Regeltechniek. Les 2: Signaaltransformaties. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
|
|
- Lander de Ruiter
- 6 jaren geleden
- Aantal bezoeken:
Transcriptie
1 Regeltechniek Les 2: Signaaltransformaties Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium
2 Regeltechniek: Tijdschema Hoorcolleges Hoorcolleges: maandag 8:25 :25 29/9: Les 6/: Les 2 3/: Les 3 2/: geen les 27/: Les 4 3/: Les 5 /: geen les 7/: Les 6 24/: Les 7 /2: Les 8 & 8/2: Les 9 5/2: Les
3 Regeltechniek: Vakinhoud Deel : Systeemtheorie Les : Inleiding en modelvorming Les 2: Signaaltransformaties Les 3: Systemen van eerste orde Les 4: Systemen van tweede & hogere orde en met dode tijd Deel 2: Analoge regeltechniek Les 5: De regelkring Les 6: Het wortellijnendiagram Les 7: De klassieke regelaars Les 8: Voorbeelden en toepassingen Les 9: Systeemidentificatie en regelaarsinstelling Les : Speciale regelstructuren Les : Niet-lineaire regeltechniek & aan-uit regelaars
4 Les 2: Signaaltransformaties De Laplace-transformatie [Baeten, SYST, Hoofdstuk 2] Inleiding Definitie Voorbeelden Eigenschappen De inverse Laplace-transformatie Laplace-transformatie bij analyse van continue systemen Transformatietabel Fourier-transformatie en -reeksontwikkeling [Baeten, SYST, Hoofdstuk 6] Fourier-transformatie Fourier-reeksontwikkeling
5 Inleiding () Differentiaalvergelijkingen klassieke beschrijving gedrag/evolutie van systeem (in tijd) verband tussen ingangs- en uitgangssignalen van systeem voorbeeld: elektrische capaciteit V (t) =V () + C Z t i(t)dt. Transfertfunctie (TF) beknopte beschrijving van systeemgedrag algebraisch verband tussen ingangs- en uitgangssignalen van systeem (= zonder afgeleiden of integralen)
6 Inleiding (2) Differentiaalvergelijking Laplace-transformatie Transfertfunctie Laplace-transformatie = integraaltransformatie zet differentiaalvergelijking om in transfertfunctie kan gebruikt worden om differentiaalvergelijkingen op te lossen geeft inzicht in frequentie-gedrag van systeem
7 Les 2: Signaaltransformaties De Laplace-transformatie [Baeten, SYST, Hoofdstuk 2] Inleiding Definitie Voorbeelden Eigenschappen De inverse Laplace-transformatie Laplace-transformatie bij analyse van continue systemen Transformatietabel Fourier-transformatie en -reeksontwikkeling [Baeten, SYST, Hoofdstuk 6] Fourier-transformatie Fourier-reeksontwikkeling
8 Definitie () Laplace-transformatie Laplace-getransformeerde van functie f(t) F (p) =L {f(t)} = Z f(t)e pt dt p = Laplace-variabele f(t)e pt enkel gedefinieerd als convergeert eenzijdige Laplace-transformatie veronderstelt f(t) causaal: f(t) =, t <
9 Z Definitie (2) Inverse Laplace-transformatie invers Laplace-getransformeerde van functie f(t) =L {F (p)} = 2 j a Z a+j j F (p)e pt dp F (p) integraal langs verticale lijn ( Re(p) =a) in complexe vlak enkel gedefinieerd als F (p)e pt dtweezijdig convergeert Laplace-transformatiepaar f(t) $ F (p)
10 Les 2: Signaaltransformaties De Laplace-transformatie [Baeten, SYST, Hoofdstuk 2] Inleiding Definitie Voorbeelden Eigenschappen De inverse Laplace-transformatie Laplace-transformatie bij analyse van continue systemen Transformatietabel Fourier-transformatie en -reeksontwikkeling [Baeten, SYST, Hoofdstuk 6] Fourier-transformatie Fourier-reeksontwikkeling
11 Voorbeelden () ( Dirac-impuls definitie Dirac-impuls: (t) = ( voor t =, voor t 6=. (t) $ oppervlak onder functie kan niet worden berekend (resultaat is onbepaald) en wordt daarom gedefinieerd als Z Z Z (t)dt = (t)dt Z + Laplace-getransformeerde: L{ (t)} = Z (t)e pt dt = Z + (t)e p dt + Z + e pt dt = +
12 Voorbeelden (2) Stapfunctie definitie stapfunctie: f(t) = a voor t, voor t<. a $ a p bij eenzijdige Laplace-transformatie kunnen we stapfunctie als constante functie beschouwen: Z apple e L{f(t)} = L{a} = ae pt pt dt = a = a Z p p Laplace-getransformeerde is enkel gedefinieerd voor p>.
13 Voorbeelden (3) Exponentiële functie definitie: f(t) =e at met a constant reëel getal Laplace-transformatie: Z L{e at } = Z e at e pt dt = Z e (a p)t dt = apple e (a Laplace-getransformeerde is enkel gedefinieerd voor a p)t p e at $ p = p a a p>a.
14 Voorbeelden (4) Z Z apple Talud- of rampfunctie definitie: f(t) =t Laplace-transformatie: Z Z L{t} = Z Z apple e te pt pt dt = td = Z Z p Laplace-getransformeerde is enkel gedefinieerd voor Veeltermfunctie definitie: f(t) =t n Laplace-transformatie: Z L{t n } = n! p n Z enkel gedefinieerd voor e pt dt = n! p n+ t p e pt p>. + p Z e pt dt =+ p t $ p 2 apple e pt p Z = p 2 p>. t n $ n! p n+
15 Voorbeelden (5) Z Sinusoidale functie definities: f(t) = cos at f(t) = sinz at t} volgt echte Laplace-getransformeerden kunnen berekend worden via dubbele partiële integratie L{cos at} = p L{sin at} = Z a 2 p 2 L{cos at} = p p 2 + a 2 sin at e pt dt = a a L{cos at} = p cos at $ sin at $ p 2 + a 2. p p 2 + a 2 a p 2 + a 2
16 Les 2: Signaaltransformaties De Laplace-transformatie [Baeten, SYST, Hoofdstuk 2] Inleiding Definitie Voorbeelden Eigenschappen De inverse Laplace-transformatie Laplace-transformatie bij analyse van continue systemen Transformatietabel Fourier-transformatie en -reeksontwikkeling [Baeten, SYST, Hoofdstuk 6] Fourier-transformatie Fourier-reeksontwikkeling
17 Eigenschappen () Lineariteit Laplace-getransformeerde van gescaleerde functie = gescaleerde Laplace-getransformeerde Laplace-getransformeerde van som van functies = som van Laplace-getransformeerden met a, b willekeurige constanten lineariteit kan gebruikt worden om Laplace-transformatie te berekenen voor functies waar Laplace-integraal moeilijk te berekenen is, bv. met Z L {a.f (t)+b.g (t)} = a.l {f (t)} + b.l {g (t)} = af (p)+bg(p) { L{cosh at} = L{ eat + e at } = 2 2 L{eat } + 2 L{e at } = 2 p> a. { } =(e at apple p a + p + a = p p 2 a 2
18 Eigenschappen (2) Differentiatietheorema Laplace-getransformeerde van afgeleide functie = vermenigvuldiging met p in Laplace-domein: Indien f(t) $ F (p) dan Bewijs: zie cursustekst df (t) dt $ pf (p) f(o). Voorbeeld: Laplace-getransformeerde van sinus berekenen op basis van Laplace-transformatie van cosinus, d cos at = a sin at of sin at = dt a L{sin at} = d cos at a L = p dt a d cos at dt p p 2 + a 2 = a p 2 + a 2
19 Eigenschappen (3) Integratietheorema Laplace-getransformeerde van geïntegreerde functie = deling door p in Laplace-domein: Z Indien f(t) $ F (p) dan f(t)dt $ F (p) p. Bewijs: zie cursustekst
20 Z Eigenschappen (4) Eindwaardetheorema eindwaarde (= steady-state waarde, evenwichtswaarde) van functie = limiet p Laplace-getransformeerde A voor p Indien f(t) $ F (p) dan lim f(t) = lim pf (p). Z t! p! Bewijs: zie cursustekst Beginwaardetheorema beginwaarde van functie = limiet p x Laplace-getransformeerde voor p Indien f(t) $ F (p) dan lim p! pf (p) =f().
21 Eigenschappen (5) Schaalfactortheorema laat toe om tijdbasis om te rekenen naar andere tijdseenheid Indien f(t) $ F (p) dan f(at) $ p a F a Eerste verschuivingstheorema = theorema van complexe translatie = modulatie-theorema Indien f(t) $ F (p) dan e at f(t) $ F (p a). Tweede verschuivingstheorema = theorema van reële translatie (enkel indien causaal!) Indien f(t) $ F (p) dan f(t a) $ e ap F (p).
22 Eigenschappen (5) Vermenigvuldiging met t = theorema van complexe differentiatie Indien f(t) $ F (p) dan tf(t) Z $ Deling door t = theorema van complexe integratie Convolutie df (p) dp Indien f(t) $ F (p) dan t n f(t) $ ( ) n d n F (p) dp n Indien f(t) $ F (p) dan f(t) t $ Z p F (u)du. Indien f(t) $ F (p) en g(t) $ G(p) dan f(t) g(t) $ F (p) G(p)
23 Les 2: Signaaltransformaties De Laplace-transformatie [Baeten, SYST, Hoofdstuk 2] Inleiding Definitie Voorbeelden Eigenschappen De inverse Laplace-transformatie Laplace-transformatie bij analyse van continue systemen Transformatietabel Fourier-transformatie en -reeksontwikkeling [Baeten, SYST, Hoofdstuk 6] Fourier-transformatie Fourier-reeksontwikkeling
24 Inverse Laplace-transformatie () Berekening inverse Laplace-transformatie definitie: L {F (p)} = f(t) tie F (p) is voor de berekeningswijze: deel functie F(p) op in som van elementaire Laplace-getransformeerden en gebruik lineariteit L {c F (p)+c 2 G(p)} = c L {F (p)} + c 2 L {G(p)} = c f(t)+c 2 g(t) Laplace-getransformeerde = rationele functie van p F (p) = T (p) N(p) rationele functie opdelen in som van elementaire breuken = splitsing in partieelbreuken
25 Inverse Laplace-transformatie (2) Splitsing in partieelbreuken partieelbreuksplitsing voor enkelvoudige pool p i A i p p i met A i = lim p!pi (p p i )F (p). partieelbreuksplitsing voor r-voudige pool p i A (p p i ) r + A (p p i ) r + + A r p p i met A j = j! lim p!p j (berekening coëfficiënten A j : noemers elimineren en veeltermcoëfficiënten linker- en rechterlid gelijk stellen) partieelbreuksplitsing voor complex toegevoegde polen Bp + C (p a) 2 + b 2 Voorbeelden: zie cursustekst d j dp j [(p p i) r F (p)] a ± jb (berekening coëfficiënten B, C: coëfficiënten (co)sinusterm linker- en rechterlid gelijk stellen)
26 Les 2: Signaaltransformaties De Laplace-transformatie [Baeten, SYST, Hoofdstuk 2] Inleiding Definitie Voorbeelden Eigenschappen De inverse Laplace-transformatie Laplace-transformatie bij analyse van continue systemen Transformatietabel Fourier-transformatie en -reeksontwikkeling [Baeten, SYST, Hoofdstuk 6] Fourier-transformatie Fourier-reeksontwikkeling
27 Analyse van continue systemen Differentiaalvgl. algebraïsche vgl. differentiaalvergelijking: D y y(t) = D x x(t) D y = b n d n dt n + + b Laplace-transformatie: algebraïsche vergelijking: en D x = a n d n dt n + + a b n [p n Y (p) y()p n y ()p n 2 y n ()] +b n [p n Y (p) y()p n 2 y ()p n 3 y n 2 ()] + + b [py (p) y()] + b Y (p) = a n [p n X(p) x()p n x ()p n 2 x n ()] +a n [p n X(p) x()p n x ()p n 2 x n 2 ()] + + a [px(p) x()] + a X(p). Y (p) =H(p)X(p)+E(p) met H(p) = a np n + a n p n + + a b n p n + b n p n + + b
28 Les 2: Signaaltransformaties De Laplace-transformatie [Baeten, SYST, Hoofdstuk 2] Inleiding Definitie Voorbeelden Eigenschappen De inverse Laplace-transformatie Laplace-transformatie bij analyse van continue systemen Transformatietabel Fourier-transformatie en -reeksontwikkeling [Baeten, SYST, Hoofdstuk 6] Fourier-transformatie Fourier-reeksontwikkeling
29 Transformatietabel Theorie f(t) (grafisch) f(t) (formule) F(p). δ(t) 2. f(t) δ(t nt) e ntp 3. u(t) p f(t) 4. tu(t) 5. f(t) f(t) f(t) nt tijd tijd tijd tijd tijd p 2 2 t2 u(t) p 3 f(t) 6. t n u(t) n! tijd p n+ f(t) 7. e at u(t) p + a tijd 8. f(t) te at u(t) (p + a) 2 tijd 9. f(t) (grafisch) f(t) (formule) F(p) f(t) 2 t2 e at u(t) (p + a) 3. f(t) t n e at u(t) n! (p + a) n+ f(t) tijd tijd tijd. ( e at )u(t) tijd a p(p + a) f(t) 2. sin (ωt)u(t) ω tijd p 2 + ω 2 f(t) 3. cos (ωt)u(t) tijd p p 2 + ω 2 f(t) 4. e at sin (ωt)u(t) ω tijd (p + a) 2 + ω 2 5. f(t) e at cos (ωt)u(t) p + a (p + a) 2 + ω 2 tijd
30 Les 2: Signaaltransformaties De Laplace-transformatie [Baeten, SYST, Hoofdstuk 2] Inleiding Definitie Voorbeelden Eigenschappen De inverse Laplace-transformatie Laplace-transformatie bij analyse van continue systemen Transformatietabel Fourier-transformatie en -reeksontwikkeling [Baeten, SYST, Hoofdstuk 6] Fourier-transformatie Fourier-reeksontwikkeling
31 Fourier-transformatie () Z Definitie Fourier-getransformeerde van signaal f(t) F (!) =z{f(t)} = Z f(t)e j!t dt. =<(!)+j=(!) =A(!)e j'(!) ω = frequentievariabele geeft inzicht in frequentie-inhoud van signalen en frequentie-gedrag van systemen tweezijdige transformatie verband met Laplace-transformatie (voor causale signalen): F (!) =F (p) p=j!
32 Fourier-transformatie (2) Inverse definitie: f(t) =z {F (!)} = 2 berekeningswijze: partieelbreuksplitsing lineariteit transformatietabel Lineariteit: Z F (!)e j!t d!. z {a.f (t)+b.g (t)} = a.z {f (t)} + b.z {g (t)}
33 Fourier-transformatie (3) Voorbeeld : Dirac-puls berekening: Z z{ (t)} = (t)e j!t dt = = Z + Z + (t)e j! dt (t)dt = besluit: Dirac-puls bevat alle frequenties met amplitude ( vlak frequentiespectrum)
34 Fourier-transformatie (4) Voorbeeld 2: Stap definitie stap: 8 < E(t) = 8 < :, voor t> /2, : voor t =, voor t< berekening: z{e(t)} = Z E(t)e j!t dt = Z e j!t dt = e j!t j! = [ j! ]= j! besluit: stap bevat alle frequenties met afnemende amplitude
35 Fourier-transformatie (5) Voorbeeld 3: Exponentiële functie definitie exponentiële functie: f(t) = 8 < : 8 e at <, voor t> /2, voor t = :, voor t< berekening: Z z{f(t)} = Z Z f(t)e j!t dt = Z e (a j!)t dt = e(a j!)t a j! = [ a j! ]= j! a
36 Fourier-transformatie (6) Puls Voorbeeld 4: Puls definitie pulsfunctie: 8 < A, 8 voor t <a < f(t) = A/2, voor t = a :, : voor t >a berekening: z{f(t)} = Z a a Ae ( j!)t j!)t e( dt = A j! a a = A e( j!)a e (j!)a j! besluit: spectrum puls = sinc-functie = 2A sin(!a).! Amplitude Amplitude Tijd [s] Fourier-getransformeerde Pulsatie [r/s]
37 Les 2: Signaaltransformaties De Laplace-transformatie [Baeten, SYST, Hoofdstuk 2] Inleiding Definitie Voorbeelden Eigenschappen De inverse Laplace-transformatie Laplace-transformatie bij analyse van continue systemen Transformatietabel Fourier-transformatie en -reeksontwikkeling [Baeten, SYST, Hoofdstuk 6] Fourier-transformatie Fourier-reeksontwikkeling
38 Fourier-reeksontwikkeling () Definitie Fourier-reeksontwikkeling Z geeft frequentie-inhoud periodische signalen (Fouriertransformatie = onbepaald) Z coëfficiënten Fourier-reeks worden berekend uit periode T a k = 2 T ZT/2 T/2 f(t) cos(k! t)dt b k = 2 XT ZT/2 T/2 f(t) sin(k! t)dt voor k =, 2, 3,... Fourier-reeks: f(t) = a 2 + X [a k cos(k! t)+b k sin(k! t)]. Fourier-som: k= f n (t) = a nx 2 + [a k cos(k! t)+b k sin(k! t)] k=! =2 /T
39 Z Fourier-reeksontwikkeling (2) Afleiding zie cursustekst belangrijke eigenschap: integraal over periode van product van verschillende sinussen en cosinussen = ZT/2 cos(k! t) sin(l! t)dt = voor k, l =, 2,... T/2.8.8 Amplitude Amplitude vb. cos(2 t) sin(2 t) Tijd [sec] Tijd [sec]
40 Z Fourier-reeksontwikkeling (3) Afleiding zie cursustekst belangrijke eigenschap: integraal over periode van product van verschillende sinussen en cosinussen = ZT/2 T/2 cos(k! t) sin(l! t)dt = voor k, l =, 2,... Amplitude Amplitude vb. cos(2 t) sin(4 t) Tijd [sec] Tijd [sec]
41 Z Fourier-reeksontwikkeling (4) Afleiding zie cursustekst belangrijke eigenschap: integraal over periode van product van verschillende sinussen en cosinussen = ZT/2 T/2 cos(k! t) sin(l! t)dt = voor k, l =, 2, Amplitude Amplitude vb. cos(2 t) cos(4 t) Tijd [sec] Tijd [sec]
42 Z Z Fourier-reeksontwikkeling (5) Voorbeeld : Blokgolf definitie blokgolf (met periode ):, voor <t</2 Stel f(t) =, voor /2 <t< Fourier-reekscoëfficiënten (bereken zelf!): a =, a,2,3,... =, b 2,4,6,... =, b = 2, b 3 = 2 3, b 5 = 2 5,... besluit: blokgolf (oneven functie) is som van DC-component en oneindig veel sinus-functies
43 Fourier-reeksontwikkeling (6) Voorbeeld : Blokgolf Fourier-sommen blokgolf (n =, 3, 5) Amplitdue.5 Amplitdue Tijd [sec] Tijd [sec] Amplitdue.5 Amplitdue Tijd [sec] Tijd [sec]
44 Fourier-reeksontwikkeling (7) Voorbeeld 2: Zaagtand definitie zaagtand (met periode ): f(t) =t, voor <t< Fourier-reekscoëfficiënten (bereken zelf!): a =, a,2,3,... =, b =, b 2 = 2, b 3 = 3,... besluit: zaagtand (oneven functie) is verschil van DCcomponent en oneindig veel sinus-functies
45 Fourier-reeksontwikkeling (8) Voorbeeld 2: Zaagtand Fourier-sommen zaagtand (n =, 2, 3, 4).5.5 Amplitdue.5 Amplitdue Tijd [sec] Tijd [sec].5.5 Amplitdue.5 Amplitdue Tijd [sec] Tijd [sec]
46 Fourier-reeksontwikkeling (9) Voorbeeld 3: Driehoek definitie driehoek (met periode 2): 2t, voor <t< f(t) = 2t +, voor <t< Fourier-reekscoëfficiënten (bereken zelf!): b,2,3,... =, a,2,4,... =, a = 8 2, a 3 = 8 (3 ) 2, a 5 = 8 (5 ) 2,... besluit: zaagtand (even functie) is som van DC-component en oneindig veel cosinus-functies Fourier-sommen driehoek (n = 3, 5).5.5 Amplitdue.5 Amplitdue Tijd [sec] Tijd [sec]
47 Fourier-reeksontwikkeling () Beschouwingen Fourier-reeksontwikkeling over het algemeen neemt bijdrage van hogere harmonischen in Fourier-reeks af: Fourier-som is dan goede benadering voor even functies zijn sinus-coëfficiënten gelijk aan, voor oneven functies zijn cosinus-coëfficiënten gelijk aan willekeurig signaal kan worden ontbonden in som van even en oneven functie: even functie = som van cosinussen (+ DC-component) oneven functie = som van sinussen
Regeltechniek. Les 6: Het wortellijnendiagram. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
Regeltechniek Les 6: Het wortellijnendiagram Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Regeltechniek: Vakinhoud
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en egeltechniek Les 5: Het wortellijnendiagram Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit ndustriële ngenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en egeltechniek:
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 2: De regelkring Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en Regeltechniek:
Nadere informatieDe Laplace-transformatie
De Laplace-transformatie De Laplace-transformatie is een instrument dat functies omzet in andere functies. Deze omzetting, de transformatie, heeft nette wiskundige eigenschappen. Zowel in de kansrekening
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 4: De regelkring Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en Regeltechniek:
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 11: Niet-lineaire regeltechniek en aan-uit regelaars Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven,
Nadere informatieopgave 1. (2 pt) kies het juiste antwoord; motiveer kort je antwoord s b) de overdrachtsfunctie van een systeem is H( s) =
ECHNISCHE UNIVERSIEI EINDHOVEN FAC. BIOMEDISCHE ECHNOLOGIE Schriftelijk tentamen Signaal en Systeemanalyse (8E8) gehouden op maandag 3 oktober van 9:-: (4 opgaven) - Je mag bij dit tentamen gebruik maken
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 7: De klassieke regelaars Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Meet- en Regeltechniek:
Nadere informatieFourier transformatie
Les 8 Fourier transformatie 8.1 Periodieke functies met perioden verschillend van In de vorige les hebben we naar de Fourier reeksen voor periodieke functies met periode gekeken. De reden hiervoor was,
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/42 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Laplace transformatie éénzijdige Laplace-transformatie:
Nadere informatieTRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER
TRILLINGEN EN GOLVEN HANDOUT FOURIER Cursusjaar 2009 / 2010 2 Inhoudsopgave 1 FOURIERANALYSE 5 1.1 INLEIDING............................... 5 1.2 FOURIERREEKSEN.......................... 5 1.3 CONSEQUENTIES
Nadere informatieSamenvatting Systeem & Signaal Analyse
Samenvatting Systeem & Signaal Analyse Wieland Wuyts AJ 2008-2009 Inhoud H1. Signalen en Systemen... 4 De correlatiefunctie... 4 H2. Lineaire Systemen: het toestandsmodel... 5 Discrete stap systemen...
Nadere informatieFourier transformatie
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 7/8 Les 8 Fourier transformatie 8.1 Periodieke functies met perioden verschillend van In de vorige les hebben we naar de Fourier reeksen voor periodieke functies
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking Proeftentamen 3 Functies van één veranderlijke (15126 De uitwerkingen van de opgaven dienen duidelijk geformuleerd en overzichtelijk
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 9: Systeemidentificatie en regelaarsinstelling Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium
Nadere informatieExamen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 2014)
Examen Analyse 2 : Theorie (zonder Maple). (7 januari 204). Maclaurin reeksen. Geef met bewijs de Maclaurin reeksontwikkeling van de logaritmische functie ln( + x). Geef ook het convergentie-interval van
Nadere informatie168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN
168 HOOFDSTUK 5. REEKSONTWIKKELINGEN 5.7 Vraagstukken Vraagstuk 5.7.1 Beschouw de differentiaalvergelijking d2 y d 2 = 2 y. (i) Schrijf y = a k k. Geef een recurrente betrekking voor de coëfficienten a
Nadere informatieHoofdstuk 3 Het wortellijnendiagram
Hoofdstuk 3 Het wortellijnendiagram 3. nleiding Het transiënt gedrag van een systeem wordt bepaald door de ligging van de wortels van de karakteristieke vergelijking (of door de polen van het gesloten
Nadere informatieWISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C
WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS deel 2 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC 5 E R V I C Inhoud 1 Lineaire algebra 1 1.1 Vectoren I 1.2 Matrices 4 1.2.1 Een inleidend voorbeeld 4 1.2.2 Definitie
Nadere informatieDIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN
DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN Stefaan Poedts Centrum voor mathematische Plasma-Astrofysica, KU Leuven Stefaan Poedts DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 1 Hoofdstuk 7 : Lineaire integraaltransformaties - Definities
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 201100109 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Complexe getallen z D a C bi We definiëren de complex
Nadere informatieTECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (2Y490) op 15 augustus 2003
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Uitwerking van het tentamen Inleiding Signalen (Y49) op 5 augustus 3 VGF: Bij de vraagstukken zullen ook Veel Gemaakte Fouten (VGF) worden
Nadere informatieSysteem 2 wordt beschreven door de differentiaalvergelijking y y x
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FAC. BIOMEDISCHE TECHNOLOGIE Schriftelijk tentamen Signaal en Systeemanalyse (8E080) gehouden op maandag 3 oktober 0 van 4:00-7:00 (4 opgaven) - Je mag bij dit tentamen
Nadere informatie. Maak zelf een ruwe schets van f met A = 2, ω = 6π en ϕ = π 6. De som van twee trigonometrische polynomen is weer een trigonometrisch polynoom
8. Fouriertheorie Periodieke functies. Veel verschijnselen en processen hebben een periodiek karakter. Na een zekere tijd, de periode, komt hetzelfde patroon terug. Denk maar aan draaiende of heen en weer
Nadere informatieDoe de noodzakelijke berekeningen met de hand; gebruik Maple ter controle.
De n-de term van de numerieke rij (t n ) (met n = 0,, 2,...) is het rekenkundig gemiddelde van zijn twee voorgangers. (a) Bepaal het Z-beeld F van deze numerieke rij en het bijhorende convergentiegebied.
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen Partiële differentiaalvergelijkingen zijn vergelijkingen waarin een onbekende functie van twee of meer variabelen en z n partiële afgeleide(n)
Nadere informatie1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1
1. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? (a) X ỹ (b) x Y 2π (c) 2π X ỹ (d) X y Vanwege Volgt er Of dus antwoord (1a). x X 2π x f g 1 2π F G x Y X ỹ 2. 4 personen lenen eenzelfde bedrag
Nadere informatie2 de Bachelor IR 2 de Bachelor Fysica
de Bachelor IR de Bachelor Fysica 6 augustus 05 Er worden 4 vragen gesteld. Vul op ieder blad je naam in. Motiveer of bewijs iedere uitspraak. Los alle vragen op, op een apart blad! Het examen duurt u30.
Nadere informatie= a x(au)y(at au)du. = a(ts a x TS a y) 2. Gegeven x Y, waaraan is de fouriergetransformeerde gelijk? f g 1
1. TS a (x y is gelijk aan (a a(x TS a (y (b x TS a(y a (c TS a x TS a y (d a(ts a x TS a y Het gevraagde uitwerken levert TS a (x y = x(τy(at τdτ = a x(auy(at audu = a(ts a x TS a y. Gegeven x Y, waaraan
Nadere informatieOverzicht Fourier-theorie
B Overzicht Fourier-theorie In dit hoofdstuk geven we een overzicht van de belangrijkste resultaten van de Fourier-theorie. Dit kan als steun dienen ter voorbereiding op het tentamen. Fourier-reeksen van
Nadere informatieRegeltechniek. Les 1: Inleiding en modelvorming. Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot
Regeltechniek Les 1: Inleiding en modelvorming Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Onderzoeksafdeling STADIUS
Nadere informatiePrimitieve functie Als f : R --> R continu is op een interval, dan noemt men F : R --> R een primiteive functie of
Enkelvoudige integralen Kernbegrippen Onbepaalde integralen Van onbepaalde naar bepaalde integraal Bepaalde integralen Integratiemethoden Standaardintegralen Integratie door splitsing Integratie door substitutie
Nadere informatieKatholieke Hogeschool Limburg
Katholieke Hogeschool Limburg Departement Industriële Wetenschappen en Technologie Systeemtheorie SYST Johan Baeten Cursus gedoceerd aan e Academische Bachelor Elektromechanica e Academische Bachelor Elektronica
Nadere informatie2. Hoelang moet de tweede faze duren om de hoeveelheid zout in de tank op het einde van de eerste faze, op de helft terug te brengen?
Vraag Een vloeistoftank met onbeperkte capaciteit, bevat aanvankelijk V liter zuiver water. Tijdens de eerste faze stroomt water, dat zout bevat met een concentratie van k kilogram per liter, de tank binnen
Nadere informatieBespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd)
Bespreking van het examen Complexe Analyse (tweede zittijd) Bekijk ook de bespreking van het examen van de eerste zittijd (op Toledo). Het valt hier op dat de scores op sommige vragen wel heel slecht zijn.
Nadere informatieStelsels differentiaalvergelijkingen
Stelsels differentiaalvergelijkingen Stelsels homogene differentiaalvergelijkingen We bekijken in deze paragraaf stelsels homogene differentiaalvergelijkingen: x (t x (t x (t x (t x n(t A Voorbeeld x +
Nadere informatieFuncties van één veranderlijke
Functies van één veranderlijke 952600 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /29 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.1, donderdag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 21 april, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 32 Outline 1 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie
Nadere informatieEXAMENFOLDER maandag 26 januari 2015 OPLOSSINGEN. Vraag 1: Een gelijkstroomnetwerk (20 minuten - 2 punten)
Universiteit Gent naam: Faculteit Ingenieurswetenschappen en Architectuur voornaam: de Bachelor Ingenieurswetenschappen richting: Opties C,, TN en W prof. Kristiaan Neyts Academiejaar 4-5 erste xamenperiode
Nadere informatieDifferentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft
Differentiaalvergelijkingen Technische Universiteit Delft Roelof Koekoek WbMT2048 Roelof Koekoek (TU Delft) Differentiaalvergelijkingen WbMT2048 1 / 1 Het vinden van een particuliere oplossing Voor een
Nadere informatieNetwerkanalyse, Vak code Toets 2
Netwerkanalyse, Vak code 11005 Toets Datum : Vrijdag 30 januari 009 Plaats : Spiegel Tijd : 9:00h - 1:00h Algemeen Denk eraan je naam op ieder blad in te vullen! Voorzie, indien van toepassing, je uitwerking
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D. Datum: Donderdag 8 juli 4. Tijd: 14. 17. uur. Plaats: MA 1.44/1.46 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf je
Nadere informatieVOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN
VOORBLAD SCHRIFTELIJKE TOETSEN OPLEIDING : MECHATRONICA TOETSCODE : UITWERKINGEN MECH5-T GROEP : MEH2 TOETSDATUM : 4 APRIL 206 TIJD : :00 2:30 AANTAL PAGINA S (incl. voorblad) : 9 DEZE TOETS BESTAAT UIT
Nadere informatie1. Gegeven een Lineair Stationair Systeem in continue-tijd. Als aan het systeem het ingangssignaal
. Gegeven een Lineair Stationair Systeem in continue-tijd. Als aan het systeem het ingangssignaal { 0 t u(t) = 0 elders aangelegd wordt, dan is het corresponderende uitgangssignaal t 0 t y(t) = 2 t t 2
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x k+1 x k x k+1
Les Talor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatieDigitale systemen. Hoofdstuk 6. 6.1 De digitale regelaar
Hoofdstuk 6 Digitale systemen Doelstellingen 1. Weten dat digitale systemen andere stabiliteitsvoorwaarden hebben In deze tijd van digitalisatie is het gebruik van computers in regelkringen alom.denk maar
Nadere informatiex 1 (t) = ve rt = (a + ib) e (λ+iµ)t = (a + ib) e λt (cos µt + i sin µt) x 2 (t) = ve rt = e λt (a cos µt b sin µt) ie λt (a sin µt + b cos µt).
76 Complexe eigenwaarden Ook dit hebben we reeds gezien bij Lineaire Algebra Zie: Lay, 57 Als xt ve rt een oplossing is van de homogene differentiaalvergelijking x t Axt, dan moet r een eigenwaarde van
Nadere informatieExamen G0O17E Wiskunde II (3sp) maandag 10 juni 2013, 8:30-11:30 uur. Bachelor Geografie en Bachelor Informatica
Examen GO7E Wiskunde II (3sp maandag juni 3, 8:3-:3 uur Bachelor Geografie en Bachelor Informatica Auditorium De Molen: A D Auditorium MTM3: E-Se Auditorium MTM39: Sh-Z Naam: Studierichting: Naam assistent:
Nadere informatieAntwoorden. 1. Rekenen met complexe getallen
1. Rekenen met complexe getallen 1.1 a. 9 b. 9 c. 16 d. i e. 1 1. a. 1 b. 3 c. 1 d. 4 3 e. 3 4 1.3 a. 3 i b. 3 i c. i d. 5 i e. 15 i 1.4 a. 33 i b. 7 i c. 4 3 i d. 3 5 i e. 5 3 i 1.5 a. 1 ± i b. ± i c.
Nadere informatiecollege 6: limieten en l Hôpital
126 college 6: ieten en l Hôpital In dit college herhalen we enkele belangrijke definities van ieten, en geven we belangrijke technieken om ieten van functies (eigenlijk en oneigenlijk) te bepalen. In
Nadere informatieHOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse
HOOFDSTUK 3: Netwerkanalyse 1. Netwerkanalyse situering analyseren van het netwerk = achterhalen van werking, gegeven de opbouw 2 methoden manuele methode = reductie tot Thévenin- of Norton-circuit zeer
Nadere informatieHet vinden van een particuliere oplossing
Het vind van e particuliere oplossing Voor e lineaire differtiaalvergelijking met constante (reële) coëfficiënt a 0 y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) +... + a n 1 y (t) + a n y(t) = g(t), a 0 0 (1) geldt, dat
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Hertentamen 23 december 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Hertentamen 3 december 04 Normering voor 4 pt vragen andere vragen naar rato: 4pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieLineaire dv van orde 2 met constante coefficienten
Lineaire dv van orde 2 met constante coefficienten Homogene vergelijkingen We bekijken eerst homogene vergelijkingen van orde twee met constante coefficienten, d.w.z. dv s van de vorm a 0 y + a 1 y + a
Nadere informatieHoofdstuk 6: De Laplace transformatie
Hoofdtuk 6: De Laplace tranformatie 6.. Definitie. Een integraaltranformatie i een relatie van de vorm F () = β α K(, t)f(t) dt, die een functie f(t) omzet naar een andere functie F (). De functie K(,
Nadere informatieOefeningen Wiskundige Analyse I
Oneigenlijke integralen Oefeningen Wiskundige Analyse I. Voor welke waarden van de reële parameters α en β is de oneigenlijke integraal x α ( + x β ) dx convergent? divergent? 2. Voor welke waarden van
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft. ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW2030 Vrijdag 30 januari 2015,
Technische Universiteit Delft Faculteit EWI ANTWOORDEN van Tentamen Gewone differentiaalvergelijkingen, TW23 Vrijdag 3 januari 25, 4.-7. Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven. Alle antwoorden dienen beargumenteerd
Nadere informatie13.0 Voorkennis. Deze functie bestaat niet bij een x van 2. Invullen van x = 2 geeft een deling door 0.
Gegeven is de functie.0 Voorkennis Deze functie bestaat niet bij een van. Invullen van = geeft een deling door 0. De functie g() = heeft als domein R en is een ononderbroken kromme. Deze functie is continu
Nadere informatieFaculteit Industriële Ingenieurswetenschappen KU Leuven - UHasselt
Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen KU Leuven - UHasselt Digitale, Niet-lineaire en Fuzzy Regeltechniek 2644 REG2 Deel : Digitale Regeltechniek dr ir Johan Baeten Cursus gedoceerd aan 3e bachelor
Nadere informatieInleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056
Inleiding Wiskundige Systeemtheorie 156056 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl 1/28 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Evenwichtspunt.x 0 ; y 0 ; u 0 / heet een evenwichtspunt
Nadere informatieLineaire Algebra voor W 2Y650
Lineaire Algebra voor W 2Y65 Docent: L Habets HG 89, Tel: 4-247423, Email: lcgjmhabets@tuenl http://wwwwintuenl/wsk/onderwijs/2y65 1 Herhaling: bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren (1) Bepaal het
Nadere informatieWiskunde: Voortgezette Analyse
de Bach. IR Wet.: Architectuur Academiejaar 0-04 ste zittijd, januari 04 Wiskunde: Voortgezette Analyse. Gegeven is de reeks n x (x + ) n+ Toon aan dat de reeks puntsgewijs convergeert over R. Toon aan
Nadere informatieDEC SDR DSP project 2017 (2)
DEC SDR DSP project 2017 (2) Inhoud: DSP software en rekenen Effect van type getallen (integer, float) Fundamenten onder DSP Lezen van eenvoudige DSP formules x[n] Lineariteit ( x functie y dus k maal
Nadere informatieK.0 Voorkennis. Herhaling rekenregels voor differentiëren:
K.0 Voorkennis Herhaling rekenregels voor differentiëren: f ( ) a f '( ) 0 n f ( ) a f '( ) na n f ( ) c g( ) f '( ) c g'( ) f ( ) g( ) h( ) f '( ) g'( ) h'( ) ( som regel) p( ) f ( ) g( ) p'( ) f '( )
Nadere informatieLabo Digitale Signaalverwerking Fourrier Sound Synthese. Dumon Willem & Van Haute Tom - 4elictI1
Labo Digitale Signaalverwerking Fourrier Sound Synthese Dumon Willem & Van Haute Tom - 4elictI1 1 december 009 Inhoudsopgave 1 Inleiding......................................... 3 Wiskundige Analyse..................................
Nadere informatieWiskundige Technieken 1 Uitwerkingen Tentamen 3 november 2014
Wiskundige Technieken Uitwerkingen Tentamen 3 november 0 Normering voor pt vragen andere vragen naar rato): pt 3pt pt pt 0pt goed begrepen én goed uitgevoerd, eventueel met enkele onbelangrijke rekenfoutjes
Nadere informatieSpeciale functies. 2.1 Exponentiële functie en natuurlijke logaritme
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 006 Les Speciale functies We ebben in de vorige les een aantal elementaire functies bekeken en iervoor gezien oe we deze functies kunnen afleiden. In wezen waren
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Katholieke Universiteit Leuven Groep Wetenschap & Technologie. September 2008
Katholieke Universiteit Leuven September 2008 Limieten en asymptoten van rationale functies (versie juli 2008) Rationale functies. Inleiding Functies als f : 5 5, f 2 : 2 3 + 2 f 3 : 32 + 7 4 en f 4 :
Nadere informatieDEC DSP SDR 5 Dicrete Fourier Transform
DEC DSP SDR 5 Dicrete Fourier Transform Familie van Fourier transformaties Fourier Transform Fourier Series Discrete Time Fourier Transform Discrete Fourier Transform Berekening van een frequentie spectrum
Nadere informatieWavelets Een Introductie
Wavelets Een Introductie Joachim Taelman Katholieke Universiteit Leuven Faculteit ingenieurswetenschappen, Departement elektrotechniek ESAT-SCD (SISTA) Faculteit beweging en revalidatie, Departement biomedische
Nadere informatieZomercursus Wiskunde. Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011)
Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 10 De afgeleide functie: Rekenregels en Toepassingen (versie 22 augustus 2011) Inhoudsopgave 1 Definitie Betekenis van de afgeleide 1 2 Standaardafgeleiden
Nadere informatie3 Opgaven bij Hoofdstuk 3
3 Opgaven bij Hoofdstuk 3 Opgave 3. Voor k beschouwen we de functie f k : x sin(x/k). Toon aan dat f k 0 uniform op [ R, R] voor iedere R > 0. Opgave 3.2 Zij V een verzameling. Een functie f : V C heet
Nadere informatieUNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
UNIVERSITEIT TWENTE Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Uitwerking tentamen Functies van één veranderlijke (5260) op dinsdag 6 januari 2009, 9.00 2.00 uur. De uitwerkingen van de opgaven
Nadere informatieReëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken
Reëelwaardige functies van één of meer reële veranderlijken Functie en scalaire functie Relatie van A naar B A B = {(, ) A & B} Een relatie van A naar B is functie als verschillende beelden zelfde origineel
Nadere informatieTENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN
TENTAMEN WISKUNDIGE BEELDVERWERKINGSTECHNIEKEN Vakcode: 8D020. Datum: Vrijdag 26 maart 2004. Tijd: 14.00 17.00 uur. Plaats: MA 1.41 Lees dit vóórdat je begint! Maak iedere opgave op een apart vel. Schrijf
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 1: Inleiding en modelvorming Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Onderzoeksafdeling
Nadere informatieTentamen Functies en Reeksen
Tentamen Functies en Reeksen 6 november 204, 3:30 6:30 uur Schrijf op ieder vel je naam en bovendien op het eerste vel je studentnummer, de naam van je practicumleider (Arjen Baarsma, KaYin Leung, Roy
Nadere informatieAanvullingen van de Wiskunde
3de Bachelor EIT - de Bachelor Fysica Academiejaar 014-015 1ste semester 7 januari 015 Aanvullingen van de Wiskunde 1. Gegeven is een lineaire partiële differentiaalvergelijking van orde 1: a 1 (x 1,,
Nadere informatieLineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen. 6 juni 2006
Lineaire Afbeelding Stelsels differentiaalvergelijkingen 6 juni 6 i ii Inhoudsopgave Stelsels differentiaalvergelijkingen Opgaven Stelsels differentiaalvergelijkingen In deze paragraaf passen we onze kennis
Nadere informatieHoofdstuk 10: Partiële differentiaalvergelijkingen en Fourierreeksen
Hoofdstuk : Partiële differtiaalvergelijking Fourierreeks Partiële differtiaalvergelijking zijn vergelijking waarin e onbekde functie van twee of meer variabel z n partiële afgeleide(n) voorkom. Dit in
Nadere informatieOpgaven Functies en Reeksen. E.P. van den Ban
Opgaven Functies en Reeksen E.P. van den Ban c Mathematisch Instituut Universiteit Utrecht Augustus 2014 1 Opgaven bij Hoofdstuk 1 Opgave 1.1 Zij f : R n R partieel differentieerbaar naar iedere variabele
Nadere informatieComplexe eigenwaarden
Complexe eigenwaarden Tot nu toe hebben we alleen reële getallen toegelaten als eigenwaarden van een matrix Het is echter vrij eenvoudig om de definitie uit te breiden tot de complexe getallen Een consequentie
Nadere informatieSignalen en Transformaties
Signalen en Transformaties 200009 Docent : Anton Stoorvogel E-mail: A.A.Stoorvogel@utwente.nl /48 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI Convolutie.f g/.t/ D Z f./g.t / d Goed gedefinieerd als f.t/
Nadere informatieCalculus I, 19/10/2015
Calculus I, 9/0/05. a Toon aan dat de rationale functie f = 3 + 3 + voor alle 0 bekomen wordt via volgende procedure: Start met een gelijkbenige rechthoekige driehoek OAB, met B het punt, 0 op de -as,
Nadere informatieMeet- en Regeltechniek
Meet- en Regeltechniek Les 1: Inleiding en modelvorming Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium Onderzoeksafdeling
Nadere informatieV: Identificatie en regelaarsinstelling
1 Identificatie - algemeen Om een proces te kunnen regelen of te kunnen simuleren is het nodig de transfertfunctie te kennen. Deze transfertfunctie kan exact worden berekend indien alle onderdelen met
Nadere informatieSamenvatting wiskunde B
Samenvatting wiskunde B Dit is een samenvatting van het tweede deel van Getal en Ruimte VWO wiskunde B. In deze samenvatting worden hoofdstuk 5, 6 en 7 behandeld. Ik hoop dat deze samenvatting je zal helpen!
Nadere informatieTechnische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 2601 Maandag 11 januari 2010, 9.00-12.00
Technische Universiteit Delft Uitwerking Tentamen Analyse 3, WI 6 Maandag januari, 9- Faculteit EWI Dit tentamen bestaat uit 6 opgaven Alle antwoorden dienen beargumenteerd te worden Normering: punten
Nadere informatieEnkele bedenkingen bij het examen Complexe Analyse
Enkele bedenkingen bij het examen Complexe Analyse De examenvragen vind je op het einde van dit documentje. Eerst een paar algemene opmerkingen. Vele antwoorden zijn slordig opgeschreven wat het lezen
Nadere informatieFourier analyse noemt men ook het Pythagoraeïsch komma. Om dit
Wiskunde voor kunstmatige intelligentie, 4 Les 4 Fourier analyse Veel gewone fenomenen hebben iets met golven te maken, zo is bijvoorbeeld geluid een golvende verandering van de luchtdruk en is licht een
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.3, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 2 mei, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 34 Outline 1 Conforme afbeeldingen 2 K. P. Hart TW2040:
Nadere informatieExamen Wiskundige Analyse I 1ste bach ir wet. dinsdag 5 januari Vraag 1.1. Waar of vals (1pt) Het beginvoorwaardenprobleem
Examen Wiskundige Analyse I ste bach ir wet dinsdag 5 januari 206 Vraag.. Waar of vals (pt) Het beginvoorwaardenprobleem 32x 3 y = (y ) 3, y() = 2, y () = 4 bezit een unieke oplossing, die geldig is in
Nadere informatieTW2040: Complexe Functietheorie
TW2040: Complexe Functietheorie week 4.9, maandag K. P. Hart Faculteit EWI TU Delft Delft, 13 juni, 2016 K. P. Hart TW2040: Complexe Functietheorie 1 / 41 Outline III.6 The Residue Theorem 1 III.6 The
Nadere informatieHertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 6 november 2015; uur
Hertentamen Calculus 1 voor MST, 4051CALC1Y vrijdag 6 november 2015; 9.00-12.00 uur Naam: (Leids) studentnummer: Een rekenmachine en het formuleblad bij deze cursus mogen gebruikt worden. Laat duidelijk
Nadere informatieOplossingen tentamen Systeemanalyse voor BMT (8E030) 26 januari 2007
Oplossingen tentamen Systeemanalyse voor BMT (8E3) 6 januari 7 Onderdelen die érg moeilijk bleken te zijn (< % juiste antwoord) zijn met een *) gemarkeerd. Hierbij wordt ook vermeld in welke oefenopgave(n)
Nadere informatieK.1 De substitutiemethode [1]
K. De substitutiemethode [] Voorbeeld : Differentieer de functie f() = ( + ) 5 Voor het differentiëren van deze functie gebruik je de kettingregel: Stap : Schrijf de functie f() als volgt: y = u 5 met
Nadere informatieHoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen
Hoofdstuk 3: Tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen De inhoud van hoofdstuk 3 zou grotendeels bekende stof moeten zijn. Deze stof is terug te vinden in Stewart, hoofdstuk 17. Daar staat alles
Nadere informatie(x x 1 ) + y 1. x x 1 x k x x x k 1
Les Taylor reeksen We hebben in Wiskunde een aantal belangrijke reële functies gezien, bijvoorbeeld de exponentiële functie exp(x) of de trigonometrische functies sin(x) en cos(x) Toen hebben we wel eigenschappen
Nadere informatienoemt men ook het Pythagoraeïsch komma.
Les 7 Fourier analyse Veel gewone fenomenen hebben iets met golven te maken, zo is bijvoorbeeld geluid een golvende verandering van de luchtdruk en is licht een elektromagnetische golf. Als we nu eens
Nadere informatieLaplace vs. tijd. netwerk. Laplace. getransformeerd. netwerk. laplace. laplace getransformeerd. getransformeerd. ingangssignaal.
Laplace vs. tijd x() t ingangssignaal netwerk y() t uitgangssignaal () x t laplace getransformeerd ingangssignaal X () s Laplace getransformeerd netwerk H () s - Y() s laplace getransformeerd uitgangssignaal
Nadere informatie