Faculteit Wiskunde en Informatica

Transcriptie

1 Faculteit Wiskunde en Informatica Dictaat bij het college Lineaire Algebra (2DM20/2DT02) voor de opleidingen: Biomedische Technologie (BMT) Technische Innovatiewetenschappen (TIW) Kwartiel 3 (2e semester) 2009/200

2

3 Inleiding De cursus Lineaire Algebra (2DM20/2DT02) is gebaseerd op het boek: B. Kolman en D.R. Hill: Elementary Linear Algebra, with Applications, 9th ed., Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, Deze studiehandleiding is hierop een aanvulling. Enerzijds wordt in deze studiehandleiding aangegeven welke delen van het boek behandeld worden, anderzijds geeft deze handleiding aanvullingen op de leerstof en de oefeningen uit het boek. Met name maakt deze handleiding het mogelijk om bij deze cursus het softwarepakket MATLAB te gebruiken. In deze studiehandleiding is de stof verdeeld in negen hoofdstukken, overeenkomend met negen colleges. In ieder hoofdstuk is een vaste indeling in paragrafen aangehouden en wel als volgt:. Leerstof en oefeningen De eerste paragraaf van ieder hoofdstuk bestaat uit een opsomming van de te behandelen leerstof uit het boek (BK) en de studiehandleiding (SHL). Daarnaast zijn oefeningen over dit onderwerp aangegeven, eventueel aanvullend te lezen tekst, en opgaven te maken tijdens de begeleide oefeningen. De aangegeven leerstof dient thuis bestudeerd te worden en de huiswerkopdrachten dienen thuis gemaakt te worden. Men dient ervoor te zorgen dat voor de aanvang van het hoorcollege de tot dan toe behandelde leerstof is bestudeerd en de bijbehorende huiswerkopdrachten en opdrachten voor de voorafgaande begeleide oefeningen zijn gemaakt. 2. Aanvullingen leerstof Hier treft u samenvattingen van de op college behandelde stof aan, die niet (of onvoldoende) in het boek is terug te vinden. 3. Het gebruik van MATLAB In deze paragraaf worden commando s van het softwarepakket MATLAB besproken die in de betreffende week gebruikt kunnen worden bij het maken van de oefeningen. 4. Oefeningen Deze oefeningen dienen samen met de aangegeven oefeningen uit het boek van Kolman thuis gemaakt te worden. Een oefening waarbij het gebruik van MATLAB vereist is wordt vooraf gegaan door de aanduiding (ML). Merk op dat MATLAB niet op het tentamen beschikbaar is, en dat de ML-opgaven nadrukkelijk zoveel mogelijk met, en niet door de computer moeten worden gemaakt. De opgaven met MATLAB hebben een tweeledig doel:. ervaring opdoen MATLAB is een handelsmerk van The Math Works, Inc., Natick, MA, USA. i

4 met MATLAB, omdat dat een belangrijk hulpmiddel zal zijn bij het toekomstig gebruik van lineaire algebra in de praktijk; 2. het verwerven van inzicht in en gevoel voor de verschillende abstracte begrippen door praktische voorbeelden. 5. Extra oefeningen De extra oefeningen vormen, samen met de overige opgaven in het boek, extra oefenstof. Een groot deel van de extra oefeningen betreft oude tentamenopgaven van het vak Lineaire Algebra voor W. Deze oude tentamenopgaven geven een goede indruk van wat men op de tentamens van Lineaire Algebra (2DM20/2DT02) kan verwachten. Ze zijn te onderscheiden in twee categorieën; open vragen en kort-antwoord vragen (KAV). Bij de open vragen op het tentamen wordt ook de uitwerking beoordeeld. Bij de kort-antwoord vragen dient men op het tentamen alleen het antwoord te vermelden en wordt ook alleen het antwoord beoordeeld. De leerstof voor het college Lineaire Algebra (2DM20/2DT02) omvat uit het boek van Kolman en Hill globaal de paragrafen. t/m.5, 2. t/m 2.3, 3.2, 3.3, 4. t/m 4.9, 5. t/m 5.6, 7. t/m 7.3, en 8.4. (Voor details wordt u verwezen naar de leerstofbeschrijving in de hoofdstukken van deze handleiding). Daarnaast bestaat de leerstof uit de paragrafen Aanvullingen leerstof en Gebruik van MATLAB uit deze studiehandleiding. Verder wordt u geacht oefeningen te kunnen maken op het niveau van de oefeningen uit Kolman en Hill en de oefeningen en extra oefeningen uit de studiehandleiding. Meer informatie over de cursus, de exacte tentamenregeling, en aanvullend studiemateriaal is voor het vak Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) te vinden op de website Ook bij Lineaire Algebra voor TIW (2DT02) is elektronisch additionele informatie beschikbaar. Een link naar de juiste website vindt men onder de vakinformatie in OWINFO. De studiehandleiding bij Lineaire Algebra (2DM20/2DT02) bestaat al vele jaren, en wordt steeds opnieuw bijgewerkt en aangepast aan nieuwe edities van het bij de cursus gebruikte boek. Hierdoor zijn er zowel inhoudelijke verschillen als verschillen in pagina- en sectienummering ten opzichte van vorige versies van deze studiehandleiding. Het is mogelijk dat er nog onnauwkeurigheden en onduidelijkheden in de tekst aanwezig zijn. Het wordt op prijs gesteld wanneer gebruikers hun commentaar, opmerkingen en verbeteringen (bij voorkeur schriftelijk) doorgeven aan de docent van het vak, zodat deze studiehandleiding voor volgende studiejaren aangepast kan worden. dr. S.W. Rienstra / dr. J.C. van der Meer / dr.ir. L.C.G.J.M. Habets Capaciteitsgroep Wiskunde Faculteit Wiskunde en Informatica 2005/2006/2007/2008/2009 Alleen voor het studiejaar zoals vermeld in deze studiehandleiding, wijzigingen worden op het college bekend gemaakt. ii

5 Inhoudsopgave Inleiding i Vectoren, lijnen en vlakken. Leerstof en oefeningen Leerstof Opdrachten Aanvullingen leerstof Lijnen in de IR Lijnen en vlakken in de IR Lijnen, vlakken en het inproduct Uitproduct Notatie Het gebruik van MATLAB Oefeningen Lineaire vergelijkingen en Matrices 2. Leerstof en oefeningen Leerstof Opdrachten Aanvullingen leerstof Reguliere en singuliere stelsels Bijzondere matrices Het gebruik van MATLAB iii

6 2.3. Het commando rref Het commando A \ b Het commando solve Commando s voor bijzondere matrices Oefeningen Extra oefeningen De inverse van een matrix Determinanten Leerstof en oefeningen Leerstof Opdrachten Aanvullingen leerstof Reguliere en singuliere matrices en reguliere en singuliere stelsels Eigenschappen van de determinant van een matrix Determinant en volume Het gebruik van MATLAB Bepaling inverse Verwisselen van kolommen Determinant-berekening Verandering van de waarde van één element van een matrix Oefeningen Extra oefeningen Vectorruimten Basis en dimensie 4 4. Leerstof en oefeningen Leerstof Opdrachten Aanvullingen leerstof Kolommenruimte en nulruimte Het gebruik van MATLAB De algemene oplossing van Ax = b iv

7 4.3.2 Het commando rank Het commando null Het commando colspace Oefeningen Extra oefeningen Oplossen van stelsels Kleinste-kwadratenmethode Leerstof en oefeningen Leerstof Opdrachten Aanvullingen leerstof Reguliere n bij n matrices Existentie en uniciteit van oplossingen De matrix A T A De kleinste-kwadratenmethode Het gebruik van MATLAB Het commando A \ b Rijen toevoegen aan een matrix Kolommen toevoegen aan een matrix Het commando polyfit Oefeningen Extra oefeningen Orthogonale vectoren Basisovergangen Leerstof en oefeningen Leerstof Opdrachten Aanvullingen leerstof Orthogonaal en orthonormaal Projectiematrices Orthogonale deelruimten v

8 6.3 Het gebruik van MATLAB Het commando orth(a) Oefeningen Extra oefeningen Eigenwaarden en eigenvectoren Leerstof en oefeningen Leerstof Opdrachten Aanvullingen leerstof Gelijkvormige matrices Berekening van eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren van gerelateerde matrices Eigenwaarde-decompositie Eigenschappen symmetrische matrices Positief definiete matrices Complexe oplossingen van de karakteristieke vergelijking Het gebruik van MATLAB Karakteristiek polynoom Nulpunten van een polynoom Het commando eig(a) Oefeningen Extra oefeningen Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen 0 8. Leerstof en oefeningen Leerstof Opdrachten Aanvullingen leerstof De algemene oplossing van stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten vi

9 8.2.2 Het beginwaardeprobleem Inhomogene stelsels differentiaalvergelijkingen De exponentiële functie voor matrices Notatie van oplossingen m.b.v. de exponentiële functie Het gebruik van MATLAB Numeriek oplossen van differentiaalvergelijkingen Symbolisch oplossen van differentiaalvergelijkingen e-machten voor matrices Oefeningen Differentiaalvergelijkingen complexe eigenwaarden 5 9. Leerstof en oefeningen Leerstof Opdrachten Aanvullingen leerstof Stelsels waarbij de matrix A geen reële eigenwaarden heeft n e orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten Het gebruik van MATLAB Oefeningen Antwoorden hoofdstuk 23 Antwoorden hoofdstuk 2 25 Antwoorden hoofdstuk 3 27 Antwoorden hoofdstuk 4 30 Antwoorden hoofdstuk 5 34 Antwoorden hoofdstuk 6 38 Antwoorden hoofdstuk 7 42 vii

10 Antwoorden hoofdstuk 8 48 Antwoorden hoofdstuk 9 50 Literatuur 52 Woordenlijst Engels-Nederlands 53 Index 55 viii

11 Hoofdstuk Vectoren, lijnen en vlakken. Leerstof en oefeningen.. Leerstof BK 4., 4.3 alleen Lines in IR 3, blz. 203 ev., 5., 5.2 (tot aan Determinants and Cross Product (Optional); niet Example 8 en 9; op blz. 300 alleen eigenschappen (a)-(f)), SHL.2.,.2.2,.2.3,.2.4, Opdrachten Huiswerkopdrachten: BK 4.., 4.., 4..3, BK , , , BK 5.., 5..3, 5..5, 5..8, 5..0, BK 5.2.a, 5.2.2d, 5.2.6(a), 5.2.9, SHL.4.ab,.4.2ab. Opgaven voor begeleide oefeningen: SHL.4.cd,.4.2cd,.4.3,.4.5,.4.6,.4.8,.4.9,.4.0. BK: Kolman en Hill, Elementary Linear Algebra, 9th ed. SHL: studiehandleiding.2 Aanvullingen leerstof.2. Lijnen in de IR 2 In de IR 2 kunnen we een lijn representeren door een parametervoorstelling ( ) ( ) x x2 + λ. y y 2

12 2 HOOFDSTUK. VECTOREN, LIJNEN EN VLAKKEN De vector x = ( x y ( x y ) heet de steunvector, de vector ) en x 2 = ( x2 y 2 ), ( x2 y 2 ) heet de richtingsvector. Met de notatie kunnen we dit kort noteren als x + λx 2. Als steunvector kan iedere vector met eindpunt ( ) op( de rechte ) lijn ( gekozen ) worden. ( ) Gaat de lijn door x x2 0 x de oorsprong dan is er dus een λ zo dat +λ =, d.w.z. is een veelvoud y y 2 0 y ( ) x2 van. Een lijn door de oorsprong kunnen we dus representeren met alleen een richtingsvector y ( 2 ) x2 als λ. y 2 Een vergelijking van de lijn x + λx 2 is (y y ) = y 2 x 2 (x x ), als x 2 = 0 (d.w.z. als de richtingsvector niet evenwijdig is aan de y-as). Dit is de vergelijking van de lijn door het punt (x, y ) met dezelfde richtingscoëfficiënt als de richtingsvector. Als x 2 = 0 dan is de vergelijking x = x. Deze vergelijking kunnen we afleiden uit de parametervoorstelling op de volgende manier: ( ) ( ) ( ) x x x2 Als het punt (de vector) op de rechte met parametervoorstelling + λ ligt dan y y y 2 is er een λ waarvoor geldt dat ( x y ) = ( x y ) + λ Dit geeft twee vergelijkingen { x = x + λx 2, y = y + λy 2. ( x2 y 2 ). Vermenigvuldig de eerste vergelijking met y 2 /x 2, dan wordt λ geëlimineerd door de vergelijkingen van elkaar af te trekken. Dit geeft y 2 x 2 x y = x y 2 x 2 y. Voorbeeld. De rechte lijn l in de IR 2 is gegeven door de parametervoorstelling ( ) ( ) + λ. 2

13 .2. AANVULLINGEN LEERSTOF 3 Voor een vector x = { x = + λ, ( x x 2 = + 2λ. x 2 ) volgt dat Uit de eerste vergelijking volgt λ = x, gesubstitueerd in de tweede vergelijking geeft dit 2x x 2 = 3, een vergelijking voor de lijn l. Omgekeerd kunnen we uit een vergelijking voor een rechte l een parametervoorstelling voor l afleiden. Voorbeeld.2 De rechte l wordt gegeven door de vergelijking 2x x 2 = 3. Neem bijvoorbeeld x = λ, dan is x 2 = 3 + 2λ, dus volgt ( ) ( ) ( ) x 0 x = = + λ. 3 2 x 2 Dus een parametervoorstelling van l is ( ) ( ) 0 + λ. 3 2 Uit dit voorbeeld blijkt dat een lijn met verschillende parametervoorstellingen beschreven kan worden. In de IR 2 heeft de lijn door de punten (a, a 2 ) en (b, b 2 ) als mogelijke parametervoorstelling ( ) ( ) a b a + λ(b a), met a = en b =. a 2 b Lijnen en vlakken in de IR 3 In de IR 3 kunnen we een lijn representeren met een soortgelijke parametervoorstelling x x 2 y z + λ y 2 z 2, ofwel kortweg x + λx 2.

14 4 HOOFDSTUK. VECTOREN, LIJNEN EN VLAKKEN De vector x = x y z heet de steunvector, de vector x 2 = x 2 y 2 z 2 heet de richtingsvector. Een vlak in de IR 3 beschrijven we met twee richtingsvectoren die geen veelvoud van elkaar mogen zijn. x x 2 x 3 y z + λ y 2 z 2 + µ y 3 z 3. Ofwel kortweg x + λx 2 + µx 3. Ook een vlak kunnen we beschrijven met een vergelijking, die we kunnen vinden uit de parametervoorstelling door eliminatie van de parameters. Voorbeeld.3 Het vlak V in de IR 3 wordt gegeven door de parametervoorstelling λ + µ. 2 0 Voor een vector x = x x 2 x 3 x = 2 + λ + 2µ, x 2 = λ µ, x 3 = 2 µ. op dit vlak moet gelden Uit de laatste vergelijking volgt µ = 2 x 3. Invullen in de eerste twee vergelijkingen en eliminatie van λ geeft de vergelijking x + x 2 + x 3 =. Omgekeerd, het vlak V wordt gegeven door de vergelijking x + x 2 + x 3 =. Stel bijvoorbeeld x = λ en x 2 = µ, dan is x 3 = λ µ, zodat volgt x 0 0 x = x 2 x 3 = 0 + λ 0 + µ. Uit dit voorbeeld blijkt dat een vlak met verschillende parametervoorstellingen beschreven kan worden. Willen we een lijn in de IR 3 beschrijven door middel van vergelijkingen dan moeten we deze lijn beschrijven met twee vergelijkingen die ieder een vlak beschrijven. De lijn wordt dan verkregen als de snijlijn van twee vlakken. De vergelijkingen vinden we door eliminatie van de parameter.

15 .2. AANVULLINGEN LEERSTOF 5 Voorbeeld.4 De rechte lijn l is gegeven door de parametervoorstelling 0 + λ. 4 3 Voor een vector x = x = λ, x 2 = λ, x 3 = 4 3λ. x x 2 x 3 op deze lijn moet gelden Substitutie van x = λ geeft de twee vergelijkingen { x + x 2 =, 3x + x 3 = 4. De rechte l is de snijlijn van de twee vlakken gegeven door deze twee vergelijkingen. In de IR 3 heeft de lijn door de punten (a, a 2, a 3 ) en (b, b 2, b 3 ) als mogelijke parametervoorstelling a + λ(b a), met a a = a 2 a 3 en b b = b 2 b 3. Het vlak door de punten (a, a 2, a 3 ), (b, b 2, b 3 ) en (c, c 2, c 3 ) heeft als mogelijke parametervoorstelling a b c a + λ(b a) + µ(c a), met a = a 2 a 3, b = b 2 b 3 en c = c 2 c Lijnen, vlakken en het inproduct De vergelijking van een lijn in IR 2 is ax + bx 2 = c. Deze vergelijking kunnen we met het inproduct noteren als ( ) (a, x) = a a x = c, met a = en x = b ( x x 2 ). De rechte met vergelijking (a, x) = 0 is evenwijdig aan de rechte (a, x) = c als c = 0. (Er is geen snijpunt, d.w.z. geen punt dat aan beide vergelijkingen voldoet.) De vector a staat loodrecht op alle vectoren van de rechte (a, x) = 0, dus ook loodrecht op de rechte (a, x) = c. Dus: wordt een rechte Naast de notatie (a, b) voor inproduct zullen we ook a b gebruiken.

16 6 HOOFDSTUK. VECTOREN, LIJNEN EN VLAKKEN ( ) a l in de IR 2 gegeven door de vergelijking ax + bx 2 = c, dan is a = een vector loodrecht b op l. Anders gezegd a is de richtingsvector voor iedere normaal van l. Hier is een normaal van l een loodlijn op l en een normaalvector van l een vector loodrecht op l. Een normaalvector staat dus loodrecht op de richtingsvector van l. Voor vlakken in de IR 3 geldt iets dergelijks. Vlakken in de IR 3 worden gegeven door een vergelijking van de vorm ax + bx 2 + cx 3 = d. Deze vergelijking kunnen we met het inproduct noteren als a (a, x) = d, met a = b en x = c De vector a is dus een normaalvector voor het vlak V gegeven door de vergelijking ax +bx 2 +cx 3 = d en a is een richtingsvector voor iedere normaal (=loodlijn) van V. x x 2 x Uitproduct Het uitproduct c van de vectoren a en b, genoteerd als c = a b en alleen gedefineerd in IR 3, is een vector die loodrecht staat op het vlak door de oorsprong, opgespannen door a en b. De lengte van c is gelijk aan de oppervlakte van het parallellogram dat opgespannen wordt door a en b, d.w.z. a b sin θ als θ de hoek is tussen a en b. De orientatie van c is zodanig dat c de richting is van de rechtse schroef (gewone kurketrekker) als we draaien van a naar b (mits het assenstelsel rechtsgeoriënteerd is; zie BK blz. 83). De termsgewijze uitdrukking, a b = (a 2 b 3 a 3 b 2 )i+(a 3 b a b 3 ) j+(a b 2 a 2 b )k, is gemakkelijk te onthouden met een ezelsbruggetje dat we na hoofdstuk 3 zullen herkennen. We schrijven formeel (want determinanten met vectoren zijn niet gedefinieerd!) a b = i j k a a 2 a 3 b b 2 b 3 (zie ook BK, blz. 305). = i a 2 a 3 b 2 b 3 j a a 3 b b 3 + k a a 2 b b 2 Voorbeeld.5 Zij a, b en c vectoren in IR 3. We bepalen een vergelijking voor het vlak dat wordt opgespannen door de richtingsvectoren b en c en steunvector a. Het vlak heeft de parametervoorstelling x = a + λb + µc. Een normaalvector is gegeven door n = b c. a is een punt uit het vlak, dus er volgt dat (x a, n) = 0. een vergelijking voor het vlak is.

17 .3. HET GEBRUIK VAN MATLAB Notatie Een vector is een geordende rij getallen (scalairen). Deze getallen zijn meestal reëel maar kunnen ook complex zijn. We kunnen een vector als een rij of als een kolom noteren: a a 2 (a a 2... a n ),., a n waarbij we kromme haken maar ook rechte haken kunnen tegenkomen, terwijl in rijnotatie de elementen soms door komma s worden gescheiden. In de lineaire algebra zullen we bijna altijd de kolomnotatie hanteren. In sommige toepassingsgebieden is het handig om het verschil tussen rijvectoren en kolomvectoren tot uiting te laten komen in de notatie van een element: a i (subscript) voor een rijvector en a i (superscript) voor een kolomvector. Wij zullen hier alleen subscripts gebruiken. Een vector wordt soms geschreven met een pijltje, AB, maar meestal vet in druk, a, en onderstreept in handschrift, a. Voor alle duidelijkheid zullen we in dit dictaat beide doen: a. Het inproduct wordt hier meestal genoteerd als (a, b) maar we zullen ook de in de literatuur veel voorkomende punt-notatie, a b (vandaar: dot product), gebruiken. Het uitproduct wordt hier genoteerd als a b. In de literatuur komt ook wel voor a b..3 Het gebruik van MATLAB.4 Oefeningen.4. Bepaal een vergelijking (of vergelijkingen) voor de volgende lijnen en vlakken: ( ) ( ) 2 a. + λ, 3 b. + λ 3 + µ 2, 0 c. d. 2 + λ + λ µ 2,.4.2 Bepaal een parametervoorstelling voor de volgende lijnen en vlakken: a. x 2y =, b. x + y + z = 2,

18 8 HOOFDSTUK. VECTOREN, LIJNEN EN VLAKKEN c. 2x y + 3z = 7, d. { x z =, x + 2y + z = Beschouw het vlak V door de punten (, 0, ), (2, 3, ), (4,, 0). a. Bepaal een parametervoorstelling voor V. b. Bepaal een vergelijking voor V..4.4 Bepaal een vergelijking voor het vlak V door het punt (2,, 2) en met normaalvector (, 3, 2)..4.5 Bepaal een vergelijking voor het vlak door de oorsprong en loodrecht op de lijn + λ Teken in het vlak twee willekeurige vectoren a en b die geen veelvoud van elkaar zijn. Teken nu de rechte lijnen met parametervoorstelling: a. b + λa, b. 2b + λ(a b), c. b + λ(a + b), d. λ(b a)..4.7 Laat zien dat de rechte λ evenwijdig is aan het vlak x + 6y 4z = Laat zien dat de rechte λ 3 evenwijdig is aan het vlak µ ν

19 .4. OEFENINGEN Bepaal een parametervoorstelling voor het vlak door het punt (0,, ) en de rechte 2 + λ. 0 Bepaal ook de vergelijking van dit vlak..4.0 Bepaal met behulp van uitproducten een algemene uitdrukking voor de vergelijking voor het vlak met de parametervoorstelling x = a + λb + µc.

20 0 HOOFDSTUK. VECTOREN, LIJNEN EN VLAKKEN

21 Hoofdstuk 2 Lineaire vergelijkingen en Matrices 2. Leerstof en oefeningen 2.. Leerstof BK.,.2,.3,.4,.5 (tot aan Nonsingular matrces blz. 46), 2., 2.2 (tot aan Solving Linear Systems with Complex Entries blz., m.u.v. Global Positioning System, blz , en Application: Chemical Balance Equation, blz. 09 0) SHL 2.2., Opdrachten Huiswerkopdrachten: SHL 2.4.2, 2.4.0, BK.3.3,.3.4,.3.5,.3.9,.3.38 BK.5.2,.5.22,.5.29, BK 2.2.6, SHL 2.3 doorlezen als voorbereiding op de begeleide oefeningen Opgaven voor begeleide oefeningen: SHL 2.4., 2.4.3, 2.4.4, 2.4.5, 2.4.6, 2.4.8, 2.4.9, 2.4. BK: Kolman en Hill,"Elementary Linear Algebra", 9th ed. SHL: studiehandleiding

22 2 HOOFDSTUK 2. LINEAIRE VERGELIJKINGEN EN MATRICES 2.2 Aanvullingen leerstof NOTATIE: m n matrix Een m n matrix A = (a ij ) heeft m rijen en n kolommen, met i m en j n. A = n a a 2... a n m a 2 a 22 a 2n..... a m a m2... a mn 2.2. Reguliere en singuliere stelsels DEFINITIE 2. Een stelsel lineaire vergelijkingen heet niet-singulier of regulier als het stelsel precies één oplossing heeft. Een stelsel lineaire vergelijkingen heet singulier als het stelsel geen of meerdere oplossingen heeft. We maken nu een verder onderscheid binnen de singuliere stelsels. DEFINITIE 2.2 Een singulier stelsel noemen we onderbepaald indien het stelsel meerdere oplossingen heeft. Een singulier stelsel noemen we overbepaald of inconsistent indien het stelsel géén oplossingen heeft Bijzondere matrices Vierkante matrices Een matrix is vierkant als de matrix evenveel rijen als kolommen heeft. Eenheidsmatrices Een eenheidsmatrix is de vierkante matrix I = (δ ij ) met δ ij = als i = j en δ ij = 0 als i = j. De 4 4 eenheidsmatrix ziet er dus als volgt uit:

23 2.2. AANVULLINGEN LEERSTOF 3 Nulmatrices Een nulmatrix is een matrix O waarvan alle matrixelementen gelijk aan nul zijn. De 3 4 nulmatrix ziet er dus als volgt uit: Diagonaalmatrices Een diagonaalmatrix is een vierkante matrix A = (a ij ) met a ij = 0 als i = j, m.a.w. alle elementen die niet op de diagonaal staan zijn nul. De diagonaal wordt gevormd door de elementen waarvoor i = j. Een voorbeeld van een 3 3 diagonaalmatrix is: Bovendriehoeksmatrices Een bovendriehoeksmatrix is een matrix A = (a ij ) met a ij = 0 als i > j, m.a.w. alle elementen die onder de diagonaal staan zijn nul. Een voorbeeld van een 4 5 bovendriehoeksmatrix is: Onderdriehoeksmatrices Een onderdriehoeksmatrix is een matrix A = (a ij ) met a ij = 0 als i < j, m.a.w. alle elementen die boven de diagonaal staan zijn nul. Een voorbeeld van een 4 4 onderdriehoeksmatrix is: Symmetrische matrices Een symmetrische matrix is een (vierkante) matrix A = (a ij ) met A = A T, m.a.w. a ij = a ji, m.a.w. de i-de rij is gelijk aan de i-de kolom. Een voorbeeld van een 4 4 symmetrische matrix is:

24 4 HOOFDSTUK 2. LINEAIRE VERGELIJKINGEN EN MATRICES Elementaire matrices Een elementaire matrix is een (vierkante) matrix E = (e ij ) met de eigenschap dat E A (AE) een matrix oplevert die ontstaat als op A een elementaire rij- (kolom-)operatie wordt uitgevoerd. E kan worden geconstrueerd door deze operatie eenvoudigweg op de eenheidsmatrix uit te voeren. Bijvoorbeeld, E = , E 2 = λ , E 3 = In E A is de eerste met de tweede rij verwisseld, in AE de eerste met de tweede kolom; in E 2 A is de eerste rij met λ vermenigvuldigd, in AE 2 de eerste kolom; in E 3 A is 2 maal de eerste rij geteld bij de tweede rij, in AE 3 2 maal de eerste kolom bij de tweede kolom. Een matrix, bestaande uit een of meer rij/kolomverwisselingen ( type E ) achterelkaar, heet een permutatiematrix Het gebruik van MATLAB 2.3. Het commando rref Binnen MATLAB kunnen we de rijgereduceerde trapvorm (reduced row echelon form) van een matrix A bepalen met het commando >> rref(a) Het commando A \ b Binnen MATLAB is het mogelijk om rechtstreeks de oplossing van een stelsel vergelijkingen te bepalen. Het commando om Ax = b rechtstreeks op de lossen luidt: >> x=a\b Soms geeft MATLAB, na de opdracht x = A\b, de volgende waarschuwing. >> Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =.... We gaan op de precieze betekenis van deze waarschuwing hier niet in. De waarde van x die op het scherm verschijnt, moeten we niet vertrouwen. Deze waarschuwing kan ook op het scherm komen indien matrix A (exact) singulier is. Door afrondfouten detecteert MATLAB dan niet dat A singulier is. Wanneer MATLAB dit wel opmerkt volgt de melding:

25 2.3. HET GEBRUIK VAN MATLAB 5 >> Warning: Matrix is singular to working precision. Dus: Verschijnt er één van bovenstaande waarschuwingen, dan is de waarde van x onbetrouwbaar. Indien deze meldingen niet worden gedaan, wil het nog niet zeggen dat A x = b. Verderop in de cursus zullen we nog zien dat dit commando in meer gevallen bruikbaar is en bijvoorbeeld ook een antwoord x geeft wanneer een stelsel vergelijkingen geen (exacte) oplossing heeft. De betekenis van deze x komt in van deze syllabus aan bod. Het is om die reden belangrijk een antwoord dat u op deze manier bepaald heeft, expliciet te controleren door A x uit te rekenen en te vergelijken met de gewenste uitkomst b. Geldt niet A x = b, dan is het stelsel overbepaald. Geldt wel A x = b dan is het stelsel regulier of onderbepaald. Het commando x = A\b in MATLAB levert namelijk hoogstens één oplossing. De algemene oplossing moet dan op een andere wijze bepaald worden Het commando solve De symbolic toolbox van MATLAB maakt het mogelijk ook vergelijkingen op te lossen waarin de coëfficiënten symbolische uitdrukkingen zijn. Het commando waarmee symbolische vergelijkingen (niet noodzakelijk lineair) kunnen worden opgelost is het commando solve. Dit commando wordt alsvolgt gebruikt solve( expressie, expressie2, onbekende, onbekende2 ) Hierin zijn expressie en expressie2 de vergelijkingen, en onbekende en onbekende2 de variabelen waarnaar men wil oplossen. Voorbeeld: >> syms a b c d p q >> [x,x2]=solve( a*x +b*x2=p, c*x +d*x2=q, x, x2 ) x = (-b*q+p*d)/(-b*c+d*a) x2 = (-c*p+q*a)/(-b*c+d*a) Meer detailinformatie over dit commando is te verkrijgen via de online-help van het programma Commando s voor bijzondere matrices Behalve door direkte invoer, kunnen enkele bijzonder matrices ook rechtstreeks gevormd worden met MATLAB-opdrachten. Deze matrices zijn:

26 6 HOOFDSTUK 2. LINEAIRE VERGELIJKINGEN EN MATRICES Een m n nulmatrix, d.w.z. een matrix waarin alle elementen de waarde nul hebben, wordt gevormd met de opdracht zeros(m, n). Een m n matrix waarin alle elementen de waarde hebben, wordt gevormd met de opdracht ones(m, n). Een m n matrix met willekeurige getallen tussen 0 en wordt gevormd met de opdracht rand(m, n). Een n n diagonaalmatrix, d.w.z. een matrix met alleen op de diagonaal (de elementen met gelijke rij- en kolomindex) elementen ongelijk aan nul, wordt gevormd met de opdracht diag(v), waarbij v een vector is met de n diagonaalelementen. Een m n eenheidsmatrix, d.w.z. een diagonaalmatrix met enen op de diagonaal, wordt gevormd met de opdracht eye(m, n) Een vierkante m n-matrix wordt gevormd als alleen m als index gebruikt wordt. Bijvoorbeeld een 3 3-eenheidsmatrix wordt gevormd met de opdracht: >> eye (3) Wil men een bijzondere matrix met hetzelfde formaat als een gegeven matrix A dan kan dit met het commando size. Bijvoorbeeld: >> zeros (size(a)) vormt een nulmatrix met dezelfde dimensies als A. Waneer bij het commando diag een matrix A wordt gebruikt i.p.v. de vector v krijgt men als antwoord een kolomvector met de diagonaalelementen van A. Het commando diag werkt ook met symbolische matrices. 2.4 Oefeningen 2.4. (ML) Beschouw de matrices A = en de vectoren b = A 2 = b 2 = ( b 3 = 2 3 A 3 = ) ( ) a. Geef de algemene oplossing (indien deze bestaat) van de stelsels A x = 0 en A x = b.

27 2.4. OEFENINGEN 7 b. Geef de algemene oplossing (indien deze bestaat) van de stelsels A 2 x = 0 en A 2 x = b 2. c. Geef de algemene oplossing (indien deze bestaat) van de stelsels A 3 x = 0 en A 3 x = b Beschouw de matrices A = B = en C = Er geldt: C = AB. a. De eerste rij van de matrix C is een lineaire combinatie van de rijen van B. Geef de coëfficiënten van deze combinatie. D.w.z. (50 ) = α (8 ) + α 2 ( 0) + α 3 (3 ) + α 4 (7 3), geef de α i, i =, 2, 3, 4. b. De tweede kolom van de matrix C is een lineaire combinatie van de kolommen van A. Geef de coëfficiënten van deze combinatie (ML) Het produkt van twee onderdriehoeksmatrices is weer een onderdriehoeksmatrix. Ga dit na aan de hand van een 4 bij 4 voorbeeld (gebruik MATLAB) en verklaar hoe dit volgt uit de matrixvermenigvuldiging (ML) Beschouw de volgende matrices: /2 /2 /2 /2 A = /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 en B = en C = AB. (Opm.: invoeren van de matrix A in MATLAB is mogelijk d.m.v. het commando: A = 0.5 ones(4)) a. Bereken de machten: A 2, A 3, A 4, A 5. Welk antwoord vermoed je voor A n met n IN. Probeer dit antwoord aan te tonen. Wat verwacht je als A afmetingen 8 bij 8 heeft? b. Bereken de machten B 2, B 3, B 4, B 5. Welk antwoord vermoed je voor B n met n IN. Probeer dit antwoord aan te tonen. c. Bereken de machten C 2, C 3, C 4, C 5. Welk antwoord vermoed je voor C n met n IN. Probeer dit antwoord aan te tonen (ML) Beschouw de matrix 2 2 A = en de matrices E = , E 2 = , E 3 =

28 8 HOOFDSTUK 2. LINEAIRE VERGELIJKINGEN EN MATRICES a. Bereken de matrices: B i = E i A (i =, 2, 3) Geef aan hoe de rijen van de matrices B i samenhangen met de rijen van de oorspronkelijke matrix A. b. Bereken de matrices: C i = A E i (i =, 2, 3) Geef aan hoe de kolommen van de matrices C i samenhangen met de kolommen van de oorspronkelijke matrix A (ML) Beschouw de matrix: 2 3 A = en de matrices: B = , B 2 = , B 3 = a. Bepaal elementaire matrices E i, zodanig dat: E A = B E 2 B = B 2 E 3 B 2 = B 3 Controleer het antwoord met behulp van MATLAB. b. Bepaal een matrix C, zodanig dat: C A = B (KAV) Beschouw de volgende matrices. 6 A = en B = Geef een elementaire matrix E, zó dat E A = B. (tent. 2Y630, 28 febr. 992, opg. 6) (ML) Beschouw de matrix A: 2 3 A =

29 2.4. OEFENINGEN 9 en de matrices: X = 3 0 X2 = X3 = Opm.: de kolommen van X3 stemmen overeen met de kolommen van X en X2. Dit wordt wel genoteerd als: X3 = [X X2] In MATLAB is op die manier X3 te maken! a. Bepaal de productmatrices A X en A X2 alsmede A X3. b. Verklaar dat de kolommen van A X3 overeenstemmen met de kolommen van A X en A X2. Meer algemeen geldt de volgende rekenregel: A [X X2] = [A X A X2] De voorvermenigvuldiging met de matrix A kan dus per gedeelte uitgevoerd worden! Een toepassing hiervan zal in oefening aan bod komen (ML)(zie ook oefening 2.4.8) Beschouw de matrices: 2 4 X = 0 0 X2 = [X I 3 ] = en P = a. Bereken P X en P X2 en vergelijk de resultaten. Merk op dat P een permutatie-matrix is. b. Door een andere rijverwisseling gaat de matrix X2 over in: Bepaal, zonder MATLAB te gebruiken, een permutatiematrix P, zò dat P X 2 deze matrix oplevert. Controleer het antwoord! c. Bepaal een permutatiematrix P, zò dat P X een zuivere onderdriehoeksvorm heeft.

30 20 HOOFDSTUK 2. LINEAIRE VERGELIJKINGEN EN MATRICES Beschouw de matrices A = en B = a. Bepaal een permutatiematrix P zo dat P A = B. b. Bepaal een permutatiematrix P 2 zo dat P 2 B = A. c. Vergelijk P met P (ML) Het is mogelijk om een matrix door middel van bewerkingen met hele rijen om te werken naar bovendriehoeksvorm (Gauss-eliminatie). Behalve een inzicht-stap (namelijk bepalen welk veelvoud van een rij bij een andere rij opgeteld/afgetrokken dient te worden) is daarbij een rekenstap nodig (namelijk het concreet uitvoeren van deze bewerking). Omdat binnen MATLAB de mogelijkheid bestaat van bewerkingen met complete matrix rijen kan deze rekenstap via MATLAB uitgevoerd worden. Beschouw daartoe de matrix: A = Door tweemaal de eerste rij van de tweede rij af te trekken verandert de hele tweede rij van A, en wel op zo n manier dat A(2, ) = 0. In MATLAB lukt dit met het commando: >> A(2,:) = A(2,:) - 2*A(,:) a. Bepaal m.b.v. MATLAB op deze wijze een bovendriehoeksvorm van de matrix A. In de hierboven als voorbeeld gegeven reductiestap om A(2, ) = 0 te maken wordt tweemaal de eerste rij van de tweede rij afgetrokken. Dit aantal van twee is precies de verhouding van de matrixelementen A(2, ) (het element dat nul moet worden) en A(, ) (het element waarmee je dat realiseert). In gevallen waarin deze verhouding A(2, )/ A(, ) niet zo eenvoudig uitkomt, kan het handig zijn MATLAB zelf die verhouding uit te laten rekenen in de reductie-stap. Bij het gegeven voorbeeld lukt dit door middel van: >> A(2,:) = A(2,:) - (A(2,)/A(,)) * A(,:) b. Verklaar waarom de verhouding A(2, )/ A(, ) hierbij een rol speelt. c. Bepaal, m.b.v. MATLAB, op deze manier nogmaals een bovendriehoeks vorm van de matrix A (ML) (zie ook 2.4.8) Beschouw vier stelsels vergelijkingen: Ax = b i ; (i =, 2, 3, 4)

31 2.5. EXTRA OEFENINGEN 2 met dezelfde coëfficiëntenmatrix 2 3 A = maar met verschillende rechterleden: 9 b = b 2 = 7 2 b 3 = 5 0 b 4 = a. Neem als respectievelijke oplossingen van deze vergelijkingen x t/m x 4 en neem als matrix X = [x, x 2, x 3, x 4 ]. (De kolommen van X bestaan dus uit de respectievelijke oplossingen.) Wat is het resultaat van de vermenigvuldiging A X? b. De MATLAB opdracht X = A\B bepaalt een matrix X, zo dat A X = B. Bepaal met behulp hiervan simultaan (dus via één opdracht) de oplossing van de vier stelsels vergelijkingen. 2.5 Extra oefeningen 2.5. (ML) Beschouw de matrix 2 2 A = en de matrices E = , E 2 = E T = a. Bereken de matrices: E A en E 2 A Geef aan hoe de rijen van deze matrices samenhangen met de rijen van de oorspronkelijke matrix A. b. Vergelijk de resultaten van E A en E 2 A onderling. Ga met name na welke rijen verschillen ten opzichte van de rijen van de oorspronkelijke matrix A.

32 22 HOOFDSTUK 2. LINEAIRE VERGELIJKINGEN EN MATRICES

33 Hoofdstuk 3 De inverse van een matrix Determinanten 3. Leerstof en oefeningen 3.. Leerstof BK.5 (vanaf Nonsingular matrices blz. 46 tot Application A: Recursion Relation; the Fibonacci Sequence blz. 50), 2.3 SHL 3.2., BK 3.2 (m.u.v. de bewijzen van stellingen 3.2, 3.3, 3.5, 3.6, 3.7), 3.3 SHL Opdrachten Huiswerkopdrachten: BK.5.3 BK 2.3.9, 2.3.7, , 2.3.2, BK 3.2.3, 3.2.4, 3.2.6(a), 3.2.5, , BK 3.3.7, 3.3., Doorlezen SHL 3.3 als voorbereiding voor begeleide oefeningen. Opgaven voor begeleide oefeningen: SHL 3.4., SHL 3.4.5, 3.4.6, BK: Kolman en Hill,"Elementary Linear Algebra", 9th ed. SHL: studiehandleiding 23

34 24 HOOFDSTUK 3. DE INVERSE VAN EEN MATRIX DETERMINANTEN 3.2 Aanvullingen leerstof 3.2. Reguliere en singuliere matrices en reguliere en singuliere stelsels DEFINITIE 3. (i) (ii) Een stelsel lineaire vergelijkingen Ax = b heet niet-singulier (of regulier) indien het stelsel precies één oplossing heeft. Een stelsel lineaire vergelijkingen Ax = b heet singulier indien het stelsel geen of meerdere oplossingen heeft. DEFINITIE 3.2 (i) Een matrix A heet niet-singulier (of regulier of inverteerbaar) indien er een matrix B bestaat zò dat AB = B A = I. (vgl. BK definitie.0 blz. 46) (ii) Een matrix A heet singulier indien A niet inverteerbaar is. Een reguliere matrix A is vierkant. Dus als A niet vierkant is, is A singulier. STELLING 3. Voor een vierkante matrix A geldt dat een stelsel Ax = b regulier is voor iedere b dan en slechts dan als de matrix A regulier is. Bewijs. (i) Indien A regulier is, dan is de oplossing van het stelsel Ax = b gelijk aan x = A b, dus het stelsel is regulier. (ii)als het stelsel Ax = b regulier is is de matrix [A b] rij-equivalent met [I c] voor zekere c. Dus is A regulier. Als A niet-vierkant, en dus A singulier is, kan het stelsel Ax = b regulier of singulier zijn. Voorbeeld 3. De matrix A = Vergelijk nu de stelsels () Ax = en 0 (2) Ax =. is niet vierkant en dus singulier. Het eerste stelsel is regulier; het tweede stelsel is singulier. Er is nu een onderscheid gemaakt tussen enerzijds reguliere en singuliere matrices en anderzijds reguliere en singuliere stelsels vergelijkingen. Ook hebben we bepaalde verbanden aangegeven.

35 3.2. AANVULLINGEN LEERSTOF Eigenschappen van de determinant van een matrix Beschouw het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden { a x + a 2 x 2 = b a 2 x + a 22 x 2 = b 2 Na een keer vegen onstaat het stelsel { a x + a 2 x 2 = b + (a 22 a 2a 2 a )x 2 = b 2 a 2b a (Dit gaat natuurlijk alleen maar goed als a = 0.) We vinden precies één oplossing als a a 22 a 2 a 2 = 0, en wel x = b a 22 b 2 a 2 a a 22 a 2 a 2, x 2 = b 2a b a 2 a a 22 a 2 a 2. De uitdrukking a a 22 a 2 a 2 is een getalskenmerk voor de coëfficientenmatrix A dat in dit geval iets zegt over de matrix A en de oplosbaarheid van het stelsel Ax = b. Als a a 22 a 2 a 2 = 0 dan heeft het stelsel precies één oplossing en is de matrix A regulier. Als a a 22 a 2 a 2 = 0 dan heeft het stelsel geen of meerdere oplossingen en is de matrix A singulier. Het getal a a 22 a 2 a 2 noemen we de determinant van de matrix A. We noteren dit als det(a) = a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a 2. Het is op dit moment niet mogelijk om een korte definitie van het algemene begrip determinant te formuleren. Daarom voeren we het begrip determinant van een matrix in aan de hand van de eigenschappen van de determinant. Dit zal ook leiden tot een aantal manieren om de determinant van een matrix te berekenen. We beginnen met een drietal eigenschappen die feitelijk het begrip geheel vastleggen. Definiërende eigenschappen Eigenschap 3. De determinant hangt lineair af van de eerste rij van de matrix. Deze eigenschap betekent dat bijv. de determinant van een 2 2 matrix de volgende eigenschappen heeft ten aanzien van optelling en scalaire vermenigvuldiging in de eerste rij. a + a b + b c d = (a + a )d (b + b )c = ad bc + a d b c = a b c d + a b c d ta tb c d = tad tbc = t(ad bc) = t a b c d Concreet betekent dit dat we bijvoorbeeld de volgende bewerkingen op een determinant kunnen uitvoeren. Voorbeeld = =

36 26 HOOFDSTUK 3. DE INVERSE VAN EEN MATRIX DETERMINANTEN Eigenschap 3.2 De determinant verandert van teken als twee rijen van de matrix worden verwisseld. D.w.z. dat voor een 2 2 eigenschap geldt c d a b = cb ad = (ad bc) = a c Concreet b d Voorbeeld 3.3 (Vervolg voorbeeld 3.2) = = = Eigenschap 3.3 De determinant van de eenheidsmatrix is. Afgeleide eigenschappen Eigenschap 3.4 Als twee rijen van de matrix gelijk zijn is de determinant gelijk aan nul. (volgt uit 2.) Voor een 3 3 matrix is dit alsvolgt in te zien a a 2 a 3 a a 2 a 3 b b 2 b 3 = a a 2 a 3 a a 2 a 3 b b 2 b 3 Dus a a 2 a 3 a a 2 a 3 b b 2 b 3 = 0 Voor ons voorbeeld betekent dit Voorbeeld 3.4 Vervolg voorbeeld = 0

37 3.2. AANVULLINGEN LEERSTOF = = = Evenzo 2 Dus Analoog Dus = 8 = 2 8 = 3 = = 7 = = 48 Eigenschap 3.5 De determinant verandert niet als een veelvoud van een rij wordt afgetrokken van een andere rij. (volgt uit. en 4.) Voor een 3 3 matrix a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 Voorbeeld 3.5 a a 2 a 3 b + ta b 2 + ta 2 b 3 + ta 3 c c 2 c 3 a a 2 a 3 b + ta b 2 + ta 2 b 3 + ta 3 c c 2 c 3 = a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c 3 + t a a 2 a 3 a a 2 a 3 c c 2 c 3 = a a 2 a 3 b b 2 b 3 c c 2 c = 3 = = = = = = 48

38 28 HOOFDSTUK 3. DE INVERSE VAN EEN MATRIX DETERMINANTEN Tot slot nog een aantal belangrijke eigenschappen. Eigenschap 3.6 Als de matrix A een nulrij bevat, geldt det(a)=0. (volgt uit.) Eigenschap 3.7 Als A een onder- of bovendriehoeksmatrix is, is de determinant van A het product van de diagonaalelementen. (volgt uit., 5. en 3.) Eigenschap 3.8 det( A) = 0 dan en slechts dan als A singulier is. (volgt uit 5. en 2.) Eigenschap 3.9 det( AB) = det( A) det(b). (volgt uit 8., 7. en 5.) Eigenschap 3.0 det(a T ) = det(a). (volgt uit 9., 7., 2. en 3.) Determinant en volume Beschouw de vectoren ( ) a a =, b = a 2 en de matrix ( ) a b A =. a 2 b 2 ( b b 2 ) De vectoren a en b spannen een parallellogram op, d.w.z. het parallellogram met deze vectoren als zijden (zie fig. 3. ). b h φ a Figuur 3.: De oppervlakte O van dit parallellogram is dan h a, waarbij a de lengte van de vector a voorstelt (BK 5.). Er geldt h = b sin φ en dus O = a b sin φ = a b cos 2 φ.

39 3.3. HET GEBRUIK VAN MATLAB 29 We weten dat cos φ = (a, b) a b (zie BK blz. 294). Dus ( O 2 = (a 2 + a2 2 )(b2 + b2 2 ) (a b + a 2 b 2 ) 2 ) (a 2 + a2 2 )(b2 + b2 2 ) = (a b 2 a 2 b ) 2. Dus M.a.w O = a b 2 a 2 b = det(a). STELLING 3.2 De oppervlakte van het parallellogram opgespannen door de vectoren a en b is gelijk aan de absolute waarde van de determinant van de matrix met a en b als kolommen. Merk op dat dit ook gelijk is aan de determinant van de matrix met a en b als rijen, want det(a) = det(a T ). Wanneer we in de IR 3 het parallellepipedum beschouwen opgespannen door een drietal vectoren a, b en c, dan kunnen we voor het volume van dit parallellepipedum op soortgelijke wijze bewijzen dat STELLING 3.3 Het volume van het parallellepipedum opgespannen door de vectoren a, b en c is gelijk aan de absolute waarde van de determinant van de matrix met a, b en c als kolommen. 3.3 Het gebruik van MATLAB 3.3. Bepaling inverse Berekening van de inverse van een reguliere n n matrix A is mogelijk door simultaan de stelsels vergelijkingen: AX = A[x x 2... x n ] = [e e 2... e n ] = I op te lossen, waarbij e k de k e kolom van de eenheidsmatrix I voorstelt. Binnen MATLAB kan dit met behulp van het commando: >> A\eye(n) waarbij eye(n) de n n eenheidsmatrix is (b.v. eye(3) is de 3 3 eenheidsmatrix). Daarnaast beschikt MATLAB over een commando om rechtstreeks de inverse van een matrix A te berekenen, namelijk: >> inv(a)

40 30 HOOFDSTUK 3. DE INVERSE VAN EEN MATRIX DETERMINANTEN Als er geen inverse bestaat (A singulier) of als het numerieke resultaat niet betrouwbaar is zal MAT- LAB dit melden. Het commando inv kan ook toegepast worden op symbolische matrices >> syms a b c d >> A=[a b c d] A = [ a, b] [ c, d] >> inv(a) ans = [ d/(-b*c+d*a), -b/(-b*c+d*a)] [ -c/(-b*c+d*a), a/(-b*c+d*a)] Verwisselen van kolommen Met het commando >> B=A(:,[,2,3,5,4]) worden de 4 e en 5 e kolom van de m 5 matrix A verwisseld Determinant-berekening Binnen MATLAB ligt het commando om de determinant van een matrix te berekenen voor de hand: >> det(a) Dit commando kan ook toegepast worden op symbolische matrices >> syms a b c d >> A=[a b c d]; >> det(a) ans = -b*c+d*a

41 3.4. OEFENINGEN Verandering van de waarde van één element van een matrix Om bij een bestaande matrix één element van waarde te veranderen is het niet nodig om de hele matrix opnieuw in te voeren. Het is voldoende om bij de toekenningsopdracht de matrix van het gewenste rij en kolomnummer te voorzien. De opdracht: >> A (2,3) = 4 zorgt er voor dat het element in de tweede rij en derde kolom van A de waarde 4 krijgt. Alle andere elementen van A blijven ongewijzigd! 3.4 Oefeningen 3.4. (ML) Bepaal van elk van de volgende matrices, op de twee manieren zoals omschreven in 3.3., de inverse en controleer het antwoord. 2 0 a. A = Merk op: Indien een reguliere matrix symmetrisch is, is zijn inverse ook symmetrisch. b. de 3 bij 3 Hilbert-matrix A = c. A = (ML) In elk van de volgende onderdelen wordt een matrix gegeven van een speciale vorm. Bepaal van elk van deze matrices de inverse, ga na of de inverse matrix dezelfde speciale vorm heeft en vergelijk het aantal nul-elementen in de oorspronkelijke en inverse matrix. Opm: Om type-werk te besparen gebruiken we voor de matrices speciale MATLAB commando s. Omdat het echter om de matrices en niet om de commando s gaat lichten we deze commando s verder niet toe! Voer, voor je met deze opgave begint, de matrix A = rand(7) in! a. A = triu (A) (bovendriehoeksmatrix) b. A2 = triu (A) - triu (A,2) (speciale bovendriehoeksmatrix) c. A3 = triu (A,-) - triu (A,2) (tridiagonale matrix) d. A4 = triu (A,-3) - triu (A,4) (bandmatrix)

42 32 HOOFDSTUK 3. DE INVERSE VAN EEN MATRIX DETERMINANTEN (ML) In deze opgave bepalen we de inverse van (reguliere) n n matrices A van de volgende speciale vorm ( ) A 0 A = met : A : p p matrix 0 A22 A22 : q q matrix en p + q = n overige elementen : 0. a. Neem, als voorbeeld, bij n = 7: A = rand(4) A22 = rand(3) A = [A zeros(4, 3); zeros(3, 4) A22] Bepaal hiervan de inverse. Wat valt op aan de vorm van deze matrix? Beschouw verder de volgende matrix: ( B B2 B = B2 B22 ) met : B : p p matrix B2 : p q matrix B2 : q p matrix B22 : q q matrix. b. Druk het product AB uit in A t/m B22. Als B de inverse is van A geldt voor dit product AB = I. c. Wat geldt dan voor de produkten A B, A22 B22, A B2 en A22 B2? d. Onder welke voorwaarden voor A en A22 is A inverteerbaar? e. Druk, voor dat geval, B en B22 uit in A en A22. f. Wat geldt, in dat geval, voor B2 en B2? g. Wat is (dus) de algemene vorm voor A? Controleer dit voor het voorbeeld uit a Bepaal de determinant van matrix A = Bepaal het volume van een parallellepipedum bepaald door de vectoren a = (,, 2), b = ( 2, 3, ) en c = (3, 3, 7) (ML) Beschouw de volgende matrices: A = B =

43 3.4. OEFENINGEN 33 C = (Matrix A is de matrix uit oefening 3.4.4). a. Bepaal de determinant van A B C en vergelijk deze met het produkt van de determinanten van A, B en C. b. Bepaal de determinant van A + B en vergelijk dit met de som van de determinanten van A en B. c. Bepaal de determinanten van 3 B en van B 3 ( B tot de macht 3 ) en vergelijk dit met de determinant van B. d. Wat is de determinant van A T en wat is de determinant van A? Wat is het verband met de determinant van A? e. Wat is de determinant van C 20? Vergelijk dit met het resultaat van de MATLAB-opdracht det(c 20). Bij welke waarde van n geeft de MATLAB-opdracht det(c n) een getal ongelijk aan? (ML) De waarde van de determinant van een matrix kan gevoelig zijn voor kleine veranderingen van afzonderlijke elementen van de matrix. We onderzoeken dit aan de hand van een tweetal matrices: A = A2 = a. Bepaal van beide matrices de determinant. b. Verander bij beide matrices de waarde van het element op positie (3,3) van 0 in 0.0 en bereken nogmaals beide determinanten. Bij welke matrix is de verandering relatief het grootst? c. Verander bij beide oorspronkelijke matrices de waarde van het element op positie (2,) van 92 in 92.0 en bereken nogmaals de determinanten. Bij welke matrix is de verandering relatief het grootst? d. Verander bij beide oorspronkelijke matrices de waarde van het element op positie (,2) van 78 in 78.0 en bereken nogmaals de determinanten. Bij welke matrix is de verandering relatief het grootst? De kolommen van elk van de matrices A en A2 kunnen we opvatten als de zijden van een parallellepipedum waarvan het volume gelijk is aan de determinant van de matrix. Omdat de eerste twee kolommen van beide matrices hetzelfde zijn hebben beide parallellepipeda een zelfde grondvlak. De lengtes van beide derde kolommen zijn eveneens gelijk, zodat de derde zijde van het parallellepipedum slechts qua oriëntatie verschilt, zoals bijvoorbeeld in de figuren 3.2 en 3.3. e. Beargumenteer in welk van beide situaties (figuur 3.2 of figuur 3.3) het volume het grootst is. Beargumenteer in welk van beide situaties een kleine richtingsverandering van de derde zijde a 3 relatief de grootste volume-verandering zal geven.