z-transformatie José Lagerberg November, 2018 Universiteit van Amsterdam José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

Transcriptie

1 z-transformatie José Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2018 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

2 1 z-transformatie Eigenfuncties van LTI systeem Definitie z-transformatie Fouriertransformatie z-transformatie Van n-domein naar z-domein Inverse z-transformatie 2 Overdrachtsfunctie H(z) Eigenschappen van z-transformatie Differentievergelijking overdrachtsfunctie H(z) Convolutie eigenschap van z-transformatie Vier representaties van filters Polen en nulpunten in z-vlak 1ste orde systeem 2de orde systeem Ontwerpen filter in z-vlak José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

3 Response LTI systemen op z n (z complex) LTI gegeven door h[n] x[n] h[n] y[n] x[n]=z n y[n]=? José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

4 Response LTI systemen op z n (z complex) H(z) is eigenwaarde bij eigenfunctie z n x[n] h[n] y[n]=(h x)[n] x[n]=z n y[n]=h(z)z n y[n]=(h x)[n]= h[k]x[n k]= h[k]z n k = k= k= z n h[k]z k =H(z)z n H(z) is overdrachtsfunctie k= José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

5 Response LTI systemen op lineaire combinatie H(z) is eigenwaarde bij eigenfunctie z n x[n] h[n] y[n]=h[n] x[n] x[n]=z n y[n]=h(z)z n x[n]= a k zk n k y[n]= a k H(z k )zk n k Als input lineaire combinatie van machten van z, dan output ook lineaire combinatie van machten van z met wegingsfactoren a k H(z k ) José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

6 Voorbeeld x[n]= k a k zk n y[n]= a k H(z k )zk n k x[n]=2( 1 4 )n +5(3) n en H(z)= z, y[n]? z 1 2 H( 1 4 )= H(3)= = 1 = 6 5 y[n]= 2( 1 4 )n +6(3) n José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

7 z-transformatie Definitie z-transformatie z-transformatie van x[n] is X(z)= n= x[n]z n Waarden waarvoor som convergeert bepalen convergentiegebied (Region Of Convergence, ROC) Fouriertransformatie z-transformatie tijddomein frequentiedomein x[n] X(Ω)= + n= x[n]e jωn z-domein X(z)= X(z) =X(Ω) z=e jω n= x[n]z n José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

8 Fouriertransformatie z-transformatie Gegeven x[n] Fouriertransformatie X(Ω)= x[n]e jωn n= z-transformatie X(z)= x[n]z n n= z =e jω Im e jω z-vlak Re José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

9 z-transformatie toegepast in de praktijk Discrete convolutie in tijddomein correspondeert met vermenigvuldiging in z-domein. (Ook eigenschap van Fouriertransformatie) Differentie vergelijking die verband geeft tussen input en output van LTI systeem wordt omgezet in algebraïsche vergelijking in z José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

10 Voorbeeld 1: van n-domein naar z-domein Definitie z-transformatie z-transformatie van x[n] is X(z)= x[n]z n n= Bepaal z-transform van unit-sample δ[n]: x[n]=δ[n] X(z)= δ[n]z n = δ[0]z 0 =1 n= Bepaal z-transform van unit-sample δ[n 1]: x[n 1]=δ[n 1] X(z)= δ[n 1]z n = δ[1]z 1 =z 1 n= z-transformatie paren δ[n] δ[n 1] Z 1 Z z 1 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

11 Voorbeeld 2: van n-domein naar z-domein Definitie z-transformatie z-transformatie van x[n] is X(z)= x[n] in n-domein x[n]z n n= (x[n]): beginnend bij n=0 z-transformatie X(z) X(z)=2+3z 1 +5z 2 +3z 3 +z 4 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

12 Voorbeeld 3: van n-domein naar z-domein Definitie z-transformatie z-transformatie van x[n] is X(z)= x[n] in n-domein x[n]z n n= (x[n]): beginnend bij n=0 z-transformatie X(z) X(z)=1+0.8z z z z = 1+(0.8z 1 )+(0.8z 1 ) 2 +(0.8z 1 ) = z 1 = z z 0.8 convergeert als 0.8z 1 <1 ROC is z >0.8 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

13 Meetkundige reeks Eerste element 1 met reden r s n = 1+r+r r n 1 rs n =r +r 2 +r r n - s n rs n =1 r n Daaruit volgt: s n = 1 rn, mits r 1 1 r Voor r <1 geldt: s = lim n s n = 1 1 r José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

14 z-transformatie met ROC voorbeeld 2 (x[n]): beginnend bij n=0 X(z)= z z 0.8 met ROC z > José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

15 Eigenschappen ROC 1 Finite-length signaal heeft z-transform met ROC gehele z-vlak 2 Right-sided signaal heeft z-transform met ROC buiten cirkel z > α 3 Left-sided signaal heeft z-transform met ROC binnen cirkel z < β José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

16 Inverse z-transformatie van z-domein naar n-domein x[n]= 1 2πj C X(z)z n 1 dz met C een gesloten pad die oorsprong bevat en binnen de ROC José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

17 Voorbeeld 4: van z-domein naar n-domein Inverse z-transformatie Gegeven X(z)= 1 Bepaal x[n] z+1.2 z 1 X(z)= 1+1.2z 1 =z 1( 1 ) 1+1.2z 1 = ) z (1+( 1.2z 1 1 )+( 1.2z 1 ) 2 +( 1.2z 1 ) = z 1 1.2z z z convergeert als 1.2z 1 <1, ROC is z >1.2 (x[n]):0,1, 1.2,1.44, 1.728,... José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

18 Eigenschappen van z-transformatie Time-delay eigenschap 1 x[n 1] z 1 X(z) time-delay delen door z 2 x[n+1] z 1 X(z) time-advance vermenigvuldigen met z José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

19 Differentievergelijking overdrachtsfunctie H(z) Differentievergelijking met constante coëfficiënten kan beschreven worden door z-transformatie: met quotiënt van polynomen in z Time-delay eigenschap x[n 1] z 1 X(z) b 0 y[n]+b 1 y[n 1]+b 2 y[n 2]=a 0 x[n]+a 1 x[n 1]+a 2 x[n 2] b 0 Y(z)+b 1 z 1 Y(z)+b 2 z 2 Y(z)=a 0 X(z)+a 1 z 1 X(z)+a 2 z 2 X(z) H(z)= Y(z) X(z) = a 0+a 1 z 1 +a 2 z 2 b 0 +b 1 z 1 +b 2 z 2 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

20 Convolutie eigenschap van z-transformatie Tijd-, frequentie- en z-domein beschrijving van LTI δ[n] filter h[n] x[n] h[n] y[n] = x[n] h[n] tijddomein X(z) H(z) Y(z) = X(z)H(z) z-domein X(Ω) H(Ω) Y(Ω) = X(Ω)H(Ω) freq.domein 1 H(z) is overdrachtsfunctie 2 H(Ω) is frequentierespons José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

21 Convolutie-eigenschap Fouriertransformatie en z-transformatie Convolutie in tijddomein is vermenigvuldiging in frequentie/z-domein Voorbeeld convolutie en vermenigvuldiging (x[n]): (h[n]): y[n] = x[n] * h[n] (y[n]): X(z)=1 2z 1 +3z 2 z 3 z 4 H(z)=2+z 1 z 2 Y(z)=2 3z 1 +3z 2 +3z 3 6z 4 +z 6 klopt! José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

22 Fourier- en z-transformatie z-transformatie x[n]=u[n], dan X(z)= n= met z > 1 x[n]=a n u[n], dan u[n]z n =1+z 1 +z = X(z)=1+az 1 +(az 1 ) = met z > a Fouriertransformatie x[n]=u[n], dan X(Ω)= ejω e jω 1 x[n]=a n u[n], dan X(Ω)= ejω e jω a 1 1 az 1 = z z a 1 1 z 1 = z z 1 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

23 Vier representaties van filters Vier representaties van filters differentievergelijking y[n]=1.5y[n 1] 0.85y[n 2]+x[n] impuls response (h[n]): 1,1.5,1.4,0.825,... frequentieresponse 1 H(Ω)= 1 1.5e jω +0.85e j2ω overdrachtsfunctie z 2 H(z)= z 2 1.5z+0.85 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

24 Polen en nulpunten in z-vlak z-transformatie is rationale functie van z z-transformatie van signaal of LTI-systeem is rationale functie van z X(z)= N(z) D(z) = K(z z 1)(z z 2 )... (z p 1 )(z p 2 )... z 1 z-vlak p 1 p 2 z 1 en z 2 nulpunten p 1 en p 2 polen z 2 als x[n] reëel, dan z i,p i reëel of complex geconjugeerd!!!!!! José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

25 Polen en nulpunten in z-vlak Argand diagram I X(z)= z z 1 R José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

26 Polen en nulpunten in z-vlak Opgave 2 Teken een Argand diagram voor X(z)=z 4 1 Hint: herschrijf z =re jω José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

27 Argand diagram Teken een Argand diagram voor X(z)=z 4 1 Antwoord z 4 =1 (re jω ) 4 =1 r =1 e j4ω =1=e jk2π 4Ω=k2π Ω=k π 2 I X(z)=z 4 1 R José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

28 H(z) stabiel als polen binnen eenheidscirkel 1 pool H(z)= Y(z) X(z) = 1 reële pool in z = α z α Naar differentievergelijking: zy(z) αy(z)=x(z) y[n+1] αy[n]=x[n] y[n]=αy[n 1]+x[n 1] Naar impulsrespons: h[n]=αh[n 1]+δ[n 1] (h[n]): 0 1 α α 2 α stabiel als α <1, dan lim n α n =0 2 als α 1, dan lim n α n = José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

29 H(z) stabiel als polen binnen eenheidscirkel 2 polen H(z)= Y(z) X(z) = 1 (z re jω )(z re jω) = 1 z 2 2rcos(Ω)z+r 2 Naar differentievergelijking: y[n]=2rcos(ω)y[n 1] r 2 y[n 2]+x[n 2] I stabiel als r <1 re jω re jω R José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

30 Hoe verandert H(Ω) langs eenheidscirkel? H(z)= z 0.8 z+0.8 z=e jω H(Ω)= ejω 0.8 e jω +0.8 H(Ω) = z 1 p 1 z =e jω p 1 z H(0) =0.11 H(π/3) =0.6 H(π/2) =1 H(π) = =9 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

31 Effect van polen en nulpunten 3 polen en 4 nulpunten H(z)= z 2 (z 1.2)(z+1) (z j)(z j)(z 0.8) 1 Teken nulpunten en polen 2 Welke frequentie hoort er bij nulpunten en polen? 3 Plot overdrachtsfunctie H(z) 4 Plot frequentierespons H(Ω) José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

32 Polen en nulpunten in z-vlak 3 polen en 4 nulpunten H(z)= z 2 (z 1.2)(z+1) (z j)(z j)(z 0.8) z-vlak z 2 =0 doet niet mee z =1.2 Ω=0 z = 1 Ω=π p =0.8 Ω=0 p = j Ω=54.5 p = j Ω= 54.5 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

33 Absolute waarde van H(z) 3 polen en 4 nulpunten H(z)= z 2 (z 1.2)(z+1) (z j)(z j)(z 0.8) José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

34 Absolute waarde van H(Ω) 3 polen en 4 nulpunten H(z)= z 2 (z 1.2)(z+1) (z j)(z j)(z 0.8) 0.9 Frequentierespons van 0 tot π pi/2 pi van 0 tot π José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

35 Overdrachtsfunctie H(z) 1 Filter stabiel als polen binnen eenheidscirkel, geen beperking voor nulpunten 2 nulpunten of polen in oorsprong zorgen voor voorwaartse of achterwaartse tijdverschuiving, hebben verder geen effect Wel tijdvertraging, impulsrepons begint bij n = 2 1 H(z)= z 2 2rcos(Ω)z+r 2 y[n]=2rcos(ω)y[n 1]+r 2 y[n 2]+x[n 2] Geen tijdvertraging, 2de orde nulpunt toevoegen z 2 H(z)= z 2 2rcos(Ω)z+r 2 y[n]=2rcos(ω)y[n 1]+r 2 y[n 2]+x[n] José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

36 Overdrachtsfunctie H(z) Nulpunten en polen bepalen gedrag filter H(z) wordt volledig bepaald door nulpunten en polen 1 H(z) wordt bij een pool heel groot 2 H(z) wordt bij een nulpunt heel klein H(z) H(Ω) Frequentierespons H(Ω)=H(z) z=e jω Dus H(Ω) door langs eenheidscirkel te kijken Als nulpunt in de buurt eenheidscirkel: H(Ω) klein Als pool in de buurt eenheidscirkel: H(Ω) groot H(Ω) klein: verzwakking bijbehorende frequentie H(Ω) groot: versterking bijbehorende frequentie José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

37 Overdrachtsfunctie 1ste orde systeem 1ste orde systeem met α <1 H(z)= z α z met reëel nulpunt, pool y[n]=αy[n 1]+x[n] 0<α<1 1<α<0 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

38 Impulsrespons 1ste orde systeem Impulsrespons 0 < α < 1 laagdoorlaatfilter h[n] Impulsrespons 1 < α < 0 hoogdoorlaatfilter h[n] José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

39 Frequentie-respons 1ste orde systeem 5 Laagdoorlaatfilter (α > 0) 5 Hoogdoorlaatfilter (α < 0) H( ) 3 H( ) pi/2 pi van 0 tot π 0 pi/2 pi van 0 tot π José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

40 Overdrachtsfunctie 1ste orde systeem Figuur: Laagdoorlaatfilter, 0<α<1 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

41 Overdrachtsfunctie 1ste orde systeem Figuur: Hoogdoorlaatfilter, 1 < α < 0 José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

42 α>0 laagdoorlaat y[n]=αy[n 1]+x[n] H(Ω)=H(z) = ejω z=e jω e jω α e 0 1 piek bij Ω=0: H(0) = e 0 = 1 α 1 α e jπ 2 minimum bij Ω=π: H(π) = e jπ = 1 α 1+α Wat als α 1? 1 piek wordt hoger: gain wordt groter 2 bandbreedte kleiner 3 impulsrespons langzamer kleiner Tegenstelling tijd- en frequentiedomein hoe smaller spectrum hoe breder tijdfunctie José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

43 Overdrachtsfunctie 2de orde systeem 2de orde systeem H(z)= z 2 (z re jω )(z re jω ) re jω z-vlak 2 complex geconjugeerde polen re jω polen niet op de rand 1 Ω frequentie met maximale versterking 2 r is omgekeerd evenredig met bandbreedte José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

44 Ontwerpen filter met nulpunten en polen 1 een stopband bij Ω=0 en Ω=π 2 een doorlaatband bij Ω=π/2 met straal r = j j H(z)= (z 1)(z+1) (z 0.85j)(z+0.85j) = z2 1 z y[n]= y[n 2]+x[n] x[n 2] José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

45 Overdrachtsfunctie Figuur: H(z) José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

46 Frequentie-respons Frequentierespons van 0 tot π pi/2 pi van 0 tot π Figuur: H(Ω) José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

47 3de orde filter, serie van h 1 [n] en h 2 [n] 3de orde systeem H(z)= (z z 1)(z z 2 )(z z 3 ) (z p 1 )(z p 2 )(z p 3 ) }{{}}{{} H 1 (z) H 2 (z) δ[n] h 1 [n] h[n] LTI1 LTI2 h 1 [n] h 2 [n] h[n]=h 1 [n] h 2 [n] H 1 (z) H 2 (z) H(z)=H 1 (z)h 2 (z) José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

48 Opgave 1 De overdrachtsfunctie van LTI systeem is H(z)= z 1, z > Teken het nulpunt-pool diagram voor H(z). 2 Maak gebruik van het feit dat signalen van de vorm z n eigenfuncties van LTI systemen zijn voor het berekenen van de output y[n] als de input x[n]=( 3 4 )n +3(2) n. José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

49 Antwoord opgave 1 1 Nulpunt-pool diagram van H(z)= 1 is: 1 1 2z 1 ROC: z >1/2 2 input x[n]=( 3 4 )n +3(2) n z n H(z)z n ( 3 4 )n H( 3 4 )(3 4 )n = (4 3 )(3 4 )n =3( 3 4 )n 3(2) n 3H(2)(2) n = (1 2 )2n =4(2) n y[n]=3( 3 4 )n +4(2) n José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

50 Opgave 2 Ontwerp een digitaal filter met een zo klein mogelijk aantal nulpunten en polen in het z-vlak. Het moet de volgende eigenschappen hebben: Een stopband bij Ω=0, een stopband bij Ω=π, een doorlaatband bij Ω=π/3 als gevolg van een pool met straal r = Maak een z-vlak diagram. 2 Bepaal de overdrachtsfunctie H(z) van het filter. 3 Bepaal de differentievergelijking. 4 Bepaal de frequentierespons H(Ω) voor Ω=0,π,π/2. 5 Wat is de uitvoer y[n] van dit filter als de invoer gelijk is aan x[n]=1+cos( π 2 n)+cos( πn)? José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51

51 1 nulpunten z =±1, polen z =0.9e ±jπ/3 2 Gebruik (z re jθ )(z re jθ )=z 2 2rzcos(θ)+r 2 (z 1)(z+1) H(z)= (z 0.9e jπ/3 )(z 0.9e jπ/3 ) = z 2 1 z 2 0.9z+0.81 = 1 z z z 2 3 Y(z)(1 0.9z z 2 )=X(z)(1 z 2 ) y[n] 0.9y[n 1]+0.81y[n 2]=x[n] x[n 2] y[n]=0.9y[n 1] 0.81y[n 2]+x[n] x[n 2] 4 Ω=0 z =1: H(1)=0 Ω=π z = 1: H( 1)=0 Ω=π/2 z =j: H(j)= j = 2 H(j) = arg(h(j))=0.43π j 2 1 j 2 0.9j+0.81 = = j = j 0.85 = y[n]=h(1)1+h(j)cos( π 2 n)+h( 1)cos( πn)= 2.36cos( π 2 n+0.43π) José Lagerberg (FNWI) z-transformatie November, / 51