Systeem 2 wordt beschreven door de differentiaalvergelijking y y x

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FAC. BIOMEDISCHE TECHNOLOGIE Schriftelijk tentamen Signaal en Systeemanalyse (8E080) gehouden op maandag 3 oktober 0 van 4:00-7:00 (4 opgaven) - Je mag bij dit tentamen gebruik maken van het boek Signal & Systems van Girod et al - De opgaven worden nagekeken door verschillende correctoren. Daarom moet je bij elke nieuwe opgave op een nieuw uitslagenblad beginnen (dus niet alleen op een nieuwe pagina!). - Motiveer en beredeneer de antwoorden op de vragen. De argumentatie is vaak belangrijker dan de uitkomst! opgave. (max pt) We beschouwen twee LTI systemen. x (t) Systeem y (t) x (t) Systeem y (t) Systeem wordt beschreven door de differentiaalvergelijking y 5y 6y x x Systeem wordt beschreven door de differentiaalvergelijking y y x a) Wat is de orde van Systeem? e orde b) Wat is de orde van Systeem? e orde H H c) Wat is de overdrachtsfunctie H s s s 5s 6 s s 3 d) Wat is de overdrachtsfunctie H s s s s Y s in het Laplace-domein X Y in het Laplace-domein X Tentamen 8E080 9 oktober 0 p

2 e) teken het DF-II blokschema voor Systeem voor de coefficienten in hetblokschema geldt bij Systeem : a ; a 5; a 6; b 0; b ; b 0 0 Dan wordt het blokschema: x(t) y(t) -5 z -6 z f) teken het DF-II blokschema voor Systeem voor de coefficienten in het blokschema geldt bij Systeem : a ; a ; a 0; b 0 Dan wordt het blokschema: x(t) y(t) - z Tentamen 8E080 9 oktober 0 p

3 Beide systemen worden nu in serie geschakeld, dwz de input van systeem is de output van systeem : x(t) Systeem Systeem y(t) g) Wat is de overdrachtsfunctie H Laplace-domein Voor serieschakelingen geldt s H HH s s 3 ss 3 s s s 3 s 5s 6s h) Wat is de orde van het gehele systeem? derde orde i) teken het DF-II blokschema van het gehele systeem Uit H(s) blijken de coëfficiënten: a ; a 5; a 6; a 0; b 0; b 0; b 0; b Het blokschema wordt dan: x(t) z 0 Y s van het gehele systeem in het X s y(t) -5 z -6 z z 3 Tentamen 8E080 9 oktober 0 p 3

4 opgave. (max 3 punten) Deze opgave gaat over de situatie waarin een medicijn via een infuus direct in de bloedbaan wordt gebracht; het beoogde effect vindt plaats in het brein. Er wordt aangenomen dat binnen beide compartimenten (bloed en brein) de aanwezige hoeveelheid medicijn op elk tijdstip gelijkmatig verdeeld is. Er is echter ook sprake van uitwisseling van de stof van bloed naar brein en andersom; dit gaat niet onmiddellijk maar middels een tijdsafhankelijk proces. Daarnaast wordt het medicijn via de bloedbaan ook uitgescheiden en verdwijnt via deze weg uit het lichaam. Het begrip concentratie, de hoeveelheid stof per volume eenheid in bloed en brein, speelt bij dit alles een sleutelrol. Van belang zijn nu een aantal tijdfuncties: ) de hoeveelheid toegediend medicijn per tijdseenheid: x(t) ) de concentratie van het medicijn in het bloed (bloedwaarde): z (t) 3) de concentratie van het medicijn in het brein: z (t) 4) de hoeveelheid uitgescheiden medicijn: y(t) Schematisch wordt dit systeem in Fig. weergegeven: x(t) brain compartment k blood compartment k el y(t) z (t) k z (t) Fig. De coefficiënten k, k, k el zijn constanten die bepalen hoe snel het medicijn zich kan verspreiden van het ene compartiment naar het andere, resp. verdwijnt uit het bloed. De verandering in de bloedconcentratie per tijdseenheid wordt beschreven door: dz t z kz tkelz tkz t xt (.) dt uitstroom Eliminatie instroom instroom naar brein van brein via infuus De verandering in de breinconcentratie per tijdseenheid wordt gegeven door: dz t z k z t kz t (.) dt instroom van bloed uitstroom naar bloed De uitscheiding wordt gegeven door Tentamen 8E080 9 oktober 0 p 4

5 y t el k z t (.3) Vragen a) Wat is de orde van het systeem en wat zijn de toestandsvariabelen? e orde en twee toestandsvariabelen: z en z b) Stel het toestands (State-Space) model in vector-matrix vorm op. Algemeen geldt voor een e orde systeem: za A z B x Az Bx z A A z B z y C C Dx Cz Dx z uit (.) en (.) volgt - de x systeem matrix el A - de x input matrix B 0 uit (.3) volgt - de x output matrix 0 - de output scalar D 0 C k el Laat nu de Laplace getransformeerden k k k k k L L Tentamen 8E080 9 oktober 0 p 5 z t Z s L x t X s ; z t Z s L y t Y s c) Laat zien dat (.)-(.3) in het Laplace domein geschreven kunnen worden als s k k Z s k Z s X s (.4) el kz s kz 0 Y k Z (.5) (.6) el Differentiëren in het tijddomein is vermenigvuldigen met s in het Laplace-domein. Dan wordt (.)-(.3): sz s k k Z s k Z s X s el sz s k Z s k Z s Y s k Z s el Herschikken van de termen levert het gewenste resultaat.

6 Over het algemeen is men minder geïnteresseerd in de uitgescheiden hoeveelheid stof, y(t) maar in de concentraties van de stof in elk van de twee compartimenten. In de rest van deze opgave richten we ons op de bloedconcentratie z t. d) Gebruik (.4) en (.5) om te laten zien dat de overdracht Z s k H X s s k k k s k k uit (.5) volgt k Z Z s s k invullen in (.4) levert el el kk s k kel Z X s k de term tussen haken onder één noemer brengen levert s k kel s k kk Z X s k s k k kel s kk el Z X s k Z s s k H X s s k k k s k k el el (.7) Via het infuus wordt op t=0 kort één eenmalige dosis (een zgn bolus) K van een medicijn x t K t ; geïnjecteerd in de bloedbaan: e) Bepaal in deze situatie (dwz xt K t bloedconcentratie ) uit (.7) het verloop van de z t wanneer k ; k ; k el De overdracht is bij deze parameters gelijk aan: s s H s 5s 4 s 4 s Breuksplitsen levert A B H s4 s (.7e) (.7e) Tentamen 8E080 9 oktober 0 p 6

7 A en B kun je op twee manieren bepalen: i) met de residustelling : s A lims 4H lim s4 s4 s 3 s B lims H lim s ss 4 3 ii) (.7e) onder één noemer brengen en de teller van het resultaat gelijk stellen aan de teller van (.7e) A B As Bs 4 A Bs A 4B H s 4 s s 4 s s 4 s de teller moeten gelijk zijn aan s dus moet gelden A ; B A B A B A 4B 3B 3 3 Hs is dus 34 s De impulsrespons ht is de inverse Laplace getransformeerde van 3 x t K t leidt dus tot een respons 4t t tabel levert dan ht e e t Een dosis Hs. Opzoeken in de K 4t t z t e e t (e.) 3 Soms blijkt dat het gewenste effect na zo n eenmalige dosis niet voldoende is en wordt er na een bepaalde tijd t een tweede dosis toegediend; xt K t Kt t ; f) Bepaal in deze situatie (dwz xt K t Kt t de bloedconcentratie vanwege lineariteit is de respons en z t tgv x t K t t x t K t Uit (e.) volgt: K 4t t z t e e t 3 maar ook ) uit (.7) het verloop van z t wanneer k ; k ; k el z t de optelsom van de respons. Tentamen 8E080 9 oktober 0 p 7 z t tgv

8 4 tt tt K 4 t 4 t t t K z t e e t t e e e e t t 3 3 Door de stapfuncties moet je nou voor de totale respons z tonderscheid maken in drie periodes: - voor t 0is alles natuurlijk 0 K 4t t - voor 0 tt is z te e 3 - voor t t is K 4 K 4 t 4 t 4 t 4 t z t e e e e e e K Ke e K Ke e t t t t t t Tentamen 8E080 9 oktober 0 p 8

9 opgave 3. (max punten) Beschouw het volgende blokschema x(t) y(t) -4 Z -5 Z a) Bepaal van dit systeem de de differentiaalvergelijking (D.E.) en de overdrachtsfunctie H s Y s X s Twee integratoren dus een e orde systeem: algemene D.E.: a y a y a y b x b x b x 0 0 Uit het DF-II schema lezen we de coëffienten af: a0 ; a 4; a 5; b0 0; b ; b dus y 4y 5y x x in het s-domein is dit: Y s s s s 4s 5Y s X H X s s s s j s j 4 5 z b) Bepaal het toestandsmodel A,B,C,D bij de toestandsvector z. z Bedenk dat de input van elke integrator de eerste afgeleide is van de output. Dus is z 4z 5z x z z y z z dus is A ; B ; C ; D 0 Tentamen 8E080 9 oktober 0 p 9

10 c) Bepaal de polen en nulpunten van dit systeem. z ; p j ; p j d) Bepaal de impulsresponsie H s s s js j Breuksplitsen: Y h t d.w.z. de responsie op het signaal xt s A B s js js js j s j A lim j s js j j s j j B lim j s js j j j t. j j H s js j jt jt t jt t jt ht L H s j e j e je e je e t jt jt jt jt t jt jt jt jt e e je e je e e e j e e t t e cost sint e cost sint e) Bepaal de frequentie responsie H j en teken de Bode amplitude plot H j j j j j j j j j j H j 6 5 0log 0log 0log 6 5 j j 4 4 H j Tentamen 8E080 9 oktober 0 p 0

11 Bode amplitude plot: Merk op dat voor H j 0log H j 0 0log5 5 0log Tentamen 8E080 9 oktober 0 p

12 opgave 4. (max 3punten) 4. Complexe signalen xtkunnen op twee manieren worden beschreven: xtxrt jxit met xr t het reëel deel en xi thet imaginair deel van xt jargxt xt xt e met xt de amplitude en arg xt xi t arctan de fasehoek van xt xr t Bij de analyse van een gegeven signaal xtis de vraag telkens óf en zo ja onder welke voorwaarden voor de complexe frequentie s j de Laplace getransformeerde L x t bestaat. Er zijn voor een willekeurig signaal drie mogelijkheden: I: Lxt=X bestaat voor alle waarden van s II: Lxt=Xbestaat voor geen enkele waarde van s III: L x t =X s bestaat binnen een beperkt convergentiegebied Geef voor de onderstaande signalen aan welke van de drie mogelijkheden van toepassing is; als je kiest voor mogelijkheid III, geef dan het convergentiegebied aan. a. xt cost jsint t b. e voor t 0 x t e t voor t<0 t3 j4t t e t c. x d. 5 t x t e sint 3 3 e. t x t 3 t - t 3 t antw Deze vraag gaat feitelijk over het convergentiegebied van de gegeven functies. Het convergentiegebied is een gebied binnen het complexe s-vlak waarvoor de Laplacetransformatie bestaat. De ROC is een reep parallel aan de imaginaire as in het s- vlak. Dat betekent dat er alleen een criterium is voor het reëel deel van de complexe frequentie, s. Zie sectie uit het boek Een complexe tijdfunctie xt kan altijd worden geschreven als xrt jxit met xr t het reëele deel en t het imaginaire deel. Een andere manier om xt te schrijven is xr Tentamen 8E080 9 oktober 0 p

13 j t xt e met xt x t x t en t arg xt x t r cos i t xi t arctan x. r xi t x t sin t Omgekeerd is x t xt t en r Volgens de definitie van is de Laplace getransformeerde van xtgelijk aan st st t j t t jtt x t e dt x t e e dt x t e e dt x t e e dt j t j t t x t e t t j t t dt cos sin Nou is de term tussen rechte haken complex en voor zowel reëel als imaginair deel tussen - en fluctueert. Het antwoord op de vraag of de integraal convergeert wordt dus geheel t bepaald door hoe de term xt e zich gedraagt tussen en. Er zijn twee criteria waar aan voldaan moet worden: t ) xt e moet binnen het convergentiegebied begrensd (dwz er mogen geen singulariteiten in het s-vlak) zijn voor alle waarden van t t ) xt e moet convergeren naar 0 voor t en t a) II: L xt bestaat niet: zowel reëel deel als imaginair deel van xt zijn weliswaar begrensd maar convergeren niet naar 0 voor zowel t als t. b) III L 0 0 s t s t t st t st x t e e dt e e dt e dt e dt 0 0 De linker term convergeert als: Re{-s-}<0, of σ>-. De rechter term convergeert als: Re{-s}>0, of σ<. Dus de ROC is definiëerd als: -<σ<. c) III: L xt t t3 x t e e t bestaat voor een beperkt convergentiegebied; merk op dat 0 voor t 0 t3 e voor t 0. Tentamen 8E080 9 oktober 0 p 3

14 3 Voor blijft dit begrensd: voor t=0 is dit e en voor t gaat dit naar 0. ROC is dus het gebied gedefinieerd door. Merk op dat de imaginaire as niet bij de ROC hoort dus Fourier bestaat niet voor deze functie! d) II: L xt bestaat niet: xt xt convergeert niet voor t. Cruciaal is dat het signaal zelf hier niet begrensd is in de tijd (er zit geen start of eind aan) t 3 e t<- t t 3 - t<0 x t e te t 3 te 0 t< t 3 e t Voor 0 is dit onbegrensd voor t ; voor 0 is dit onbegrensd voor t. e) II: L xt bestaat niet: Blijft over de situatie voor 0 ; dan is x t e dit convergeert naar 0 voor t en t t 3 t<- 3 t - t<0 3 t 0 t< 3 t Tentamen 8E080 9 oktober 0 p 4