TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE

Transcriptie

1 @! TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER TECHNISCHE NATUURKUNDE Tentamen Computers bij fysische experimenten (3BB0) op donderdag 3 november 006, 10:30-1:00 Het tentamen duurt 90 minuten en wordt gemaakt zonder boeken, collegedictaten, en meegebrachte notities. 1. Quiz Geef een kort antwoord op de volgende vragen en geef daarbij een korte argumentatie, of een korte berekening. Een goed antwoord met een goede argumentatie levert 6 punten op. Een goed antwoord zonder argumentatie levert géén punten op. (a) Een mediaanfilter is bij uitstek geschikt om spikkelruis in een beeld te onderdrukken. Beschouw het [1 3] mediaanfilter M, is het waar dat M[...,3, 4, 7, 7, 9, 11,...] = [...,4, 7, 9, 9,...]? (b) Als het [1 ] filter B = [1 1] een benadering is van de eerste afgeleide, is B = [1 1] dan een benadering van de tweede afgeleide? (c) Een 104 pixel beeldsensor wordt gebruikt om een ruimtelijk spectrum te bepalen. De afmeting van de sensor is 40 mm, en de pixels zijn 50% vlakvullend. Wat is de hoogste ruimtelijke frequentie waarvoor de sensor gevoelig (d) In het ATLAS experiment (gastcollege) moet razendsnel beslist worden of een event interessant is. Elke 0 ns kruisen protonenpakketten elkaar, waarbij gemiddeld 10 events geregistreerd worden. Welk percentage daarvan moet door de triggers verworpen worden? I A I H = = C F E F A E A 0. 1.?? =?? A F J H A A? J I > A =? H I I E C J H E C C A H I (e) Een floating point getal van 4 bytes wordt als volgt opgeslagen.!! B = J I A N F A J % I E C # = J E I I A Hoeveel cijfers achter de komma heeft dit getal? (gebruik ) 1

2 ,,. Correlaties Met het hieronder geschetste apparaat kan in real time de autocorrelatiefunctie van het signaal x(t) bepaald worden. Deze correlatiefunctie wordt opgeslagen in de geheugens M 0,M 1,... N J N N N : : : D De klokfrequentie is 1 MHz ( 0 Hz), het signaal wordt bemonsterd met 1 bits. De geheugens M 0,M 1,... bevatten elk 1 3 bits woord, en moeten door een computer worden uitgelezen vóórdat het opgeslagen getal de waarde 3 1 overschrijdt. (1 pnt) (a) Wat is de functie van de blokken D,, Σ? Hoe lang kunnen we, minimaal, meten voordat M 0 moet worden uitgelezen? (b) Hoe lang kunnen we, maximaal, meten voordat M 1,M,... moeten worden uitgelezen? Hoe hangt dit van de eigenschappen van het signaal af? Veronderstel hierbij voor het gemak dat x(t) = 0, en denk aan witte ruis. (c) De gemeten correlatiefunctie blijkt er als volgt uit te zien Hoe groot is de rms waarde van de ruis in het signaal? Kunt U een uitdrukking voor het signaal geven? (d) Stel dat we de correlatiefunctie in een computerprogramma willen uitrekenen. Hoe groeit dan de rekentijd met het aantal punten N in de tijdreeks? Is er een alternatieve manier waarin de rekentijd minder snel groeit?

3 3. Analoge signaal recorder In een NMR opstelling (gastcollege) worden periodiek spinecho s gegenereerd door een periodieke trein van RF pulsen. Die spinecho s bevatten informatie (via Fouriertransformatie) over het preparaat. Ze zijn echter behept met ruis, en om die ruis te onderdrukken worden steeds een groot aantal spinecho s gemiddeld. Als S j i,i = 0,...,103 de samples van spinecho j zijn, moeten we dus de volgende som uitrekenen S i = N j=1 S j i /N,i = 0,...,103. E! E! F J A A H I E C = = 0 C A D A K C A " * + 7 Geschetst is een apparaat dat de sommatie over spinecho s direct (in real time) kan uitvoeren. (a) De 1 bits ADC werkt op 1 MHz, een spinecho is 104 samples, en wordt herhaald met 1 khz. Het geheugen is 4 kb (4096 Bytes) en is georganiseerd als 4 Byte woorden. Kan zo n apparaat werken, en hoe lang kan er gemeten worden voordat het geheugen vol is? (b) Met welke factor wordt de ruis in de spinecho s dan gereduceerd (aangenomen dat de ruis wit is)? (c) Welke uitbreiding is er nodig om onafgebroken te kunnen meten? (d) Toch nog teleurgesteld door het antwoord op (a) besluit men om de middeling dan maar door de CPU te laten doen. I E C = = 4 A N F A H E A J * Om ononderbroken te kunnen middelen wordt een FIFO buffer ( MB) gebruikt, het uitlezen daarvan door de CPU gebeurt met 40 MB/s. Als het buffer half vol is, wordt interrupt IRQ1 gegenereerd. Hoe vaak komt IRQ1? De bijbehorende ISR1 bewerkt de spinecho s, en heeft steeds 00 ms nodig. Met een tweede IRQ wordt het aantal pulsen geteld in de CPU (ISR duurt 0.5 ms). Welke van de twee interrupts moet de hoogste prioriteit hebben?

4 Antwoorden Computers bij fysische experimenten (3BB0), 3 november Quiz (a) Ja, het filter neemt van 3 getallen steeds de middelwaarde. (b) Ja, stel we hebben een rij pixelwaarden...,i i, I i+1, I i+, I i+3,..., dan wordt die na toepassing van B...,I i I i 1, I i+1 I i, I i+ I i+1, I i+3 I i+,..., Nog een keer toepassen van B geeft de tweede afgeleide, maar dat is precies...,i i 1 I i + I i+1,..., en dat is het resultaat van de operator [1 1]. (c) De kleinste meetbare lengteschaal wordt bepaald door de afmeting van een pixel en is d/ = 4 10 // m. De hoogste ruimtelijke frequentie (golfgetal/π) is dan /d m 1. Echter, omdat de pixels niet ruimtevullend zijn treedt aliasing op. (d) Elke 0 ns worden gemiddeld 100 events geregistreerd die in de analoge pipeline geschoven worden. Dat is events per seconde. De ADC kan slechts 10 7 events/s digitaliseren, de triggers moeten dus een fractie /( ) = 99, 8% verwerpen. (e) Zie dictaat.. Correlaties (1 pnt) (a) Het blok D is een vertrager van één klokcyclus, het blok X een vermenigvuldiger, terwijl Σ het resultaat accumuleert. We nemen aan dat het signaal zowel positief als negatief kan zijn. Als het signaal steeds de hoogste waarde heeft, met 1 bits dus 047, is het product steeds en zijn alle geheugens M 0,M 1,... al na 10 samples vol, dat is al na 1 ms. Als alle samples positief zijn gebeurt dat 4 keer zo snel. (b) Als het signaal ongecorreleerd is, bevatten M k,k = 1,,... de waarden i x(t i )x(t i + kt s ), met t s de sample tijd. Omdat x(t i )x(t i + kt s ) = 0 geraken deze geheugens nooit vol. Echter, M 0 bevat (T/t s )σ, met σ de rms amplitude van het signaal. Dat geheugen raakt dus vol, en sneller naarmate σ groter is. (c) Het signaal x(t) = A sin πft + s(t), met s(t) witte (ongecorreleerde) ruis geeft de getekende correlatiefunctie. De hoogte van de piek boven de ondergrond is s (t) = σ, dus σ =. Verder geeft het harmonische stuk van het signaal een bijdrage 1 A cos πft, dus A = 1 en f = 1/18. (d) De rekentijd groeit evenredig met N. Een alternatief is om de correlatiefunctie via de Fourier transformatie uit te rekenen, ze bevatten immers dezelfde informatie. Dan groeit de rekentijd als N log N. 1

5 3. Analoge signaal recorder (a) Het geheugen is precies groot genoeg om alle 104 samples van de gesommeerde spinecho te bevatten, verder is de samplesnelheid van de ADC precies juist. Het grootste getal dat in het geheugen past is 3 1, en de maximale signaalwaarde van een 1 bits sample is 4095, dus er kunnen minimaal 3 / 1 = 0 samples gesommeerd worden, en dat duurt 0 / 10 = s. (b) De ruisamplitude wordt met een factor ( 0 ) 1/ 1000 gereduceerd. (c) Om onafgebroken te kunnen meten moeten we interleaved geheugens gebruiken, of het geheugen anders organiseren (64 bits integers). In het laatste geval kunnen we 10 9 maal zo lang meten. (d) Er worden samples per seconde gegenereerd, dat is MB/s. Dan komt IRQ1 elke 500 ms, het uitlezen van het FIFO buffer duurt dan 1/40 = 5 ms. Interrupt IRQ komt elke 1 ms, en moet dus de hoogste prioriteit hebben. Deze oplossing werkt, maar is niet slim, omdat we maar de helft van de CPU tijd over hebben voor ISR1 en andere zaken. Het is duidelijk dat we voor het tellen speciale hardware moeten gebruiken.