Meet- en Regeltechniek

Transcriptie

1 Meet- en Regeltechniek Les 2: Systemen van eerste orde Prof. dr. ir. Toon van Waterschoot Faculteit Industriële Ingenieurswetenschaen ESAT Deartement Elektrotechniek KU Leuven, Belgium

2 Meet- en Regeltechniek: Vakinhoud Deel : Systeemtheorie Les : Inleiding en modelvorming Les 2: Systemen van eerste orde Les 3: Systemen van tweede & hogere orde en met dode Deel 2: Analoge regeltechniek Les 4: De regelkring Les 5: Het wortellijnendiagram Les 6: Oefeningen wortellijnendiagram Les 7: De klassieke regelaars Les 8: Regelaarontwer + oefeningen Les 9: Systeemidentificatie en regelaarsinstelling Les 0: Seciale regelstructuren Les : Niet-lineaire regeltechniek & aan-uit regelaars Deel 3: Digitale regeltechniek Les 2: Het discreet systeemgedrag & het discreet equivalent Les 3: De discrete regelkring & de toestandsregelaar

3 Les 2: Systemen van eerste orde Systemen van eerste orde [Baeten, SYST, Hoofdstuk 3] Inleiding & Voorbeeld Transferfunctie van eerste orde systeem Systeemresons van eerste orde systeem Systeemdiagram van eerste orde systeem Bijzondere eerste orde systemen Samenvatting

4 Inleiding Systeem van eerste orde eenvoudigste systeem dat we kunnen voorstellen (naast zuivere versterking/verzwakking = nulde orde systeem) laat toe om o eenvoudige manier verschillende voorstellingswijzen en eigenschaen te introduceren: systeemresonsen: - en frequentieresons systeemdiagrammen: Bode-, Nyquist-, Black/Nichols-, nuluntenolen-diagram eigenschaen: integrerende vs. differentiërende werking eerste orde systemen komen in alle ingenieursdiscilines voor (elektrotechniek, mechanica, thermodynamica, hydraulica, ) en hebben al dezelfde transfertfunctie

5 Voorbeeld Elektrisch eerste orde systeem: RC-kring Vin R C Vuit afleiding : sanningsdeling over R en C TF = V uit() V in () = /C R +/C = +RC eerste orde afleiding 2: sanning-stroomverband + Lalace-transformatie V in (t) =Ri(t)+V uit (t) met V uit (t) = Z i(t)dt of i(t) =C dv uit(t) C dt V in () =(RC +)V uit ()! V uit() V in () = +RC.

6 Les 2: Systemen van eerste orde Systemen van eerste orde [Baeten, SYST, Hoofdstuk 3] Inleiding & Voorbeeld Transferfunctie van eerste orde systeem Systeemresons van eerste orde systeem Systeemdiagram van eerste orde systeem Bijzondere eerste orde systemen Samenvatting

7 Transferfunctie eerste orde systeem () Orde van een systeem = hoogste macht van in noemer transfertfunctie = graad van differentiaalvergelijking die systeem beschrijft (= orde hoogste afgeleide in differentiaalvergelijking) Eerste orde transfertfuncties fysische systemen: graad teller graad noemer vier mogelijke eerste orde transfertfuncties: i, +, d +, + v + telkens kan ook nog versterkingsfactor K worden toegevoegd

8 Transferfunctie eerste orde systeem (2) Eerste orde transfertfuncties meest gangbare vorm: TF e orde = K + K = statische versterking [dimensieloos] τ = constante [seconden] zuivere integrator/differentiator: TF int. = i en TF diff. = d τ i = integratieconstante τ d = differentiatieconstante

9 Les 2: Systemen van eerste orde Systemen van eerste orde [Baeten, SYST, Hoofdstuk 3] Inleiding & Voorbeeld Transferfunctie van eerste orde systeem Systeemresons van eerste orde systeem resons frequentieresons Systeemdiagram van eerste orde systeem Bijzondere eerste orde systemen Samenvatting

10 Systeemresons eerste orde systeem () Systeemresons lineair sinvariant systeem heeft unieke reactie o welbeaald ingangssignaal systeemidentificatie/-analyse: gekend ingangssignaal aanleggen & uitgangssignaal ometen keuze ingangssignaal hangt af van beoogde analyse Tijdsignaal INGANG imuls sta ram Frequentiesignaal sinus Systeem Tijdresons? UITGANG? Frequentieresons

11 Systeemresons eerste orde systeem (2) Tijdresons () drie meest voorkomende ingangssignalen: Imuls = A Oervlakte A Sta = E x E Stagrootte E dt Ram of Talud = m 2 x Helling m dt

12 breukslitsing en de Lalace-transformatietabel. Partieelbreukslitsing ge geeft de sta-, ramen imulsfunctie grafisch weer samen met de Lalace o dat een sta de isavan een K integraal E B imuls en dat een talud de integraal waarbij integreren overeenstemt met S() = = + een vermenigvuldiging met /. De + telkens eerste Systeemresons systeem (3) + orde een andere naam. bij de integratiesta Uit de definitie van de transfertfunctie volgt dat de uitgang gelijk is De nog ongekende waarden A en B, volgen uit de gelijkstelling van recht maal Tijdresons (2) de transfertfunctie (met alle veranderlijken of functies i.f.v. ). De s is bijgevolg aan de+tf staresons K gelijk E Lalace-domein: A ( maal + )de B ingang (-sta) E/ of 3.5 Tijdresons =! KE = B + (A + B) + K ( + ) E S() = Deze functie is nul voor t+= 0, gelijk aan KE voor t = en bereikt na een 63% KE. of B = KE en A = Met behul van de transformatietabel o ag van haar uiteindelijke waarde (=KE). De afgeleide van deze functie o het sti t = 0, levert staresons de geeft waarmee desdomein curve vertrekt is artieelbreukslitsing): hoek staresons (via Dit onmiddellijk het en uitgangssignaal i.f.v.. Het uitgangssignaa KE Lalace-getransformeerde de=bgtg invers van t t bovenstaande formule. Dit gebe. S(t) = Ae B = KE e breukslitsing en de+lalace-transformatietabel. Partieelbreukslitsing ge Deze functie is nul voor t -At /t K vergelijking E A Gebruik ooks(eens 2.7 omb en) B te bealen. van haar uiteindelijke waa S() = t) Staresons = = KE(-e + levert de hoek waarmee + + Uiteindelijke waarde KE 8 KE. =bgtg De nog ongekende waarden A en B, volgen uit de gelijkstelling van recht 0,63.KE K E A + ( + ) B a =! KE = B + (A + B) + ( + ) t (constante) S(t of B = KEFiguur en A3.4: = Staresons KE. Met behul vansysteem de transformatietabel o ag van een eerste orde

13 Systeemresons eerste orde systeem (4) Tijdresons (3) constante τ = waarbij staresons 63% van evenwichtswaarde bereikt = waarbij lineaire resons met hoek α evenwichtswaarde bereikt = maat voor snelheid van systeem statische versterkingsfactor K = versterkingsfactor van ingangssignaal naar evenwichtswaarde S( t) KE - t /t Staresons = KE(-e ) Uiteindelijke waarde 0,63.KE a t (constante)

14 Systeemresons eerste orde systeem (5) Tijdresons (4) imulsresons & ramresons AK Imulsresons = e -t/t Ramresons = mk [ t e -t/t + t - t] t I( t) R( t) Ingang = imuls ~A Ingang = mt ~ m 2 AK/t 0,37 AK/ t t 0,63 AK/ t mt 0,63 m t 0,37 mt t ( K=)

15 Systeemresons eerste orde systeem (6) Frequentieresons () frequentieresons = systeemreactie o sinusoïdaal signaal A.sin ( w t) K.A.sin ( w t + j) A KA Systeem of TF Ingang Uitgang j ( neg.) versterking of verzwakking met factor K faseverschuiving met hoek φ φ < 0: fase-naijling φ > 0: fase-voorijling frequentie-analyse = berekening K, φ voor alle ω

16 Systeemresons eerste orde systeem (7) Frequentieresons (2) onmiddellijke systeemreactie o sinusoïdaal signaal bestaat uit twee delen: overgangsverschijnsel + regimetoestand Ingang = sinus voor t > 0 = 0 voor t < 0 t = 0 Overgangsverschijnsel Regimetoestand (=freq.resons) Totaal (=som) overgang regime

17 Systeemresons eerste orde systeem (8) Frequentieresons (3) voorstelling resultaat frequentie-analyse: Bode-diagram Nyquist-diagram berekening frequentieresons uit transfertfunctie: = j! bewijs volgt uit inverse Lalace-transformatie van uitgangssignaal bij sinusoïdaal ingangssignaal [Baeten, SYST, Hoofdstuk 3, Sectie 3.9]

18 Systeemresons eerste orde systeem (9) Frequentieresons (4) berekening uit TF voor eerste orde systeem: TF eorde = G() = K +! G(j!) = K +j! magnitude/amlitude- en faseresons: G(j!) = K +j! = Mej' met M = G(j!) = K +j! = K +j! = K +!2 2 ' = \G(j!) =\Teller \Noemer = 0 bgtg(! )

19 Les 2: Systemen van eerste orde Systemen van eerste orde [Baeten, SYST, Hoofdstuk 3] Inleiding & Voorbeeld Transferfunctie van eerste orde systeem Systeemresons van eerste orde systeem Systeemdiagram van eerste orde systeem Bode-diagram Nyquist-diagram Black- of Nichols-diagram nulunten-olen-diagram Bijzondere eerste orde systemen Samenvatting

20 Systeemdiagram eerste orde systeem () Bode-diagram () amlitude- (in db) en faseresons vs. ulsatie (log-schaal) A = 20 log M = 20 log G(j!) ' = \G(j!) Amlitude in db Amlitudegedeelte Logaritmische schaal Pulsatie 'nul' 0, 0 00 ligt Pulsatie w in rad/sec o - oneindig Fasegedeelte Fase in graden 0, 0 00 Pulsatie w in rad/sec

21 waarde: A = 20 log M = 20 log G(j!) Pulsatie 'nul' 0, Fase ligt in o - oneindig graden Fase 0 Pulsatie w i Figuur 3.8: Het Bode-diagr Fasegedeelte Bij een logaritmische schaalverdeling een vermenigvuldiging Systeemdiagram eerste orde systeem (2)een factor (bi Voor stemt zeer kleine!-waarden geldt met 0, in 0 Pulsatie w 00 in rad/sec voorbeeld 0) overeen met een vaste afstand ograden de logaritmische schaal. Figuur 3.8 gee Figuur 3.8: Het Bode-diagram de obouw van het Bode-diagram weer. Om het amlitudegedeelte 0 van het Bode-diagram 0,A = 20 log K.! <<! Pulsatie w Bode-diagram (2) te tekenen gaan we de functie die A weergeeft i.f.v.!, evalueren voor zeer kleine!-waarden voor! = / en voor zeer grote Voor!-waarden. zeer kleineorde!-waarden geldt Figuur 3.8: Het Bode-diagra amlitudeverloo voor eerste systeem Voor! = / (de breekulsatie of afsnijulsatie) is K! <<! A = 20 log K. A(!) = 20 log M (!) = 20 log log K 20geldt log +! 2 2 = 20!-waarden Voor zeer kleine 2 2 +! A = 20 log K 20 log + = 20 log K Voor! = / (de breekulsatie is de werkeli! <<! A = of 20 afsnijulsatie) log K. voor zeer kleine ω-waarden: Johan Baeten 2 voor waarde ω = /τ: =! 20 log 20 log + =of20afsnijulsatie) log K 3dB. is AVoor zeer!-waarden geldt =grote / K(de breekulsatie (breek- of afsnijulsatie) Voor Het orde(! systeem 20 log voor zeer grote ω-waarden:! 3.8>>! A = 20 van log het K eerste ). Bode-diagram = 20geldt log K 20 log + = 20 log K Voor zeer grotea!-waarden A [db] Dit is een rechte die voor de waarde! = / gelijk i Asymtotisch verloo! >>! A = 20 log20 KdB 20 log (! ). 3helling db de kennen van deze rechte dan kunnen we de Voor zeer grote!-waarden geldt met de volgende redenering:! met een20 facto 20logK Dit is een rechte die voor de waarde! =Indien / gelijk is aan log Amlitudegedeelte door het unt met grootte A : 0,/t /t 0/t 2K de helling kennen dan [rad/s]! van >> deze! rechte A =w20 logkunnen 20we logdeze (! )tekenen. met de volgende redenering: Indien! met een factor 0 vergro Werkelijk verloo! 0! die! log K! =20/ loggelijk (!2 )is door het Dit unt grootte A2voor : A2 = 2 =rechte is met een de20 waarde Adeze 20 log K 20 log (0! 2 = rechte de helling kennen vandie dan kunnen we de Rechte daalt met!2met = 0!! A2 =redenering: 20 log logk(!!2 met ) log A2K= 2020 log 20 de volgende Indien een(!facto ) 20 db/decade

22 Systeemdiagram eerste orde systeem (3) Bode-diagram (3) faseverloo voor eerste orde systeem ' = \G(j!) =\Teller \Noemer = 0 bgtg(! )! =0) =0! =/ ) = 45!!) = 90 j [ ] 0 (breekulsatie) -45 /t w [rad/s] Fasegedeelte -90

23 Systeemdiagram eerste orde systeem (4) Bode-diagram (4) voorbeeld: 20 Amlitude in db i.f.v. de ulsatie in rad/sec G() = ,0 0, 0 0 Fase in graden i.f.v. de ulsatie in rad/sec interretatie: laagdoorlaatfilter [0,/τ] = bandbreedte ,0 0, 0

24 Systeemdiagram eerste orde systeem (5) Nyquist-diagram () reëel vs. imaginair deel frequentieresons G(j!) = <e[g (j!)] = K +j! = K ( j!) + 2! 2 K + 2! 2 en =m[g (j!)] = K! + 2! 2 kan worden geschetst o basis van Bode-diagram: teken voor elke ulsatie ω eindunt vector met lengte M en hoek φ m Comlex Vlak j = Faseverschuiving Re el Deel M = Versterking j e M Imaginair Deel We laten w vari ren van 0 tot en bekomen zo verschillende vectoren met lengte M en hoek j.

25 Systeemdiagram eerste orde systeem (6) Nyquist-diagram (2) eerste orde systeem: enkele belangrijke unten! =0! <e=k =m =0 M = K ' =0! =/! <e=k/2 =m = K/2 M = K 2/2 ' = 45! =! <e=0 =m =0 M =0 ' = 90 eerste orde systeem: Nyquist-diagram = halve cirkel m w = K/2 j = - 45 K e w = 0 K/2 w = / t

26 Systeemdiagram eerste orde systeem (7) Nyquist-diagram (3) voorbeeld: G() = m - -2 x 3.2r/s x 4r/s x 2.33r/s x 0.02r/s x 0.05r/s x 0.09r/s -3 x.36 r/s x 0.5r/s -4-5 x 0.79r/s x 0.46r/s x 0.27r/s e

27 Systeemdiagram eerste orde systeem (8) Black- of Nichols-diagram amlitude- (in db) vs. faseresons voorbeeld eerste orde systeem met K = w = /t A [db] j [ ] w = 0-3dB -6dB -9dB w =

28 Systeemdiagram eerste orde systeem (8) nulunten-olen-diagram () nulunten = wortels teller TF (o) olen = wortels noemer TF (x) nulunten-olen-diagram = nulunten/olen in comlexe vlak eerste orde systeem: K + t -/t x

29 Systeemdiagram eerste orde systeem (9) nulunten-olen-diagram (2) ligging olen beaalt transiënt gedrag systeem: a a < 0: stabiel systeem (transiënt gedrag sterft uit) a = 0: marginaal stabiel systeem (transiënt gedrag blijft) a > 0: instabiel systeem (transiënt neemt toe)! e at. Stabiele reactie Instabiele reactie t t t x x x x x x t t t Rand van de stabiliteit

30 Les 2: Systemen van eerste orde Systemen van eerste orde [Baeten, SYST, Hoofdstuk 3] Inleiding & Voorbeeld Transferfunctie van eerste orde systeem Systeemresons van eerste orde systeem Systeemdiagram van eerste orde systeem Bijzondere eerste orde systemen Eerste orde met differentiërende werking Zuivere integrator Zuivere differentiator Omgekeerd eerste orde systeem Samenvatting

31 Neem als voorbeeld de CR-kring uit figuur 3.7. De transfertfunctie hiervoor is C ~ /C C ~ /C Bijzondere eerste () V Vin RordeV systemen R rste orde Vuit uit in te orde met3.7: di erenti e rende werking Voorbeeld: e orde systeem metdifferentiërende di erentie rende werking: CR-kring Figuur Eerste orde systeem met werking () Figuur 3.7: Voorbeeld: e orde systeem met di erentie re d de CR-kring figuur 3.7. De transfertfunctie hiervoor is uit voorbeeld: RC-kring C ~ /C Vuit RC = = met = RC [sec]. Vuit RC Vin RC + + = = met = RC [sec]. Vuit Vin R Vin RC + + De statische versterking K voor deze kring is gelijk aan. Figuur 3.8 geeft de eenheidsstaresons en desysteem ramresons. Figuur 3.9 geeft het Bode-,K Nyquisten Black-diagram. Voorbeeld: di erenti werking: CR-kring Dee rende statische versterking voor deze kring is gelijk aan. F e orde staen met ramresons staresons en de ramresons. Figuur 3.9 geeft het Bode- Staresons = e -t/! = sta ~ / = met Ingang = RC [sec]. + + Ramresons = m! [- e-t/! ] m Staresons Ingang = e -t/!= mt ~ 2 Ramreso In Ingang = sta ~ / rking K voor deze kring is gelijk aan. Figuur 3.8 geeft de eenheidsramresons. Figuur 3.9 geeft het Bode-, Nyquist-men! Black-diagram. 0,63 sons = e -t/!0,37 gang = sta ~ /! -t/! Ramresons = mk!=[ e ] m Ingang = mt ~ 2 0,37 m! 0,630,63m!! K= Figuur 3.8: Sta- en ramresons van een systeem met di erentie rende werking

32 in De statische versterking K voor deze kring is gelijk aan. Figuur 3.8 geeft de eenheidsc ~ /C staresons en de ramresons. Figuur 3.9 geeft het Bode-, Nyquist- en Black-diagram. Bijzondere eerste orde systemen (2) Vin R Staresons = e -t/! rste orde Vuit Ramresons = m! [- e-t/! ] m Ingang = mt ~ 2 Ingang = sta ~ / te orde met di erenti e rende met werking Eerste orde systeem differentiërende werking (2) Figuur 3.7: Voorbeeld: e orde systeem met di erentie re d de CR-kring figuur 3.7. De transfertfunctie hiervoor is uit voorbeeld: RC-kring C ~ /C m! 0,63 0,37 Vin R Vuit! 0,63m Vuit K = RC! = = met = RC [sec]. Vin RC +! + Figuur 3.8: Sta- en ramresons van een systeem met di erentie rende werking Voorbeeld: e orde systeem met di erenti werking: CR-kring K voor deze kring Dee rende statische versterking frequentiediagrammen is gelijk aan. F staresons en de ramresons. Figuur 3.9 geeft het Bode- A[dB] -3 db m /t = met = RC [sec]. + + w w = /t Staresons = e -t/! 0,5 Nyquist Ramreso w= w=0 Ingang = sta ~ 0,5 / Bode K = de eenheidsrking K voor deze kring is gelijk aan. Figuur 3.8 geeft [ ] A[dB] ramresons. jfiguur 3.9 geeft het Bode-, Nyquist- en Black-diagram db w = /t sons = e -t/! 45 0 gang = sta ~ / Ramresons = m! [- e-t/! ] m Ingang w = mt ~ 2 /t 0,37 w= 0,63 In e j [ ] m! Black w=0 K= Figuur 3.9: Frequentiediagrammen voor eerste orde systeem met di erentie rende werking

33 r = ingangsd soorteli F in = constant A h = hoogte van de vloeiv Figuur 3.20: Het vloeistofreservoir als voorbeeld dh(t) H() (t) A = [sec] of = F in met in (t) = A A = oervlakte van he h(t) r dt in () Bijzondere eerstehetorde systemen (3) r = soortelijke [ instromend water zal een verandering van massa de hoo 3.3 De zuivere integrator Figuur 3.20: (of Het continu vloeistofreservoir als voorbeeld van een zuiv De uitgang van de integrator is het geı ntegreerde ogetelde ) ingangssignaal. 3.3Zuivere De zuivere integrator() e transfertfunctie is integrator dh(t) H() voorbeeld: vloeistofreservoir A HetZieinstromend water in (t) = Als voorbeeld nemen we een vloeistofreservoir. figuur T Fintegrator =. i F in (t) = van de met A = [s zal eenofverandering hoogte veroor dt in () (3.7) A F in = constant ingangsdebiet [kg/s] r A =inoervlakte van het reservoir (t) = A of [m2 ] dt in () r = soortelijke massa [ kg/m3 ] h = hoogte van de vloeistof [m] h(t) De uitgang integrator dh(t)van deh() is het geı ntegreerde (of co = met A = [sec] De transfertfunctie is De staresons van de integrator is een lineair stijgende lijn. De imulsresons van de Figuur 3.20: Het vloeistofreservoir als voorbeeld van een zuivere integrator ntegrator is een sta. Zie figuur 3.2. De uitgang van de integrator is het geı ntegreerde (of continu oge sta- en imulsresons T Fintegrator =. i De transfertfunctie is Het instromend water zal een verandering van de hoogte veroorzaken. We schrijven: in (t) Staresons = t /ti dh(t) H() = A dt of in () = met Imulsresons = /ti De staresons van de integrator is een lineair stijgen T AF=integrator [sec] =. i sta. Zie figuur 3.2. integrator is een /ti De uitgang van de integrator is het geı ntegreerde (of continu ogetelde ) ingangssignaal. De staresons van de integrator De transfertfunctie is T Fintegrator =. i is een lineair stijgende lijn. De I integrator is een sta. ZieStaresons figuur 3.2.= t /ti ti (3.7) Staresons t /ti met oervlakte ) (Ingang = sta met grootte ) (Ingang ==Imuls De staresons van de integrator is een lineair stijgende lijn. De imulsresons van de integrator is een sta. Zie figuur 3.2. Figuur 3.2: Sta- en imulsresons van de integrator Staresons = t /ti Imulsresons = /ti ti (Ingang = sta met grootte ) /t i Imulsreso /ti (Ingang

34 Bijzondere eerste orde systemen (4) Zuivere integrator (2) frequentieresons G i (j!) = j! i! M =! i en ' = 90 frequentiediagrammen A [db] 0 j [ ] 0-90 Bode Nyquist Black /ti! <e = 0 en =m = w w w = w = /ti w = 0 m - e! i w = 0 w = /t i w = -90 A [db] j [ ]

35 F uit (t) C j [ ] w e w= w 2= /tf = constan C = Caacitiet van het vat [ms ] i uit- P(t) Figuur 3.22: Frequentieresons van de integrator 0 w = 0 P = druk in he F uit (t) w C di erentiator : De zuivere di erentiator Figuur Het drukvat als -90 voorbeeld van een zuivere C = Caacitiet -90 Bijzondere eerste orde systemen (5) De uitgang van de di erentiator is de afgeleide van het ingangssignaal. De transfertfunctie is Zuivere differentiator () systeem geldt Frequentieresons vanvan de een inte FiguurFiguur 3.23: 3.22: Het drukvat als voorbeeld TF =. (3.8) (t) voorbeeld: drukvat () EendP benaderend voorbeeld van uit een zuivere di erentiator is een drukvat. Zie figuur dit=systeem =C! 3.4 Voor =De C d. geldtdi erentiator zuivere dt P () F uit = constant massadebiet [kg/s] dif f erentiator d dp (t) uit () (t)de = di erentiator C De staresons!is de afgeleide =dec =het dingangss. uit (t) van De uitgang van van derdaad de FTF de van di erentiator C di erentiator. 2 dt P () C = Caacitiet van het vat [ms ] is De imulsresons van de di erentiator is oneindig en heeft geen beteken Ditals geeft de TF van de di erentiator. De sta Figuur 3.23: Het drukvat voorbeeldinderdaad van een zuivere di erentiator geeft de staresons weer. T F = staresonseen imuls. dif f erentiator d. De imulsresons van de di erentiator is on Voor dit systeem geldt 3.24 geeft de staresons weer. di erentiator is een EenuitFiguur benaderend voorbeeld van een zuivere dp (t) Staresons () P(t) uit (t) =C dt! P () P = druk in het vat [N/m2 ] uit = C = d. Staresons Dit geeft inderdaad de TF van de di erentiator. De staresons van de di erentiator Imuls o.= td is oneindig en heeft geen betekenis.is F uit = constant mas een imuls. De imulsresons vanmet de di erentiator P(tImuls ) Figuur 3.24 geeft de staresons weer. met o.= td P = druk in het vat F uit (t) Ingang = sta met C grootte Staresons Imuls met o.= td Ingang = sta met grootte C =Ingang Caacitiet = stavan me 3.23: Het drukvat als voorbeeld van een zuive imulsresons = Figuurvan Figuur 3.24: Staresons de di erentiator Figuur 3.24: Staresons van de di e Figuur 3.24: Staresons van de di erentiator Voor dit systeem geldt entieresons vinden we weerom door te vervangen door j!. door te verv De frequentieresons vinden we weerom De frequentieresons vinden we weerom door te vervangen door j!.

36 Bijzondere eerste orde systemen (6) Zuivere differentiator (2) frequentieresons G d (j!) =j! d! M =! d en ' = 90! <e = 0 en =m =! d frequentiediagrammen A [db] j [ ] Bode Nyquist Black A [db] m w = w = /td w 2/td 2 90 /t d e j [ ] 90 0 w w = 0 w = 0

37 Het omgekeerde eerste orde systeem Het omgekeerde eerste orde systeem 3.5 Het omgek TT F F= = eerste orde systemen (7) (3.9) Bijzondere De transfertfunctie is De transfertfunctie is De transfertfunctie is v v Dit systeem komt in feite nooit alleen voor. De transfertfunctie moet gezien worden als Dit systeem komt in feite nooit alleen voor. De transfertfunctie moet gezien word een deel van de totale transfertfunctie van het gehele systeem. De staresons heeft geen een Omgekeerd eerste ordevan systeem: T Fis wel = belangrijk. De +staresons v. deel van de totalederhalve transfertfunctie gehele systeem. heef directe betekenis en wordt niet besroken. De het frequentieresons (We zullen later zien dat dit in feite de TF isniet van de ideale PD-regelaar). directe betekenis en wordt derhalve besroken. De frequentieresons is wel belan ideale PD-regelaar (zie later) Gelijkstelling van met j! geeft: Ditdesysteem komt in feite no (We zullen later zien dat dit in feite de TF is van ideale PD-regelaar). G(j!) komt= enkel voor groter + j v! met! <e =geeft: onderdeel =mvan = een v! Gelijkstelling van j!als deelsysteem van de totale transfe q M= + ( v!)2 ' = bgtg (!). directe en wordt de =m betekenis = v! Figuur 3.26 geeft het Bode- en Nyquist-diagram overeenkomstig deze transfertfunctie.. zien dat dit 2 (We zullen later M = Voor +zeer ( vkleine!) ulsaties ' = bgtg (!) Hierbij is vooral het Bode-diagram belangrijk. is de versterking Gelijkstelling gelijk aan of dus 0 db, voor zeer grote ulsaties is de versterking gelijk aan! envan neemt met j! g G(j!) = + j v!! <e = q ze dus evenredig toegeeft met!.het Bode- en 3.26 Figuur frequentiediagrammen Nyquist-diagram overeenkomstig deze transfertfu HierbijAis[dB] vooral het Bode-diagram belangrijk. Voor zeerg(j!) kleine ulsaties is vde = + j! verst! Bode gelijk aan of dus 0Werkelijk db, voor zeer grote ulsatiesnyquist is de versterking gelijk aan! en Asymtotisch 3dB ze dus evenredig toe met!. w= m A [db] /t Bode j [ ] 90 3dB 45 0 /t w Werkelijk /t w w = /t Figuur 3.26 geeft het Bod w=0 Nyquist Hierbij is vooral het Bode-di Asymtotisch e w = voor gelijk aan m of dus 0 db, w ze dus evenredig toe met!. w = /t Figuur 3.26: Frequentieresons van het omgekeerde eerste orde systeem j [ ] w=0

38 Les 2: Systemen van eerste orde Systemen van eerste orde [Baeten, SYST, Hoofdstuk 3] Inleiding & Voorbeeld Transferfunctie van eerste orde systeem Systeemresons van eerste orde systeem Systeemdiagram van eerste orde systeem Bijzondere eerste orde systemen Samenvatting Bode-diagram van willekeurig systeem Samenvatting nulunten-olen-beeld

39 3.6 Bode-diagram van een willekeurig systeem verloo naar boven toe verloen, als in de noemer van de TF staat, zal het amlitudeeen TF die bestaat uit drie stukken en faseverloo naar onder toe verloen. 0 Met de kennis over A de Bode-diagrammen van de afzonderlijke stukken, waa G() = 0,2 bestaat, kan gemakkelijk B.Cw [r/s]het volledige Bode-diagram ogesteld worden. Neem b een TF die bestaat uit drie stukken 3.6 Bode-diagram van willekeurig systeem een Samenvatting () Het Bode-diagram geeft de fase en de versterking: Som A A afzonderlijke stukken, waaruit de TF G() = Met de kennis over de Bode-diagrammen 20 logb.c G(j!) willekeurig = 20 van log( de ) = 20 log A + 20 log( B ) + 20 log( C ) Bode-diagram van systeem B.C +0 A bestaat, kan gemakkelijk het volledige Bode-diagram ogesteld worden. bijvoorbeeld \G(j!) = \( B.C ) = \A + \( ) + \(Neem ) B C bestaat Bode-diagram systeem som deelsystemen een TF die uitbode-diagram drie stukken Het geeft de=fase en Bode-diagramma de versterking: 0, 0,2 Het totale Bode-diagram w [r/s] bestaat dus uit de som van de afzonderlijke Bode-diagr A A Teken eerst=deze afzonderlijke en+tel vervolgens omc de 20daarom log G(j!) 20 log( ) = stukken 20 log A 20ze log( ) + 20o log( ) v B.C B G() = ) A te=bekomen. \G(j!) \( B.C ) = \A + \( B ) + \( C ) Som B.C frequentieresons Het geeft de fase en de versterking: uur Bode-diagram 3.27: Oefening Het totale Bode-diagram bestaat dus uit de som van de afzonderlijke Bode-di voorbeeld: A [db]deze afzonderlijke stukken en tel ze vervolgens o om d Teken daaromaeerst log G(j!)frequentieresons = 20 log( B.C )te = 20 log A + 20 log( ) + 20 log( ) B C bekomen. A \G(j!) = \( B.C ) = \A + \( B ) + \( C ) ( + 5) 0 am van G() =. Teken eerst de afzonder0, 0,2 ( + 0) w [r/s] Het totale Bode-diagram bestaata dus [db] uit de som van de afzonderlijke Bode-diagrammen. Teken daarom eerst deze afzonderlijke stukken en tel ze vervolgens o om de +5 volledige Som j [ ] frequentieresons te bekomen. 0 en 90 A [db] 0, , 0,2 0,2 uur 3.27 geeft enkel het asymtotisch verloo. Het j [ ] Som vloeiender en wordt weergegeven in figuur , 0, w [r/s] 0 Figuur 3.27: Oefening w [r/s] 0, 0,2 Som w [r/s] +0 w [r/s]

40 Samenvatting (2) Samenvatting nulunten-olen-beeld Eerste orde met integrerende werking TF = K + t x -/t Eerste orde met differenti rende werking K t + t x -/t o Zuivere integrator t x Zuivere differentiator t o `Lagí-comensator * k > K + t + k t o -/t x -/k t `Leadí-comensator * k > K + k t + t x -/t o -/k t (*) Zie later.