Wiskunde y en Theoretische Biologie, 12 april Naam: Collegekaartnummer: Vraag 1

Transcriptie

1 Wiskunde y en Theoretische Biologie, 12 april 2013 Vraag 1 x Dit zijn multiple-choice vragen. Omcirkel het meest correcte antwoord. 1.1 Beschouw het volgende fase-portret: Welk van de onderstaande systemen hoort bij dit plaatje? a. dx/ = x(x 1) y + b en dy/ = c(x dy) b. dx/ = x(x a)(x 1) y + b en dy/ = c(x dy) c. dx/ = x(x a)(x 1) y + b en dy/ = c(x dy) d. dx/ = x(x 1) y + b en dy/ = c(x + dy) 1.2 Wat voor typen evenwichten heeft het systeem uit de vorige vraag? a. Twee stable nodes en een non-stable node b. Twee saddle points en een stable node c. Twee stable nodes en een saddle point d. Twee stable spirals en een unstable limit cycle ( ) Beschouw de volgende matrix: 4 7 Welke eigenwaardes horen bij deze matrix? a. λ 1 = 9, λ 2 = 3 b. λ 1,2 = 3 ± c. λ 1,2 = 3 ± 2i d. λ 1 = 5, λ 2 = 1

2 y y y y Wiskunde en Theoretische Biologie, 12 april Beschouw de volgende functie: x rx(1 x a ) b xy h + x = 0 x x Welke grafiek komt overeen met deze functie? A B C D a. Figuur A hierboven b. Figuur B hierboven c. Figuur C hierboven d. Figuur D hierboven 1.5 Beschouw de volgende functie: y = ax h + x De grafiek hiervan a. is een parabool zonder asymptoot. b. is een hyperbool zonder asymptoot. c. heeft alleen een horizontale asymptoot. d. heeft zowel een horizontale als een verticale asymptoot.

3 Vraag 2 Tijdens een langdurig feestje neemt Bob een party-drug door elk uur een pilletje in te nemen. De concentratie van het middel in zijn bloedcirculatie gaat snel naar een evenwicht. Op een veel tragere tijdschaal, zeg pas na middernacht, worden cellen in de lever door dit middel gestimuleerd om een receptor aan te maken die het middel uit de circulatie wegvangt. We schrijven het volgende model voor de concentratie D van het middel in de circulatie en voor de expressie van de receptor R: dd = i dd vdr en dr = md h + D δr. a. Wat is de verwachte concentratie D voor middernacht? b. Hoeveel zou dit worden als Bob twee keer zoveel pillen zou innemen? c. Schets hoe de aanmaak van R afhangt van de concentratie D, en geef hiervoor een intuïtieve verklaring. d. Schets de nullclines en geef de stabiliteit van alle evenwichten aan. Neem aan dat h i/d. e. Bob studeert biologie en weet dat zijn lever na middernacht het middel gaat wegvangen. Daarom neemt hij s nachts twee keer zoveel pillen in. Hoe beïnvloe dat de concentratie D in zijn circulatie? Geef een korte argumentatie.

4 Vraag 3 Dit zijn multiple-choice vragen. Omcirkel het meest correcte antwoord. 3.1 In het Hodgkin-Huxley model worden de natrium- en kaliumkanalen gemodelleerd door m, n en h: dv = 1 C (G Nam 2 h(v Na V ) + G K n 2 (V K V ) + g R (V R V )), hier zijn m, n en h: a. parameters. b. variabelen die ieder een eigen differentiaalvergelijking gehoorzamen. c. functies van het voltage V. d. functies van de tijd. 3.2 De grootste verschillen tussen een cellulaire automaat (CA) en een partiële differentiaalvergelijking (PDE) zijn: a. Dat de tijd en de toestanden discreet zijn in een CA en continu in een PDE. b. Dat de tijd en de toestanden discreet zijn in een PDE en continu in een CA. c. Dat de tijd discreet is in een CA en continu in een PDE. d. Dat de tijd discreet is in een PDE en continu in een CA. 3.3 Op het GRIND practicum hebben we bestudeerd hoe het kan dat Paramecium asymptotisch naar zijn carrying capacity groeit, terwijl Daphnia dat met een gedempte oscillatie doet. Omdat we beide gedragingen met een kleine parameterverandering van hetzelfde model konden opleveren, bleek dat de eenvoudigste verklaring was dat voor deze parameters a. de carrying capacity van Paramecium een stabiele knoop (node) is en die van Daphnia een stabiel spiraalpunt. b. de carrying capacity van Paramecium een stabiel spiraalpunt is en die van Daphnia een stabiele knoop. c. de carrying capacity van Paramecium een stabiele knoop is en die van Daphnia een instabiel spiraalpunt. d. de carrying capacity van Paramecium een instabiel spiraalpunt is en die van Daphnia een stabiele knoop. 3.4 Is de vergelijking N(t) = N(0)e rt een oplossing van de differentiaalvergelijking dn(t)/ = rn(t)? a. Nee, er bestaan geen expliciete oplossingen van differentiaalvergelijkingen. b. Ja, want dit is de vergelijking voor logistische groei. c. Nee, want de differentiaalvergelijking geeft alleen de afgeleide en deze oplossing geeft de hoeveelheid. d. Ja, want als ik N(t) = N(0)e rt differentieer krijg ik dn(t)/ = rn(0)e rt = rn(t). N(0) is een integratieconstante. 3.5 In een 2-dimensionale toestandsruimte is een isocline (nullcline) een lijn van punten a. die een mogelijke oplossing van het model weergeeft. b. waar de verandering van één van de twee variabelen nul is. c. waar het model in evenwicht is. d. waar trajectoriën naar toe zullen gaan.

5 3.6 Welke populatie verandert het meest als we de concurrentie tussen de prooien verlagen door de k parameter te verhogen in een roofdier-prooimodel met een dichtheidsafhankelijke sterfte van prooi: dr waar R de prooi en N het roofdier is. a. Alleen de prooi R. b. Alleen het roofdier N c. Ze nemen beide precies evenveel toe. d. Ze nemen beide precies evenveel af. = R(b d(1 + R/k) an) en dn = N(caR δ) Beschouw voor de volgende 4 vragen het volgende model voor een vegetatie in een woestijn: dw = a bw V cw and dv = dw V ev, waar W de hoeveelheid water in de bodem is, en V de biomassa van de vegetatie, beiden per vierkante meter. Water wor aangevuld door regenval en opgenomen in de bodem, water verdampt uit de bodem en water wor opgenomen door vegetatie. De groei van de vegetatie hangt af van de hoeveelheid water in de bodem. Omcirkel wederom meest correcte antwoord: 3.7 Wat verwacht je voor de hoeveelheid water in de bodem als er al heel lang geen vegetatie is? a. dw/ = a bw V cw b. a/c c. e/d d. geen van deze drie. 3.8 Wat is de hoeveelheid water in de bodem als er wel vegetatie is? a. dw/ = a bw V cw b. a/c c. e/d d. geen van deze drie. 3.9 Wat is de R 0 van de vegetatie? a. R 0 = ec da b. R 0 = ec da c. R 0 = da ec d. R 0 = ed ac 3.10 Stel dat de groeisnelheid van de vegetatie een maximum bereikt als er voldoende water in de bodem zit. Welke van de volgende modellen zou dan de beste keuze zijn? a. dv/ = dw V h+w ev b. dv/ = dw V h+v ev c. dv/ = dv 1+W/h ev d. dv/ = dv 1+V/h ev

6 Vraag 4 Beschouw het volgende systeem van twee differentiaalvergelijkingen: { dp dq = cqp dp = aq eq2 bqp P 0, Q 0 c, d, a, e, b 0 a. Teken een faseportret (minimaal null-clines en een vectorveld) voor dit systeem, voor de situatie met een niet-triviaal snijpunt. b. Bepaal voor zo ver mogelijk de typen van alle evenwichten, aan de hand van vectorveld en/of grafische Jacobiaan. c. Bepaal de coördinaten (de waardes van Q en P ) van alle evenwichten in dit systeem, voor de volgende parameter-waarden: a = 6, b = 2, c = 1, d = 1 2, e = 1. d. Bepaal de typen van alle evenwichten, voor de parameter-waarden uit de vorige vraag. (Maak indien nodig gebruik van de volledige Jacobiaan.)

7 Hints en Antwoorden Vraag 1: c, c, c, b, d Vraag 2: Een hint voor het tekenen van het faseportret is dat de nullclines beide hyperbolen zijn: R 0 D Vraag 3: b, a, a, d, b, b, b, c, c, a Vraag 4: De P -nullclines zijn P = 0 Q = d a eq c, de Q-nullclines zijn Q = 0 P = b. Voor de parameters van vraag 4c. krijg je het volgende faseportret: 6 Q P Aan de hand van het vectorveld of de grafische Jacobiaan kun je zien dat de triviale evenwichten bij P = 0, Q = 0 en bij P = 0, Q = 6 beiden saddlepoints zijn. De grafische Jacobiaan geeft ook aan dat het niet-triviale evenwicht bij P = 2.75, Q = 0.5 stabiel is. Vervolgens is de de volledige Jacobiaan nodig om te bepalen dat het hier om een stabiele spiraal gaat.