Wavelets Een Introductie

Transcriptie

1 Wavelets Een Introductie Joachim Taelman Katholieke Universiteit Leuven Faculteit ingenieurswetenschappen, Departement elektrotechniek ESAT-SCD (SISTA) Faculteit beweging en revalidatie, Departement biomedische kinesiologie 1

2 Wavelets Inleiding Fourier Transformatie Tijds-frequentie representatie Wavelets <2>

4 Inleiding Tijdsreeks : x(t) Reëel signaal Bevat informatie van onderliggende mechanismen Gediscretiseerd op bepaalde sample-rate: x[n] Gebruikt voor verdere analyse Gelimiteerd in de tijd <4>

5 Inleiding Stationariteit Stationair signaal: constant in de tijd Niet-stationair: veranderlijk in de tijd <5>

6 Inleiding Signaalanalyse in het tijdsdomein Amplitude van het signaal: grootte van het signaal Envelope curve Zero-crossing rate: aantal keer dat een signaal de nul-lijn kruist... <6>

7 Inleiding RECT: rectified signal; absolute waarde van de signalen ARV: averaged rectified value; Rect-waarde, uitgemiddeld over een aantal samples RMS: root mean square; statistische maat voor de grootte van de verdeling ENV: envelope curve; laagdoorlaatfilter op het signaal, geeft de omhullende curve van het signaal

8 Inleiding <8>

9 Inleiding Sinus 5 Hz Amplitude 2

10 Inleiding Sinus 15 Hz Amplitude: 2 ZCR = 60 <10>

11 Inleiding Chirp Amplitude: 2 ZCR: 60

13 Fourier Transformatie Frequentiedomein: Geeft aan welke frequenties aanwezig zijn in een signaal Geeft aan hoeveel bepaalde frequentie bijdraagt tot totale signaal Verborgen informatie die niet onmiddellijk zichtbaar is <13>

14 Fourier Transformatie Joseph Fourier Elke periodische functie f(x) kan geschreven worden als een Fourier reeks: a + a cos( kx) + b sin ( kx) waarbij 0 ( k k ) k = 1 2π 2π 1 1 a0 = f ( x) dx a = f ( x) cos( kx) dx 2π k π 0 0 2π 1 bk = f ( x) sin ( kx) dx π 0 <14>

15 Fourier Transformatie Fourier Transformatie Transformatie naar de frequentieruimte Continue Fourier transformatie (CWT): Inverse continue Fourier transformatie (ICWT): <15>

16 Fourier Transformatie X(f): Fourier Transformatie van x(t) Andere notaties voor X(f): ˆx f of F x f Polaire coördinaten: ( ) = ( ) i X f A f e φ ( f ) waarbij: de amplitude: A f = X f de fase: φ f = X f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { }( ) <16>

17 Fourier Transformatie Lineariteit: a f() t + b g() t a F( ω) + b G( ω) Vermenigvuldigen: f() t g() t F( ω) G( ω) Convolutie: Schalering: f() t g() t F( ω) G( ω) 1 ω f( at) F( ), a, a 0 a a Tijdsverschuiving: 0 f( t t ) e iwt F( ω) 0 <17>

18 Fourier Transformatie Signaalverwerking: gediscretiseerde tijdsreeks ipv. continu signaal Discrete Fourier Transformatie (DWT): Inverse DWT (idwt) <18>

19 Fourier Transformatie Sin 5Hz Sin 15Hz Hz <19>

20 Fourier Transformatie Signaal afkomstig van een spier: 50 Hz interferentie duidelijk zichtbaar in frequentieplot, niet zichtbaar in tijdsdomein t Hz

21 Fourier Transformatie Sin 15Hz, verstoord Chirp t Hz <21>

22 Fourier Transformatie Voordelen Geeft informatie over frequentieinhoud Meer verborgen situatie uit signalen extraheren Tijdsignaal te reconstrueren Nadelen Werkt enkel op een stationair signaal Niet-stationair signaal: geen tijdsinformatie Onstabiel: kleine verstoring => gans frequentiespectrum aangepast <22>

23 Fourier Transformatie Oplossing Tijds-frequentie voorstellen van de data: zowel tijdsinformatie als frequentieinformatie Niet-stationair signaal: signaal opsplitsen in kleinere delen die stationair verondersteld worden Short Time Fourier Transform (STFT) <23>

25 Tijd-frequentie 2 parameters zijn nodig: Tijd: Wanneer? Frequentie: welke? Heel bekend en klassiek voorbeeld: muzieklijn <25>

26 Tijd-Frequentie Short Time Fourier Transformatie (STFT) Window over het signaal plaatsen Fourier Transformatie van deze kortere periode berekenen: geeft meer lokale frequentie informatie Window verschuiven over het signaal Continue en Discrete STFT: glijden van het window over het signaal Inverteerbaar Gabor <26>

27 Tijd-Frequentie Continue STFT: met: x(t): signaal w(t): window τ: start van het window (discreet) ω: continue angulaire frequentie Continue duidt op de continue tijd. Het zegt in principe niets over de Fouriertransformatie per window <27>

28 Tijd-Frequentie Short Time Fourier Transform: Functie van tijd en frequentie Grafische weergave van de magnitude in een spectogram narrow-band spectogram, lange blok lengte: goeie frequentieresolutie wide-band spectogram, korte blok lengte: goeie tijdsresolutie <28>

29 Tijd-Frequentie Inverse Continue Fourier Transformatie Spectogram: dimensie tijd, dimensie frequentie en magnitude Origineel signaal: dimensie tijd en magnitude <29>

30 Tijd-Frequentie Verschillende parameters: window lengte R (functie van w(n)) Type van window Hoeveelheid overlap L <30>

31 Tijd-Frequentie Links: wide-band spectogram Rechts: narrow-band spectogram Onzekerheidsprincipe van Heisenberg (1972): gepaarde informatie geeft een onzekerheid <31>

32 Tijd-frequentie R = 500 R = 10 R = 50 R = 100 tijd frequentie <32>

33 Tijd Frequentie frequentie tijd <33>

34 Tijd Frequentie Short Time Fourier Transform Geeft zowel tijds- als frequentieinformatie Onzekerheidsprincipe van Heisenberg: trade-off tussen goeie tijds- of frequentieresolutie Oplossing: Variabele window Lage frequenties: breed window Hoge frequenties: smal window Wavelets <34>

35 Wavelets Inleiding Fourier Transformatie Tijds-frequentie representatie Wavelets Inleiding Continue wavelets Discrete wavelets Wavelet packages <35>

36 Wavelets-Inleiding Analyseren van data: schaal aanpassen aan frequentie Zowel het bos als de bomen zien Wavelet = kleine golf Veranderen van een moeder wavelet functie Sinds de jaren 80 in signaalverwerking Belgische Ingrid Daubechies: 1 van de grondleggers van de wiskunde achter wavelets. Daubechies-wavelet <36>

37 Wavelets-Inleiding Moeder wavelet Centrale frequentie, specifiek voor de moeder wavelet Voldoet aan een aantal eigenschappen Verschillende wavelets via schaleren van de moeder wavelet Brede waaier aan moeder wavelets, afhankelijk van de toepassing <37>

38 Wavelets-Inleiding Morlet wavelet Fase- en amplitude-component Mexican hat 2 e afgeleide van Gaussfunctie <38>

39 Wavelets-Inleiding 2 basiseigenschappen moeder wavelet φ gemiddelde van φ is 0: Elke positieve excitatie van de golf heeft een even grote negatieve excitatie Gemiddelde van φ² is 1: De moeder wavelet is in een eindig interval verschillend van 0 <39>

40 Wavelets-Inleiding Eigenschappen: Verdwijnende momenten (vanishing moments): elke wavelet heeft een aantal verdwijnende momenten. Vb. 2 verdwijnende momenten: de wavelet is ongevoelig voor veranderingen in het signaal tot 2 e orde. Dit betekent ongevoelig voor zowel lineaire als kwadratische veranderingen <40>

41 Wavelets-Inleiding Wavelets voor analyse worden uit de moeder wavelet gevormd a: schaleren van de moeder wavelet φ Grote a => lage frequenties, slechte tijdsresolutie Kleine a => hoge frequenties, goeie tijdsresolutie B: translatie van de moeder wavelet φ in de tijdsas Wavelet: functie van tijd en schaal (frequentie) <41>

42 Wavelets-Inleiding Schaleren van de Morlet wavelet <42>

43 Wavelets-Inleiding Tijds-frequentie voorstelling van een wavelet bij verschillende schalen <43>

44 Wavelets-Inleiding <44>

45 <45>

46 <46>

47 Wavelets-Inleiding <47>

48 Wavelets Inleiding Fourier Transformatie Tijds-frequentie representatie Wavelets Inleiding Continue wavelets (CWT) Discrete wavelets Wavelet packages <48>

49 Wavelets-CWT Continue wavelet transformatie CWT Moeder wavelet naar volgens de Veranderingen schaal a en verschuiving b zijn continu Theoretische benadering Tijd-schaal weergave van de tijdsreeks Ter herinnering: schaal -1 ~ frequentie <49>

50 Wavelets-CWT Formule: f(t): tijdsreeks Φ: wavelet s, τ: schaal en tijd respectievelijk Reconstructie van het originele signaal <50>

51 Wavelets-CWT Gediscretiseerde CWT: Tijd en schaal discreet veranderen Bruikbaar voor verwerking Tijd en schaal aanpassen naar keuze Voorbeeld: Tijd en schaal per 1 laten aanpassen Voorbeeld 2: Schaal aanpassen zodat je een frequentiereeks hebt Per sample in de tijd opschuiven <51>

52 Wavelets-CWT Gediscretiseerde CWT Dyadische verdeling: 2 n : zowel in tijd als schaal Geen redundante informatie <52>

53 Wavelets-CWT Analyse van CWT kan op verschillende manieren: Vb. Ridges Vb. lokale maxima en minima gaan zoeken in tijdschaal plot <53>

54 Wavelets-CWT CWT-analyse van het chirp-signaal Boven: morlet wavelet Onder: mexican hat wavelet <54>

55 Wavelets-CWT CWT-analyse van de vervuilde sinus Boven: morlet wavelet Onder: mexican hat wavelet <55>

56 Wavelets Inleiding Fourier Transformatie Tijds-frequentie representatie Wavelets Inleiding Continue wavelets Discrete wavelets (DWT) Wavelet packages <56>

57 Wavelets-DWT Discrete wavelet transformatie (DWT) gediscretiseerde CWT: andere benadering Via eigenschap van een moeder wavelet => bandpassfilter van het signaal Convolutie met moederwavelet = bandpassfiltering van het signaal Verdeelt het spectrum in: Hoog-frequente band: details Laag-frequente band: benaderingen <57>

58 Wavelets-DWT Filter Downsampelen met factor 2 van de benaderingen en de benadering opnieuw door de filter zenden Dit wordt een filterbank genoemd Filterbank = reeks van bandpass-filters <58>

59 Wavelets-DWT Filterbank, 3 niveaus 3 details 1 benadering Frequentieweergave van deze filterbank a 3 d 3 d 2 d 1 <59>

60 Wavelets-DWT Reconstructie van een DWT (3 niveaus): 3 details 1 niveau H en G: nu reconstructiefilters (andere filters dan bij de decompositie van het signaal) <60>

61 Wavelets-DWT <61>

62 Wavelets-DWT <62>

63 Wavelets-DWT Verband met gediscretiseerde CWT Hetzelfde als gediscretiseerde CWT met dyadische verdeling 2 n (met typische wavelet) Lijst met wavelets voor DWT: Daubechies, Haar, Coiflet Filteren met een bandpass met specifieke eigenschappen in plaats van convolueren met een wavelet Andere benadering voor hetzelfde <63>

64 Wavelets Inleiding Fourier Transformatie Tijds-frequentie representatie Wavelets Inleiding Continue wavelets Discrete wavelets (DWT) Wavelet packages (WP) <64>

65 Wavelets-WP Uitbreiding van de DWT Signalen gaan door meer filters dan bij de DWT <65>

66 Wavelets-WP Zowel details als benaderingen zijn de ingang voor verdere decompositie Basissignaal voor verdere analyses Door downsampelen: even groot als DWT In specifieke gevallen geven deze betere resultaten dan DWT bij analyse van signalen: vb bioelektrische signalen van de spieren <66>

67 Conclusie Tijdsreeks: Bevat informatie in tijdsdomein Geen informatie in frequentiedomein, alhoewel deze relevant kan zijn voor verdere analyze Fourier Transformatie: Omzetten van tijdssignaal naar het frequentiedomein Signalen worden stationair verondersteld Geen tijdsafhankelijkeheid <67>

68 Conclusie Short Time Fourier Transformatie Window over tijdssignaal: Fourier transformatie op een beperkt deel van het signaal Wel tijdsafhankelijkheid Keuze van de breedte van het window belangrijk Window even breed voor zowel hoge als lage frequenties: trade off tussen tijds- en frequentieresolutie Tijd-frequentie representatie: spectrogram <68>

69 Conclusie Wavelets Kleine golf Tijdsafhankelijkheid Veranderlijke breedte: Goeie tijdsresolutie bij hoge frequenties Goeie frequentieresolutie bij lage frequenties Continue wavelet Discrete wavelet Filterbank Wavelet packages Tijd-schaal representatie <69>