Meet- en Regeltechniek

Transcriptie

1 Meet- en egeltechniek Les 5: Het wortellijnendiagram Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit ndustriële ngenieurswetenschappen ESAT Departement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium

2 Meet- en egeltechniek: Vakinhoud Deel 1: Systeemtheorie Les 1: nleiding en modelvorming Les 2: Systemen van eerste orde Les 3: Systemen van tweede & hogere orde en met dode tijd Deel 2: Analoge regeltechniek Les 4: De regelkring Les 5: Het wortellijnendiagram Les 6: Oefeningen wortellijnendiagram Les 7: De klassieke regelaars Les 8: egelaarontwerp + oefeningen Les 9: Systeemidentificatie en regelaarsinstelling Les 10: Speciale regelstructuren Les 11: Niet-lineaire regeltechniek & aan-uit regelaars Deel 3: Digitale regeltechniek Les 12: Het discreet systeemgedrag & het discreet equivalent Les 13: De discrete regelkring & de toestandsregelaar

3 Les 5: Het wortellijnendiagram Het wortellijnendiagram [Baeten, EG1, Hoofdstuk 3] [*] nleiding Voorbeeld: analytische berekening polen Constructieregels Eigenschappen Bijkomende referentie: [*] Christian Schmid, The root-locus method, in Course on Dynamics of multidisplicinary and controlled Systems, UL:

4 nleiding Transiënt gedrag: bepaald door ligging polen van geslotenlussysteem (= wortels van karakteristieke vergelijking) Wortellijnenmethode = grafische procedure die verloop van polen van geslotenlussysteem i.f.v. versterkingsfactor K weergeeft Zelfde als stabiliteit van een P-regelaar bestuderen Polen die dicht bij de imaginaire as liggen zijn belangrijk (= dominante polen)

6 Voorbeeld: analytische berekening polen Concept: polen van geslotenlus TF berekenen en tekenen als functie van versterkingsfactor K Haalbaar voor 2 e orde systemen, niet voor hogere orde! Voorbeeld: 2 e orde systeem X ( p) + - e P-regelaar K u Systeem 1 Y ( p) ( p+a ) p G(p) = K p(p + a) = T (p) N(p) p 1 =0, p 2 = a (openlus TF) (openlus polen)

7 Voorbeeld: analytische berekening polen Geslotenlus TF: Q(p) = Y (p) X(p) = K p 2 + pa + K = Karakteristieke vergelijking: Polen geslotenlussysteem = wortels karakteristieke vgl: p 1,2 = a ± p a 2 4K = a r a ± K 2 P-regelaar Systeem X ( p) + - e K u 1 Y ( p) ( p+a ) p T (p) T (p)+n(p) T (p)+n(p) = 0 of p 2 + pa + K =0

8 Voorbeeld: analytische berekening polen Wortellijnendiagram: a constant, p 1,2 = a ± p K =0!1 a 2 4K = a r a ± 2 geval 1: P-vlak a 2 0 apple K< 2 K = K geval 2: a 2 K = 2 geval 3: a 2 <K<1 2 K = 0 K = 0 -a -a/2 0 K = (a/2)² K =

9 Voorbeeld: analytische berekening polen Wortellijnendiagram: conclusies? geslotenlussysteem altijd absoluut stabiel geslotenlussysteem relatief onstabiel bij hoge versterking P-vlak K = K = 0 K = 0 -a -a/2 0 K = (a/2)² K =

11 Constructieregels: Concept Meest algemene vorm van karakteristieke vergelijking: Hier is de openlus TF 1+G(p)H(p) =0 G(p)H(p) = K L(p + z 1 )(p + z 2 )...(p + z m ) (p + p 1 )(p + p 2 )...(p + p n ) met z i de nulpunten en p j de polen van de open-lus TF Concept grafische methode: teken wortellijnendiagram op basis van openlus nulpunten en polen ipv op basis van geslotenluspolen (veel moeilijker te berekenen)

12 Constructieregels: Definities Vermenigvuldigingsfactor K L (L-gain) Gelijkspanningsversterking K D K D = K Lz 1 z 2...z m p 1 p 2...p n Voorbeeld:

13 Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden Karakteristieke vergelijking van systeem (met versterkingsfactor K): 1 + KG(p)H(p) = 0 of KG(p)H(p) = 1 Hieruit kunnen we twee voorwaarden halen: modulusvoorwaarde: K = 1 G(p)H(p) hoekvoorwaarde: \KG(p)H(p) = k360

14 Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden We zoeken nu alle complexe getallen beide voorwaarden voldoen: die aan de hoekvoorwaarde heeft een oplossing p die voldoet aan: k360 = \KG(p)H(p) = \G(p)H(p) p = pe j = \ K L(p + z 1 )(p + z 2 )...(p + z m ) (p + p 1 )(p + p 2 )...(p + p n ) = \(p + z 1 )+\(p + z 2 )+...+ \(p + z m ) \(p + p 1 ) \(p + p 2 )... \(p + p n ) deze oplossing kan grafisch bepaald worden (zie verder) deze oplossing is onafhankelijk van de versterkingsfactor K

15 Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden p = pe j We zoeken nu alle complexe getallen die aan beide voorwaarden voldoen: de hoeken \(p + z i ) en \(p + p j ) tussen een willekeurig punt p en de nullen en polen van de openlus TF G(p)H(p) kunnen grafisch bepaald worden:

16 Constructieregels: Stabiliteitsvoorwaarden We zoeken nu alle complexe getallen beide voorwaarden voldoen: p = pe j die aan gegeven een oplossing p voor de hoekvoorwaarde, dan kan aan de modulusvoorwaarde altijd voldaan worden door een gepaste versterkingsfactor K te kiezen: K = 1 G(p)H(p)

17 Constructieregels: overzicht We overlopen nu een aantal eigenschappen en regels die het tekenen van een wortellijnendiagram vergemakkelijken: aantal takken beginpunten eindpunten takken op de reële as asymptotische richting breekpunten bij samenvallende polen of nulpunten hoek van vertrek

18 Constructieregels: aantal takken Het aantal takken van het wortellijnendiagram is gelijk aan het aantal polen van de openlus TF G(p)H(p) Voorbeelden:

19 Constructieregels: beginpunten De beginpunten van elke tak van het wortellijnendiagram worden bepaald door de polen van de geslotenlus TF bij een versterkingsfactor K = 0. n dit geval komen de polen van de geslotenlus TF overeen met de polen van de openlus TF. Modulusvoorwaarde: K =0 ) G(p)H(p) = 1 ) p = pool van G(p)H(p) Conclusie: de beginpunten zijn de polen van de openlus TF G(p)H(p)

20 Constructieregels: eindpunten De eindpunten van elke tak van het wortellijnendiagram worden bepaald door de polen van de geslotenlus TF bij een versterkingsfactor K =. n dit geval komen de polen van de geslotenlus TF overeen met de nulpunten van de openlus TF. Modulusvoorwaarde: K = 1 ) G(p)H(p) =0 ) p = nulpt van G(p)H(p) ndien de openlus TF minder nulpunten (m) dan polen (n) heeft dan ligger er n-m eindpunten op oneindig. Conclusie: de eindpunten zijn de nulpunten van de openlus TF G(p)H(p) er zijn n-m asymptoten naar eindpunten op

21 Constructieregels: takken op de reële as Een punt p op de reële as maakt altijd een hoek van 0 of 180 met een reële pool of nulpunt van de openlus TF. Een punt p op de reële as maakt altijd tegengestelde hoeken van -a en +a met een complex paar polen of nulpunten van de openlus TF Complex toegevoegde -a Pool of nulpunt Pool of nulpunt polen of nulpunten a Conclusie: alle punten op de reële as die links gelegen zijn van een oneven aantal nulpunten of polen van de openlus TF G(p)H(p) behoren tot het wortellijnendiagram.

22 Constructieregels: asymptotische richting Als openlus TF meer polen dan nulpunten heeft (n > m) dan lopen n-m takken naar oneindig met asymptotische richting: k360 = n m De asymptoten snijden de reële as in het zwaartepunt van de polen en nulpunten van de openlus TF: P m i=1 z i = Voorbeelden: P n j=1 p j n m n-m=1 180 n-m=2 90 n-m= n-m=

23 Constructieregels: breekpunten Wortellijnen verlaten of bereiken reële as altijd onder hoek van 90. Het punt waar dit gebeurt is breakaway/entry point en komt overeen met dubbele pool van geslotenlus TF: Voorbeeld: d dp 1+G(p)H(p) = d dp Breekpunt Samenvallende pool Wortellijnendiagram G(p)H(p) =0 GH= 1 (p+a)p x x -a 0 1

24 Constructieregels: hoek van vertrek Hoek l waarmee wortellijn vertrekt vanuit complex nulpunt z l of pool p l kan berekend worden uit hoekvoorwaarde: mx nx nulpunt: l = k360 \(z i z l )+ \(p j z l ) pool: Pool Willekeurig punt l = 180 k360 + Φ hoek? Beschouwde complexe pool 45-4+j j4 116,6 i=1 i6=l mx \(z i p l ) i=1 GH = 3 3(p+2) (p+8)(p²+8p+32) j=1 nx \(p j p l ) j=1 j6=l

25 Constructieregels: voorbeelden

27 Eigenschappen Wat kunnen we leren uit het wortellijnendiagram? absolute stabiliteit relatieve stabiliteit natuurlijke eigenpulsatie gedempte eigenpulsatie settling time

28 Eigenschappen: absolute stabiliteit egelsysteem is absoluut stabiel voor versterkingsfactoren die overeenkomen met wortellijnen in linkerhalfvlak Marginale stabiliteit wordt bereikt wanneer wortellijnen imaginaire as snijden: K rand stabiliteit G(j!)H(j!) = 1 Twee vergelijkingen in twee onbekenden: oplossing geeft versterkingsfactor K(!) waarvoor regelsysteem marginaal stabiel is op frequentie!

29 Eigenschappen: relatieve stabiliteit Om relatieve stabiliteit te onderzoeken benaderen we regelsysteem door 2e orde systeem: TF 2eorde = K! 2 n p 2 +2! n p +! 2 n elatieve stabiliteit en dempingsfactor worden dan bepaald door ligging van dominante polen: eële as: p 1,2 = Stijgende demping ζ waarden 1 0,8 0,9 0,97! n ± j p 1 0,5 0,3 0,1 2 maginaire as: ζ = 0 cos φ = ζ X ω n ζ X φ K ω n 1 ζ 2

30 Eigenschappen: eigenpulsaties De natuurlijke eigenpulsatie is evenredig met de reactiesnelheid van het systeem De gedempte eigenpulsatie is imaginair deel van pool die oscillerend gedrag van overgangsverschijnsel weergeeft Stijgende natuurlijke eigenpulsatie ω n Stijgende gedempte eigenpulsatie ω p

31 Eigenschappen: Settling time eële deel van pool geeft snelheid waarmee systeem naar eindwaarde gaat, bv. voor zuiver 1e orde systeem: 1 p + a! e at Settling time bepaalt grens van ±1% rond eindwaarde: 0, 01 = e at s ) t s = 4, 6/ a 1-4,6/ t s Gebied met polen met een een 'settling' tijd < 2. Lijn met polen met een een 'settling' tijd = t s t s 3. Gebied met polen met een een 'settling' tijd > t s