Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Transcriptie

1 Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie gedeelten: DETE1her: met opgaven over dezelfde stof als bij deeltoets 5DT11, DETE2: met opgaven over de resterende stof. STAR: met opgaven voor het honours-star programma. Het gedeelte DETE1her biedt de mogelijkheid om de score voor het eerder behaalde resultaat bij deeltoets 5DT11 (dd ) te verbeteren. Let op: Je mag zelf kiezen of je alleen DETE2 maakt of ook (een van) de andere gedeeltes, DETE1her en STAR. Gebruik per gekozen gedeelte een apart vel voor de uitwerkingen, voorzien van je naam en studentnummer! Voor elk van de twee gedeelten van dit tentamen, DETE1her en DETE2 wordt een apart cijfer vastgesteld op een schaal van 0 tot 10. In combinatie met het eerder behaalde resultaat voor deeltoets 5DT11 (dd ) volgt hieruit een eindcijfer volgens: score = 1/3 x max(5dt11, DETE1her) + 2/3 x DETE2 Het (facultatieve) STAR-gedeelte van dit tentamen wordt apart beoordeeld. De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Het geven van alleen de antwoorden is niet voldoende: licht gemaakte keuzes toe en vermeld ook relevante stappen in je berekeningen. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is wel en van een laptop is niet toegestaan. Z.O.Z. 1

2 Bijlage: Woordenlijst ten behoeve van tentamen 2DE04 ( ) (in)consistent (sub)set adjugate(classical adjoint) approximation attractor auxiliary equation change of coordinates matrix cofactor expansion coordinate mapping diagonal entries dotproduct eigenvector basis generated by identity matrix initial value problem inner product space least squares problem lineair dependent one to one onto parametric vector equation partioned matrix pivot probability vector range rank recurrence relation repellor (source) row reduced scalar multiple similarity transformation solution set steady state vector( or equilibrium vec.) transformatie unit vector weights (niet) oplosbaar (deel)verzameling geadjungeerde( of getransponeerde van de cofactormatrix) benadering attractor/aantrekker karakteristieke vergelijking overgangsmatrix(of coördinatentransformatiematrix) cofactor ontwikkeling coördinaat afbeelding diagonal (elementen) inwendig product in R n basis bestaande uit eigenvectoren voortgebracht door eenheidsmatrix beginwaardeprobleem inwendige productruimte kleinste kwadratenprobleem lineair afhankelijk injectief surjectief (op) vectorvoorstelling blokmatrix spil/as kansvector(waarschijnlijkheidsmatrix) beeldruimte/bereik rang recurrente betrekking afstoter(bron) rij gereduceerd scalaire veelvoud gelijkvormigheids transformatie oplossingsverzameling (algemene oplossing) evenwichtstoestand(svector) afbeelding eenheidsvector gewichten( ook: coëfficienten) 2

3 Faculteit der Wiskunde en Informatica gedeelte DETE1her Je mag zelf kiezen of je alleen DETE2 maakt of ook dit gedeelte DETE1her, maar gebruik per gekozen gedeelte een apart vel voor de uitwerkingen, voorzien van je naam en studentnummer! Dit gedeelte, DETE1her, beslaat circa 1/3 deel van de totale tentamenomvang (=60 minuten!) en bestaat uit de opgaven 1 t/m 5. Het biedt de mogelijkheid om de eerder behaalde score bij deeltentamen 5DT11 (dd ) te verbeteren! Voor dit gedeelte zijn in totaal 20 punten te behalen. Het cijfer voor dit gedeelte wordt bepaald door het behaalde aantal punten door 2 te delen! Opgave 1: (4 = 2+2 punten) Beschouw het stelsel lineaire vergelijkingen dat afhangt van een parameter : x1 3 x2 2 x3 1 2 x1 5 x2 x3 1 3 x1 4 x2 9 x3 2 a. Bepaal voor welke waarde(n) van de parameter dit stelsel consistent is. b. Bepaal de oplossingsverzameling van het stelsel lineaire vergelijkingen voor = -1: x1 3 x2 2 x3 1 2 x1 5 x2 1 x3 1 3 x1 4 x2 9 x3 2 (Hint: onderdeel b. is ook op te lossen als onderdeel a. niet gelukt mocht zijn!) Z.O.Z. 3 DETE1her

4 Opgave 2: (4 = 2+2 punten) Beschouw de matrixvergelijking Ax=b, waarbij voor de coëfficiëntenmatrix A de volgende LU-decompositie gegeven is: A L U en b a. Los met behulp van deze LU-decompositie (!!) de matrixvergelijking Ax=b op. Beargumenteer welke stappen je maakt. b. Bereken de inverse matrices L -1 en U -1. Laat tussenstappen van je berekeningen zien. Bepaal met behulp van deze inversen, L -1 en U -1, de inverse matrix A -1. Opgave 3: (4 = 2+2 punten) Geef in elk van de volgende gevallen aan of de uitspraak waar is of niet. Beargumenteer je antwoord! a. De verzameling H van alle polynomen van de vorm p(t)=a+b t 2, met reële coëfficiënten a en b waarvoor geldt: a = -b, vormt een vectorruimte. b. Als A een m bij n matrix is en de vergelijking Ax=b is inconsistent voor zekere br m, dan kan A niet in elke rij een spil (pivot) hebben. Opgave 4: (4 = 1+3 punten) Beschouw een matrix A , en een afbeelding T: R 3 R 3 gedefinieerd als: T(x)=Ax. a. Toon aan dat de afbeelding T: R 3 R 3 lineair is. b. Beargumenteer of de afbeelding T: R 3 R 3 surjectief (onto) is. Wat kun je op basis daarvan zeggen over het opspansel van de kolommen van A? Opgave 5: (4 = 2+2 punten) Beschouw een matrix A met bijbehorende trapvorm (echelon form): A ~ ~ a. Bepaal bases voor de kolomruimte (column space, Col A) en de rijruimte (row space, Row A) van A. b. Bepaal een basis voor de nulruimte (nul space, Nul A) van A. 4 DETE1her

5 Faculteit der Wiskunde en Informatica gedeelte DETE2 Je mag zelf kiezen of je alleen DETE2 maakt of ook (een van) de andere gedeeltes, maar gebruik per gekozen gedeelte een apart vel voor de uitwerkingen, voorzien van je naam en studentnummer! Dit gedeelte, DETE2, beslaat circa 2/3 van de totale tentamenomvang (=120 minuten!) en bestaat uit de opgaven 6 t/m 11. Voor dit gedeelte zijn in totaal 40 punten te behalen. Het cijfer voor dit gedeelte wordt bepaald door het behaalde aantal punten door 4 te delen! Opgave 6: (8 = punten) In R 2 zijn twee bases gegeven: de standaard basis E e1, e 2, en een geordende basis x. B 3 B b, b,. Verder is een vector x gegeven met coördinaten: a. Bepaal de coördinaatvector van x ten opzichte van de standaardbasis E={e 1, e 2 } in R 2. b. Bepaal de overgangsmatrix ( change-of-coordinates matrix ) van de basis B={b 1, b 2 } naar de standaard basis E={e 1, e 2 } in R 2. 2 Beschouw een vector y met coördinaatvector ten opzichte van standaardbasis in R 2 : y 1 c. Bepaal de coördinaatvector, [y] B, van y ten opzichte van de eerder gegeven basis B={b 1, b 2 }. Een lineaire afbeelding T: R 2 R 2 heeft ten opzichte van de eerder gegeven basis B={b 1, b 2 }.als matrixvoorstelling: A 2 0 B. 1 2 d. Bepaal van deze lineaire afbeelding T de matrixvoorstelling ten opzichte van de standaardbasis E={e 1, e 2 }. Z.O.Z. 5 DETE2

6 Opgave 7: (7 = punten) Beschouw een matrix A, die afhangt van een parameter : A. a. Bereken de determinant van deze matrix A.Geef duidelijk aan welke stappen je bij deze berekening maakt! b. Bepaal alle waarden van waarvoor de matrix A inverteerbaar is. c. Bepaal voor alle waarden van waarvoor de matrix A inverteerbaar is de determinant van de matrix 4A -1. Opgave 8: (4 = 2+2 punten) Geef in elk van de volgende gevallen aan of de uitspraak waar is of niet. Beargumenteer je antwoord! a. Beschouw de lineaire afbeelding T: R 2 R 2 waarbij je eerst spiegelt in de lijn x 1 = -x 2 en vervolgens projecteert op de lijn x 1 = De bijbehorende standaardmatrix van deze afbeelding is: A. 1 0 (Hint: bepaal zo nodig eerst de standaard matrices van de afzonderlijke spiegeling en projectie!) b. Van een 5x8 matrix A is bekend dat de Nulruimte (nul space, Nul A) dimensie 3 heeft. De dimensie van de rijruimte (row space, Row A) van deze matrix A is dan gelijk aan 5. Opgave 9: (5 punten) Diagonaliseer de volgende matrix A, dat wil zeggen, bepaal een inverteerbare matrix P en een diagonaalmatrix D, zo dat A=PDP -1 : A DETE2

7 Opgave 10: (10 = punten) Beschouw voor t0 het stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen: 4 16 x A x x 5 4 t t 5 t a. Bepaal voor A de eigenwaarden en een bijbehorende basis voor de eigenruimte in C 2, de ruimte van complexwaardige vectoren. b. Bepaal de algemene reëelwaardige oplossing (fundamental set of solutions) voor dit stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen. c. Bepaal bij de beginconditie beginwaardeprobleem (initial value problem). x de reëelwaardige oplossing van het bijbehorende Opgave 11: (6=2+2+2 punten) Beschouw een vector: x, en een lineaire deelruimte W, opgespannen door de twee vectoren: u en u a. Bepaal de lengte van de vectoren u 1, u 2. Zijn de vectoren {u 1, u 2 } orthogonaal? b. Schrijf de vector x als som van twee vectoren: x = y + z, met y W en z W, het orthogonaal complement van W. c. Bepaal de afstand van de vector x tot de lineaire deelruimte W. Z.O.Z. 7 DETE2

8 Faculteit der Wiskunde en Informatica gedeelte STAR Je mag zelf kiezen of je alleen DETE2 maakt of ook dit gedeelte STAR, maar gebruik per gekozen gedeelte een apart vel voor de uitwerkingen, voorzien van je naam en studentnummer! Dit gedeelte STAR bevat twee facultatieve opgaven in het kader van het honours-star programma. Voor dit gedeelte, dat apart beoordeeld wordt, zijn in totaal 10 punten te behalen. Opgave STAR1: (4 punten) Beschouw een gepartitioneerde matrix: A A A 11 O A met: Gegeven is verder dat: A11 A 22, A 21, A11 A O. 0 0 Bepaal op basis van deze informatie zonder expliciete rijreductie de inverse van de gepartitioneerde matrix A. Opgave STAR2: (6 = 3+3 punten) a. Bepaal of de drie tijd-discrete signalen u={u k }={1 k }, v={v k }={2 k } en w={w k }={(-5) k } lineair onafhankelijk zijn. b. Bepaal alle waarde(n) r waarvoor oplossingen van de vorm y={y k = r k } voldoen aan de homogene differentie vergelijking: y 2y 3y 0 k2 k1 k 8 STAR