College: meestal dinsdag 13:45 (zaal A), donderdag 13:45 (zaal C)

Transcriptie

1 EE 2521 Digitale Signaalbewerking, 2014 Digitale signaalbewerking Alle-Jan van der Veen College: meestal dinsdag 13:45 (zaal A), donderdag 13:45 (zaal C) Programma: Week 1/2: Introductie, herhaling begrippen en eigenschappen (sampling, -transformatie, DTFT, convolutie) Week 2/3: Tijdsdiscrete filterstructuren (realisaties) Week 4: DFT, sampling en reconstructie Week 5: Digitaal filterontwerp Week 6: Multirate filters Week 7: Kwantisatie; uitloop/oefensessie 1

2 ee 2521 Boek: J.G. Proakis, D.G. Manolakis, Digital Signal Processing Principles, algorithms, and applications, 4th edition, Prentice Hall, 2007 De Blackboard website geeft aan welke secties tot de stof behoren Zie ook: B. Champagne, F. Labeau, Discrete time signal processing cursusaantekeningen (pdf, zie website) Tentamen: schriftelijk (open boek); 24 juni 2014, herkansing 14 augustus 2014 Oude tentamens staan op de website. 2

3 Introductie Signaalbewerking: Technieken DFT, filters, filterbanken (signaalanalyse/reconstructie) statistische signaalbewerking (parameterschatting, detectie) adaptief, neurale netwerken analytisch (bijv. lineaire algebra, optimalisatie) DSP hardware, snelle algoritmen/architecturen (implementatie) Toepassingen communicatie, radar, sonar, antenne-arrays (meerkanaals) spraak, audio beeld, video, multimedia (multidimensionaal) biomedisch, seismiek, 3

4 Introductie Spraaksignaal: de letter /a/. analoog, discrete-tijd: 4 khz, gekwantiseerd (4 bits) 4

5 Introductie Voorbeeld: spectrale analyse Frequency Time 5

6 Introductie Voorbeeld: spectrale analyse (2) f=[ ], T=0.001 x(t) 0 X(f) t [s] f [Hz] 6

7 Introductie Voorbeeld: spectrale analyse (3) 500 f=[ ], T= freq [Hz] time [s] 7

8 Introductie Voorbeeld: spectrale analyse (4) GSM transmissie Frequency [MHz] Frequency [MHz] Time [sec] Time [sec] 1600 GSM uplink band Zoom GSM stuurt data over in pakketten; de tijd wordt gedeeld met 8 gebruikers (framelengte ms); bandbreedte 270 khz. 8

9 Introductie Westerbork Synthesis Radio Telescope 9

10 Introductie Voorbeeld: mobiele telefoon A/D source/ channel coder D/A BPF A/D DSP D/A INFORMATIE- THEORIE SIGNAAL- BEWERKING kanaalinversie (egalisatie) parameterschatting detectie ELEKTRONICA ELEKTRO- ELEKTRONICA MAGNETISME TELECOM SIGNAAL- BEWERKING 10

11 Introductie analoog-digitaal digitaal-analoog A/D Digitaal Systeem D/A sampler kwantisator pulstrein interpolator LPF Prototype DSP systeem. De A/D omzetter maakt het signaal digitaal, de D/A omzetter weer analoog. Het digitale deel kan een microprocessor zijn, of speciale programmeerbare hardware (FPGA) 11

12 Introductie Voordelen van een digitale implementatie Robuust: er is een goed onderscheid tussen signaalwaarden, de invloed van ruis is minimaal; de uitgang is reproduceerbaar. Opslag: het signaal kan makkelijk opgeslagen worden om later (offline) behandeld te worden Flexibiliteit: het systeem is programmeerbaar. De nauwkeurigheid is makkelijk te beinvloeden dmv de sampling rate en aantal bits Krachtig: vanwege Moore s law worden DSPs steeds sneller en neemt het aantal transistoren op een chip exponentieel toe. Structuur: DSP blokken kunnen makkelijk gecombineerd worden (geen invloed van ingangsimpedantie zoals bij analoge systemen) 12

13 Introductie Nadelen van een digitale implementatie A/D en D/A omzetters zijn relatief duur (ook qua stroomverbruik) Signaal bandbreedte is beperkt Kwantisatie-effecten (bijv. kwantisatieruis) Toename in bandbreedte voor transmissie (afh. van aantal bits) Wanneer is een digitale implementatie mogelijk? Kan een analoog systeem equivalent zijn aan een digitaal systeem? Wanneer? Voldoend nauwkeurige kwantisatie (veel bits) Voldoende hoge sampling frequentie: meer dan twee keer de hoogste frequentie in het analoge domein (Nyquist rate) 13

14 Introductie Toepassingen Digitale implementatie van analoge filters: extreem selectieve filters, nauwkeurige equalizers Adaptieve echo cancellatie in telefoons en modems; storingsonderdrukking en signaalscheiding Compressie van spraak, muziek en beelden; beeldbewerking Fysieke laag van communicatiesystemen (het schatten van ontvangen bits na propagatie over een kanaal; de baseband processing) Simulatie van fysieke systemen zoals propagatie van mobiele telefoonsignalen, radar, seismiek, biomedisch etc. (MATLAB) 14

15 Definitie Een discrete-tijd signaal is een reeks reele of complexe getallen: Z Z R of C Notatie als reeks: 1, het vierkantje geeft aan als expliciete uitdrukking: als impliciete uitdrukking (recursie): 15

16 Voorbeelden eenheidspuls: eenheidsstap: elders reeks: exponentiele complex exponentiele reeks: is periodiek met periode als. Dit is alleen mogelijk als, voor Z Z (anders "quasi-periodiek") Als, dan is gelijk aan. Daarom is het voldoende om te nemen. De frequentieresponse van een digitaal systeem is periodiek! 16

17 Sampling Gegeven een analoog signaal we. Na uniforme sampling (bemonstering) krijgen Hierin is de sampling periode ( is de sampling frequentie). Bijvoorbeeld:, waar de analoge frequentie is (Hz). Na sampling: is de genormaliseerde hoekfrequentie is de genormaliseerde frequentie (dimensieloos). Algemeen: als we samplen met frequentie, dan wordt het frequentieinterval afgebeeld op, ofwel op. Hogere frequenties worden ook op dit interval afgebeeld: aliasing. Om aliasing te vermijden: neem (Shannon s sampling theorema) 17

18 Aliasing

19 Energie en signaalruimten De energie in een signaal is gedefinieerd als De verzameling signalen waarvoor heet : Dit is een Hilbert-ruimte, met prettige eigenschappen (matrix-algebra). Soortgelijk: absoluut begrensd absoluut sommeerbaar 19

20 Discrete convolutie notatie De is gebruikelijk, maar eigenlijk niet netjes. Eigenschappen (vergelijk met vermenigvuldiging): commutatief: distributief: is het eenheidselement: 20

21 Systeem Een systeem is een afbeelding van de signaalruimte op zichzelf: af van In het algemeen hangt op tijd voor alle Z Z Voorbeelden Tijdomkering: Tijdvertraging: Toepassing:, ofwel Moving average: Geheugenloos systeem: is enkel een functie van (heet ook wel statisch systeem; in tegenstelling tot dynamisch systeem) Causaal systeem: hangt enkel af van voor. 21

22 Bewijs: Eerder hadden we is de impulsresponsie van het systeem. Dus voor willekeurige Lineair tijdsinvariant systeem (LTI) Lineair: ofwel : superpositie Tijdsinvariant: Ofwel (niet netjes ):. Fundamentele eigenschap: Stel dat een LTI systeem is, en waarbij. Dan Pas toe en gebruik de LTI eigenschappen: ( ) 22

23 Uitrekenen van de convolutie (1) (je gebruikt hier eerst tijdsinvariantie en vervolgens lineariteit) 23

24 Uitrekenen van de convolutie (2): alternatief voor korte impulsresponsies Omdat geldt ook

25 Eigenschappen van LTI systemen Een LTI systeem is causaal iff voor Bewijs: matrix-vector; causaal Beschrijving in matrix-vector notatie (strict genomen enkel voor.... y[0] ).. lineair benedendriehoeks tijdinvariant diagonaalstructuur ( Toeplitz ) 25

26 Een systeem heet BIBO stabiel (bounded-input bounded-output) als Eigenschappen van LTI systemen voor iedere geldt dat er een bestaat zodanig dat. Ofwel: Een LTI systeem is BIBO stabiel iff is absoluut sommeerbaar: Ofwel: Bewijs: Voldoende: Nodig: Stel dat terwijl. Beschouw. Dan 26

27 Voorbeeld: Dit systeem is causaal. Is het stabiel? Als, dan is : stabiel Als, dan divergeert de som: niet stabiel. 27

28 en Een LTI systeem is FIR (Finite Impulse Response) als voor anders heet het IIR (Infinite Impulse Response). Voorbeeld: elders is FIR. is IIR. FIR systemen zijn automatisch stabiel (altijd eindig sommeerbaar) 28

29 Interconnecties van LTI systemen Cascade verbinding: Parallel verbinding: 29

30 Elementaire discrete-tijd bouwstenen De notatie is hier puur formeel bedoeld (delay-operator) 30

31 LTI systeem beschreven door een Lineaire Differentievergelijking Dit is een -de orde systeem (aangenomen dat en ). Er zijn begincondities. De implementatie is recursief: Voorbeeld: accumulator In deze implementatie is maar één opteller en geheugenelement nodig. Het geheugen onthoudt alles uit het verleden dat nodig is voor de toekomst (de toestand) 31

32 LTI systeem beschreven door een Lineaire Differentievergelijking (2) Voorbeeld: 1e orde systeem 32