De transferfunctie of de versterkingsfactor van een schakeling is gelijk aan de verhouding van de uitgangsspanning op de ingangsspanning.

Transcriptie

1 NETWEKEN. FITETECHNIEK.. Soorten Filters aagdoorlaatfilters Hoogdoorlaatfilters Banddoolaatfilters Bandsperfilters Wienbrug filter Alle filters kunnen zowel worden uitgevoerd met weerstanden en condensatoren als met weerstanden en spoelen en ook combinaties van zowel spoelen, condensatoren en weerstanden zijn mogelijk. De besproken filters worden veelal in combinatie met operationele versterkers toegepast zoals later besproken zal worden. Hierdoor kunnen de eigenschappen van een filter aanzienlijk worden verbeterd... Filterkarakteristieken... Transferkarakteristieken De transferfunctie of de versterkingsfactor van een schakeling is gelijk aan de verhouding van de uitgangsspanning op de ingangsspanning. uo u i Meestal wordt de transferkarakteristiek uitgedrukt in decibel: uo A V (db) = 0log u i... Bodediagram Uit de transferkarakteristiek werd voor filtertechniek in de elektronica het Bodediagram afgeleid. Hierbij worden steeds twee typische karakteristieken gegeven: De amplitudekarakteristiek De fasekarakteristiek Vanthournout Wim Pagina

2 NETWEKEN... Amplitudekarakteristiek Op de x as geven we de frequentie weer op een logaritmische schaal. Hierbij is dus de schaal weergegeven als machten van 0. Iedere vermenigvuldiging met 0 wordt hier aangegeven als een decade. De y as geeft de versterking weer uitgedrukt in decibel (db). Het bodediagram is de asymptotische (raaklijnen) weergave van de reële karakteristiek waarbij het snijpunt overeenkomt met het 3 db punt.... Fasekarakteristiek Ook bij de fasekarakteristiek wordt de frequentie op de x as weergegeven op een logaritmische schaal. Op de y as wordt hier nu de faseverschuiving Voorbeeld van een bodediagram voor een laagdoorlaatfilter Vanthournout Wim Pagina

3 .3. De laagdoorlaatfilter.3.. Principe NETWEKEN Z U i Z U O u u Z = Z + Z Een laagdoorlaatfilter zal principieel alle frequenties lager dan de drempelfrequentie onverzwakt doorlaten en vanaf een bepaalde frequentie verzwakken met 0 db/decade. De drempelfrequentie, kantelfrequentie of breekfrequentie wordt bepaald door de waarde van de onderdelen van het frequentieafhankelijk netwerk (hier Z en Z )..3.. filter.3... Schema U i C U O Vanthournout Wim Pagina 3

4 NETWEKEN.3... Transferfunctie Door Z te vervangen door een weerstand en Z door een condensator C bekomen we een laagdoorlaatfilter van de eerste orde. De transferfunctie wordt dan: u = Z u = jωc u = u + j ω C O i i i Z + Z + jω uo = u + jω i Daar dit een complexe vergelijking is zullen we deze weergeven in poolcoördinaten bestaande uit een modulus en een fasehoek. u = + O ui ( ω ) 0 ω ϕ = ϕt ϕn = bgtg bgtg = bgtgω Uit de modulus in functie van de frequentie ontstaat dan de amplitudekarakteristiek en uit de fasehoek in functie van de frequentie ontstaat dan de fasekarakteristiek. Zoals reeds hiervoor (onder.) besproken wordt de amplitudekarakteristiek uitgedrukt in db, zodat: ( ) u = = u + O AV db 0 log 0 log i ( ω ) Vanthournout Wim Pagina 4

5 NETWEKEN Berekening van het amplitude- en faseverloop Als de breekfrequentie gelijk is aan f r en ω r = πf r dan geldt: ω = r Invullen van deze formule in de transferfunctie geeft: AV = 0 log = 0 log = 0 log = 0 log = 3dB + ( ω) + () + Voor een frequentie gelijk aan f = 0 π bedraagt de verzwakking 3dB of is de uitgangsspanning gelijk aan 70% van de ingangsamplitude. Deze frequentie noemen we de afsnijfrequentie of kantelfrequentie. De afsnijfrequentie is die frequentie waar de uitgangsspanning 70% is van de ingangsspanning 0 Als nu defrequentie f = 0. f 0 of ω = 0 ω0 = dan is : AV = 0 log = 0 log = 0 log 0 log 0, = 0dB + ( ω) 0 + ( 0) + 0, Als nu defrequentie f = 0,. f 0 of ω = 0, ω0 = dan is : AV = 0 log = 0 log = 0 log 0 log = 0dB + ( ω) 0, + ( 0,) + Met deze drie punten hebben we in feite genoeg om een karakteristiek te construeren want is 00 ω = 00 ω0 = dan krijgen we een uitgang op 40 db. Die betekent een verzwakking van 00 maal per decade of 00 db/decade. 0,0 Is ω = 0,0 ω0 = dan blijft de verzwakking nog op 0dB dus een versterking van. We moeten nu nog het verloop geven van de fasehoek. Is ω = ω0 = dan is de fasehoek ϕ = bgtg = bgtg = 45 Vanthournout Wim Pagina 5

6 NETWEKEN 0 0 Is ω = 0 ω0 = dan is de fasehoek ϕ = bgtg = bgtg0 = 84, 8 0, Is dan is de fasehoek ϕ = bgtg = bgtg 0, = 5,7 00 Bij ω = 00 ω0 = zal de fasehoek ϕ nagenoeg 90 geworden zijn en bij nog hogere frequenties deze waarde behouden. 0,0 Als ω = 0,0 ω0 = en kleiner zal de fasehoek naderen naar filter Schema U i U O Transferfunctie Door Z te vervangen door een weerstand en Z door een condensator C bekomen we een laagdoorlaatfilter van de eerste orde. De transferfunctie wordt dan: u = Z u = u = u + jω O i i i Z + Z + jω uo = u i + jω Daar dit een complexe vergelijking is zullen we deze weergeven in poolcoördinaten bestaande uit een modulus en een fasehoek. Vanthournout Wim Pagina 6

7 NETWEKEN uo = ui + ω 0 ϕ = ϕt ϕn = bgtg bgtgω = bgtgω Uit de modulus in functie van de frequentie ontstaat dan de amplitudekarakteristiek en uit de fasehoek in functie van de frequentie ontstaat dan de fasekarakteristiek. Zoals reeds hiervoor (onder.) besproken wordt de amplitudekarakteristiek uitgedrukt in db, zodat: uo AV ( db) = 0 log = 0 log ui + ω Berekening van het amplitude- en faseverloop Als de breekfrequentie gelijk is aan f r en ω r = πf r dan geldt: ω = Invullen van deze formule in de transferfunctie geeft: r AV = 0 log = 0 log = 0 log = 0 log = 3dB + () + ω + Voor een frequentie gelijk aan f = 0 π bedraagt de verzwakking 3dB of is de uitgangsspanning gelijk aan 70% van de ingangsamplitude. Deze frequentie noemen we weerop de afsnijfrequentie of kantelfrequentie. Ook hier kunnen we de punten bepalen voor de frequentie die decade hoger en decade lager is dan de kantelfrequentie. Dit gebeurt op dezelfde wijze als onder. Met deze drie punten hebben we weerom genoeg om een karakteristiek te construeren want. We moeten nu nog het verloop geven van de fasehoek. Is ω = ω0 = dan is de fasehoek ϕ = bgtg = bgtg = 45 Vanthournout Wim Pagina 7

8 NETWEKEN Is ω = 0 ω0 = 0 dan is de fasehoek ϕ = bgtg 0 = bgtg0 = 84,8 Is dan is de fasehoek ϕ = bgtg 0, = bgtg 0, = 5,7 Bij ω = 00 ω0 = 00 zal de fasehoek ϕ nagenoeg - 90 geworden zijn en bij nog hogere frequenties deze waarde behouden. Als ω = 0,0 ω0 = 0,0 en kleiner zal de fasehoek naderen naar Bodediagram Amplitudekarakteristiek frequentie [Hz] 0 00 k 0 k 00k 0 0 versterking [db] Vanthournout Wim Pagina 8

9 NETWEKEN frequentie [Hz] k 0 k 00k 5 0 fasehoek [ ] Vanthournout Wim Pagina 9

10 .4. De hoogdoorlaatfilter.4.. Principe NETWEKEN Z U i Z U O u u Z = Z + Z Een hoogdoorlaatfilter zal principieel alle frequenties hoger dan de drempelfrequentie onverzwakt doorlaten en beneden de drempelfrequentie verzwakken met 0 db/decade. De drempelfrequentie, kantelfrequentie of breekfrequentie wordt bepaald door de waarde van de onderdelen van het frequentieafhankelijk netwerk (hier Z en Z )..4.. filter.4... Schema C U i U O Vanthournout Wim Pagina 0

11 NETWEKEN.4... Transferfunctie Door Z te vervangen door een condensator C en Z door een weerstand bekomen we een hoogdoorlaatfilter van de eerste orde. De transferfunctie wordt dan: u = Z u = u = u + jωc O i i i Z + Z jω uo = u jω i Daar dit een complexe vergelijking is zullen we deze weergeven in poolcoördinaten bestaande uit een modulus en een fasehoek. u = A (db) = 0log + + ω ω O V ui 0 ϕ ϕt ϕn bgtg bgtg ω = = = bgtg ω Uit de modulus in functie van de frequentie ontstaat dan de amplitudekarakteristiek en uit de fasehoek in functie van de frequentie ontstaat dan de fasekarakteristiek. Vanthournout Wim Pagina

12 NETWEKEN Berekening van het amplitude- en faseverloop Als de breekfrequentie gelijk is aan f r en ω r = πf r dan geldt: ω = r Invullen van deze formule in de transferfunctie geeft: A V (db) = 0 log = 0 log = 0 log = 0 log = 3dB + () + + ω Voor een frequentie gelijk aan f = 0 π bedraagt de verzwakking 3dB of is de uitgangsspanning gelijk aan 70% van de ingangsamplitude. Deze frequentie noemen we de afsnijfrequentie of kantelfrequentie. De afsnijfrequentie is die frequentie waar de uitgangsspanning 70% is van de ingangsspanning 0 Als nu de frequentie f = 0. f 0 of ω = 0 ω0 = dan is : A V (db) == 0 log = 0 log 0 log = 0 db + ( 0,) + 0 0, Als nu de frequentie f = 0,. f 0 of ω = 0, ω0 = dan is : A V (db) = 0log = 0log 0log 0, = 0 db + ( 0) + 0, Met deze drie punten hebben we in feite genoeg om een karakteristiek te construeren want is 0,0 ω = 0,0 ω0 = dan krijgen we een uitgang op 40 db. Die betekent een verzwakking van 00 maal per decade of 00 db/decade. 00 Is ω = 00 ω0 = dan blijft de verzwakking nog op 0dB dus een versterking van. We moeten nu nog het verloop geven van de fasehoek. Is ω = ω0 = dan is de fasehoek ϕ = bgtg = bgtg = 45 Vanthournout Wim Pagina

13 NETWEKEN 0 0 Is ω = 0 ω0 = dan is de fasehoek ϕ = bgtg = bgtg0 = 84,8 0, Is dan is de fasehoek ϕ = bgtg = bgtg 0, = 5,7 00 Bij ω = 00 ω0 = zal de fasehoek ϕ nagenoeg 90 geworden zijn en bij nog hogere frequenties deze waarde behouden. 0,0 Als ω = 0,0 ω0 = en kleiner zal de fasehoek naderen naar filter Schema U i U O Transferfunctie Door Z te vervangen door een weerstand en Z door een condensator C bekomen we een laagdoorlaatfilter van de eerste orde. u = Z u = jω u = u = u + jω j ω O i i i i Z + Z + jω De transferfunctie wordt dan: uo = u i j ω Vanthournout Wim Pagina 3

14 NETWEKEN Daar dit een complexe vergelijking is zullen we deze weergeven in poolcoördinaten bestaande uit een modulus en een fasehoek. uo = ui + ω 0 ϕ ϕt ϕn bgtg bgtg ω = = = bgtg ω Uit de modulus in functie van de frequentie ontstaat dan de amplitudekarakteristiek en uit de fasehoek in functie van de frequentie ontstaat dan de fasekarakteristiek. Zoals reeds hiervoor (onder.) besproken wordt de amplitudekarakteristiek uitgedrukt in db, zodat: uo AV ( db) = 0 log = 0 log ui + ω Berekening van het amplitude- en faseverloop Als de breekfrequentie gelijk is aan f r en ω r = πf r dan geldt: ω = r Ook hier kunnen we de punten bepalen bij de kantelfrequentie en voor de frequentie die decade hoger en decade lager is dan de kantelfrequentie. Dit gebeurt op dezelfde wijze als onder. Met deze drie punten hebben we weerom genoeg om een karakteristiek te construeren want. We moeten nu nog het verloop geven van de fasehoek. Is ω = ω0 = dan is de fasehoek ϕ = bgtg = bgtg = 45 Is ω = 0, ω0 = 0, dan is de fasehoek ϕ = bgtg bgtg0 84,8 = = 0, Is ω = 0 ω0 = 0 dan is de fasehoek ϕ = bgtg = bgtg 0, = 5,7 0 Vanthournout Wim Pagina 4

15 NETWEKEN Bij ω = 00 ω0 = 00 zal de fasehoek ϕ nagenoeg 90 geworden zijn en bij nog hogere frequenties deze waarde behouden. Als ω = 0,0 ω0 = 0,0 en kleiner zal de fasehoek naderen naar Bodediagram Amplitudekarakteristiek frequentie [Hz] k 0 k 00k 60 versterking [db] Vanthournout Wim Pagina 5

16 NETWEKEN frequentie [Hz] k 0 k 00k fasehoek [ ] Vanthournout Wim Pagina 6

17 .5. Tweede orde systemen NETWEKEN De tot nu toe besproken schakelingen waren voorbeelden van eerste orde systemen en gaven een maximale faseverschuiving van 90 met een verzwakking van 0 db per decade.indien meer schakelingen in serie geschakeld worden dan kunnen sterkere verzwakkingen bekomen worden en faseverschuivingen groter dan 90. Zetten we zoals in de figuur twee netwerken na mekaar, dan zie je onmiddellijk dat de twee netwerken mekaar gaan beinvloeden. De tweede kring vormt een belasting voor de eerste waardoor van onze verhoopte 40 db verzwakking niets van in huis komt. Als we zo n kring gebruiken plaatsen we een buffer of een emittorvolger tussen beide..5.. De Transfertfunctie Onder die voorwaarde kan men schrijven : ook: of: Vanthournout Wim Pagina 7

18 NETWEKEN We zien dat de uitdrukking afhankelijk wordt van de gebruikte componenten. De waarde d noemt met de dempingsfactor van een tweede orde systeem. d zal ook het verloop rond de afsnijfrequentie bepalen. Vanthournout Wim Pagina 8

19 NETWEKEN eeks heeft een waarde voor d = 0.00 eeks heeft een waarde voor d = 0. eeks3 heeft een waarde voor d = 0. eeks4 heeft een waarde voor d = 0.3 eeks5 heeft een waarde voor d = 0.4 eeks6 heeft een waarde voor d = 0.5 eeks7 heeft een waarde voor d = 0.6 eeks8 heeft een waarde voor d = 0.8 eeks9 heeft een waarde voor d = eeks0 heeft een waarde voor d =. eeks heeft een waarde voor d =.4 eeks heeft een waarde voor d =.6 eeks3 heeft een waarde voor d =.8 eeks4 heeft een waarde voor d =.5.. De fasehoek Uitgaande van de transfertfunctie kunnen we zonder moeite de fasehoek bepalen, want de fasehoek van een complex getal in een breukvorm is de fasehoek van de teller min de fasehoek van de noemer. De fasehoek is de boogtangens van het immaginaire gedeeld door het reële. Vanthournout Wim Pagina 9

20 NETWEKEN Het verloop ziet er als volgt uit : Vanthournout Wim Pagina 0