.t/. Tx.t/ D f.x.t/; u.t/; t/; x.0/ D x 0 y.t/ D h.x.t/; u.t/; t/ 17/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

18 Vragen Bestaat er een oplossing voor dit stelsel vergelijkingen? Heeft dit stelsel vergelijkingen een unieke oplossing? 18/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

19 Als f.x; u; t/ netjes is (overal differentieerbaar) dan heeft het stelsel lokaal een unieke oplossing. Problemen kunnen dan alleen ontstaan door een finite escape time heeft als oplossing x.t/ D tan.t/. Tx.t/ D 1 C x 2.t/; x.0/ D 0 19/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

20 Als f.x; u; t/ niet netjes is kunnen er problemen onstaan door niet unieke oplossing geen oplossing Tx.t/ D 2 p x.t/; x.0/ D 0 heeft als oplossing x.t/ D 0 en x.t/ D t 2 voor t > 0. 20/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

21 Lineariteit van toestandsruimte modellen Een systeem beschreven door: Tx.t/ D f.x.t/; u.t/; t/; x.0/ D x 0 y.t/ D h.x.t/; u.t/; t/ is lineair als f en h voldoen aan: f.x.t/; u.t/; t/ D A.t/x.t/ C B.t/u.t/ h.x.t/; u.t/; t/ D C.t/x.t/ C D.t/u.t/ en x 0 D 0. 21/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

22 Tijdinvariantie van toestandsruimte modellen Een systeem beschreven door: Tx.t/ D f.x.t/; u.t/; t/; x.0/ D x 0 y.t/ D h.x.t/; u.t/; t/ is tijdinvariant als f en h niet expliciet van de tijd afhangen. Dat wil zeggen Tx.t/ D f.x.t/; u.t//; x.0/ D x 0 y.t/ D h.x.t/; u.t// 22/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

23 Causaliteit van toestandsruimte modellen Een systeem beschreven door: is causaal. Tx.t/ D f.x.t/; u.t/; t/; x.0/ D x 0 y.t/ D h.x.t/; u.t/; t/ 23/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

24 Massa-veer-demper systeem k q.t/ m F.t/ r Ingang: u.t/ D F.t/, Uitgang: y.t/ D q.t/ 24/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

25 Toestandsystemen 8 < : Tx.t/ D Ax.t/ C Bu.t/ y.t/ D Cx.t/ C Du.t/ Systeem heeft een unieke oplossing gegeven x.t 0 /. 25/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

26 1 u.t/ 0.8 y.t/ /32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

27 RLC-netwerk C C C R L S C C 27/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

28 Variatie van constanten; scalaire geval We zoeken de oplossing van Tx 1.t/ D ax 1.t/ C bu.t/; x 1.t 0 / D x 0 met a en b gegeven constanten. We vinden: x 1.t/ D e a.t t 0/ x 0 C Z t t 0 e a.t / bu./ d 28/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

29 Tx.t/ D A.t/x.t/ heeft n onafhankelijke oplossingen, die worden aangegeven met x 1.t/; : : : ; x n.t/. Y.t/ D h i x 1.t/ x 2.t/ : : : x n.t/ wordt een fundamentaalmatrix genoemd. wordt de transitiematrix genoemd..t; s/ D Y.t/Y.s/ 1 29/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

30 De transitiematrix is de unieke oplossing van de matrix differentiaalvergelijking: d dt.t; s/ D A.t/.t; s/;.s; s/ D I 30/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

31 Groep eigenschappen.t 2 ; t 0 / D.t 2 ; t 1 /.t 1 ; t 0 /: en 1.t; s/ D.s; t/ 31/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

32 Oplossing van wordt gegeven door: Tx.t/ D A.t/x.t/ C B.t/u.t/; x.t 0 / D x 0 x.t/ D.t; t 0 /x 0 C Z t t 0.t; s/b.s/u.s/ ds 32/32 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI