Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken of dictaten gebruiken. Men mag wel bij zich hebben: een niet-programmeerbare zakrekenmachine, en één A4-tje waarop (evt. dubbelzijdig) zelf en handgeschreven informatie staat die men nodig acht. Het tentamen bestaat uit 6 open vragen (rekenvragen) en serie kort-antwoord vragen (begripvragen), verdeeld over 3 pagina s. Bij een open vraag moet U een uitwerking geven. U dient dit duidelijk geformuleerd en overzichtelijk op te schrijven. Bij de beoordeling van een open vraag speelt naast het antwoord ook deze uitwerking een belangrijke rol. De kort-antwoordvragen staan op een apart vel. Hierop moeten alléén de antwoorden in het aangegeven kader worden ingevuld. Het vel met kort-antwoordvragen dient U bij het einde van het tentamen in het in te leveren tentamenwerk te leggen. Vermeld op elk vel dat U inlevert Uw naam, identiteitsnummer, studierichting. Voor de opgaven kunnen de volgende aantallen punten worden behaald: opg. pnt. opg. pnt. opg. pnt. opg. pnt. opg. pnt. a : 5 a : 5 3a : 5 5a : 5 7a : 5 b : 5 b : 5 3b : 5 5b : 5 7b : 5 c : 5 3c : 5 6a : 5 7c : 5 d : 5 4a : 5 6b : 5 7d : 5 4b : 5 6c : 5 Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door te delen, hierbij de huiswerkbonus op te tellen, en het resultaat tot op een geheel getal tussen en af te ronden. Open vragen. Gegeven zijn de vectoren a = (,, ) T en b = (,, ) T, die het vlak V opspannen. a. Bepaal het inproduct a b en het uitproduct a b. b. Geef een uitdrukking voor V als parametervoorstelling, en in de vorm van een vergelijking.. Gegeven is de 3 5 matrix A en vector b R A = 4 3, b = a. Geef een algemene oplossing van Ax = als parametervoorstelling. b. Geef een algemene oplossing van Ax = b als parametervoorstelling. zie volgende pagina

2 Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. c. Geef de dimensie van de nulruimte N (A). Geef rang(a). Laat zien dat dit in overeenstemming is met de dimensiestelling. d. Is de matrix A singulier of regulier? Verklaar uw antwoord. Is het stelsel Ax = onderbepaald, overbepaald, of regulier? Verklaar uw antwoord. Heeft het stelsel Ax = c voor elke c R 3 een oplossing? Waarom? 3. Gegeven is de 3 3 matrix A a. Bepaal de eigenwaarden van A. b. Bepaal de eigenvectoren van A. 5 6 A =. 3 6 c. Geef bij de eigenwaarden hun algebraïsche en geometrische multipliciteit. 4. Gegeven zijn de lineaire deelruimte V = u, u van R 3, en de vector b R 3 met u =, u =, b =. 3 a. Bepaal met Gram-Schmidt orthogonalisatie een orthonormale basis voor V. b. Schrijf de vector b als b = b + b met b V en b V. 5. We willen weten voor welke waarden van de parameters a, b, c, het vlak h(x, y) = a + bx + cy het beste (in de zin van kleinste kwadraten) past bij de volgende gegeven punten: x y h a. Bepaal met deze gegevens het stelsel vergelijkingen (in matrix-notatie) voor (a, b, c) T. b. Bepaal de normaalvergelijking voor de kleinste-kwadratenbenadering van (a, b, c) T, en los deze op. 6. Beschouw het stelsel differentiaalvergelijkingen dx dt = Ax, A = ( ). a. Geef de algemene oplossing, uitgedrukt met behulp van de eigenvectoren van A. b. Bepaal e At. c. Geef de oplossing die voldoet aan de beginvoorwaarde x() = (, ) T. zie volgende blad

3 DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN 3 Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. Naam en voorletters : Identiteitsnummer : Studierichting : Kort antwoord vragen 7. a. De n n matrix A heeft slechts de eigenwaarde, terwijl det(a) = 3. Bepaal n. b. A is een matrix met m rijen en n onafhankelijke kolommen. Bepaal de dimensie van R(A), van N (A), van R(A T ), en van N (A T ). c. De 3 3 matrix A heeft det(a) =. Bepaal det(3a T A). d. De matrix Q is orthogonaal en symmetrisch. Bepaal Q.

4 DIT VEL DIENT U IN TE LEVEREN 4

5 ANTWOORDEN TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA VOOR BMT EN TIW (DM), OP VRIJDAG MEI 7, 9: : UUR.. a. a.b =. a b = (,, ) T b. x = λa + µb = (µ, λ,λ + µ) T en x + y z =.. a. Vegen van A levert A zodat x = λ(,,,, ) T + µ(,, 3,, ) T 3 b. Vegen van [ A b ] levert [ A b ] 3 3 zodat x = (3,,,, ) T + λ(,,,, ) T + µ(,, 3,, ) T. c. dim(n(a)) =, rang(a) = 3. Dat klopt met de dimensiestelling want de som is 5, het aantal kolommen van A. d. A is niet-vierkant dus singulier. Ax = is onderbepaald want dim(n(a)) = >. Ax = c heeft voor elke c IR 3 een oplossing, want rang(a) = dim(r(a)) = dim(ir 3 ) = 3, dus R(A) = IR 3, dus iedere c wordt bereikt. 3. a. det(a λi) = (5 λ)( λ), dus λ = 5, λ =. b. λ = 5 levert eigenvector u = (,, ) T (of enig veelvoud hiervoud), λ = levert eigenvectoren u = (,, ) T en u 3 = (,, ) T (of enige lineaire combinatie hiervan). c. De algebraïsche en geometrische multipliciteit van λ = 5 is. De algebraïsche en geometrische multipliciteit van λ = is. 4. a. q = u / u = (,, ) T. v = u (u.q )q = (,, ) T. q = v / v = 3 3(,, ) T. {q, q } vormt een orthonormale basis. b. b = (b.q )q + (b.q )q = (,, ) T, en b = b b = (,, ) T. Alternatief: v 3 = (,, ) T {u, u } zodat b = (b.q 3 )q 3 = (,, ) T, met q 3 = v 3 / v 3. zie volgende pagina

6 ANTWOORDEN TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA VOOR BMT EN TIW (DM), OP VRIJDAG MEI 7, 9: : UUR. 5. a. Stel α = (a, b, c) T en A =, h =. Dan willen we graag dat Aα = h. Dat kan niet, dus we stellen ons tevreden met Aα h zo klein mogelijk. b. De normaalvergelijking is 9 A T A α = 6 6 zodat a =, b =, c =. a b = A T h = c 9, 3 6. a. det(a λi) = ( λ) =, zodat λ =, λ = 3, terwijl u = (, ) T, en u = (, ) T. De algemene olossing is dan x(t) = c u e λ t +c u e λ t = c ( ) ( ) e t +c e 3t b. c. e At = U e t U = x(t) = e At x() = ( ) ( e t e 3t )( ( e t + e 3t e t e 3t e t e 3t e t + e 3t ) = ( ) e t + e 3t e t e 3t e t e 3t e t + e 3t ) ( ) ( ) e = t + e 3t e t e 3t 7. a. det(a) = n = 3, dus n = 5. b. Onafhankelijke kolommen dim(r( A)) = rang( A) = n. Dimensiestelling dim(n(a)) = n n =. Rangstelling dim(r(a T )) = rang(a) = n. Dimensiestelling dim(n(a T )) = m n. c. 3 3 = 8. d. Q