WiskuNde in-zicht. Wiskunde in muziek. Pieter Belmans Matthias Roels

Transcriptie

1 WiskuNde in-zicht Wiskunde in muziek Pieter Belmans Matthias Roels

2 Voor we beginnen Log-in en wachtwoord computers: US214User, We downloaden de samples waarmee we werken: 1. ga naar 2. download samples.zip 3. en dan uitpakken (!) 2/43

3 Deel 1 Fourierreeksen 3/43

4 Wat is geluid? Geluid is een periodisch signaal (een golf ) Wiskundig: een functie die afhangt van de tijd zodat f (t + P) = f (t), met P de periode. Vraag Hoe beschrijft men deze functies? 4/43

5 Wat zijn de meest eenvoudige signalen? Dit zijn de goniometrische functies f (t) = A cos(ωt) en g(t) = B sin(ωt), met A en B de amplitude en ω de frequentie. Amplitude: 1 2 (het verschil tussen piek en dal) Frequentie: (afstand tussen twee toppen van de golf) 1 Vraag 1. Hoe klinkt zo n signaal? 2. Kunnen we deze gebruiken om complexere signalen te beschrijven? 5/43

6 Sinusgolf Audiofragment Sin wave.aup Bij het analyseren van het spectrum kan je best: Axis: Log frequency kiezen, Size groot genoeg nemen, Window is minder belangrijk, bij voorkeur Blackman-Harris. 6/43

7 Sinusgolf (2) 7/43

8 Een analogie met vectoren Een vector kan geschreven worden als v = a e x + b e y. y b v a x We willen iets gelijkaardigs doen met signalen: deze schrijven als lineaire combinaties van basisfuncties. 8/43

9 Fourierreeksen periodische signalen ontbinden in (mogelijk oneindige) som van eenvoudige signalen f (t) = A (A n cos(ω n t) + B n sin(ω n t)). n=0 oneindige som mag niet oneindig geven. = amplitudes A n en B n zullen kleiner en kleiner worden naarmate n groter wordt. 9/43

10 Blokgolf π 2π 3π 4π 5π 6π t 10/43

11 Blokgolf (2) Amplitude Frequentie Tijd 11/43

12 Blokgolf (3) Vorige slide: grafische weergave van eerste 4 termen van fourierreeks: s(x) sin (t) + 1 π 2 1 sin (2t) + sin (3t) sin (4t). 3π 2π Opmerking Dit is slechts een benadering! Deze wordt beter en beter naarmate er meer termen worden toegevoegd. 12/43

13 Blokgolf (4) Audiofragment: Square wave.aup 13/43

14 Zaagtand golf π 2π 3π 4π 5π 6π t 14/43

15 Zaagtand golf (2) Vorige slide: grafische weergave van eerste 4 termen van fourierreeks: s(x) 2 π sin (t) 1 π 2 1 sin (2t) + sin (3t) sin (4t). 3π 2π Opmerking De zaagtand (net zoals de blokgolf) klinkt onnatuurlijk: de verticale stukken vereisen oneindig veel energie omdat we zonder overgang van 1 naar 1 springen. Daarom kunnen dit soort geluiden nooit in de natuur voorkomen, en luisteren we ook nu naar een benadering. 15/43

16 Zaagtand golf (3) Audiofragment: Sawtooth wave.aup 16/43

17 Deel 2 Instrumenten analyseren 17/43

18 Hoe ontstaat gitaargeluid? Trilling van snaren wordt omgezet in wisselspanning door magnetische spoel: de pickups. (Wet van Faraday-Lenz) Wisselspanning moet versterkt worden om via luidsprekers hoorbare klank op te leveren. 18/43

19 Versterking van gitaargeluid Inputspanning van versterkers begrensd door minimum en maximum. Binnen deze grenzen: versterking lineair, d.w.z. elke frequentie in signaal wordt met zelfde factor versterkt. Levert cleane gitaarklank. Audiofragment Cleanguitar-sample.aup Vraag Wat gebeurt er wanneer de inputspanning de maximumspanning nadert? 19/43

20 Versterking van gitaargeluid (2) 20/43

21 Versterking van gitaargeluid (3) Versterking niet meer lineair: kleinere spanningen worden (relatief gezien) meer versterkt dan grotere. Toppen van golven met te grote amplitude worden afgerond: overdrive of clipping met vollere en warmere klank tot gevolg. Distortion/hard clipping: golftoppen worden afgekapt, dit levert vreemde componenten in spectrum Clipping levert typische rocksound. Audiofragment Overdriveguitar-sample.aup 21/43

22 Een enkele noot (piano) Audiofragment: Piano-G-sharp.aup G#=A D#=E C=B# 22/43

23 Een enkele noot (mondharmonica) Audiofragment: Harmonica-G-note.aup G G B D 23/43

24 Een enkele noot (gitaar) Audiofragment: A-flat-note.aup G#=A G#=A D#=E F#=G C=B# 24/43

25 Een enkele noot (gitaar) (2) Audiofragment: A-flat-harmonic.aup G#=A D#=E C=B# 25/43

26 Een enkele noot: conclusie Grondnoot is in beide gevallen duidelijk herkenbaar. Verschil gitaar/piano: zelfde boventonen maar andere amplitudes. Kleinere pieken door discretisatie van signaal en algoritme. 26/43

27 Oefening: juiste noten herkennen Audiofragment: Note1.aup Note2.aup Note3.aup 27/43

28 Fragment 1 28/43

29 Fragment 2 29/43

30 Fragment 3 30/43

31 C-noot: gitaar vs. mondharmonica Audiofragment: Exercise-sample1.aup Exercise-sample2.aup Exercise-sample3.aup 31/43

32 Fragment 1 32/43

33 Fragment 2 33/43

34 Fragment 3 34/43

35 C-akkoord Audiofragment: C-powerchord.aup C G 35/43

36 C-akkoord (2) Audiofragment: C-powerchord-overdriven.aup C G 36/43

37 C-akkoord (3) Audiofragment: C-powerchord-heavily-distorted.aup C G 37/43

38 Conclusie: clipping Clean: akkoordnoten duidelijk terug te vinden. Effect van clipping duidelijk zichtbaar in spectra! 38/43

39 C-akkoord (4) Audiofragment: C-major-chord.aup C G E 39/43

40 Deel 3 A Hard Day s Night 40/43

41 Analyse van het beginakkoord 41/43

42 Hoe pakken we dit aan? We houden rekening met: 1. boventonen die niet als aparte noten geteld moeten worden 2. de bezetting, en dus de (on)mogelijkheden van de instrumenten: 2.1 George Harrison: 12-snarige gitaar 2.2 John Lennon: gitaar 2.3 Paul McCartney: basgitaar 3. extra lid van de bezetting: George Martin op piano 42/43

43 Resultaat gitaar (George Harrison) gitaar (John Lennon) bas (Paul McCartney) piano (George Martin) 43/43