Studiehandleiding Wiskunde 1B Voor Bachelor Opleiding Scheikunde Dr. W. van der Kallen
|
|
- Karen van der Velde
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Studiehandleiding Wiskunde 1B Voor Bachelor Opleiding Scheikunde Dr. W. van der Kallen Januari 2005
2 Inhoudsopgave 1 Plaatsen, tijden, namen enz. 3 2 Leerstof, Programma en Opgaven Leerstof Programma Opgaven voor het Werkcollege Leeswijzer 9 4 De toets Wiskunde 1B van de cursus , met antwoorden 19 5 De toets Wiskunde 1B van de cursus , met antwoorden 23 1
3 2
4 Hoofdstuk 1 Plaatsen, tijden, namen enz. Vak Docent Wiskunde 1B Dr Wilberd van der Kallen M.I. kamer 416, tel , vdkallen@math.uu.nl Homepage: Werkcollege-assistenten Groep X: Drs Barbara Boldin M.I. kamer 803, tel , boldin@math.uu.nl Groep Y: Drs Claire Kouwenhoven M.I. kamer 410, tel , kouwenho@math.uu.nl Studiebelasting Plaatsen en tijden Boek (verplicht) 3 studiepunten (ECTS) Derde periode; voor het rooster zie informatie verspreid door de studentenadministratie scheikunde Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 8th edition, Wiley, NB Het moet de 8th edition zijn; die verschilt sterk van de 7e. Leerstof zie p. 5 Programma zie p. 5 Opgaven zie p. 6 Leeswijzer zie p. 9 Woordenlijst zie p. 17 Toets deel B 25 Feb 2005, uur,??? gebouw zaal??? Toets- en tentamenstof komt globaal overeen met de leerstof; de preciese tentamenstof wordt tijdig via www bekend gemaakt Toets cursus zie p. 19 Toets cursus zie p. 23 Toets- en tentamenregeling Nadere informatie zie Handleiding Wiskunde 1A via de homepage van de docent 3
5 Plak hier desgewenst het rooster in 4
6 Hoofdstuk 2 Leerstof, Programma en Opgaven 2.1 Leerstof De leerstof bestaat uit: Kreyszig Hoofdstuk 6, 1 t/m 7, Hoofdstuk 7, 1, 3, en 5, en Hoofdstuk 3, 3 en 6. De stof wordt in een iets andere volgorde behandeld. Tenzij anders vermeld, wordt alleen de stof die op het hoorcollege is behandeld getoetst in de toets of het tentamen. 2.2 Programma Planning van per college te behandelen paragrafen (NB de ervaring leert dat de werkelijkheid niet altijd overeenkomt met de planning): College Te Behandelen Behandeld 1 6.1, 6.2 : : 3 6.4, 6.5 : 4 6.6, 6.7 : : : : : : : 5
7 2.3 Opgaven voor het Werkcollege Opgegeven opgaven Hieronder kunt U per werkcollege noteren welke opgaven opgegeven zijn: College Opgaven 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6 : 7 : 8 : 9 : 10 : 6
8 De opgaven De opgaven die hieronder staan vermeld vormen een goede voorbereiding op het tentamen. Een betekent dat de som op een tentamen gevraagd zou kunnen worden; de andere zijn makkelijker. Aan het eind van ieder hoorcollege wordt opgegeven welke opgaven op het aansluitende werkcollege gemaakt moeten worden (U kunt ze op blz. 4 apart noteren). Soms zullen opgaven gegeven worden die niet op de lijst hieronder voorkomen (bijvoorbeeld oude tentamenopgaven). Ook kan het voorkomen dat opgaven opgegeven worden waarvan de theorie (nog) niet op college is behandeld; in dat geval moet de theorie zelfstandig bestudeerd worden. Van de opgaven met oneven nummers staan oplossingen in het boek op pp. A5-A50. Opgaven uit het boek Paragraaf Opgaven 6.1 3, 7, 9, 15, 6.2 3, 7, 18*a, e; toets Hfdst. 4: 1a , 5, 9, 11, 13, 17*, 21*; toets Hfdst. 4: 2a, b; toets Hfdst. 5: 2a, b; extra opgave: *, 7*, 11, 17*, 19, 21*, 25*; toets Hfdst. 4: 2b, 3b. 6.5 controleer hoofdstelling bij opg. 5, 9, 11, en 13 van , 5, 6, 11, 13, 15, 17, 20*; toets Hfdst. 4: 1b, 4a, b; toets Hfdst. 5: 1d; extra opgave: , 3, 7, 9, 11, 15*; toets Hfdst. 4: 1c , 5, 11, 13*, 15, 17, 19; toets Hfdst. 4: 2a , 3, 5, 9*, 13; toets Hfdst. 4: 3a, c; toets Hfdst. 5: 3b , 3, 9*, 11*, 15* 3.3 1, 5, 15*, 17*; toets Hfdst. 4: 5; toets Hfdst. 5: 4a, b; extra opgave: 2, , 5*, 11*, 15*; toets Hfdst. 4: 6a, b, c, d; toets Hfdst. 5: 5a, b, c, d. 7
9 Extra opgaven 1. Bekijk p. 320, opg. 18: kies makkelijke waarden voor θ in de matrix A en bepaal de beelden van de onderstaande vectoren onder linksvermenigvuldiging met die matrix. 0, e 1, e 2, e 3, e 1 + e 2, e 1 + e 3, e 2 + e 3, e 1 + e 2 + e 3 e i zijn de standaard basisvectoren in R 3. Maak ook een tekening en ga na hoe de zo verkregen afbeeldingen werken op de kubus gevormd door deze vectoren. 2. Beschouw een reactie kinetiek P Q R S, met reactiesnelheidsconstanten respectievelijk 1, 2 en 5. Stel het stelsel differentiaalvergelijkingen op dat de reactiekinetiek beschrijft; schrijf dat stelsel in matrix-en-vector notatie; bepaal de eigenwaarden en de eigenvectoren van de gevonden matrix; los het stelsel op. Geef ook een chemische interpretatie van de eigenvector die hoort bij de eigenwaarde Bekijk opgaven 1 en 15 van section 3.3 (die zijn eerder opgegeven, maak ze als je ze nog niet gemaakt hebt). Schets bij beide het verloop van de banen (trajectoriën) in het vlak, ga na met welke van de figuren uit het boek je schets het meest overeenkomt, en verklaar wat eventueel het verschil is tussen jouw schets en de meest overeenkomende figuur. 4. Bekijk opgaven 11 en 13 van section 6.3 (die zijn eerder opgegeven, maak ze als je ze nog niet gemaakt hebt). Geef de oplossing in de vorm p + αq + βr +..., waarbij p, q, r,... vectoren zijn en α, β,... vrij te kiezen scalairen. Schets ook de ligging van de oplossingsruimte in de R 3 ten opzichte van de assen door de eenheidsvectoren. Tentamen opgaven Zie de toetsen van twee vorige cursussen op blzn. 19 en 23. 8
10 Hoofdstuk 3 Leeswijzer Inleiding Deze leeswijzer is bedoeld als hulp bij het lezen van de te behandelen gedeelten uit Kreyszig s boek. Matrices 6.1 t/m 6.5 De inhoud van 6.1 zult U als eenvoudig ervaren. Men kan m n-matrices bij elkaar optellen en ook met een getal (scalair) vermenigvuldigen. Ook kunnen we matrices transponeren. In 6.2 wordt de matrixvermenigvuldiging ingevoerd: AB. Let op: de rijlengte van A moet gelijk zijn aan de kolomlengte van B. Welke rekenregel van de reële getallen geldt niet voor matrixvermenigvuldiging? Matrixvermenigvuldiging krijgt wiskundige diepgang als men de bijbehorende lineaire afbeeldingen beschouwt (zie pag. 340): F : R n R m met y = F (x) = Ax De kolommen van de matrix A worden aldus de beelden van de basisvectoren e 1,, e n. De kolommen zijn dus Ae 1,, Ae n. Matrixvermenigvuldiging correspondeert nu met het samenstellen van de bijbehorende lineaire afbeeldingen. Dit wordt op het college toegelicht. Paragraaf 6.3 gaat over het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen: Ax = b door middel van de zogenaamde Gauss eliminatie (ook wel vegen genoemd). In deze methode moet U een grote handigheid verwerven. De rang van een matrix A (zie 6.4) is het maximaal aantal lineair onafhankelijke rijen van A. De rang is tevens gelijk aan het maximaal aantal onafhankelijke kolommen. Dus: ranga = ranga T 9
11 De rang van een matrix verandert niet door elementaire rij- of kolomoperaties. Men kan de rang berekenen door te vegen. In 6.5 wordt het begrip rang gebruikt om te onderzoeken of de vergelijking Ax = b oplossingen heeft en zo ja, hoeveel. Leer de uitspraken van het Fundamental Theorem uit het hoofd of, wat beter is, probeer ze te begrijpen. Determinanten en inversen 6.6 en 6.7 Paragraaf 6.6 gaat over determinanten van vierkante matrices. In 8.3 kwamen we al eerder determinanten tegen van 2 2 en 3 3 matrices. Ze hadden daar te maken met de begrippen oppervlakte en volume. Determinanten kunnen ook in verband worden gebracht met het oplossen van stelsels vergelijkingen (zie bladzijden ). Op bladzijde 343 komen de determinanten van n n-matrices aan de orde. Theoretisch zijn deze een stuk lastiger. Ze hebben te maken met het begrip volume in een n-dimensionale ruimte. De definitie bij Kreyszig (pp ) is vooral op het uitrekenen ingesteld. Hij begint gewoon met de ontwikkeling van de determinant naar rij en kolom. Zie de formules 9a en 9b. Het uitrekenen van een determinant is nu niet moeilijk meer; dezelfde rekenregels als bij 3 3 -determinanten worden gebruikt en deze staan vermeld op pp Het uitrekenen van determinanten doet men het beste door vegen en ontwikkelen af te wisselen. Zie vooral de voorbeelden van het college en ook het boek. Oefen veel op het goed uitrekenen van determinanten! Tenslotte kunnen we de formule: det AB = det A det B het beste begrijpen met behulp van de bijbehorende lineaire afbeeldingen. det A is namelijk de factor, waarmede de lineaire afbeelding A het volume van figuren vermenigvuldigt. Een analoge uitspraak geldt voor det B. Daarom is det(ab) de factor, waarmee de lineaire afbeelding AB het volume vermenigvuldigt. In 6.6 wordt allereerst het verband gegeven tussen rang en determinant. Voor een n n-matrix geldt: det A 0 ranga = n. Als rang A < n of als A geen vierkante, maar een rechthoekige matrix is, dan is het verband ingewikkelder (zie Theorem 1, p. 345). De regel van Cramer geeft voor een vierkante matrix A met det A 0 de oplossingen van een stelsel vergelijkingen Ax = b met behulp van determinanten (p. 347). De methode is voornamelijk van theoretisch belang, bij numeriek werk kunnen makkelijk fouten optreden. 10
12 De inverse van een vierkante n n-matrix bestaat alleen als rang A = n (zie 6.7). Aangezien voor de inverse X van een matrix A moet gelden: AX = XA = I kan men de inverse uitrekenen door diverse stelsels vergelijkingen gelijktijdig op te lossen. Dit komt weer neer op het vegen met rijen: Begin met [A I] en eindig bij [I A 1 ]. Dit wordt wel de methode van de communicerende matrices genoemd. Er is ook een expliciete formule voor het berekenen van de inverse, zie Theorem 2 op p Net zoals de regel van Cramer is deze formule voornamelijk van theoretisch belang. Eigenwaarden en eigenvectoren 7.1 en 7.2 De volgende onderwerpen van de cursus zijn eigenwaarden en eigenvectoren, met als toepassing het oplossen van stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen. Over deze belangrijke onderwerpen wordt relatief veel gevraagd op het tentamen. Allereerst behandelt 7.1 het eigenwaardenprobleem. Het gaat er hierbij om oplossingen x 0 te vinden van de vergelijking: Ax = λx. De methode van oplossen gaat met behulp van de karakteristieke vergelijking: det(a λi) = 0. Werk vooral voorbeeld 1 op pp nauwkeurig door. Het is belangrijk de eigenwaarden en eigenvectoren vlot te leren uitrekenen. Paragraaf 7.2 bevat voorbeelden. De betekenis van det A = 0 Bekijk een n n matrix A. In de behandelde paragrafen van Hoofdstukken 6 en 7 worden een aantal eigenschappen van de matrix en van de afbeelding x Ax genoemd die verband leggen tussen de determinant, de rang, de rijen, de kolommen, de eigenwaarden van de matrix, en de oplosbaarheid van het bijbehorende stelsel. Die eigenschappen zijn samen te vatten in de onderstaande lijst equivalenties: det A = 0 dan en slechts dan als De kolomvectoren van A zijn afhankelijk; De rijvectoren van A zijn afhankelijk; 11
13 De rang van A is < n; A is niet inverteerbaar; De vergelijking Ax = 0 heeft een oplossing x 0; Een van de eigenwaarden van A is 0. Omdat het hier om equivalenties gaat kunnen we dus ook zeggen: det A 0 dan en slechts dan als De kolomvectoren van A zijn onafhankelijk; De rijvectoren van A zijn onafhankelijk; De rang van A is gelijk aan n; A is inverteerbaar (dus A 1 bestaat); De vergelijking Ax = 0 heeft alleen de oplossing x = 0; Alle eigenwaarden van A zijn ongelijk aan 0. Stelsels differentiaalvergelijkingen In hoofdstuk 3 wordt de theorie van Lineaire Algebra toegepast op stelsels differentiaalvergelijkingen. Om de tekst onafhankelijk te maken van de hoofdstuk 6 en 7 wordt in 3.0 de benodigde kennis van matrices besproken. Als herhaling is het de moeite waard om deze sectie door te lezen. In 3.1 staan een aantal inleidende voorbeelden. We concentreren ons verder op 3.3 en 3.6. Stelsels differentiaalvergelijkingen 3.3 Een homogeen stelsel differentiaalvergelijkingen kan opgevat worden als een vectorvergelijking y (t) = Ay(t) waarin A een matrix is en y(t) een vectorfunctie, dat wil zeggen een van de tijd t afhankelijke vector, en y (t) de afgeleide is van y(t). We zoeken alle oplossingen van het stelsel, dat wil zeggen alle vectorfuncties y(t) die voldoen aan y (t) = Ay(t). Laat λ een eigenwaarde zijn van de matrix A en v de bijbehorende eigenvector. Dan is y(t) = ce λt v (c willekeurig R) een oplossing van het stelsel (ga na!). Als er een basis (v 1, v 2,..., v n ) van eigenvectoren is (met bijbehorende eigenwaarden λ 1, λ 2,..., λ n ), dan is iedere oplossing van het stelsel te schrijven als y(t) = c 1 e λ 1t v 1 + c 2 e λ 2t v c n e λ nt v n, c i R. 12
14 Door de c i goed te kiezen kan de oplossing aangepast worden aan een eventueel gegeven beginvoorwaarde; immers y(0) = c 1 v 1 + c 2 v c n v n en omdat (v 1, v 2,..., v n ) een basis is kunnen bij iedere voorgeschreven y(0) de waarden c 1, c 2,..., c n bepaald worden. In 3.3 worden in het bijzonder reële homogene 2 bij 2 stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen bekeken. We geven hier een lijst van types die kunnen voorkomen, met in elk geval de formule voor de algemene oplossing. De stelsels zijn y (t) = Ay(t), waarin A een reële 2 2 matrix is en y(t) een tijdsafhankelijke vector in de R 2. Zoals eerder is uitgelegd zijn de eigenwaarden van de matrix A bepalend voor de oplossing van het stelsel. Er kunnen zich een aantal verschillende situaties voordoen, namelijk 1. Er zijn twee verschillende reële eigenwaarden. 2. Er is slechts één reële eigenwaarde (twee samenvallende wortels in de karakteristieke vergelijking van A). 3. Er zijn geen reële eigenwaarden en de karakteristieke vergelijking heeft twee niet-reële, geconjugeerde wortels, dit zijn dus de complexe eigenwaarden. We geven nu in elk van deze gevallen de algemene oplossing en bespreken de bijbehorende richtingsvelden. 1. A heeft twee verschillende reële eigenwaarden λ 1 en λ 2, we nemen aan dat λ 1 < λ 2. Er zijn dan twee onafhankelijke eigenvectoren v 1 en v 2 behorend bij λ 1 en λ 2 respectievelijk. 1 De algemene oplossing is y(t) = c 1 e λ 1t v 1 + c 2 e λ 2t v 2, c i R. Wat betreft het richtingsveld zijn er drie gevallen: (a) λ 1 < λ 2 < 0: richtingsveld als in Fig. 78, p. 165, in O een improper node, alle trajectoriën eindigen in O rakend aan de lijn door v 2, behalve de trajectorie op de lijn door v 1. (NB In de figuur zijn de eigenvectoren onderling loodrecht, dat is een bijzonder geval.) (b) λ 1 < 0 < λ 2 : richtingsveld als in Fig. 80, p. 165, in O een saddle point (zadelpunt), alle trajectoriën naderen asymptotisch tot de lijn door v 2, behalve de trajectorie op de lijn door v 1. (NB In de figuur zijn de eigenvectoren onderling loodrecht, dat is weer een bijzonder geval.) 1 Zie voetnoot 2 op blz. 163 van het boek. 13
15 (c) 0 < λ 1 < λ 2 : richtingsveld als in Fig. 78, p. 165, maar met alle pijlen omgekeerd (niet naar O maar naar buiten), in O een improper node, alle trajectoriën beginnen in O rakend aan de lijn door v 1, behalve de trajectorie op de lijn door v 2 ; uiteindelijk nadert de richting van de trajectoriën naar de richting van de lijn door v A heeft één reële eigenwaarde λ, waarbij (geval (a)) twee, of (geval (b)) maar één onafhankelijke eigenvector(en) te vinden zijn: (a) Er zijn twee onafhankelijke eigenvectoren v 1 en v 2. De algemene oplossing is y(t) = e λt (c 1 v 1 + c 2 v 2 ), c i R. Het richtingsveld is als in Fig. 79, p. 165 ( proper node ). De trajectoriën zijn naar buiten gericht als λ > 0 en naar binnen als λ < 0; als λ = 0 zijn alle richtingen nul, alle oplossingen zijn constant, er is geen beweging. (b) Er is slechts één onafhankelijke eigenvector te vinden, noem die v. Bepaal dan een vector w 0 die voldoet aan Aw = λw + v. De algemene oplossing is dan y(t) = (c 1 + c 2 t)e λt v + c 2 e λt w, c i R. Let op! De t komt in dit geval niet alleen in de e-macht voor, maar ook in een van de coëfficiënten. Het richtingsveld is als in Fig. 83, p. 168 ( degenerate node ). De trajectoriën zijn naar buiten gericht als λ > 0 en naar binnen als λ < 0; als λ = 0 zijn alle trajectoriën evenwijdig aan w. 3. A heeft twee complex geconjugeerde eigenwaarden λ 1 = a + bi en λ 2 = a bi (b 0). De bijbehorende eigenvectoren zijn dan ook complex geconjugeerd: v 1 = r + is en v 2 = r is, voor zekere reële vectoren r en s. De algemene oplossing is y(t) = e at {(c 1 cos bt + c 2 sin bt)r + (c 2 cos bt c 1 sin bt)s}. Het richtingsveld is opgebouwd uit spiralen zoals in Fig. 82, p. 166 ( spiral point ); voor a > 0 zijn de richtingen naar buiten, voor a < 0 naar [ binnen. Als ] a = 0 zijn de banen gesloten; het zijn ellipsen. Als 0 α A =, met α R zijn de ellipsen cirkels. α 0 14
16 Stelsels differentiaalvergelijkingen 3.6 De bijbehorende theorie voor inhomogene stelsels y (t) = Ay(t) + g(t), waarin g(t) een gegeven vectorfunctie is, staat in 3.6. Let op, dat hierbij ook enige kennis nodig is van het oplossen van lineaire differentiaalvergelijkingen uit hoofdstuk 1. Men vindt alle oplossingen van de inhomogene vergelijking door één oplossing (een zogenaamde particuliere oplossing) y part. (t) (van de inhomogene vergelijking) te vinden en die te combineren met alle oplossingen van de homogene vergelijking: y(t) = c 1 e λ 1t v 1 + c 2 e λ 2t v c n e λ nt v n + y part. (t). De c i kunnen weer gebruikt worden om de oplossingen aan te passen aan gegeven beginvoorwaarden. Voor het vinden van de éne oplossing y part. (t) van de inhomogene vergelijking zijn er verschillende methodes; wij behandelen alleen de zogenaamde onbepaalde coëfficiënten methode. Voorbeelden op het college zullen gekozen worden uit de theorie van electrische schakelingen en uit de reactie kinetiek. Bij reactiekinetiek (vergelijk ook Bijlage 2 in de Studiehandleiding Wiskunde 1A) komen stelsels differentiaalvergelijkingen als volgt aan de orde. Beschouw de reactie A B C. Als het hier om eerste-orde reacties gaat hebben we het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen: da/dt = k 1 A + k 2 B db/dt = k 1 A (k 2 + k 3 )B dc/dt = k 3 B. Hierin zijn k 1, k 2 en k 3 de reactiesnelheidsconstanten behorende bij de verchillende pijlen in het schema. We kunnen het stelsel herschrijven in matrix en vector notatie door een vector-functie Y(t) en een matrix M in te voeren: A(t) k 1 k 2 0 Y(t) = B(t), M = k 1 k 2 k 3 0. C(t) 0 k 3 0 Er geldt dan d dt Y = MY. 15
17 De matrix M bevat alle informatie over de reactie. In 3.3 wordt uitgelegd welke rol de eigenwaarden en eigenvectoren van M bij het oplossen van het stelsel spelen. Wat betreft schakelingen (circuits) zie het model met twee circuits op pp van het boek. Ook hier worden matrices en eigenwaarden gebruikt. Matrices en Determinanten; vervolg 7.3 t/m 7.5 Hier worden speciale matrices en hun eigenwaarden behandeld. Daarbij worden ook matrices met complexe getallen bekeken (i.h.b. in 7.3 en 7.4). Deze complexe behandeling is van belang voor de fysica en de chemische binding (quantummechanica). Wel zij opgemerkt, dat daar de situatie vaak oneindig-dimensionaal is en de theorie daardoor ingewikkelder wordt. Een belangrijk resultaat voor symmetrische matrices is: ze hebben uitsluitend reële eigenwaarden, eigenvectoren met verschillende eigenwaarden staan loodrecht op elkaar, er bestaat een orthogonale basis van eigenvectoren. In 7.5 komt de conjugatie van matrices ter sprake. Meetkundig heeft dit te maken met het beschrijven van de lineaire afbeelding A ten opzichte van een andere basis. Het belangrijkste resultaat uit 7.5 is wel stelling 5 (p. 394): Als A een n n-matrix is, waarbij een basis van eigenvectoren bestaat, en X is de matrix met als kolommen deze eigenvectoren, dan heeft de matrix X 1 AX = D de diagonaalvorm met de eigenwaarden op de diagonaal. 16
18 Woordenlijst NB Wiskundige termen waarvan de Nederlandse vorm verkregen wordt door rechtstreekse vertaling (via een gewoon woordenboek bijvoorbeeld) worden in het algemeen in deze lijst niet opgenomen (voorbeeld: complex number = complex getal). augmented matrix aangevulde matrix echelon form gereduceerde vorm linear transformation lineaire afbeelding nullspace kern, nulruimte overdetermined overbepaald rank rang systems of linear equations stelsels lineaire vergelijkingen underdetermined onderbepaald characteristic equation karakteristieke vergelijking characteristic polynomial karakteristieke veelterm eigenvalue eigenwaarde eigenvector eigenvector Hermitian Hermitisch orthogonal orthogonaal principal direction hoofdrichting similar to geconjugeerd met similarity transformation conjugatie skew-hermitian scheefhermitisch systems of differential equations stelsels differentiaalvergelijkingen unitary unitair 17
19 18
20 Hoofdstuk 4 De toets Wiskunde 1B van de cursus , met antwoorden Toets Wiskunde 1B voor Chemici, 28 Februari 2001 Bij deze toets mogen het boek en de aantekeningen niet geraadpleegd worden. Begin iedere opgave op een nieuw vel. Schrijf op elk vel dat u inlevert uw naam, uw studentnummer en het nummer van uw werkcollege-groep. Laat bij elke opgave zien hoe u aan uw antwoord komt. NB Oplossen betekent: alle oplossingen bepalen. a b betekent het inproduct van de vectoren a en b; a b betekent het uitproduct van a en b. Veel succes! 1. Gegeven zijn de matrices A = , B = [ ], C = [ (a) Geef aan welke van de volgende uitdrukkingen bestaan: AB AB T BC CB Bereken de uitdrukkingen die bestaan. Antwoord: AB en BC bestaan niet; 7 10 [ AB T = CB = ] ]. 19
21 (b) Bereken de determinant van A. Antwoord: 1 (c) Bereken de inverse van C. [ ] 3 2 Antwoord: Gegeven zijn de vectoren a, b en c in de R 5 : a = , b = en c = a (a) bepaal a. Bepaal ook de afstand van de eindpunten van b en c. Antwoord: a/2; 6. (b) Ga na of a, b en c onafhankelijk zijn. Antwoord: Laatste drie coördinaten leveren een onderdeterminant met rang 3, dus onafhankelijk. 3. We bekijken de matrix A = [ 1 3 α 2 ]. (a) Voor welke reële waarde (of waarden) van α is A symmetrisch? Antwoord: 3. (b) Voor welke reële waarde (of waarden) van α is de rang van A gelijk aan 1? Antwoord: 2 3. (c) Geef één reële waarde van α waarvoor de eigenvectoren van A loodrecht op elkaar staan. (Opmerking: deze vraag kan zonder rekenen beantwoord worden. Het kan ook met rekenen, maar dat kost wel enige tijd.) Antwoord: 3 (want dan is A symmetrisch). 4. Gegeven is de matrix M =
22 We bekijken, in de R 3, de afbeelding x Mx die aan iedere vector x het beeld Mx toevoegt. De eenheidsvectoren in R 3 spannen een kubus K op met hoekpunten O = O, A = e 1, B = e 1 + e 2, C = e 2, D = e 3, E = e 1 + e 3, F = e 1 + e 2 + e 3, G = e 2 + e 3. De beelden van de hoekpunten O, A, B,... onder de afbeelding x Mx worden aangegeven met O, A, B,...; het beeld van de kubus K heet K. (a) Maak een duidelijke tekening van K. Antwoord: pm (b) Bepaal de determinant van M. Bepaal ook de inhoud van K. Antwoord: Determinant: 6, inhoud We bekijken homogene stelsels differentiaalvergelijkingen y = Ay. In de drie plaatjes van de Figuur staan richtingsvelden getekend van zulke stelsels. Laat nu gegeven zijn dat [ ] 1 1 A =. 1 1 Figuur 4.1: Drie richtingsvelden (a) Welke van de drie plaatjes hoort bij het gegeven stelsel? Verklaar uw antwoord. Antwoord: De eigenwaarden van A zijn 1 ± i, dus complex, het richtingsveld moet dus spiralen vertonen, dat doet het derde plaatje. 6. In een goed geroerd vat vinden in oplossing de reacties A B plaats. Verder wordt een oplossing van A toegevoegd en wordt met dezelfde snelheid het mengsel afgetapt, zodat het volume constant is. De concentraties geven we aan met A en B, verder A = d dt A en B = d dt B. 21
23 Er geldt: A = (k + m)a + lb + mα, B = ka (l + m)b, met k, l, m > 0. Aan de chemische interpretatie van k, l, m en α gaan we verder voorbij en we kiezen de volgende waarden voor deze grootheden: k = 5, l = 4, m = 1, α = 10. (a) Schrijf het bovenstaande stelsel differentiaalvergelijkingen in de vorm [ ] [ ] d A A = M + H, dt B B dat wil zeggen: bepaal de matrix M en de vector H. [ ] [ ] Antwoord: M = H = (b) Bereken de eigenwaarden en de eigenvectoren van M. Antwoord: λ 1 = 10, λ 2 = 1, v 1 = [1, 1], v 2 = [4, 5] (c) Los het bijbehorende homogene stelsel op. Antwoord: A(t) = c 1 e 10t + 4c 2 e t, B(t) = c 1 e 10t + 5c 2 e t ; (d) Los het inhomogene stelsel op. Antwoord: [ [5, 5] ] is[ een] oplossing [ ] van inhomogene stelsel ([A, B ] = = + ); de volledige oplossing van inhomogene stelsel is: A(t) = 5 + c 1 e 10t + 4c 2 e t, B(t) = c 1 e 10t + 5c 2 e t. 22
24 Hoofdstuk 5 De toets Wiskunde 1B van de cursus , met antwoorden NB Zo mogelijk zullen uitwerkingen van de opgaven uit deze toets ter beschikking worden gesteld gedurende de collegeperiode. Toets Wiskunde 1B voor Chemici, 26 Februari 2003 Bij dit tentamen mogen het boek en de aantekeningen niet geraadpleegd worden. Gebruik van de zakrekenmachine is alleen toegestaan voor +,,,, worteltrekken en goniometrische functies (en dus niet voor complexe getallen of richtingsvelden). Begin iedere opgave op een nieuw vel. Schrijf op elk vel dat u inlevert uw naam, uw studentnummer en de letter (X of Y) van uw werkcollege-groep. Laat bij elke opgave zien hoe u aan uw antwoord komt. NB Oplossen betekent: alle oplossingen bepalen. a b betekent het inproduct van de vectoren a en b; a b betekent het uitproduct van a en b. Veel succes! 1. Gegeven zijn de matrices A = , B = [ ], C = [ ]. 23
25 (a) Bereken de volgende matrix-producten voor zover ze bestaan. AB, AB T, BC, CB. Antwoord: AB en BC bestaan niet; 7 10 [ AB T = 10 13, CB = ]. (b) Bereken de determinant van A. Antwoord: 1 (c) Bereken de inverse van C [ ] 3 2 Antwoord:. 4 3 (d) Laten e 1, e 2, en e 3 de eenheidsvectoren van R 3 zijn. Bepaal de beelden Ae 1, Ae 2, en Ae 3 van die vectoren onder de afbeelding x Ax. Teken deze beelden in een duidelijke tekening en bepaal de inhoud van het parallellopipedum dat zij opspannen. 2. Beschouw het stelsel lineaire vergelijkingen: 3x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 8, 6x x x 3 54x 4 = 27, 12x 1 3x 2 3x x 4 = 21. (a) Schrijf het stelsel in matrix-en-vector notatie. Bepaal de rang van de matrix Antwoord: ; rang = (b) Los het stelsel op. Antwoord: [x 1, x 2, x 3, x 4 ] = [2, 0, 1, 0] + α[0, 1, 1, 0] 3. We bekijken de matrix A = [ 1 3 α 2 ]. (a) Voor welke reële waarde (of waarden) van α is A symmetrisch? Antwoord: 3. (b) Voor welke reële waarde (of waarden) van α zijn de eigenwaarden van A niet reëel? Antwoord: eigenwaarden: (3 ± α)/2, dus α <
26 (c) Geef één reële waarde van α waarvoor de eigenvectoren van A loodrecht op elkaar staan. (Opmerking: deze vraag kan zonder rekenen beantwoord worden. Het kan ook met rekenen, maar dat kost wel enige tijd.) Antwoord: 3 (want dan is A symmetrisch). 4. We bekijken een chemische reactie tussen drie stoffen, waarvan de concentraties worden aangegeven met A, B en C. Het schema is 5 A 1 B 2 C; het overeenkomstige stelsel differentiaalvergelijkingen is dus Y (t) = MY (t), (5.1) A(t) waarin Y (t) = B(t) en M = C(t) (a) Laat gegeven zijn dat op tijdstip t = 10 de drie concentraties zijn A(10) = 30, B(10) = 25 en C(10) = 21. Ga na of, in een (willekeurig korte) tijdsduur na t = 10, de concentratie van A groter of kleiner wordt. Beantwoord dezelfde vragen voor B en C. Antwoord: MY (10) = [ 125, 75, 50], dus A wordt kleiner, B en C worden groter. (b) De matrix M heeft een eigenwaarde 0 (dat hoeft U niet te laten zien). Bepaal de eigenvector van M die behoort bij deze eigenwaarde. Bespreek ook de chemische betekenis van die eigenvector. Antwoord: [0, 0, 1] is de stabiele toestand met alleen stof C. 5. Beschouw het volgende stelsel differentiaalvergelijkingen: y 1 = 4y 1 + 8y cos t 16 sin t (5.2) y 2 = 6y 1 + 2y 2 + cos t 14 sin t (5.3) waarin y 1 en y 2 functies van t zijn. (a) Schrijf het stelsel in matrix-en-vector schrijfwijze; doe dat ook met het bijbehorende homogene stelsel Antwoord: [ y 1 y 2 ] = [ [ y 1 y 2 ] ] [ y1 = y 2 ] + [ [ 2 cos t 16 sin t cos t 14 sin t ] [ y1 y 2 ] ] 25
27 (b) Los het homogene stelsel op. Antwoord: y 1 = 4c 1 e 10t c 2 e 4t, y 2 = 3c 1 e 10t + c 2 e 4t (c) Bepaal één oplossing van het inhomogene stelsel Antwoord: y 1 = 2 sin t, y 2 = sin t (d) Bepaal de oplossing van de inhomogene vergelijking waarvoor geldt y 1 (0) = 0, y 2 (0) = 7 4 Antwoord: y 1 = e 10t e 4t + 2 sin t, y 2 = 3 4 e10t + e 4t + sin t. 26
Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { De tweede vergelijking van de eerste aftrekken geeft:
Determinanten Invoeren van het begrip determinant Bekijk nog een keer het stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden x en y: { a x + b y = c a 2 a 2 x + b 2 y = c 2 a Dit levert op: { a a 2 x
Nadere informatie1 Eigenwaarden en eigenvectoren
Eigenwaarden en eigenvectoren Invoeren van de begrippen eigenwaarde en eigenvector DEFINITIE Een complex (of reëel getal λ heet een eigenwaarde van de n n matrix A als er een vector x is met Ax = λx Dan
Nadere informatieMatrices en Stelsel Lineaire Vergelijkingen
Complexe Getallen Wat is de modulus van een complex getal? Hoe deel je twee complexe getallen? Wat is de geconjugeerde van een complex getal? Hoe kan je z z ook schrijven? Wat is de vergelijking van een
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieAanvullingen bij Hoofdstuk 8
Aanvullingen bij Hoofdstuk 8 8.5 Definities voor matrices De begrippen eigenwaarde eigenvector eigenruimte karakteristieke veelterm en diagonaliseerbaar worden ook gebruikt voor vierkante matrices los
Nadere informatieONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.
ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Voorbeeldtoetsen Lineaire Algebra Deliverable 3.10 Henk van der Kooij ONBETWIST Deliverable 3.8 ONBETWIST ONderwijs verbeteren met WISkunde Toetsen Inleiding
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1 donderdag 23 december 2004,
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA donderdag december 004, 0.00-.00 Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven. Het tentamen bestaat uit twee gedeelten: de eerste drie opgaven betreffen
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI maandag 15 december 2008, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI maandag 5 december 8, 5.5-8. uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieAntwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding
Antwoorden op de theoretische vragen in de examen voorbereiding Theorie vraag Zij A een m n-matrix. Geef het verband tussen de formule voor de dimensie d van een niet-strijdig stelsel, d = n rang (A) (zie
Nadere informatieStelsels differentiaalvergelijkingen
Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +
Nadere informatieDefinities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2
Definities, stellingen en methoden uit David Poole s Linear Algebra A Modern Introduction - Second Edtion benodigd voor het tentamen Matrix Algebra 2 Bob Jansen Inhoudsopgave 1 Vectoren 3 2 Stelsels Lineaire
Nadere informatieLineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012
Lineaire Algebra (2DD12) Laatste nieuws in 2012 Kwartiel 3, week 1 Het eerste college zal op maandagmiddag 6 februari 2012 beginnen om 13:45 uur in Auditorium 8. Zie de desbetreffende pagina van OASE of
Nadere informatieFACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie
FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSKUNDE Afdeling Kwantitatieve Economie Lineaire Algebra, tentamen Uitwerkingen vrijdag 4 januari 0, 9 uur Gebruik van een formuleblad of rekenmachine is niet toegestaan. De
Nadere informatieHoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 7: Stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen Bij het vak Lineaire Algebra hebben we reeds kennis gemaakt met stelsels eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen We hebben
Nadere informatie11.0 Voorkennis V
11.0 Voorkennis V 8 6 4 3 6 3 0 5 W 8 1 1 12 2 1 16 4 3 20 5 4 V is een 2 x 4 matrix. W is een 4 x 3 matrix. Deze twee matrices kunnen met elkaar vermenigvuldigd worden. Want het aantal kolommen van matrix
Nadere informatieHoofdstuk 3 : Determinanten
(A5D) Hoofdstuk 3 : Determinanten Les : Determinanten Definitie 3. De determinant van de [2 x 2]-matrix A = ( a c det(a) = ad bc. b ) is een getal met waarde d a b Notatie : det(a) = = ad bc c d Voorbeeld
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op , uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS) op --9,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieEindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01)
Eindtermen Lineaire Algebra voor E vor VKO (2DE01) dr. G.R. Pellikaan 1 Voorkennis Middelbare school stof van wiskunde en natuurkunde. Eerste gedeelte (Blok A) van Lineaire Algebra voor E (2DE04). 2 Globale
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (2DM20) op vrijdag 11 mei 2007, 9:00 12:00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op vrijdag mei 7, 9: : uur. U mag bij het tentamen geen computer (notebook, laptop), boeken
Nadere informatieUITWERKINGEN 1 2 C : 2 =
UITWERKINGEN. De punten A, B, C, D in R zijn gegeven door: A : 0, B : Zij V het vlak door de punten A, B, C. C : D : (a) ( pt) Bepaal het oppervlak van de driehoek met hoekpunten A, B, C. Oplossing: De
Nadere informatieVierde huiswerkopdracht Lineaire algebra 1
Vierde huiswerkopdracht Lineaire algebra December, 00 Opgave : Voor positieve gehele getallen m, n schrijven we Mat(m n, R) voor de vectorruimte van alle m n matrices, met de gebruikelijke optelling en
Nadere informatieStelsels Vergelijkingen
Hoofdstuk 5 Stelsels Vergelijkingen Eén van de motiverende toepassingen van de lineaire algebra is het bepalen van oplossingen van stelsels lineaire vergelijkingen. De belangrijkste techniek bestaat uit
Nadere informatieTENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A. maandag 16 december 2002, b. Bepaal een basis voor de rijruimte en voor de kolomruimte van A.
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 1A maandag 16 december 2002, 1000-1200 Coördinaten zijn gegeven tov een standaardbasis in R n 1 De matrix A en de vector b R 4 zijn gegeven door 1 0 1 2 0 1 1 4 3 2 A =, b = 0
Nadere informatieBasiskennis lineaire algebra
Basiskennis lineaire algebra Lineaire algebra is belangrijk als achtergrond voor lineaire programmering, omdat we het probleem kunnen tekenen in de n-dimensionale ruimte, waarbij n gelijk is aan het aantal
Nadere informatieHoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L Habets HG 809, Tel: 040-2474230, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y650 1 Herhaling: Oplossing homogene DV ẋ = Ax Aanname: A is diagonaliseerbaar
Nadere informatiex 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).
76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van
Nadere informatie3.2 Vectoren and matrices
we c = 6 c 2 = 62966 c 3 = 32447966 c 4 = 72966 c 5 = 2632833 c 6 = 4947966 Sectie 32 VECTOREN AND MATRICES Maar het is a priori helemaal niet zeker dat het stelsel vergelijkingen dat opgelost moet worden,
Nadere informatieHints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde
Hints en antwoorden bij de vragen van de cursus Lineaire Algebra en Meetkunde Ik heb de vragen die in de nota s staan en de vragen van de samenvattingen samengebracht in deze tekst en voorzien van hints
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra 1 (Wiskundigen)
Tentamen Lineaire Algebra Wiskundigen Donderdag, 23 januari 24,.-3. Geen rekenmachines. Motiveer elk antwoord.. Voor alle reële getallen a definiëren we de matrix C a als a C a = a 2. a Verder definiëren
Nadere informatieGeadjungeerde en normaliteit
Hoofdstuk 12 Geadjungeerde en normaliteit In het vorige hoofdstuk werd bewezen dat het voor het bestaan van een orthonormale basis bestaande uit eigenvectoren voldoende is dat T Hermites is (11.17) of
Nadere informatie1 Stelsels lineaire vergelijkingen.
Stelsels lineaire vergelijkingen Ter herinnering: in de tweede klas Havo/Atheneum leer je twee vergelijkingen met twee onbekenden oplossen Voorbeeld: { x + y = 5 x + y = 0 Twee keer de eerste vergelijking
Nadere informatieHoofdstuk 1: Inleiding
Hoofdstuk 1: Inleiding 1.1. Richtingsvelden. Zie Stewart, 9.2. 1.2. Oplossingen van enkele differentiaalvergelijkingen. Zelf doorlezen. 1.3. Classificatie van differentiaalvergelijkingen. Differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieKies voor i een willekeurige index tussen 1 en r. Neem het inproduct van v i met de relatie. We krijgen
Hoofdstuk 95 Orthogonaliteit 95. Orthonormale basis Definitie 95.. Een r-tal niet-triviale vectoren v,..., v r R n heet een orthogonaal stelsel als v i v j = 0 voor elk paar i, j met i j. Het stelsel heet
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra maandag 3--27, 3.3-6.3 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken. Schrijf op elk
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra UITWERKINGEN
Tentamen Lineaire Algebra 29 januari 29, 3:3-6:3 uur UITWERKINGEN Gegeven een drietal lijnen in R 3 in parametervoorstelling, l : 2, m : n : ν (a (/2 pt Laat zien dat l en m elkaar kruisen (dat wil zeggen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 J.Keijsper
Nadere informatieHet oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b
Het oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen Wiskunde 2, 2DM60 College 2b Ruud Pellikaan g.r.pellikaan@tue.nl /k 2014-2015 Lineaire vergelijking 2/64 DEFINITIE: Een lineaire vergelijking in de variabelen
Nadere informatieUITWERKINGEN d. Eliminatie van a geeft d. Eliminatie van b,
UITWERKINGEN 1. Gegeven in R 3 zijn de punten P = (1, 1, ) t en Q = ( 2,, 1) t en het vlak V gegeven door de vergelijking 2x 1 x 2 + x 3 = 1. Zij l de lijn door P loodrecht op V en m de lijn door Q loodrecht
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT (2DM20) op vrijdag 12 juni 2009, 9.00 Dit tentamen bestaat uit 5 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen.
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 11 J.Keijsper
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra
Tentamen Lineaire Algebra 3 januari 214, 8:3-11:3 uur - Bij dit tentamen mogen dictaten en boeken niet gebruikt worden - Een eenvoudige rekenmachine, hoewel niet nodig, is toegestaan, maar geen grafische
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 6 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatieUitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) 22 januari, 2015
Uitwerkingen Lineaire Algebra I (wiskundigen) januari, 5 In deze uitwerkingen is hier en daar een berekening weggelaten (bijvoorbeeld het bepalen van de kern van een matrix) die uiteraard op het tentamen
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 93 email: JCMKeijsper@tuenl studiewijzer: http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 3 JKeijsper (TUE) Lineaire
Nadere informatievandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen
Hoofdstuk I Lineaire Algebra Les 1 Stelsels lineaire vergelijkingen Om te beginnen is hier een puzzeltje: vandaag is Annie twee jaar jonger dan Ben en Cees samen over vijf jaar is Annie twee keer zo oud
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y650 Docent: L. Habets HG 8.09, Tel: 040-2474230, Email: l.c.g.j.m.habets@tue.nl http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2y650 1 Eigenwaarden en eigenvectoren Zij A een n n matrix.
Nadere informatie6. Lineaire operatoren
6. Lineaire operatoren Dit hoofdstukje is een generalisatie van hoofdstuk 2. De meeste dingen die we in hoofdstuk 2 met de R n deden, gaan we nu uitbreiden tot andere lineaire ruimten Definitie. Een lineaire
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 10 13 oktober 2016 1 Samenvatting Hoofdstuk 4.1 Een constante λ is een eigenwaarde van een n n matrix A als er een niet-nul vector x bestaat, zodat Ax =
Nadere informatieUitwerkingen tentamen lineaire algebra 2 13 januari 2017, 10:00 13:00
Uitwerkingen tentamen lineaire algebra 3 januari 07, 0:00 3:00 Hint: Alle karakteristiek polynomen die je nodig zou kunnen hebben, hebben gehele nulpunten. Als dat niet het geval lijkt, dan heb je dus
Nadere informatieTentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 17 februari 2009, uur.
Vrije Universiteit Amsterdam Faculteit der Exacte Wetenschappen Afdeling Wiskunde Tentamen lineaire algebra voor BWI dinsdag 7 februari 9, 8.-.5 uur. ELK ANTWOORD DIENT TE WORDEN BEARGUMENTEERD. Er mogen
Nadere informatieHoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit
Hoofdstuk 9: Niet-lineaire differentiaalvergelijkingen en stabiliteit Hoewel we reeds vele methoden gezien hebben om allerlei typen differentiaalvergelijkingen op te lossen, zijn er toch nog veel differentiaalvergelijkingen
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatieLineaire afbeeldingen
Les 2 Lineaire afbeeldingen Als een robot bij de robocup (het voetbaltoernooi voor robots een doelpunt wil maken moet hij eerst in de goede positie komen, d.w.z. geschikt achter de bal staan. Hiervoor
Nadere informatieLineaire Algebra Een Samenvatting
Lineaire Algebra Een Samenvatting Definitie: Een (reële) vectorruimte is een verzameling V voorzien van een additieve en multiplicatieve operatie, zodat (a) u V en v V u + v V, (1) u + v = v + u voor alle
Nadere informatieRuimtewiskunde. college. De determinant en lineaire afbeeldingen. Vandaag. De determinant van een matrix. Toepassing: oppervlakte en inhoud
college 6 en lineaire collegejaar college build slides Vandaag : : : : 6-7 6 9 juni 27 3 2 3 van een matrix Toepassing: oppervlakte en inhoud.6-7[6] vandaag van de 2 2-matrix a b c d is gelijk aan ad bc.
Nadere informatieVectormeetkunde in R 3
Vectormeetkunde in R Definitie. Een punt in R wordt gegeven door middel van drie coördinaten : P = (x, y, z). Een lijnstuk tussen twee punten P en Q voorzien van een richting noemen we een pijltje. Notatie
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 2 J.Keijsper
Nadere informatieExamen G0O17D Wiskunde II (6sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-12:30 uur
Examen GO7D Wiskunde II (6sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Biochemie & Biotechnologie Bachelor hemie, Bachelor Geologie Schakelprogramma Master Biochemie & Biotechnologie en Schakelprogramma Master
Nadere informatieHoofdstuk 3 : Determinanten
Hoofdstuk 3 : Determinanten Paragraaf 3.2 : Determinanten (Les ) Definitie determinant aa bb De determinant van de [2 x 2]-matrix AA = is een getal met waarde cc dd det(a) = ad bc. aa bb Notatie : dddddd(aa)
Nadere informatieLinalg.nb 1. Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes!
Linalg.nb Lineaire Algebra Andr Heck AMSTEL Instituut, Universiteit van Amsterdam Werk het notebook aandachtig door en maak de (genummerde) oefeningen aan het einde van elke sectie. Succes! Å Introductie
Nadere informatieEerste deeltentamen Lineaire Algebra A
Eerste deeltentamen Lineaire Algebra A 8 november 2011, 13u30-16u30 Bij dit tentamen mag het dictaat niet gebruikt worden. Schrijf op elk vel je naam, studnr en naam practicumleider (Victor Blasjo, Esther
Nadere informatieWI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1
WI1808TH1/CiTG - Lineaire algebra deel 1 College 6 26 september 2016 1 Hoofdstuk 3.1 en 3.2 Matrix operaties Optellen van matrices Matrix vermenigvuldigen met een constante Matrices vermenigvuldigen Machten
Nadere informatieTussentijdse Toets Wiskunde 2 1ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april 2011
Tussentijdse Toets Wiskunde ste bachelor Biochemie & Biotechnologie, Chemie, Geografie, Geologie en Informatica april Deze toets is bedoeld om u vertrouwd te maken met de wijze van ondervraging op het
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op dinsdag 9 april 8, 9.. uur. Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord
Nadere informatieSamenvatting Lineaire Algebra, periode 4
Samenvatting Lineaire Algebra, periode 4 Hoofdstuk 5, Eigenwaarden en eigenvectoren 5.1; Eigenvectoren en eigenwaarden Definitie: Een eigenvector van een n x n matrix A is een niet nulvector x zodat Ax
Nadere informatieTentamen Lineaire Algebra B
Tentamen Lineaire Algebra B 29 juni 2012, 9-12 uur OPGAVEN Uitwerkingen volgen na de opgaven 1. Gegeven is de vectorruimte V = R[x] 2 van polynomen met reële coefficienten en graad 2. Op V hebben we een
Nadere informatieOpgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek
Opgaven bij de cursus Relativiteitstheorie wiskunde voorkennis Najaar 2018 Docent: Dr. H. (Harm) van der Lek Uitwerkingen worden beschikbaar gesteld op de dinsdagavond voorafgaande aan het volgende college
Nadere informatieCollege 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in
College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in de weken 37-42 in zaal S 209, in de weken 44-49 in
Nadere informatieTentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, ( )
Faculteit der Wiskunde en Informatica Tentamen (2DE04) van Lineaire Algebra voor E, op vrijdag 27 januari 2012, (9.00-12.00) Zoals beschreven in de studiehandleiding 2DE04 bestaat dit tentamen uit drie
Nadere informatieDe inverse van een matrix
De inverse van een matrix Laat A een n n matrix zijn. Veronderstel dat de matrixvergelijking A X = I n de oplossing X = C heeft. Merk op dat [ A I n ] rijoperaties [ I n C ] [ I n A] inverse rijoperaties
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.3 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 8 J.Keijsper
Nadere informatieMatrixoperaties. Definitie. Voorbeelden. Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten.
Definitie Een matrix is een rechthoekig array van getallen, die kentallen of elementen heten. Voorbeelden De coëfficiëntenmatrix of aangevulde matrix bij een stelsel lineaire vergelijkingen. Een rij-echelonmatrix
Nadere informatieGeef niet alleen antwoorden, maar bewijs al je beweringen.
Tentamen Lineaire Algebra donderdag 29 januari 205, 9.00-2.00 uur Het is niet toegestaan telefoons, computers, grafische rekenmachines (wel een gewone), dictaten, boeken of aantekeningen te gebruiken.
Nadere informatieKwantummechanica Donderdag, 13 oktober 2016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4. Bestudeer Appendix A, bladzijden van het dictaat.
1 Kwantummechanica Donderdag, 1 oktober 016 OPGAVEN SET HOOFDSTUK 4 VECTOREN OVER DE REËLE RUIMTE DUS DE ELEMENTEN ZIJN REËLE GETALLEN Bestudeer Appendix A, bladzijden 110-114 van het dictaat. Opgave 1:
Nadere informatie(iii) Enkel deze bundel afgeven; geen bladen toevoegen, deze worden toch niet gelezen!
Examen Wiskundige Basistechniek, reeks A 12 oktober 2013, 13:30 uur Naam en Voornaam: Lees eerst dit: (i) Naam en voornaam hierboven invullen. (ii) Nietje niet losmaken. (iii) Enkel deze bundel afgeven;
Nadere informatieUitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, en B =
Uitwerkingen tentamen Lineaire Algebra 2 16 januari, 215 Deze uitwerkingen zijn niet volledig, maar geven het idee van elke opgave aan. Voor een volledige oplossing moet alles ook nog duidelijk uitgewerkt
Nadere informatiePraktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent:
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica en Economie 2 e jaar Voorjaar semester 2013 Docent: D.P. Huijsmans LIACS Universiteit Leiden College Lineaire
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 4 J.Keijsper
Nadere informatie4. Determinanten en eigenwaarden
4. Determinanten en eigenwaarden In dit hoofdstuk bestuderen we vierkante matrices. We kunnen zo n n n matrix opvatten als een lineaire transformatie van R n. We onderscheiden deze matrices in twee typen:
Nadere informatie3 Wat is een stelsel lineaire vergelijkingen?
In deze les bekijken we de situatie waarin er mogelijk meerdere vergelijkingen zijn ( stelsels ) en meerdere variabelen, maar waarin elke vergelijking er relatief eenvoudig uitziet, namelijk lineair is.
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9.31 email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/2ds06 Technische Universiteit Eindhoven college 1 J.Keijsper
Nadere informatieMatrices en Grafen (wi1110ee)
Matrices en Grafen (wi1110ee) Electrical Engineering TUDelft September 1, 2010 September 1, 2010 Inleiding Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http:
Nadere informatieCoëfficiënten matrix = matrix waarin de rechterkolom geen oplossing van de vergelijking is. 1. Lineair systeem = Stelsel van lineaire vergelijkingen
Hoofdstuk 1 Vectoren dik gedrukt, scalairen normaal en Matrices in hoofdletters Vector = een pijl in R n. Een vector heeft een grootte en een richting. Dit in tegenstelling tot een coördinaat, dat slechts
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Lineaire Algebra voor ST (2DS06) op 16-4-2012, 14.30-17.00 uur.
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op 6--,.-7. uur. Aan dit tentamen gaat een MATLAB-toets van een half uur vooraf. Pas als de laptops
Nadere informatieStelsels lineaire vergelijkingen
Een matrix heeft een rij-echelon vorm als het de volgende eigenschappen heeft: 1. Alle nulrijen staan als laatste rijen in de matrix. 2. Het eerste element van een rij dat niet nul is, ligt links ten opzichte
Nadere informatieLineaire Algebra TW1205TI. I.A.M. Goddijn, Faculteit EWI 12 februari 2014
Lineaire Algebra TW1205TI, 12 februari 2014 Contactgegevens Mekelweg 4, kamer 4.240 tel : (015 27)86408 e-mail : I.A.M.Goddijn@TUDelft.nl homepage : http: //fa.its.tudelft.nl/ goddijn blackboard : http:
Nadere informatieUitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen
Uitwerkingen Tentamen Gewone Differentiaalvergelijkingen Maandag 4 januari 216, 1: - 13: uur 1. Beschouw voor t > de inhomogene singuliere tweede orde vergelijking, t 2 ẍ + 4tẋ + 2x = f(t, (1 waarin f
Nadere informatiea) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n.
. Oefen opgaven Opgave... Gegeven zijn de lijnen l : 2 + λ m : 2 2 + λ 3 n : 3 6 4 + λ 3 6 4 a) Bepaal punten a l en b m zó dat de lijn door a en b parallel is met n. b) Bepaal de afstand tussen die lijn
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor BMT en TIW (DM) op maandag juni Dit tentamen bestaat uit 6 open vragen, en 4 kort-antwoord vragen. De
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Lineaire Algebra voor ST (DS6) op -4-, 4.-7. uur. Opgave Gegeven is het volgende stelsel lineaire vergelijkingen met parameters
Nadere informatiePraktische informatie. m.b.t. College. Lineaire Algebra en Beeldverwerking. Bachelor Informatica. 1e jaar. Voorjaar semester 2012
Praktische informatie m.b.t. College Lineaire Algebra en Beeldverwerking Bachelor Informatica 1e jaar Voorjaar semester 2012 Docenten: Jesse Goodman en Charlene Kalle Universiteit Leiden Praktische informatie
Nadere informatieV Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R. IV.0 Inleiding
V Kegelsneden en Kwadratische Vormen in R IV.0 Inleiding V. Homogene kwadratische vormen Een vorm als H (, ) = 5 4 + 8 heet een homogene kwadratische vorm naar de twee variabelen en. Een vorm als K (,
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieLineaire Algebra voor ST
Lineaire Algebra voor ST docent: Judith Keijsper TUE, HG 9. email: J.C.M.Keijsper@tue.nl studiewijzer: http://www.win.tue.nl/wsk/onderwijs/ds6 Technische Universiteit Eindhoven college 9 J.Keijsper (TUE)
Nadere informatie