CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2

Maat: px
Weergave met pagina beginnen:

Download "CTB1002-D2 Lineaire Algebra 2"

Transcriptie

1 CTB00-D Lineaire Algebra Juli 03 Augustus 03 Juli 0 Augustus 0 Juli 0 Augustus 0 Juli 00 Augustus 00 Tentamenbundel Civiele Techniek Het Gezelschap "Practische Studie"

2 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen lineaire algebra, wi37ct Maandag, juni 00, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 63 punten te verdienen. Als T het totaal van de behaalde punten is en Q de som van de resultaten van de 6 beste quizzen, dan wordt het cijfer berekend via de volgende formules: Cijfer = 7+T 7 (onafgerond). Cijfer = Q (Cijfer ) (onafgerond). Als Cijfer 4.0 dan Cijfer=afronding(maximum(Cijfer,Cijfer )), anders Cijfer=afronding(Cijfer ).. Gegeven zijn de matrix A = c = c c c 3 α 3 + α α, waarbij α, c, c en c 3 reële getallen zijn. (3) (a) Geef alle α waarvoor de matrix A inverteerbaar is. (3) (b) Neem α =. Bepaal de inverse van de matrix A. () (c) Los voor α = het stelsel Ax = b op. en de vectoren b = 0 0 en Vanaf nu beschouwen we α = 3. () (d) Het is bekend dat het stelsel Ax = c geen, één of oneindig veel oplossingen heeft. Gebruik onderdeel (a) om zonder rekenen te beredeneren dat één van deze mogelijkheden afvalt. Welke is dat en waarom? (4) (e) Indien het stelsel Ax = c wel oplossingen heeft, geef een formule waaraan c, c en c 3 moeten voldoen. Laat zien dat de vector b niet aan deze eisen voldoet. (4) (f) We kunnen wel oplossingen van het stelsel Ax = b in de zin van de kleinste kwadraten construeren. Daartoe moeten we de matrix A T A bepalen. Is de matrix A T A inverteerbaar (dit kan zonder rekenwerk!)? Wat betekent dit voor het aantal oplossingen van het stelsel Ax = b in de zin van de kleinste kwadraten (de oplossing(en) hoef je niet uit te rekenen)? Z.O.Z.

3 . Beschouw de matrix A = en x = () (a) Is b een eigenvector van A? en c? en de vectoren b = (3) (b) Laat zien dat A precies twee verschillende eigenwaarden heeft., c = (3) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een basis voor bijbehorende eigenruimte. () (d) Bepaal een matrix P en een diagonaalmatrix D zodanig dat A = P DP is. (3) (e) Bereken A x (hint: schrijf x als een lineaire combinatie van eigenvectoren). 3. Beschouw de matrix A = en de vector b = (4) (a) Bepaal een basis voor de ruimte opgespannen door de kolommen van A (dit is de kolomruimte van A, Col(A)). Geef, door toepassing van Gram Schmidt op deze basis, een orthogonale basis voor Col(A). (3) (b) Bepaal een basis voor Nul(A). (3) (c) Bepaal rang(a) en dim(nul(a T )). (3) (d) Bepaal de projectiematrix P van de orthogonale projectie op de kolomruimte van A (= Col(A)). (4) (e) Bepaal die vector c in Col(A) waarvan de afstand tot b minimaal is en bereken deze afstand. 4. De afbeelding T : R R spiegelt een vector eerst in de lijn y = x en spiegelt het resultaat vervolgens in de x as. (3) (a) Geef de standaardmatrix van deze lineaire afbeelding. (3) (b) Laat zien dat T gelijk is aan de rotatie over π radialen (dit is een rotatie tegen de wijzers van de klok in). 5. A is een 3 3 matrix met eigenwaarden λ =, λ = 0 en λ 3 =. De vectoren v = 0, v = en v 3 = zijn eigenvectoren van A bij respectievelijk λ, λ en λ 3. (3) (a) Is de matrix A symmetrisch? (Motiveer uw antwoord!) (3) (b) Is de matrix A inverteerbaar? (Motiveer uw antwoord!) We nemen de startvector x 0 = 3 en we definieren x k+ = Ax k. Dit dynamische systeem levert een rij {x k } k 0. (3) (c) Schrijf x 0 als lineaire combinatie van v, v en v 3. Wat is het gedrag van x k voor k? EINDE TENTAMEN WI37CT

4 KORTE UITWERKING. (a) Als A inverteerbaar, dan is det(a) 0. Berekening van de determinant geeft 9 α α 3 = α(9 α ). De determinant is dus nul voor α = 0, ±3. Voor alle andere waarden van α is A inverteerbaar. Zelfde conclusie kan ook worden getrokken door vegen van matrices en bestudering van pivots.. / 0 / (b) Veeg de matrix [AI] [IA ], dit geeft /4 /4 /4 / 0 (c) Aangezien A inverteerbaar is, volgt dat x = A b = b = /4. / (d) Voor α = 3 is de matrix niet inverteerbaar. Dit betekent dat er of geen oplossing is (strijdig stelsel) of dat er oneindig veel oplossingen zijn. Er kan dus niet één oplossing zijn.. (e) Stel de uitgebreide matrix 3 c 6 0 c 3 0 c3 op en veeg deze naar echelonvorm. Dit geeft 3 c 0 6 c 6 c c3 / c. Dit stelsel heeft alleen oplossingen als geldt dat c = c 3. Het is duidelijk dat b hier niet aan voldoet.

5 (f) Gebruik hiervoor TH 4, pag 49. Hier staat dat A T A alleen inverteerbaar is als de kolommen van A linear onafhankelijk zijn. We weten dat de kolommen lineair afhankelijk zijn (anders zou de matrix inverteerbaar zijn), dus A T A is niet inverteerbaar. Hieruit volgt dat de oplossing van het stelsel Ax = b niet uniek is (er zijn oneindig veel oplossingen). Je mag dit natuurlijk ook helemaal uitrekenen.. (a) gebruik de definitie van een eigenvector, Ax = λx. Je vindt nu dat Ab = 0, dus b is een eigenvector bij eigenwarde 0. Zo ook Ac = c. Dus c is een eigenvector met eigenwaarde. (b) bereken det(a λi) = 0. Na wat rekenwerk vind je λ(λ + ) = 0, ofwel λ = 0 of λ =. (c) Voor λ = 0 zijn we al klaar, immers {b} is een basis. Voor λ = moeten we kijken of er nog een eigenvector is, we vinden twee eigenvectoren. Dit geeft als basis {[, 3, 0] T, [, 0, 3] T }. (d) VoorP, gebruikde eigenvectoren zoals gevonden in het vorige onderdeel: 0 0 P = 3 0, hierbij hoort de diagonaalmatrix D = (e) Antwoord: merk op dat A = P D P = P DP = A. Dus A x = Ax = [0, 3, 3] T. Kan ook met de hint.

6 3. (a) Veeg de matrix A naar echelon vorm. Dit geeft Alleen kolom en hebben een pivot. De basis wordt dus gegeven door {[,,, 0] T, [, 0,, ] T }. Als we nu GS toepassen zien we direct dat de vectoren loodrecht op elkaar staan. Merk op dat het niet nodig is de vectoren lengte te geven. (b) Los hiertoe op Ax = 0. We vinden dan (zie hierboven geveegde matrix) dat veelvouden van de vector [,, ] T voldoen aan deze vergelijking. Een basis voor Nul(A T ) wordt dus gegeven door {[,, ] T }. (c) De rang(a) = (het aantal lineair onafhankelijke kolommen), de dim(nul(a T )) =. Dit laatste volgt uit het feit dat Nul(A T ) = Col(A). De dimensie van Col(A) is, zijn orthogonale complement heeft dan ook dimensie (immers Col(A) R 4 ). (d) Je moet dus die P vinden waarvoor geldt dat P b de loodrechte projectie van b op Col(A) is. Er zijn verschillende manieren. De eenvoudigste manier is om de eerste twee kolommen van A te nemen en hun lengte te maken. Dit geeft U = 0 3 Bereken nu UU T, dit geeft P =

7 Als je deze uitdrukking niet meer weet, kun je uit de kk-methode afleiden dat P = A(A T A) A T, zie bijvoorbeeld pag 49 van het boek, TH4 en de tekst daaronder. Het is eenvoudiger alleen op de eerste twee kolommen van A te projecteren. We gebruiken dan  ipv A in de uitdrukking [ ] hierboven met  = Bereken nu ÂT  =. De inverse [ ] 0 hiervan wordt gegeven door. Vermenigvuldiging van links met 9 0 A en van rechts met A T geeft dan weer dezelfde P. Je kunt P ook mbv theorie pagina vinden, waarbij u en u de genormaliseerde kolomvectoren van  zijn. Bereken dan u u T + u u T. Dit geeft dezelfde projectiematrix P. (e) Gebruik eerder gevonden projectie-matrix of bereken de kleinste kwadratenoplossing expliciet. Dit geeft c = /3 7/3 /3. De afstand tot b volgt dan uit de berekening van b c = 9.

8 4. (a) Eerst een [ spiegeling ] in y = x. Dit wordt gegeven door de matrix 0 S =. Een spiegeling in de x as wordt gegeven door [ 0 ] 0 S =. De lineaire afbeelding wordt dus gegeven door S 0 S = [ ] 0. 0 (b) Volgt uit definitie van rotatie matrix. 5. (a) Ja, er zijn 3 eigenwaarden, alle eigenwaarden zijn reeel en de vectoren staan loodrecht op elkaar, dus de matrix A is symmetrisch (TH, pag 467, TH3, pag 468). (b) Nee, er is een eigenwaarde nul aanwezig. (c) x 0 = v 3 + v + v. We weten dat x k = Ax k = A k x 0 = λ k v + λ k v + λ k 3v 3. Aangezien λ en λ 3 kleiner dan één zijn, vinden we lim k A k x 0 = v. Dit betekent dat de vector x 0 naar v convergeert.

9 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen lineaire algebra, wi37ct Maandag, 3 augustus 00, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 45 punten te verdienen. Als T het totaal van de behaalde punten is dan wordt het cijfer berekend via de volgende formule: Cijfer= 5+T 5 (standaard afgerond).. Gegeven zijn de matrix A = c = c c c 3 α 3 4 α α 3 α, waarbij α, c, c en c 3 reële getallen zijn. en de vectoren b = 4 en () (a) Geef alle α waarvoor de matrix A inverteerbaar is (hint: bekijk ook de rest van deze som). () (b) Neem α = 0. Bepaal de inverse van de matrix A. () (c) Los voor α = 0 het stelsel Ax = b op. () (d) Neem α =. Het is bekend dat het stelsel Ax = c geen, één of oneindig veel oplossingen heeft. Gebruik onderdeel (a) om zonder rekenen te beredeneren dat één van deze mogelijkheden afvalt. Welke is dat en waarom? () (e) Neem weer α =. Indien het stelsel Ax = c wel oplossingen heeft, geef een formule waaraan c, c en c 3 moeten voldoen. Z.O.Z.

10 . Beschouw de matrix A = en x = () (a) Is b een eigenvector van A? En c? () (b) Bereken de eigenwaarden van A. en de vectoren b = 0 3, c = () (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een basis voor bijbehorende eigenruimte. () (d) Bepaal een matrix P en een diagonaalmatrix D zodanig dat A = P DP is. () (e) Bereken A x (hint: schrijf x als een lineaire combinatie van eigenvectoren). 3. Beschouw de matrix A = en de vector b = (3) (a) Bepaal een basis voor de ruimte opgespannen door de kolommen van A (dit is de kolomruimte van A, Col(A)). Geef, door toepassing van Gram Schmidt op deze basis, een orthogonale basis voor Col(A). (3) (b) Bepaal de projectiematrix P van de orthogonale projectie op de kolomruimte van A (= Col(A)). (3) (c) Bepaal die vector c in col(a) waarvan de afstand tot b minimaal is en bereken deze afstand. () (d) Geef een basis voor het orthogonale complement van Col(A). () 4. (a) Vul de volgende definitie aan: Een afbeelding T : R n R m is een lineaire afbeelding als... () (b) Is de afbeelding T : R 3 R gedefinieerd door T (x, x, x 3 ) = (π x +3x, x + x 3 ) een lineaire afbeelding? (4) (c) Geef van de lineaire afbeelding T : R 4 R 3 gedefinieerd door T (x, x, x 3, x 4 ) = (x +x +x 4, x 3 +x 4, x +x +x 3 +x 4 ) de standaardmatrix voor T. Is de afbeelding T injectief (dus one-to-one )? En surjectief (dus onto )? 5. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : Q(x) = 3x 4x x + 6x. () (a) Schrijf Q(x) in de vorm Q(x) = x T Ax. () (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (3) (c) Bepaal een orthonormale basis {q[, q ]} zodat de gegeven kwadratische vorm y t.o.v. de nieuwe coördinaten y = geschreven wordt als een kwadratische vorm zonder kruisproducten. Bepaal deze vorm ook. (3) (d) Maak nu een schets van de kromme 3x 4x x + 6x = 4. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. y EINDE TENTAMEN WI37CT

11 KORTE UITWERKING. (a) Als A inverteerbaar, dan is det(a) 0. Berekening van de determinant geeft α 7α + 6. De determinant is dus nul voor α = 3/ en α =. Voor alle andere waarden van α is A inverteerbaar. Zelfde conclusie kan ook worden getrokken door vegen van matrices en bestudering van pivots. Normering: Berekenen van de determinant/vegen van de matrix: punt. Conclusie: punt.. / / (b) Veeg de matrix [AI] [IA ], dit geeft /3 0 /3 / 0 / Normering: Opstellen uitgebreide matrix: punt. Rekenwerk: punt. 4 (c) Aangezien A inverteerbaar is, volgt dat x = A b = b = 0/3. 3 Normering: punt (d) Voor α = is de matrix niet inverteerbaar. Dit betekent dat er of geen oplossing is (strijdig stelsel) of dat er oneindig veel oplossingen zijn. Er kan dus niet één oplossing zijn. Normering: punt voor goede antwoord en punt voor motivatie. Er moet wel een motivatie staan!. (e) Stel de uitgebreide matrix c c c3 op en veeg deze naar echelonvorm. Dit geeft c 0 5/4 0 c /4 c c3 3/5 c + /5 c Dit stelsel heeft alleen oplossingen als geldt dat c c + 5 c = 0. Normering: Opstellen uitgebreide matrix en vegen naar echelon-vorm: punt. Conclusie: punt..

12 . (a) Gebruik de definitie van een eigenvector, Ax = λx. Je vindt nu dat Ab = 4b, dus b is een eigenvector bij eigenwaarde 4. Zo ook Ac = 6. Dit is geen veelvoud van c, dus c is geen eigenvector. 0 Normering: Per juiste conclusie / punt. (b) Bereken det(a λi) = 0. Na wat rekenwerk vind je (λ )(λ+4)(λ 7) = 0, ofwel λ =, λ = 4 en λ = 7 zijn de eigenwaarden. Normering: Opstellen determinant-vergelijking: punt. Uitrekenen determinant: punt. (c) Voor λ = 4 zijn we al klaar, immers {b} is een basis. Voor λ = vinden we als basis {[ 3, 6, 8] T }, en voor λ = 7 wordt de basis gegeven door {[3, 0, ] T }. Normering: Niet expliciet geven van basis: -/ punt. (d) VoorP, gebruik de eigenvectoren zoals gevonden in het vorige onderdeel: P = 0 6 0, hierbij hoort de diagonaalmatrix D = Normering: Voor D en P elk punt. (e) Antwoord: Merk op dat x de som is van de eigenvector b en de eigenvector [ 3, 6, 8] T. We vinden dan dus dat A x = A ( [, 0, 3] T + [ 3, 6, 8] T ) = ( 4) [, 0, 3] T + [ 3, 6, 8] T. Normering: Het ontbinden van x in eigenvectorenen: punt, berekenen van A x punt. 3. (a) Veeg de matrix A naar echelon vorm. Dit geeft / Kolommen, en 4 hebben een pivot. De basis wordt dus gegeven door {[,, 0, ] T, [,,, 0] T, [,, 3, ]}. Nu deze basis orthogonaliseren. v = (,, 0, ), v = v (< v, v > / < v, v >)v = (,,, 0) (0/3)(,, 0, ) = (,,, 0) (kolom en staan al loodrecht op elkaar). Zo ook v 3 = (0,,, ). Merk op dat het niet nodig is de vectoren lengte te geven. Normering: Vegen matrix: punt. Pivots+basis: punten. Orthogonaliteit basis: punt.

13 (b) Je moet dus die P vinden waarvoor geldt dat P b de loodrechte projectie van b op Col(A) is. De eenvoudigste manier is om de orthogonale basis voor Col(A) te nemen en hun lengte te maken. Dit geeft de matrix U 0 U = Bereken nu UU T, dit geeft P = Normering: Opstellen U: punt. Opmerken dat P = UU T : punt. Berekenen P : punt. (c) De projectie van b op Col(A) wordt gegeven door c = P b = [, 6,, ] T. Dit kan natuurlijk ook door projectie op de georthogonaliseerde vectoren die Col(A) opspannen. Vector d wordt gegeven door b P b = (, 0,, ) T. De afstand van b tot Col(A )wordt gegeven door d = (, 0,, ) = ( ) = 3. Normering: Vinden van c: punten. Afstand: punt (d) Dit is eenvoudig, een basis wordt gegeven door {d}, met d zoals gevonden in het vorige onderdeel. 4. (a) Zie boek, pagina 93 (of pagina 77, eerdere druk). Normering: Per voorwaarde punt. (b) Nee, voldoet niet aan de voorwaarden (laat dit zien, tegenvoorbeeld is voldoende!). Normering: Naar eigen inzicht. (c) De standaard matrix afbeelding wordt gegeven door 0 A = 0 0. De kolommen van A spannen R 3 op, dus de afbeelding is onto. De kolommen van A zijn niet linear onafhankelijk, dus de afbeelding is niet one-to-one (zie theorema, pag 05 (pag 89 eerdere druk)). Normering: Opstellen A: punten. onto en one-to-one : ieder punt

14 5. (a) A = [ 3 6 ]. Normering: Opstellen A punt. (b) Bereken de eigenwaarden van A. De eigenwaarden zijn en 7, dus Q is positief definiet (zie Theorem 5, pag 477 (pag 46 eerdere druk)). Normering: Berekenen eigenwaarden: punt. Conclusie: punt. (c) De eigenvectoren met lengte zijn [, ] T / (5) bij eigenwaarde en [, ] T / (5) bij eigenwaarde 7. Nu volgt dat x = P y met [ ] P =. 5 De gezocht vorm wordt y + 7y. Normering: Vinden van de nieuwe basis: punt. Opstellen van P : punt. Nieuwe kwadratische vorm: punt. (d) Dit is een gedraaide ellips, schets als in boek, fig 3a, pagina 476 (pagina 460 eerdere druk). Normering: Naar eigen inzicht. In deze figuur moeten de nieuwe assen wel duidelijk aangegeven zijn.

15 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen lineaire algebra, wi37ct Maandag, 0 juni 0, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 8 punten te verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 9+T 9 (onafgerond).. Gegeven zijn de matrix A = c = c c c 3 α 3 4 α α 3 α, waarbij α, c, c en c 3 reële getallen zijn. en de vectoren b = 4 en (4) (a) Geef alle α waarvoor de matrix A inverteerbaar is (hint: bekijk ook de rest van deze som). (4) (b) Neem α = 0. Bepaal de inverse van de matrix A. () (c) Los voor α = 0 het stelsel Ax = b op. (3) (d) Neem α =. Het is bekend dat het stelsel Ax = c geen, één of oneindig veel oplossingen heeft. Gebruik onderdeel (a) om zonder rekenen te beredeneren dat één van deze mogelijkheden afvalt. Welke is dat en waarom? (4) (e) Neem weer α =. Indien het stelsel Ax = c wel oplossingen heeft, geef een formule waaraan c, c en c 3 moeten voldoen. Antwoord (a) Bereken de determinant, deze wordt gegeven door α 3 + 7α + 5α + 9. Als deze nul is, is de matrix niet inverteerbaar: α 7α + 6 = 0. Ofwel A is inverteerbaar als α 3 en α. (b) Gebruik bijvoorbeeld methode zoals beschreven in Lay, p.40. Na stug rekenen geeft dit / / /3 0 /3 / 0 / (c) Neem de inverse uit het vorige onderdeel en reken A b uit. Dit geeft [4, 0/3, 3] T. (d) Als α =, is de determinant gelijk aan nul. Je hebt dus nooit één oplossing.

16 (e) Stel de uitgebreide matrix c c c3 op en veeg deze naar echelon-vorm: c 0 5/4 0 c /4 c c3 3/5 c + /5 c. Deze uitgebreide matrix heeft alleen een oplossing als c3 3/5 c + /5 c = Gegeven zijn de matrix A = en de vector b = 3, (3) (a) Geldt dat Col(A) = R 4? (3) (b) Bepaal een basis B voor Col(A). (4) (c) Toon aan dat C = 4 9 5, ook een basis is voor Col(A). () (d) Laat zien dat b Col(A) en bepaal de coördinaten van b t.o.v. de basis C. (4) (e) Bepaal de dimensie van Nul(A) en geef een basis voor Nul(A). Antwoord (a) Veeg de matrix naar echelon-vorm. Dit geeft Dus alleen kolom en 3 hebben een pivot. De kolomruimte heeft een basis die bestaat uit vectoren en spant dus niet R 4 op. (b) Gebruik als basis de verzameling van de kolomvectoren met pivot uit het vorige onderdeel: 0, (c) Laat zien dat de vectoren uit C lineaire combinaties zijn van de vectoren in B, en dat ze onafhankelijk zijn (dat is eenvoudig te zien, de eerste vector in C is de som van de eerste en derde kolomvector uit de matrix A, en de e het verschil van de 3e en de e). Aangezien de dimensie van Col(A) is, volgt hieruit dat C ook een basis is.

17 (d) Veeg de uitgebreide matrix Dit geeft / 0 0 0, waaruit volgt dat [b] C = [3/, /] T. (e) Een basis voor de nulruimte wordt gegeven door [ 5,, 0, 0] T, [, 0, 3, ] T, de dimensie is. 3. Beschouw de matrix 0 A = 0 en de vectoren v = 0 () (a) Is v een eigenvector van A? en w? 0, w = (4) (b) Laat zien dat A precies twee verschillende eigenwaarden heeft. Bepaal ook de algebraïsche multipliciteiten. (4) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een basis voor de bijbehorende eigenruimte. (8) (d) Is A orthogonaal diagonaliseerbaar? Beargumenteer uw antwoord. Zo ja, bepaal een orthogonale diagonalisering van A, dwz geef een orthogonale matrix P en een diagonaalmatrix D zo dat A = P DP. Bepaal ook P. Antwoord (a) v is een eigenvector bij eigenwaarde λ =, w is geen eigenvector. (b) De karakteristieke polynoom wordt gegeven door λ 3 λ + 6. Stel deze gelijk aan nul en bepaal de nulpunten. Dit geeft λ = ( keer) en λ = 4 ( keer). (c) Bereken de eigenruimtes, dit geeft voor λ = voor λ = 4 0., 0, en (d) A is symmetrisch, dus orthogonaal diagonaliseerbaar. Om P te vinden, zet de eigenvectoren loodrecht op elkaar en normeer ze. Dit geeft P = ,

18 en D = Omdat P orthogonaal is, de inverse van P gelijk aan zijn getransponeerde: P = P T. 4. De matrix A en de vector b zijn gegeven door A = 0 en b = 0 () (a) Bepaal de oplossingen van Ax = b. (4) (b) Bepaal de kleinste kwadraten oplossingen van Ax = b. (4) (c) Is de matrix A T A inverteerbaar (Leg uit)? (6) (d) Bepaal de matrix P van de orthogonale projectie op de kolomruimte van A. () (e) Wat is de meetkundige betekenis van P x voor x R 3? Antwoord (a) Stel de uitgebreide matrix op en veeg deze matrix: Hieruit volgt dat er geen oplossing is. (b) Los op A T Aˆx = A T x. Dit heeft als oplossingen [ 0,, 3 3 0]T + s[,, ] T. Dit zijn er dus oneindig veel. (c) De matrix is niet inverteerbaar omdat de kolommen van A niet onafhankelijk zijn (zie Lay, pag 49, Th 4). (d) Volgens de theorie zou je misschien denken dat P = A(A T A) A T. Dat is echter niet zo! Omdat A namelijk afhankelijke kolommen heeft, is A T A niet inverteerbaar. Dus P kan zo niet berekend worden. Gelukkig kunnen we een matrix B met onafhankelijke kolommen bedenken waarvan de kolomruimte precies de kolomruimte van A is: we kunnen uit een lineair omhulsel een vector verwijderen die een lineaire combinatie van de anderen is, zodat bijvoorbeeld Col(A) = Span. 5. 0,, = 0 Span 0, = Col = Col(B). De matrix B heeft wél onafhankelijk kolommen, waardoor(b T B) wel bestaat en P = B(B T B) B T ook. Deze P is de gewenste en wordt gegeven door

19 /3 /3 /3 P = /3 /3 /3 /3 /3 /3 (e) Voor deze matrix geldt P x = x Col(B) = x Col(A). De meetkundige betekenis van P x is dus dat dit de orthogonale projectie van x op de kolomruimte van B en dus van A is. 5. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : Q(x) = 3x 4x x + 6x. () (a) Bepaal de symmetrische matrix A zodat Q(x) = x T Ax. () (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (4) (c) Bepaal een orthonormale basis [ B ] = {q, q } zodat de kwadratische vorm in de y nieuwe B-coördinaten y = overgaat in een kwadratische vorm zonder kruisproducten (gemengde termen). Bepaal ook deze vorm. y (4) (d) Maak nu een schets van de kromme 3x 4x x + 6x = 4. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. Antwoord (a) [ A = 3 6 ] (b) Bereken de eigenwaarden van A. Deze worden gegeven door λ = en λ = 7. Deze zijn allebei positief, dus positief definiet. (c) Bereken nu de eigenvectoren, voor λ = is dit q = [, ] T, en voor λ = 7 is dit q = [, ] T. De kwadratische vorm y + 7y = 4. (d) Dit is een ellips met als hoofdassen de lijnen in de richting van q en q. De lange as ligt op de q as. EINDE TENTAMEN WI37CT

20 NORMERING. (a) Uitrekenen determinant: pnt, oplossen + conclusie: pnt. (b) 4 pnt. (c) pnt. (d) Eigen inzicht. (e) Vegen stelsel: 3 pnt, conclusie: pnt.. (a) Vegen matrix: pnt, conclusie pnt. (b) Geen punten als niet de kolommen uit de oorspronkelijke matrix zijn genomen. Een punt aftrek als notatie niet correct is. (c) Aantonen vectoren in basis B: punten. Dimensie: punt. (d) Naar eigen inzicht. (e) Basis: 3 punten. Dimensie: punt 3. (a) punt per juist antwoord. Onafhankelijkheid: punt. (b) uitrekenen karak. vgl + oplossen 3 punten, multipliciteit: pnt. (c) pnt per correcte eigenruimte. (d) Diagonaliseerbaar: pnt, bepalen P: pnt (als niet orthogonaal, trek punt af), D: pnt, inverse van P: pnt. (e) Naar eigen inzicht. 4. (a) Vegen: pnt, conclusie: pnt. (b) Berekenen van A T A pnt, A T b pnt, oplossen pnt. (c) Eigen inzicht. (d) Bepalen van matrix B: 3 pnt. Uitrekenen van P : 3 pnt. (e) Eigen inzicht. 5. (a) Eigen inzicht. (b) Eigenwaarden: pnt, conclusie: pnt. (c) Eigenvectoren: pnt, vorm: pnt. (d) Eigen inzicht (wel nodig: nieuwe assen correct, lange en korte as correct getekend).

21 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Hertentamen + e deeltoets lineaire algebra, wi37ct Maandag, augustus 0 Tentamen uur, Deeltoets uur. HELE TENTAMEN: maak opgaven t/m 5. U kunt hierbij 68 punten verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 7+T 7.5 (onafgerond). e DEELTOETS: maak opgaven 3 t/m 6. U kunt hierbij 5 punten verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 5+T 5.7 (onafgerond). Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan.. Gegeven is de matrix A = () (a) Geef voor de verzamelingen Col A (dit is de kolomruimte van A) en Nul A (dit is de nulruimte van A) aan van welke R n ze een deelruimte zijn. () (b) (i) Behoort ( 4,,, 0) T tot Nul(A)? En ( 7,, 0, 5) T? () (ii) Behoort (0, 0, 0, 0, ) T tot Col(A)? En (0,, 6,, 8) T? () (c) Bepaal de rang van A. (3) (d) Bepaal met behulp van je antwoord op (c) de dimensies van de kolom en nulruimte van A. Bepaal deze zonder verdere veegoperaties uit te voeren. (3) (e) Bepaal bases voor de kolom en nulruimte van A. () (f) Geef een matrix B zo dat Nul A = Col B. Antwoord (a) respectievelijk van R 5 en R 4. (d) (b) (i) e eerste wel, de tweede niet (d) (ii) e eerste niet, de tweede wel (c) Rank A = 3 (d) dim Col A = 3 = dim Row A en dim Nul A = (e) Bijvoorbeeld,, 0 en is een basis voor Nul A is een basis voor Col A,

22 (f) erg veel mogelijkheden, namelijk elke matrix waarvan de kolommen veelvouden van (,,, 0) T zijn met tenminste één niet-nul kolom.. Gegeven zijn de afbeeldingen T : R R 3, gedefinieerd door en de afbeelding T : R 3 R, gedefinieerd door. T (x, x ) = (x, x x, 3x + 4x ), T (y, y, y 3 ) = (y + y 3, 3y y 3 ), () (a) Laat zien dat de afbeelding T een lineaire afbeelding is. (3) (b) Geef de standaardmatrices van T en T. Leg uit hoe u hieraan komt. () (c) Is T injectief ( one-to-one )? En is T surjectief ( onto )? (Leg uit!) (3) (d) Bepaal, indien deze bestaan, de standaardmatrix van T T (dit betekent: voer eerst T uit, en vervolgens op het resultaat van deze afbeelding T ). (4) (e) Bepaal, indien deze bestaan, de inverse afbeelding van T T. Dus vul in (T T ) (x, x ) = (...,...). Antwoord (a) Laat zien dat T (x + y, x + y ) = T (x, x ) + T (y, y ) en dat T (ax, ax ) = at (x, x ), of gebruik dat deze lineaire afbeelding een standaardmatrix heeft (onderdeel b), waaruit volgt dat T lineair is. (b) A T = en A T = [ ]. (c) T is wel onto (elk beeld heeft een origineel), maar niet one to one (niet elk beeld heeft ten hoogste origineel). Dit volgt ook uit de standaardmatrix voor T met Th., pag 05. (d) [ (T T] )(x) = T (T (x)) = T (A T x) = A T A T x. De gezochte matrix is dus A T A T = ] (e) Inverteer de matrix uit het vorige onderdeel. Dit geeft A T volgt dat T (x, x ) = 49 ( 7x 4x, 3x + 5x ). = 49 [ Hieruit

23 3. Beschouw de matrix A = 3 3 () (a) Is b een eigenvector van A? en c? en de vectoren b = () (b) Laat zien dat A precies twee verschillende eigenwaarden heeft., c = (3) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een basis voor bijbehorende eigenruimte. (3) (d) Bepaal een matrix P en een diagonaalmatrix D zodanig dat A = P DP is. (4) (e) Bereken A x (hint: schrijf x als een lineaire combinatie van eigenvectoren). Antwoord 4 en x = (a) Gebruik de definitie van een eigenvector, je vindt nu dat Ab = 0, dus b is een eigenvector bij eigenwaarde 0. Zo ook Ac = c. Dus c is een eigenvector met eigenwaarde. (b) Bereken det(a λi) = 0. Na wat rekenwerk vind je λ(λ + ) = 0, ofwel λ = 0 of λ =. (c) Voor λ = 0 zijn we al klaar, immers {b} is een basis. Voor λ = moeten we kijken of er nog een eigenvector is. Het op te lossen stelsel reduceert tot 3x y x = 0, dit geeft twee eigenvectoren, bijvoorbeeld [, 3, 0] T en [, 0, 3] T. De basis wordt dus gegeven door 3, (d) Voor P, gebruik de eigenvectoren zoals gevonden in het vorige onderdeel: P = 3 0, hierbij hoort de diagonaalmatrix D = (e) Merk op dat A = P D P = P DP = A. Dus A x = Ax = [0, 3, 0] T. Kan ook met de hint Beschouw de matrix A = 0 4 en de vector B = (4) (a) Bepaal een basis voor de ruimte opgespannen door de kolommen van A (dit is de kolomruimte van A, Col(A)). Geef, door toepassing van Gram Schmidt op deze basis, een orthogonale basis voor Col(A). (4) (b) Bepaal die vector c in Col(A) waarvan de afstand tot b minimaal is en bereken deze afstand. () (c) Geef een basis voor het orthogonale complement van Col(A). (4) (d) Bepaal de projectiematrix P van de orthogonale projectie op de kolomruimte van A (= Col(A)). Antwoord (a) Eerst vegen, je vindt dan 3 pivots, dsu alle drie de kolommen zitten in de basis. Nu het standaard GS-proces, dit geeft v = [,,, 0] T, v = [0,,, ] T en v 3 = [0, /3, /3, 8/3] T. Ik houd niet zo van breuken, dus ik vervang v 3 door 4v 3 = [0,,, 4] T. (b) Dit kan met behulp van de projectiematrix of door c te schrijven als een lineaire combinatie van v i, ofwel c = c v + c v + c 3 v 3 met c i =< v i, b > / < v i, v i >. Dit geeft c =, c = /3 en c 3 = /3 en c = [, 4, 0, ] T. De afstand wordt gegeven door b c = [ 4,,, 0] T ) = 3 (). (c) Neem de verschilvector b c = [ 4,,, 0] T. 5.

24 (d) Deze matrix wordt gegeven door P = A(A T A) A T ook. Deze P is de gewenste matrix en wordt gegeven door /9 /9 /9 0 7 /9 / /9 / Het is natuurlijk eenvoudiger (en veel minder rekenwerk!) door de nieuwe basis uit onderdeel a te gebruiken en deze the normaliseren. Hiermee kun je de orthogonale matrix 0 0 U = / 3 / 0 construeren die dezelfde deelruimte opspant. Je vindt nu de projectiematrix door UU T uit te rekenen. 5. Beschouw het volgende discrete dynamische systeem: met startwaarden x 0 =, y 0 =. x k+ = 5x k y k y k+ = x k + 3y k, () (a) Bepaal de matrix A zodat het gegeven dynamische systeem gelijk [ is aan] x k+ = Ax k, waarbij 5 x k = [x k, y k ] T. (Als dit niet lukt, gebruik dan de matrix A = ). 3 (3) (b) Bepaal de eigenwaarden van de matrix A. Is de oorsprong 0 een attractor of een repellor (Leg uit)? () (c) Schrijf de initiële conditie x 0 = [x 0, y 0 ] T als een lineaire combinatie van de eigenvectoren van A. (3) (d) Geef nu een formule voor x k. Laat zien dat x k reëel is als x 0 reëel is. () (e) Schets de baan die bij dit dynamisch systeem behoort en bespreek wat gebeurt er voor k? Antwoord [ ] 5 (a) A = 3 (b) De eigenwaarden zijn complex en worden gegeven door 4 ± I. De absolute waarde van de eigenwaarden is groter dan, dus is de oorsprong een repellor. (c) Bereken nu de eigenvectoren. De eigenwaarden zijn λ = 4 + i met eigenvector [ + i, ] T, en λ = 4 i met eigenvector [ i, ] T. De initiële vector [, ] T kun je nu schrijven als [, ] T = [ + i, ]T + [ i, ]T. (d) x k = (4 + i)k [ + i, ] T + (4 i))k [ i, ] T. Dit volgt uit het feit dat A een reële matrix is, x k+ = Ax k en x 0 een reële vector is. (e) Dit is een naar buiten spiraliserende baan. Voor k wordt x k steeds groter: de oorsprong is een afstoter. 6. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : K(x) = 5x + 4x x + x. () (a) Bepaal een symmetrische matrix A zodat K(x) = x T Ax.

25 (3) (b) Is de matrix A positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (4) (c) Bepaal een orthonormale basis[ Q = ] {q, q } zodat de gegeven kwadratische vorm t.o.v. y de nieuwe coördinaten [x] Q = geschreven wordt als een kwadratische vorm zonder kruisproducten. Bepaal deze vorm ook. y (3) (d) Maak nu een schets van de kromme 5x + 4x x + x = 4. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is en bepaal de lengte van de lange as. Antwoord (a) 5x + 4x x + x = [ ] [ ] [ ] 5 x x x = x x T Ax. (b) A is positief definiet, want alle eigenwaarden (λ =, 6) zijn positief. {[ ]} {[ ]} [ ] [ ] (c) Basis E : en basis E 6 :. Als q = 5 en q = 5 dan [ ] is Q = {q, q } is een orthonormale basis R y. Als [x] Q = dan geldt: x = [ x x ] [ = Omdat Q een orthogonale matrix is volgt 4x x + x = x T Ax = xq [ [ y y ] Q T x = [x] T Q ] ] [ y y [ y ] = Q [x] Q = [x] Q = Q x = Q T x! En dus: x + ] [x] Q = y + 6y. (d) Het schetsen van x +4x x +x = 4 is het schetsen van y +6y = 4, oftewel y 4 + y 4 = en dit is een gewone ellips, maar wel op de scheven assen: de lijnen door q en q. Lange as: lengte 4 en korte as: 4. EINDE TENTAMEN WI37CT

26 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen lineaire algebra II, wi57ct Maandag, juli 0, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 8 punten te verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 9+T 9 (onafgerond).. A is een 3 3 matrix met eigenwaarden λ =, λ = 0 en λ 3 =. De vectoren v =, v = en v 3 = 0 zijn eigenvectoren van A bij respectievelijk λ, λ en λ 3. () (a) Geef een orthogonale diagonalisatie van de matrix A. () (b) Is de matrix A symmetrisch? (Motiveer uw antwoord!) () (c) Is de matrix A inverteerbaar? (Motiveer uw antwoord!) We nemen de startvector x 0 = 3 en we definieren x k+ = Ax k. Dit dynamische systeem levert een rij {x k } k 0. (3) (d) Schrijf x 0 als lineaire combinatie van v, v en v 3, en geef een formule voor x k.. Beschouw de matrix 3 A = 0 en de vectoren v = 3 () (a) Is v een eigenvector van A? en w? 0, w = (4) (b) Laat zien dat A precies twee verschillende eigenwaarden heeft. Bepaal ook de algebraïsche multipliciteiten. (4) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een orthonormale basis voor de bijbehorende eigenruimte. (8) (d) Geef een spectrale decompositie van de matrix A. Wat is de betekenis van de verschillende matrices in deze spectrale decompositie?.

27 3. De matrix A en de vector b zijn gegeven door A = 0 en b = 0 () (a) Bepaal de oplossingen van Ax = b. (4) (b) Bepaal de kleinste kwadraten oplossingen van Ax = b. (4) (c) Bepaal een basis voor het orthogonale complement van Col(A). (4) (d) Wat is de kortste afstand van b tot de kolomruimte Col(A)? (4) (e) Is de matrix A T A inverteerbaar (Leg uit)? 4. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : 5. Q(x) = x + x x + x. () (a) Bepaal de symmetrische matrix A zodat Q(x) = x T Ax. () (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (4) (c) Bepaal een orthonormale basis [ B ] = {q, q } zodat de kwadratische vorm in de y nieuwe B-coördinaten y = overgaat in een kwadratische vorm zonder kruisproducten (gemengde termen). Bepaal ook deze vorm. y (4) (d) Maak nu een schets van de kromme x + x x + x = 3. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. EINDE TENTAMEN WI37CT

28 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Hertentamen lineaire algebra II, wi57ct Maandag, 7 augustus 0, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 63 punten te verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 7+T 7 (onafgerond).. Beschouw het volgende discrete dynamische systeem: met startwaarden x 0 =, y 0 = 0. x k+ = x k y k y k+ = x k y k, () (a) Bepaal de matrix A zodat het gegeven dynamische systeem gelijk is aan x k+ = [ Ax k, waarbij ] x k = [x k, y k ] T. (Als dit niet lukt, gebruik dan de matrix A = ). (4) (b) Is de oorsprong een attractor of repellor (Leg uit)? () (c) Bepaal de eigenvectoren van A. (4) (d) Schrijf de initiële conditie x 0 = [x 0, y 0 ] T als een lineaire combinatie van de eigenvectoren van A (als u de eigenvectoren in het vorige onderdeel niet heeft gevonden, gebruik dan als eigenvectoren [, ] T en [, ] T ). (4) (e) Geef nu een formule voor x k. Wat gebeurt er voor k (vergelijk met onderdeel b)? (7) (f) Bepaal reële matrices P en C, zodanig dat A = P CP. Schrijf nu de matrix C als een schalingsmatrix en een rotatiematrix. Geef ook de gevonden rotatiehoek. (Als u C niet gevonden heeft, gebruik dan de matrix A ipv de matrix C). (4) (g) Beschrijf nu het gedrag van dit dynamisch systeem kwalitatief. Schets ook de baan van het dynamische systeem x k+ = Ax k met de startwaarden x 0 =, y 0 = 0.

29 Antwoord [ ] (a) A = (b) Bereken hiertoe de eigenwaarden. In dit geval zijn de eigenwaarden gegeven door λ = ± i. We weten dat de oorsprong een attractor is als de absolute waarde van allebei de eigenwaarden kleiner dan is, anders is de oorsprong een repellor. Hier is λ =, dus de oorsprong is een repellor. (c) De eigenwaarden zijn λ = + i met eigenvector [, i] T, en λ = i met eigenvector [, i] T. (d) De initiële vector [, 0] T kun je nu schrijven als [, 0] T = [, i] T + [, i] T. (e) x k = ( +i) k [, i] T +( +i) k [, i] T. Voor k wordt x k steeds groter: de oorsprong is een afstoter. (f) Als we Lay, pag 356 gebruiken, zien we dat de matrix P gelijk aan de identiteit is en C = A. De schalingfactor is en de hoek φ = 35 deg. (g) Een van de oorsprong af linksom spiraliserende baan.

30 . De matrix A en de vector b zijn gegeven door 3 A = 0, b = en c = 5 () (a) Bepaal de oplossingen van Ax = b en Ax = c. (3) (b) Bepaal de kleinste kwadraten oplossingen van Ax = b en Ax = c. (4) (c) Bepaal een basis voor het orthogonale complement van Col(A). (4) (d) Leg uit waarom de bij (c) gevonden basis gelijk is aan de basis van NulA T. (4) (e) Wat is de afstand van b tot de kolomruimte Col(A)? En van c? (4) (f) Ligt de vector b in de kolomruimte van A? En c? (Leg uit!) Antwoord (a) Stel de uitgebreide matrix op en veeg deze matrix of probeer een lineaire oplossing te vinden. Voor de vector b is het stelsel inconsitent, de vector c is een lineaire combinatie van de eerste en tweede kolom. (b) Los op A T Aˆx = A T b. Dit heeft als oplossing [, 5] T. Voor c vin je natuurlijk weer [, ] T, het antwoord uit a. Hoef je dus niet opnieuw uit te rekenen! (c) Bereken de beste benadering ˆb = Aˆx = [,, 4] T. Een vector loodrecht op het vlak opgespannen door de kolommen van A is dus b ˆb = [,, ] T, een basis voor het orthogonale complement van Col(A) wordt dus gegeven door {[,, ] T }. (d) Zie Lay. (e) De kortste afstand van b is de lengte van de vector {[,, ] T }, dit is 6. De vector c ligt in het vlak en heeft dus afstand nul tot dit vlak. (f) Vector b niet (zie onderdeel a), c wel! 4.

31 3. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : Q(x) = 8x + 8x x + x. (3) (a) Bepaal de symmetrische matrix A zodat Q(x) = x T Ax. (3) (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet, positief/negatief-semidefiniet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (5) (c) Bepaal een orthonormale basis [ B ] = {q, q } zodat de kwadratische vorm in de y nieuwe B-coördinaten y = overgaat in een kwadratische vorm zonder kruisproducten. Bepaal ook deze vorm. y (4) (d) Maak nu een schets van de kromme 8x + 8x x + x = 0. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. Antwoord (a) A = [ ] (b) Bereken de eigenwaarden van A. Deze worden gegeven door λ = 0 en λ = 0. Een eigenwaarde is nul, de andere positief, dus positief semi-definiet. (c) Bereken nu de eigenvectoren, voor λ = 0 is dit q = / 5[, ] T, en voor λ = 0 is dit q = / 5[, ] T. De kwadratische vorm wordt gegeven door 0y. (d) Schets 0y = 0. Dit zijn rechte lijnen, gegeven door y = ±. EINDE HERTENTAMEN WI57CT

32 . (a) Naar eigen inzicht. (b) Naar eigen inzicht. (c) pnt per correcte eigenvector. (d) Naar eigen inzicht. (e) Formule: 3ptn, limiet pnt. NORMERING (f) P: pnt. C: pnt. Schalingmatrix: pnt, Rotatiematrix: pnt. Hoek: pnt. (g) Naar eigen inzicht.. (a) pnt voor b en pnt voor c. (b) pnt voor b en pnt voor c. (c) Eigen inzicht. (d) Eigen inzicht (uitleg wel vereist!). (e) pnt voor b en pnt voor c. (f) Eigen inzicht. 3. (a) Eigen inzicht. (b) Eigenwaarden: pnt, conclusie: pnt. (c) Eigenvectoren: pnt, orthonormaal pnt, vorm: pnt. (d) Eigen inzicht, geef voor correcte assen iig pnt.

33 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Tentamen lineaire algebra II, wi67ct Maandag, juli 03, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 54 punten te verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 6+T 6 (onafgerond).. Beschouw het volgende discrete dynamische systeem: met startwaarden x 0 = 6, y 0 = 5. x k+ = 0.4x k + 0.5y k y k+ = 0.4x k +.3y k, () (a) Bepaal de matrix A zodat het gegeven dynamische systeem gelijk is aan x k+ = Ax [ k, waarbij ] x k = [x k, y k ] T. (Als dit niet lukt, gebruik dan de matrix A = ) (3) (b) Laat zien dat 0.8 en 0.9 eigenwaarden van de matrix A zijn. Is de oorsprong een attractor of een repellor (Leg uit)? () (c) Schrijf de initiële conditie x 0 = [x 0, y 0 ] T als een lineaire combinatie van de eigenvectoren van A. (3) (d) Geef nu een formule voor x k. () (e) Schets de baan die bij dit dynamisch systeem behoort en begint in x 0 = 6, y 0 = 5. Bespreek wat er gebeurt voor k. Antwoord [ ] (a) A = (b) λ = 0.8 met eigenvector v = (5, 4) T en λ = 0.9 met eigenvector v = (, ) T. Attractor. (c) x 0 = v + v. (d) x k = (0.8) k v + (0.9) k v 3. (e) Gaat naar de oorsprong.

34 . Beschouw de matrix A = 9 3 en de vectoren v = () (a) Is v een eigenvector van A? en w? 0 en w = (4) (b) Laat zien dat A precies twee verschillende eigenwaarden heeft. Bepaal ook de algebraïsche multipliciteiten. (4) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden een orthonormale basis voor de bijbehorende eigenruimte..

35 (4) (d) Is de matrix A diagonaliseerbaar? En orthogonaal diagonaliseerbaar? (Beargumenteer!) (4) (e) Bepaal de projectiematrix P die een willekeurige vector orthogonaal projecteert op de eigenruimte W die hoort bij de eigenwaarde met multipliciteit. P is dus de matrix die de eigenschap heeft dat P y = proj W y. Antwoord (a) v is geen eigenvector, w is een eigenvector met eigenwaarde λ =. (b) De karakteristieke polynoom geeft λ = ( keer) en λ = ( keer). (c) Bereken de eigenruimtes, dit geeft als orthonormale basis voor λ = / 0 0 / 6 0 3/,, en voor λ = / / 6 (d) Ja; Nee. (e) Definieer de eerste vector uit de orthonormale basis van de eigenruimte van λ = als u. Bereken nu P = u u T = De matrix A en de vector b zijn gegeven door 0 A = 0 0 () (a) Bepaal de oplossingen van Ax = b. en b = () (b) Bepaal de kleinste kwadraten oplossingen van Ax = b. (4) (c) Wat is de kortste afstand van b tot de kolomruimte Col(A)? (4) (d) Bepaal een basis voor het orthogonale complement van Col(A). Antwoord (a) Stel de uitgebreide matrix op en veeg deze matrix: Hieruit volgt dat er geen oplossing is. (b) Los op A T Aˆx = A T b. Dit heeft als oplossing [/3, 4/3, 5/3] T. (c) Bereken de beste benadering ˆb = Aˆx = [5,, 3, 6] T. Een vector loodrecht op het vlak opgespannen door de kolommen van A is dus b ˆb = [ 3, 3, 3, 0] T. De kortste afstand is de lengte van deze vector, dit is 3 3. (d) een basis voor het orthogonale complement van Col(A) wordt gegeven door {[ 3, 3, 3, 0] T }

36 4. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : Q(x) = x + 6x x 6x. () (a) Bepaal de symmetrische matrix A zodat Q(x) = x T Ax. () (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (6) (c) Bepaal een coordinatentransformatie x = P y zo dat de kwadratische vorm in de nieuwe coordinaten (y, y ) overgaat in een vorm zonder kruisproducten (gemengde termen). Bepaal ook deze vorm en geef het omgekeerde verband tussen y en x. (4) (d) Maak nu een schets van de kromme x + 6x x 6x =. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. Antwoord (a) A = [ ] (b) Bereken de eigenwaarden van A. Deze worden gegeven door λ = 3 en λ = 7, dus indefiniet. (c) Bereken nu de eigenvectoren, voor λ = 3 is dit q = [3, ] T, en voor λ = 7 [ is dit q = [, 3] ] T. De kwadratische vorm 3y 7y. De matrix P = 3/ 0 / 0 / 0 3/, de relatie tussen y en x wordt gegeven door y = P T x. 0 (d) Dit is een hyperbool met als hoofdassen de lijnen in de richting van q en q. EINDE TENTAMEN WI67CT, deel

37 . (a) Eigen inzicht. (b) per ew, voor attractor. (c) Eigen inzicht. (d) Eigen inzicht. (e) Een baan is voldoende.. (a) punt per juist antwoord. NORMERING (b) uitrekenen karak. vgl + oplossen 3 punten, multipliciteit: pnt. (c) pnt voor basis voor λ =, 3 voor λ =, met voor GS en voor basis. (d) pntn per correct (gemotiveerd!) antwoord. (e) Eigen inzicht. 3. (a) Vegen: pnt, conclusie: pnt. (b) Berekenen van A T A en A T b pnt, oplossen pnt. (c) Eigen inzicht. (d) Eigen inzicht. 4. (a) Eigen inzicht. (b) Eigenwaarden: pnt, conclusie: pnt. (c) Eigenvectoren: pnt, vorm: pnt, uitdrukking voor y: punten. (d) Eigen inzicht (wel nodig: nieuwe assen correct).

38 Technische Universiteit Delft Faculteit Electrotechniek, Wiskunde en Informatica Mekelweg 4, Delft Hertentamen lineaire algebra II, wi67ct Maandag, augustus 03, uur. Antwoorden: elk antwoord dient duidelijk te worden beargumenteerd, alleen een antwoord levert geen punten op. Hulpmiddelen: Er mogen geen hulpmiddelen als mobiele telefoons, laptops en dergelijke gebruikt worden. Alleen een rekenmachine die ook op het VWO gebruikt mag worden is toegestaan. Normering: Totaal zijn er 54 punten te verdienen. Uit het aantal behaalde punten T wordt het cijfer berekend als Cijfer= 6+T 6 (onafgerond).. Beschouw de matrix A = [ 4 ] () (a) Laat zien dat λ = 4 3+ i een eigenwaarde is van de matrix A met eigenvector 4 [, i] T. () (b) Geef de tweede eigenwaarde en eigenvector. (4) (c) Schrijf de matrix A als het product van een schalingsmatrix en een rotatiematrix. Het volgende discrete dynamische systeem is geassocieerd met deze matrix A: 4 4 x k+ = 4 3xk 4 y k y k+ = 4 x k + 4 3yk. Als startwaarden kiezen we x 0 =, y 0 = 0. () (d) Schrijf de initiële conditie x 0 = [x 0, y 0 ] T als een lineaire combinatie van de eigenvectoren van A. (3) (e) Geef nu een formule voor x k. () (f) Schets de baan die bij dit dynamisch systeem behoort en begint in x 0 =, y 0 = 0 (Hint: gebruik hierbij het resultaat van onderdeel c). Bespreek wat er gebeurt voor k. Antwoord (a) Bereken A[, i] T en laat zien dat dat gelijk is aan ( i)[, 4 i]t. (b) De complex geconjugeerde van de eerste eigenwaarde en eigenvector. (c) De schalingfactor is /, de hoek pi/6. (d) De initiële conditie is te schrijven als [x 0, y 0 ] T = [, i] T + [, i] T. (e) x k = (( i))k v + (( i))k v. (f) Gaat spiraliserend naar de oorsprong.

39 . Beschouw de matrix A = () (a) Laat zien dat λ = 0 een eigenwaarde van A is. (4) (b) Bepaal de andere eigenwaarde(n) van A. Bepaal van alle eigenwaarden hun algebraïsche multipliciteit. (4) (c) Bepaal voor elk van de eigenwaarden de bijbehorende eigenvectoren. Wat is de dimensie van de eigenruimten? (3) (d) Is de matrix A diagonaliseerbaar? En orthogonaal diagonaliseerbaar? (Beargumenteer!) Antwoord (a) De det van A is nul, dus de matrix A moet een eigenwaarde nul hebben. Mag natuurlijk ook mbv de karakteristieke polynoom. (b) De karakteristieke polynoom wordt gegeven door λ (λ + 3). Dit geeft geeft λ = 0 ( keer) en λ = 3 ( keer). (c) Bereken de eigenruimtes, dit geeft voor λ = 0 3 3, en voor λ = 3 (d) Nee ; Nee. 0/ 6 / 6 0/ 6

40 3. De matrix A en de vector b zijn gegeven door 0 A = 0 0 () (a) Bepaal de oplossingen van Ax = b. en b = (4) (b) Bepaal de kleinste kwadraten oplossingen van Ax = b. (4) (c) Wat is de kortste afstand van b tot de kolomruimte Col(A)? (3) (d) Bepaal een basis voor het orthogonale complement van Col(A). Antwoord (a) Stel de uitgebreide matrix op en veeg deze matrix: / Hieruit volgt dat er geen oplossing is. (b) Los op A T Aˆx = A T b. Dit heeft als oplossing [, 4, ] T. (c) Bereken de beste benadering ˆb = Aˆx = [ 9, 9, 8, 8] T. Een vector loodrecht op het vlak opgespannen door de kolommen van A is dus b ˆb = [8, 8, 8, 0] T. De kortste afstand is de lengte van deze vector, dit is 8 3. (d) een basis voor het orthogonale complement van Col(A) wordt gegeven door {[8, 8, 8, 0] T }..

41 4. Gegeven is de volgende kwadratische vorm op R : Q(x) = 9x 8x x + 3x. () (a) Bepaal de symmetrische matrix A zodat Q(x) = x T Ax. () (b) Is de kwadratische vorm Q positief/negatief-definiet of indefiniet? Beargumenteer uw antwoord. (5) (c) Bepaal een coordinatentransformatie x = P y zo dat de kwadratische vorm in de nieuwe coordinaten (y, y ) overgaat in een vorm zonder kruisproducten (gemengde termen). Bepaal ook deze vorm en geef het omgekeerde verband tussen y en x. (4) (d) Maak nu een schets van de kromme 9x 8x x + 3x = 44. Geef in de schets duidelijk aan wat het nieuwe coordinatenstelsel is. Antwoord (a) [ A = ] (b) Bereken de eigenwaarden van A. Deze worden gegeven door λ = en λ =, dus positief definiet. (c) Bereken nu de eigenvectoren, voor λ = is dit q = [, ] T, en voor λ [ = is dit q = ] [, ] T. De kwadratische vorm y + y. De matrix P = / 5 / 5 / 5 /, de relatie tussen y en x wordt gegeven door y = P T x. 5 (d) Dit is een ellips met als hoofdassen de lijnen in de richting van q en q. EINDE HERTENTAMEN WI67CT, deel

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.

Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur. Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen

Nadere informatie

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4

Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax

Nadere informatie

Symmetrische matrices

Symmetrische matrices Symmetrische matrices We beginnen met een eenvoudige definitie : Definitie Een matrix A heet symmetrisch als A T = A NB Een symmetrische matrix is dus altijd vierkant Symmetrische matrices hebben fraaie

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen

Nadere informatie

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2

Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00

Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00 Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)

Tentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen) Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren

Nadere informatie

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen

Matrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een

Nadere informatie

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )

Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( ) Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie

Nadere informatie

Complexe eigenwaarden

Complexe eigenwaarden Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n

Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Eigenwaarden en eigenvectoren in R n Als Ax λx voor zekere x in R n met x 0, dan is λ een eigenwaarde van A en x een eigenvector van A behorende bij λ. Een eigenvector is op een multiplicatieve constante

Nadere informatie

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen

Kies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord

Nadere informatie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Dit tentamen bestaat uit 4 open vragen, en kort-antwoord vragen. De uitwerkingen van de open vragen dienen volledig, duidelijk geformuleerd

Nadere informatie

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015

Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015 Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen

Nadere informatie

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 =

UITWERKINGEN 1 2 C : 2 = UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra

Tentamen Lineaire Algebra Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische

Nadere informatie

Tentamina Lineaire Algebra Cursussen. Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen

Tentamina Lineaire Algebra Cursussen. Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen Tentamina Lineaire Algebra Cursussen Fons Daalderop, Joost de Groot, Roelof Koekoek Mei 4 Uitgangspunten, aanbevelingen en opmerkingen De inhoud van de cursus Lineaire Algebra is voor wat betreft de basisstof

Nadere informatie

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.

ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3. ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B = Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 2015 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.

Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur. TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken

Nadere informatie

Toepassingen op differentievergelijkingen

Toepassingen op differentievergelijkingen Toepassingen op differentievergelijkingen We beschouwen lineaire differentievergelijkingen of lineaire recurrente betrekkingen van de vorm a 0 y k+n + a y k+n + + a n y k+ + a n y k = z k, k = 0,,, Hierbij

Nadere informatie

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2

Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 15 januari, 2016 Opgave 2 (10 punten (a Het karakteristiek polynoom van A is det(ti A = (t 1 5, dus er is maar één eigenwaarde, namelijk λ = 1 Er geldt (A I 2 =

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk

Nadere informatie

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( )

Wiskundigen. Tentamen Lineaire Algebra 1. Donderdag 18 december 2008, a ( ) Wiskundigen Tentamen Lineaire Algebra Donderdag 8 december 8,.-3. Naam: () Bepaal voor alle reële waarden van a de rang van de matrix a C a = a. 4a () Zij n een geheel getal en laat P n de vectorruimte

Nadere informatie

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer

Samenvatting. Lineaire Algebra 1 - Collegejaar Dictaat met verwijzing naar het boek. Disclaimer Samenvatting Lineaire Algebra 1 - Collegejaar 2013-2014 Dictaat met verwijzing naar het boek Disclaimer De informatie in dit document is afkomstig van derden. W.I.S.V. Christiaan Huygens betracht de grootst

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra B

Tentamen Lineaire Algebra B Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een

Nadere informatie

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen

Lineaire Algebra. Bovendriehoeks- en onderdriehoeks vorm: onder (boven) elke leidende term staan enkel nullen Lineaire Algebra Hoofdstuk 1: Stelsels Gelijkwaardige stelsels: stelsels met gelijke oplv Elementaire rijbewerkingen: 1. van plaats wisselen 2. externe vermenigvuldiging 3. interne optelling (2. en 3.:

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Inwendig product, lengte en orthogonaliteit in R n Het inwendig product kan eenvoudig worden gegeneraliseerd tot : u v u v Definitie Als u = u n en v = v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A. TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: opspansel De vectoren v 1,..., v k V spannen

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets)

Tentamen lineaire algebra 2 18 januari 2019, 10:00 13:00 Uitwerkingen (schets) Tentamen lineaire algebra 8 januari 9, : : Uitwerkingen (schets) Opgave. ( + punten) Gegeven is de matrix ( ) A =. (a) Bepaal een diagonaliseerbare matrix D en een nilpotente matrix N zodanig dat A = N

Nadere informatie

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica

TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra en Lineaire Analyse (Y550/Y530), op donderdag 5 november 00, 9:00 :00 uur. De uitwerkingen van de opgaven dienen

Nadere informatie

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007,

TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2 dinsdag 3 april 2007, 000-300 Bij elke vraag dient een berekening of mo- Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven tivering te worden opgeschreven Grafische en programmeerbare rekenmachines

Nadere informatie

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012

Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of

Nadere informatie

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.

a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. . Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn

Nadere informatie

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).

x 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt). 76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van

Nadere informatie

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid

Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid Hoofdstuk 3 Eigenwaarden en Diagonaliseerbaarheid 31 Diagonaliseerbaarheid Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit

Nadere informatie

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door

Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra 1, najaar y y = 2x. P x. L(P ) y = x. 2/3 1/3 en L wordt t.o.v de standaardbasis gegeven door Uitwerking Proeftentamen Lineaire Algebra, najaar 007. Gegeven is de lineaire afbeelding L : R R, die een punt P = (x, y) langs de lijn y = x projecteert op de lijn y = x: y y = x P x L(P ) y = x Bepaal

Nadere informatie

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A

Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther

Nadere informatie

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,

UITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b, UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I. 1. Theorie EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN ANALYTISCHE MEETKUNDE I MAANDAG 17 JANUARI 2011 1. Theorie Opgave 1. (a) In Voorbeelden 2.1.17 (7) wordt gesteld dat de maximale lineair onafhankelijke deelverzamelingen van

Nadere informatie

Toepassingen op discrete dynamische systemen

Toepassingen op discrete dynamische systemen Toepassingen op discrete dynamische systemen Een discreet dynamisch systeem is een proces van de vorm x k+ Ax k k met A een vierkante matrix Een Markov-proces is een speciaal geval van een discreet dynamisch

Nadere informatie

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A.

1.1 Oefen opgaven. Opgave Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat 6 2, 5 4, A 1 1 = A = Bepaal de matrix van A. . Oefen opgaven Opgave... Van de lineaire afbeelding A : R 3 R 3 is gegeven dat A = Bepaal de matrix van A. 4, 4 A =, A = 3 4. In de volgende opgave wordt het begrip injectiviteit en surjectiviteit van

Nadere informatie

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30)

Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit (13:30-17:30) Examen Lineaire Algebra en Meetkunde Tweede zit 2016-2017 (13:30-17:30) 1 Deel gesloten boek (theorie) (5.5pt) - indienen voor 14u30 (0.5pt) Geef de kleinste kwadratenoplossing van het stelsel AX = d,

Nadere informatie

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I

EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I EXAMEN LINEAIRE ALGEBRA EN MEETKUNDE I Theorie Opgave 1. In deze opgave wordt gevraagd om een aantal argumenten of overgangen uit de cursusnota s in detail te verklaren. In delen (a) (b) peilen we naar

Nadere informatie

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie.

(2) Stel een parametervoorstelling op van de doorsnijdingskromme van sfeer en cilinder in de voorkeurpositie. Vraag op 5 punten de sfeer met middelpunt in,, 4 en straal 6; de omwentelingscilinder met straal 6 en als as de rechte door,, met richtingsvector,, Bepaal een affiene transformatie of een coördinatentransformatie,

Nadere informatie

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)

Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale

Nadere informatie

Eigenwaarden en eigenvectoren

Eigenwaarden en eigenvectoren Eigwaard eigvector Als A e vierkante matrix is, dan heet e vector x e eigvector van A als Ax e veelvoud van x is : Definitie Stel dat A e (n n-matrix is E vector x R n met x o heet e eigvector van A als

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire

Nadere informatie

Meetkunde en lineaire algebra

Meetkunde en lineaire algebra Meetkunde en lineaire algebra Daan Pape Universiteit Gent 7 juni 2012 1 1 Möbius transformaties De mobiustransformatie wordt gegeven door: z az + b cz + d (1) Als we weten dat het drietal (x 1, x 2, x

Nadere informatie

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.

Geef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen. Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.

Nadere informatie

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:

Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft: Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x

Nadere informatie

Lineaire Algebra Een Samenvatting

Lineaire Algebra Een Samenvatting Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle

Nadere informatie

Voorwaardelijke optimalisatie

Voorwaardelijke optimalisatie Voorwaardelijke optimalisatie We zoek naar maximale minimale waard van e kwadratische vorm Q(x op R n onder bepaalde voorwaard Zo n voorwaarde is bijvoorbeeld dat x R n e eheidsvector is, dat wil zegg

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding

Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie

Nadere informatie

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012

Praktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012 Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie

Nadere informatie

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:

Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire

Nadere informatie

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1

Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1 Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en

Nadere informatie

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A =

Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december A = Oefensommen tentamen Lineaire algebra 2 - december 2012 Opg 1 De schaakbordmatrix A is de 8 bij 8 matrix 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 A = 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor W 2Y650

Lineaire Algebra voor W 2Y650 Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het

Nadere informatie

11.0 Voorkennis V

11.0 Voorkennis V 11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix

Nadere informatie

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8

Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los

Nadere informatie

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen

Coëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts

Nadere informatie

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402

Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 2014, 10:00 13:00 zalen 174, 312, 412, 401, 402 Tentamen lineaire algebra 2 17 januari 214, 1: 13: zalen 174, 312, 412, 41, 42 Dit zijn geen complete uitwerkingen. Er is dus geen garantie dat het overschrijven met andere getallen voldoende is voor huiswerk

Nadere informatie

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V :

Coördinatiseringen. Definitie 1. Stel dat B = {b 1,..., b n } een basis is van een vectorruimte V en dat v V. iedere vector v V : Coördinatiseringen Het rekenen met vectoren in R n gaat erg gemakkelijk De coördinaten bieden de mogelijkheid om handig te rekenen (vegen Het is nu ook mogelijk om coördinaten in te voeren voor vectoren

Nadere informatie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie

College WisCKI. Albert Visser. 16 januari, Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University. Loodrechte Projectie College WisCKI Albert Visser Department of Philosophy, Faculty Humanities, Utrecht University 16 januari, 2012 1 Overview 2 Overview 2 Overview 2 Overview 3 Zij V een deelruimte met basis v 1,..., v k.

Nadere informatie

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert.

Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam. Schrijf je naam en studentnummer op alles dat je inlevert. Kwantitatieve Economie / Faculteit Economie en Bedrijfskunde / Universiteit van Amsterdam Tentamen Lineaire Algebra A (met uitwerking) Maandag juni 00, van 9:00 tot :00 (4 opgaven) Schrijf je naam en studentnummer

Nadere informatie

Lineaire algebra I (wiskundigen)

Lineaire algebra I (wiskundigen) Lineaire algebra I (wiskundigen) Toets, donderdag 22 oktober, 2009 Oplossingen (1) Zij V het vlak in R 3 door de punten P 1 = (1, 2, 1), P 2 = (0, 1, 1) en P 3 = ( 1, 1, 3). (a) Geef een parametrisatie

Nadere informatie

Uitwerking opgaven 17 december. Spoilers!!

Uitwerking opgaven 17 december. Spoilers!! Uitwerking opgaven 7 december Spoilers!! (duh... 8 januari 206 Inhoudsopgave Complex diagonaliseren matrix 2. Opgave................................................ 2.2 Oplossing...............................................

Nadere informatie

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix

Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Dimensie van een deelruimte en rang van een matrix Definitie (Herinnering) Een basis voor een deelruimte H van R n is een lineair onafhankelijke verzameling vectoren die H opspant. Notatie Een basis van

Nadere informatie

1 Eigenwaarden en eigenvectoren

1 Eigenwaarden en eigenvectoren Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan

Nadere informatie

Het orthogonaliseringsproces van Gram-Schmidt

Het orthogonaliseringsproces van Gram-Schmidt Het orthogonaliseringsproces an Gram-Schmidt Voor het berekenen an een orthogonale projectie an een ector y op een deelruimte W an R n is een orthogonale basis {u,, u p } zeer gewenst De orthogonale projectie

Nadere informatie

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit

Inwendig product, lengte en orthogonaliteit Inwendig product, lengte en orthogonaliteit We beginnen met een definitie : u u Definitie. Als u =. en v = u n v v. v n twee vectoren in Rn zijn, dan heet u v := u T v = u v + u v +... + u n v n het inwendig

Nadere informatie

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7

Jordan normaalvorm. Hoofdstuk 7 Hoofdstuk 7 Jordan normaalvorm Zoals we zagen hangt de matrix die behoort bij een lineaire transformatie af van de keuze van een basis voor de ruimte In dit hoofdstuk buigen we ons over de vraag of er

Nadere informatie

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,

Technische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015, Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd

Nadere informatie

Lineaire Algebra voor ST

Lineaire Algebra voor ST Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)

Nadere informatie

Vectorruimten met inproduct

Vectorruimten met inproduct Hoofdstuk 3 Vectorruimten met inproduct 3. Inleiding In R 2 en R 3 hebben we behalve de optelling en scalairvermenigvuldiging nog meer structuur ; bij een vector kun je spreken over zijn lengte en bij

Nadere informatie

Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven:

Examenvragen eerste zittijd academiejaar Vraag 1 (op 6 punten) Gegeven: Examenvragen eerste zittijd academiejaar 2010-2011 Vraag 1 (op 6 punten) de vectorruimte V = {A R 3 3 tr(a) = 0 en a 12 = a 21, a 13 = a 32, a 23 = a 31 }; de afbeelding T : V V, A A T A. (1) Toon aan

Nadere informatie

extra sommen bij Numerieke lineaire algebra

extra sommen bij Numerieke lineaire algebra extra sommen bij Numerieke lineaire algebra 31 oktober 2012 1. Stel, we willen met een rekenapparaat (dat arithmetische bewerkingen uitvoert met een relatieve nauwkeurigheid ξ, ξ ξ) voor twee getallen

Nadere informatie

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN

Tentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen

Nadere informatie

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011

Tussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011 Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het

Nadere informatie

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA

Vragen, samenvattingen en uitwerkingen Lineaire algebra 1 - UvA Vragen, samenvattingen en uitwerkingen 2013 - Lineaire algebra 1 - UvA Rocco van Vreumingen 28 juli 2016 1 Inhoudsopgave 1 Samenvattingen 3 1.1 Samenvatting stof college 1................... 3 1.2 Samenvatting

Nadere informatie

Geadjungeerde en normaliteit

Geadjungeerde en normaliteit Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of

Nadere informatie

Unitaire en Hermitese transformaties

Unitaire en Hermitese transformaties Hoofdstuk 11 Unitaire en Hermitese transformaties We beschouwen vervolgens lineaire transformaties van reële en complexe inproductruimten die aan extra eigenschappen voldoen die betrekking hebben op het

Nadere informatie

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1

WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =

Nadere informatie

Studiehandleiding. Lineaire Algebra 2. voor. Werktuigbouwkunde. wi1314wb. Dr. R. Koekoek. gebouw ITS, kamer HB tel (tst.

Studiehandleiding. Lineaire Algebra 2. voor. Werktuigbouwkunde. wi1314wb. Dr. R. Koekoek. gebouw ITS, kamer HB tel (tst. Studiehandleiding Lineaire Algebra 2 voor Werktuigbouwkunde wi1314wb Dr. R. Koekoek gebouw ITS, kamer HB 04.300 tel. 015-2787218 (tst. 87218) e-mail : R.Koekoek@ITS.TUDelft.NL website : http://aw.twi.tudelft.nl/

Nadere informatie

De dimensie van een deelruimte

De dimensie van een deelruimte De dimensie van een deelruimte Een deelruimte van R n is een deelverzameling die op zichzelf ook een vectorruimte is. Ter herinnering : Definitie. Een deelverzameling H van R n heet een deelruimte van

Nadere informatie