EE 2521: Digitale Signaalbewerking

Transcriptie

1 EE 2521: Digitale Signaalbewerking 12. Week 1: Introductie, herhaling begrippen en eigenschappen (sampling, -transformatie, DTFT, convolutie) Week 2/3: Tijdsdiscrete filterstructuren (realisaties) Week 4: DFT, sampling en reconstructie Week 5: Digitaal filterontwerp Week 7: Multirate filters; kwantisatie Week 8: Uitloop/oefensessie 1

2 Proakis, Opgave 5.28 Gegeven a. Teken de Directe Vorm I en II realisaties. Wat is de overeenkomstige differentievergelijking? b. Teken het pool/nulpuntendiagram voor en. Is dit systeem stabiel, en waarom? c. Met,, bepaal zodanig dat d. Schets hiervoor de amplitude-overdracht en faseoverdracht e. Stel. Is dit dan een laagdoorlaat of een hoogdoorlaat filter? Bepaal zodanig dat het filter beter wordt als laagdoorlaat of hoogdoorlaat. 2

3 Oplossing: a. Teken de Directe Vorm I en II realisaties. Zie p.110 Differentievergelijking: 3

4 b. Teken het pool/nulpuntendiagram voor Pool: ; nulpunt:. en -vlak Is dit systeem stabiel? Ja, de polen liggen binnen de eenheidscirkel. c. Met,, bepaal ofwel. Hiervoor is Uit het fasordiagram volgt dat de piek voor. Dus. ligt op 4 zodanig dat,

5 d. Schets hiervoor de amplitude-overdracht en faseoverdracht Bereken een aantal waarden van en, bijv. voor a= 0.5 b=0.5 H(ω) 0 pi pi/2 0 pi/2 pi ω φ(ω) pi 0 pi pi pi/2 0 pi/2 pi ω 5

6 e. Stel. Is dit dan een laagdoorlaat of een hoogdoorlaat filter? Bepaal zodanig dat het filter beter wordt als laagdoorlaat of hoogdoorlaat. Teken eerst de situatie: -vlak Uit het fasor diagram volgt dat met een pool dicht bij dit een hoogdoorlaatfilter is. De beste locatie voor het nulpunt is onderdrukt de lage frequenties., ofwel. Dit 6

7 Proakis, Opgave 5.58 Een simpele scrambler verwisselt hoge en lage frequenties: Hoe kan deze operatie uitgevoerd worden? En weer omgedraaid? 7

8 Oplossing: Teken eerst het frequentiedomein over een wat breder gebied (het spectrum is natuurlijk periodiek) Hieruit volgt dat de scramber het signaal verschuift overrad:. In het tijddomein komt frequentieverschuiving overeen met modulatie: Met volgt. Inverse operatie: nogmaals zo n modulatie. 8

9 Proakis, Opgave Wat is de minimale filterorde voor een laagdoorlaatfilter met de volgende specificaties: doorlaatband tot stopband vanaf khz, minimale demping in stopband khz, maximale ripple in doorlaatband db db a. voor een Butterworth filter b. voor een Chebyshev filter 9

10 #! "! Oplossing: db db db Butterworth: Passband: Stopband: Voor de filterorde: Invullen geeft en daarna ( ) 10 " db, ofwel de filterorde is

11 niet op je rekenmachine zit, kun je die # voor Chebyshev:!!!!!! met Passband criterium geeft dezelfde als voor Butterworth Stopbandcriterium: Invullen geeft, dus de filterorde is. Opmerking: voor het geval ook uitrekenen als. Deze formule is af te leiden uit Hieruit volgt en. 11!! voor

12 Proakis, Opgave 2.49 Gegeven de realisatie: a. Bepaal de impulsresponsie b. Bepaal een realisatie voor het inverse systeem. 12

13 Introduceer de hulpvariabele : met Inverse systeem: 13 een eenheidsstapfunctie.

14 14

15 Stel Proakis, Opgave 7.21 is een analoog signaal met bandbreedte khz. We willen hier een orde DFT op toepassen om een spectrum te krijgen met resolutie beter dan Hz. Bepaal: a. de minimale sampling rate b. het minimaal vereiste aantal samples c. de minimale tijdsduur van het analoge signaal dat gesampled wordt. 15

16 # Oplossing: khz khz Hz De eis geeft. De tijdsduur van het analoge signaal moet minimaal 128 samples zijn, is s ms Als we stellen krijgen we Dus: de resolutie wordt bepaald door de tijdsduur van het signaal, en niet door de sample rate (deze bepaalt de maximaal waarneembare frequentie). 16

17 b Teken het frequentiespectrum van het digitale signaal Tentamen april 2007, opg. 6 Gegeven een analoog reeel signaal 100 khz 50 khz met het volgende frequentiespectrum: MHz Dit signaal wordt gesampled met een samplefrequentie van 40 MHz: MHz a Is voldaan aan het Nyquist criterium? welke frequenties (in Hz) hierbij een rol spelen.. Geef ook aan c Is de feitelijke bandbreedte van het signaal khz of khz? 17

18 We willen zonder informatieverlies het signaal zoveel mogelijk downsamplen zodat het efficienter kan worden opgeslagen. d Geef in een blokschema aan hoe dit stapsgewijs gedaan kan worden. (Je hebt mogelijk de volgende onderdelen nodig: een downsampler, een mixer (= vermenigvuldiger met ), een laagdoorlaatfilter, een bandpassfilter.) e Teken het resulterende frequentiespectrum. f Bepaal de benodigde uiteindelijke sample frequentie. g Specificeer vervolgens de waarden van de parameters in ieder blok. 18

19 , Uitwerking a Nee: de hoogste signaalfrequentie is MHz, de sample frequentie moet twee keer hoger zijn (60.1 MHz), dit is hier niet het geval. b Vanwege de sampling wordt het deel van het spectrum op 30 MHz herhaald met periode 40 MHz en komt terug op, MHz etc en ook,, MHz. Het deel van het spectrum op MHz (dit deel was niet getekend maar het signaal is reeel) wordt herhaald en komt terug op, MHz. 100 khz 50 khz 19

20 c Het juiste antwoord is eigenlijk khz. Ook 100 en 150 khz is goedgerekend; het gaat erom dat je antwoord consistent is met de volgende vragen. Ik ga verder met khz. d MHz LPF De mixer verschuift het spectrum met MHz, zodat het spectrum rond 10 MHz nu rond 0 komt te liggen. Het laagdoorlaatfilter schrapt de extra kopie die (na verschuiving) rond de 20 MHz ligt. De downsampling reduceert de samplefrequentie tot 200 khz. 20

21 e 50 khz 100 khz Voor het gemak is het spectrum hier van totgetekend. Het is hierbuiten periodiek. Merk op dat het spectrum niet meer symmetrisch is: het signaal is na downmodulatie complex! f Volgens bovenstaand schema: khz (complexe sampling) g Mixer:, ofwel. Komt overeen met 10 MHz. Laagdoorlaatfilter: passband khz, stopband MHz. Downsampling: MHz khz keer 21

22 Tentamen juli 2007, opg. 1 Gegeven een causaal systeem beschreven door de differentievergelijking a Bepaal de overdrachtsfunctie van dit systeem. b Is het systeem stabiel (en waarom)? c Bepaal de impulseresponsie van dit systeem. d Teken een realisatie van een systeem dat als impulsresponsie heeft. 22

23 Uitwerking a b Polen voor en, buiten eenheidscirkel: niet stabiel c 23

24 d 24

25 Tentamen juli 2007, opg. 2 a Bepaal de overdrachtsfunctie van het volgende systeem: b Teken de Directe vorm II realisatie c Teken het getransponeerde systeem. d Wat is de overdrachtsfunctie van het getransponeerde systeem. 25

26 Uitwerking a b Teken de Directe vorm II realisatie 26

27 c Teken het getransponeerde systeem. d Wat is de overdrachtsfunctie van het getransponeerde systeem? Onveranderd. 27

28 Tentamen april 2007, opgave 3 (deel) Gegeven het pool-nulpuntendiagram van een digitaal filter: -vlak Geef een realisatie voor dit filter dat (door gebruikmaking van de symmetrieen) een minimaal aantal vermenigvuldigers gebruikt. 28

29 Uitwerking Er zijn veel realisaties mogelijk. Uitwerken naar de "directe vorm II" geeft 4 vermenigvuldigers. Het kan met minder, als volgt. Het systeem kan gezien worden als een allpass (pool/nulpuntenpaar ), in cascade met de twee polen. Ofwel kan als allpass-sectie met 1 vermenigvuldiger gerealiseerd worden (zie slides 4), en heeft duidelijk maar 1 vermenigvuldiger nodig. Samen geeft dit: 29

30 30

31 Tentamen aug 2012, opg. 5 (deel) Een ouderwetse film voor in een bioscoop heeft 24 beeldjes per seconde. Ieder beeldje wordt met een lichtflitsje geprojecteerd. Dit geeft aanleiding tot een flikkerend beeld. Om dit tegen te gaan wordt ieder beeldje 2 keer geprojecteerd (48 beeldjes per seconde). Als model voor de film stellen we die voor door een tijdreeks. Als model voor de waarneming stellen we het oog voor als ideale D/A omzetter gevolgd door een laagdoorlaatfilter met een doorlaatband tot 20 Hz en een stopband vanaf 35 Hz. a Geef een blokschema van het dubbele projectieproces van waarneming. tot aan de b Beredeneer waarom de dubbele projectie aanleiding geeft tot een rustiger beeld. (Doe dit aan de hand van frequentiespectra.) 31

32 Uitwerking Hz D/A Hz (ongewenst) Met dubbele projectie: Zonder dubbele projectie: [Hz] [Hz] [Hz] [Hz] (ongewenst) 32

33 Het oog werkt niet goed als anti-aliasing filter. Idealiter zouden alle frequenties boven 12 Hz onderdrukt moeten worden. Met dubbele projectie worden in het frequentiespectrum van de fre- quenties tussen 12 en 36 Hz aardig onderdrukt door het filter, en de frequenties vanaf 36 Hz door het oog filter. Je houdt dus voor de waarneming een analoog spectrum over met vooral frequenties tot 12 Hz, dat is de originele frequentie-inhoud van de film. Zonder dit proces heb je duidelijk meer frequentieinhoud tussen 12 en 36 Hz, dit is de flikker. Deze hoge frequenties bevatten geen nuttige informatie (zijn afkomstig van aliasing). 33

34 Tentamen aug 2012, Opgave 3 (deel) We willen een analoog hoogdoorlaat filter ontwerpen met de volgende specificaties: Doorlaatband: vanaf Hz; ripple in de doorlaatband: 1 db Stopband: tot Hz; stopband demping: # 30 db. We beginnen met een Butterworth laagdoorlaat filterstructuur van de vorm a Geef een nette schets van. Geef hierbij ook aan, en de bijbehorende waarde van. 34

35 We passen op een laag-naar-hoog frequentietransformatie toe:. Stel. b Wat is een uitdrukking voor? c Geef een nette schets van. Geef hierbij ook aan. d Hoe ga je kiezen? Welke waarde kies je voor? e Bereken stapsgewijs en de benodigde filterorde voor waarmee aan de gegeven specificaties voldaan wordt. 35

36 Uitwerking a b 36

37 gelijk aan c d. We kiezen, en gelijk aan -1 db. e Bepalen van door evaluatie voor : 37

38 !! Bepalen van door evaluatie voor We nemen als filterorde. 38 " " :

39 Tentamen juni 2012, Vraag 5 (deel) Een RFID systeem bestaat uit een reader die een continue draaggolf uitzendt (een cosinus), en een RFID tag (bijv. een OV-chipkaart). De draaggolf geeft energie aan de tag, die dit signaal moduleert en terugstuurt aan de reader. De uitgezonden draaggolf is 868 MHz, de modulatie van de tag is een blokgolf met een frequentie van rond de 40 khz. Hieronder is het spectrum van het terugontvangen signaal getekend (de uitgezonden draaggolf is hierin dominant aanwezig): ZOOM MHz 100kHz 868 [MHz] 39

40 , Om dit systeem te analyseren onderscheppen we het RF signaal met een geschikte antenne en samplen het zonder verdere filtering op 250 MHz, noem dit signaal. a Teken het spectrum van als gesampled wordt op 250 MHz (geef de frequenties goed aan; geef ook het fundamentele interval aan). b We willen de sample rate reduceren tot 250 khz door middel van downsampling. We gebruiken hiervoor het volgende blokschema: tag reader 250 MHz Specificeer geschikte parameters voor alle blokken. c Teken schematisch de spectra van de signalen,, 40

41 Uitwerking a Het spectrum wordt periodiek met periode MHz. Vanwege aliasing komen de frequenties rond MHz terug modulo 250 MHz, dus op MHz, Etc. Het spectrum is symmetrisch, er is ook een component op MHz die terugkomt op veelvouden van 250 MHz, dus op MHz, 41

42 MHz nu op [MHz] b MHz ofwel. De demodulatie verschuift het spectrum zodanig dat de component van MHz komt te liggen; de component op MHz komt op MHz (ofwel want we zijn in het digitale domein). Het filter is een lowpass filter met passband tot 100 khz ( ), en stopband vanaf MHz ( ). De downsampling factor is MHz khz. 42

43 was al gegeven in onderdeel a. c Spectrum van [MHz] [MHz]

44 [khz] Na verschuiving is complex, Het spectrum van is daarom niet symmetrisch. 44