WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS LOTHAR PAPULA. deel 2. 2e druk ACADEMIC 5 E R V I C

Transcriptie

1 WISKUNDE VOOR HET HOGER TECHNISCH OIMDERWUS deel 2 LOTHAR PAPULA 2e druk > ACADEMIC 5 E R V I C

2 Inhoud 1 Lineaire algebra Vectoren I 1.2 Matrices Een inleidend voorbeeld Definitie van een (regie) matrix De getransponeerde van een matrix Speciale Vierkante matrices Gelijkheid van matrices Rekenkundige bewerkingen met matrices Determinanten Een inleidend voorbeeld Determinanten met twee rijen Determinanten met drie rijen Determinanten van een hogere orde Aanvullende begrippen Reguliere matrix Inverse matrix Orthogonale matrix De rang van een matrix Stelsels van lineaire vergelijkingen Algemeen Het algoritme van Gauss Het oplossen van een lineair (w, «)-stelsel Het oplossen van een vierkant stelsel van lineaire vergelijkingen Berekening van een inverse matrix met het Gauss-algoritme (methode van Gauss-Jordan) Lineaire onafhankelijkheid van vectoren Toepassingsvoorbeeld: berekening van een elektrisch netwerk Complexe matrices Een inleidend voorbeeld Definitie van een complexe matrix Rekenkundige bewerkingen en rekenregels voor complexe matrices Complex geconjugeerde martix, geconjugeerd getransponeerde matrix Speciale complexe matrices Eigenwaarden en eigenvectoren van een vierkante matrix Een inleidend voorbeeld Eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix met twee rijen Eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix met n rijen Eigenwaarden en eigenvectoren van speciale matrices Toepassingsvoorbeeld: gekoppelde mechanische trillingen Opgaven 131

3 viii Inhoud 2 Fourierreeksen Fourierreeks van een periodieke functie Inleiding Ontwikkeling van een periodieke functie in een Fourierreeks Complexe vorm van de Fourierreeks Overgang van de complexe naar de reele vorm Toepassingen Fourierontbinding van een trilling (harmonische analyse) Overzicht van belangrijke Fourierreeksen Toepassingsvoorbeeld: Fourierontbinding van een zaagtandspanning Opgaven Differentiaal- en integraalrekening voor functies van meerdere variabelen Functies van meerdere variabelen en hun voorstelling Definitie van een functie van meerdere variabelen Voorstelling van een functie Limiet en continutteit van een functie Partieel differentieren Partiele afgeleiden van de eerste orde Partie'le afgeleiden van hogere orde Differentieren naar een parameter (algemene kettingregel) De totale differentiaal van een functie Toepassingen Meervoudige integralen Dubbelintegralen Drievoudige integralen Opgaven Gewone differentiaalvergelijkingen Basisbegrippen Een inleidend voorbeeld Definitie van een gewone differentiaalvergelijking Oplossingen van een differentiaalvergelijking Modelleren van fysisch-technische problemen met differentiaalvergelijkingen Begin-en randwaardeproblemen Differentiaalvergelijkingen van de eerste orde Meetkundige beschouwingen Scheiding van de variabelen van een differentiaalvergelijking Integratie van een differentiaalvergelijking door substitute Exacte differentiaalvergelijkingen Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde Lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde met constante coefficienten Voorbeelden van toepassingen Lineaire differentiaalvergelijkingen van de 2e orde met constante coefficienten Definitie van een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde met constante coefficienten 355

4 Inhoud ix Algemene eigenschappen van de homogene lineaire differentiaalvergelijking Integrate van de homogene lineaire differentiaalvergelijking Integratie van de niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking Toepassingen Mechanische trillingen Elektromagnetische trillingen Lineaire differentiaalvergelijkingen van de «-de orde met constante coefficienten Definitie van een lineaire differentiaalvergelijking van de «-de orde met constante coefficienten Integratie van de homogene lineaire differentiaalvergelijking Integratie van de niet-homogene lineaire differentiaalvergelijking Een eigenwaardeprobleem: bepaling van de knikbelasting Numerieke integratie van een differentiaalvergelijking Numerieke integratie van een differentiaalvergelijking van de eerste orde Numerieke integratie van een differentiaalvergelijking van de tweede orde volgens de 4e-orde-methode van Runge-Kutta van de vierde orde Stelseis lineaire differentiaalvergelijkingen Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen van de eerste orde met constante coefficienten Stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen van de 2e orde met constante coefficienten Opgaven Fouriertransformaties Basisbegrippen Inleiding Definitie van de Fouriergetransformeerde van een functie Inverse Fouriertransformatie Equivalente Fourierweergave in regle vorm Speciale Fouriertransformaties Fourier-cosinus-transformatie Fourier-sinus-transformatie Verband tussen de Fouriertransformaties F(co), Fc (co) en F,(a>) Belangrijke'hulpfuncties'in toepassingen Sprongfuncties Rechthoekimpulsen Deltafunctie van Dirac (impulsfunctie) Verband tussen de stapfunctie en de deltafunctie van Dirac Eigenschappen van de Fouriertransformatie (transformatiewetten) Lineariteitsstelling Gelijkvormigheidsstelling Verschuivingsstelling Dempingsstelling Afgeleidestelling(differentiatiestelling) 527

5 X Inhoud Inlegratiestelüng voor het origineel Convolutiestelling Symmetriestelling Verband tussen de rekenregels (transformatiestellingen) Fouriertransformatie van periodieke functies (sinus, cosinus) Terugtransformatie van het beelddomein naar het originele domein Algemene opmerkingen over de terugtransformatie Tabellen met speciale Fouriertransformaties Toepassingen van de Fouriertransformatie Integratie van een lineaire differentiaalvergelijking met constante coefficienten Voorbeelden uit natuurwetenschap en techniek Opgaven De Laplace-transformatie Basisbegrippen Een voorbeeld als inleiding Definitie van de Laplace-getransformeerde van een funetie De inverse Laplace-transformatie Eigenschappen van de Laplace-transformatie (transformatiestellingen) Lineariteitsstelling (stelling voor lineaire combinaties) Gelijkvormigheidsstelling Verschuivingsstellingen Dempingsstelling Algeleidenstellingen Integratiestellingen De convolutiestelling Randwaardestellingen Samenvatting van de rekenregels (transformatiestellingen) De Laplace-getransformeerde van een periodieke funetie De inverse transformatie van het s-domein naar het f-domein Algemene aanwijzingen voor de inverse transformatie Tabel van speciale Laplace-transformaties Toepassingen van de Laplace-transformatie Lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coefficienten Eenvoudige voorbeelden uit natuurkunde en techniek Opgaven 617 Register 625 Appendix A: oplossingen van tie opgaven Beschikbaar via A. 1 Lineaire algebra al A.2 Fourierreeksen al9 A.3 Differentiaal- en integraalrekening voor functies van meerdere variabelen a22 A.4 Gewone differentiaalvergelijkingen a37 A.5 Fouriertransformaties a66 A.6 De Laplace-transformatie a78