Katholieke Hogeschool Limburg

Transcriptie

1 Katholieke Hogeschool Limburg Departement Industriële Wetenschappen en Technologie Systeemtheorie SYST Johan Baeten Cursus gedoceerd aan e Academische Bachelor Elektromechanica e Academische Bachelor Elektronica 13 december 6

2 c Katholieke Hogeschool Limburg Departement industriële wetenschappen en technologie Universitaire campus gebouw B, bus 3, B-359 Diepenbeek, Belgium Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm, elektronisch of op welke andere wijze ook zonder voorafgaandelijke schriftelijke toestemming van de uitgever.

3 13/1/6 SYST Systeemtheorie Titularis Johan Baeten (BaJ) Docenten Johan Baeten (BaJ) Vakcode Vakbenaming SYST Systeemtheorie Jaar/ASR ABA EM - ABA ELO ECTS-punten Doelstellingen 1. Voortbouwend op elementaire wiskundige technieken zoals complex rekenen, differentiaal- en integraalrekenen enerzijds en uitgaande van de elementaire fysische bouwstenen met bijbehorende basiswetten anderzijds, het wiskundig model, in de vorm van een blokschema of transfertfunctie, van een willekeurig (mechanisch, elektrisch, elektronisch, thermisch ) doch analoog systeem of proces, opstellen door hanteren van de Laplace-transformatie met toepassing van de dynamische denkwijze en linearisatie. (AC1, AWC). De belangrijkste eigenschappen van de Laplace-transformatie bewijzen. (AC1) 3. Voor een gegeven analoog systeem het tijdgedrag (stap-, puls- ramprespons) berekenen (en tekenen) door toepassing van de inverse Laplace-transformatie op basis van partieelbreuksplitsing en met behulp van het formularium (Laplacetransformatie-tabel) (AC1) 4. Voor een gegeven analoog systeem het frequentiegedrag afleiden en tekenen in Bode- en Nyquistdiagram. (AC1) 5. Systeemeigenschappen synthetiseren uit en koppelen aan tijd- of frequentiegedrag. (AC1,AC) 6. Fourier-reeksontwikkeling toepassen op (elementaire) periodische signalen. (AC1) 7. Op basis van de overeenstemmende vorm in de basiswet, mechanische systemen substitueren naar equivalente elektrische systemen en omgekeerd. (AC1, AWC) Inhoudsopgave - Inleiding: modelvorming, systemen en signalen. - Laplace-transformatie: Voorwaartse, Inverse transformatie, eigenschappen - Tijdrespons van eerste en tweede orde systemen (impuls, stap, ramp) - Frequentierespons van eerste en tweede orde systemen (Bode, Nyquist) - Systemen met dode tijd. - Fourier-reeksontwikkeling en Fourier-transformatie. - Verbanden tussen ideale systeemelementen. Onderwijsvorm Studiemateriaal Hoorcollege met oefeningen Eigen cursus Systeemtheorie Aanvullende leermiddelen / Examenvorm 1 ste zittijd Schriftelijk examen: Het examen bestaat uit een 8-tal korte vragen zoals meerkeuze vragen over systeemeigenschappen, evaluatie van frequentie-eigenschappen uit een figuur, het tekenen van een Bode-diagram, het berekenen van een tijdrespons, het afleiden van een Laplace-eigenschap, het toepassen van een Fourier-reeksontwikkeling of het omvormen van een mechanische naar een equivalent elektrisch schema of omgekeerd. (AC1) de zittijd Schriftelijk examen: Idem

4 13/1/6 SYST Algemene Visie Systeemtheorie Systeemtheorie brengt de student een aantal basisvaardigheden voor het analyseren en beschrijven van het gedrag van systemen bij. Systeemtheorie is een door en door basisvak voor de ingenieur. Het ontwikkelen, verbeteren of automatiseren van een proces/systeem is maar zinvol of mogelijk indien de ingenieur een duidelijke voeling bezit voor realistisch systeemgedrag of voor aanvaardbare specificaties en indien hij/zij technieken kan hanteren om deze systemen te analyseren en te beschrijven. Alhoewel systeemtheorie een duidelijk ingenieursvak is, kan het vak niet onmiddellijk toegeschreven worden aan één enkele ingenieursrichting. Systeemtheorie is een vakdomein-overschrijdend vak in die zin dat de beschouwde technieken zowel voor mechanische, elektro-mechanische, elektronische, elektrische, hydraulische, pneumatische, thermodynamisch of zelfs chemische systemen van toepassing zijn. Relatie Algemene Opleidingsdoelstellingen Relatie met de Domeinspecifieke doelstellingen dus Opleidingsdoelstellingen Situering van het vak in het curriculum Instroom-Relatie met andere vakken Relatie met het werkveld - polyvalente algemene en technische basisvorming; - belangrijke technische basiskennis; - beredeneerde kennis; - nauwkeurigheid, attitude. - Systeemdenken en leren om via analyse en synthese probleemoplossend te denken; - Diepgaande theoretische vorming van overdrachtfuncties; - Technieken voor analoge signaalverwerking. Systeemtheorie vormt (in zijn geheel) de basis voor regeltechniek (REG), waar de analyse en beschrijving van al dan niet geregelde systemen essentieel is. Het vormt een uitgebreide inleiding op analoge signaalbewerking (A/D) voor het ontwerp en de analyse van filters of voor de beschrijving van frequentie-eigenschappen (Bode-diagram). (AC1) Verder biedt systeemtheorie een aantal ingenieurstechnieken die gebruikt worden in tal van ingenieursvakken zoals Meetsystemen (MSYS),Trillingen, Analoge elektronica, Elektriciteit en aandrijvingen voor de beschrijving van systemen. Door het vakoverschrijdend karakter, met een vergelijk van de opgedane kennis uit deze verschillende basisvakken, geeft systeemtheorie de perfecte synthese of integratie van deze kennis, welke essentieel is voor een grondige basiskennis en een brede beeldvorming van de toekomstige ingenieur: kennis uit één vakdomein is hierdoor overdraagbaar naar andere vakdomeinen! (AWC, BC) Een grondige studie van systeemtheorie is enkel mogelijk indien de student voldoende wiskundige bagage bezit voor wat integraal- en differentiaalrekenen, complex rekenen en partieelbreuksplitsing betreft. Verder kent systeemtheorie verschillende raakpunten naar vakken zoals fysica, mechanica of elektriciteit wat de beschrijving van ideale systeemelementen betreft. In zijn finaliteit stelt systeemtheorie de toekomstige ingenieur in staat om processen en producten qua tijd- en frequentiespecificaties op een kritische wijze te beoordelen en dit zowel in aankoop van producten wat specificaties door derden betreft als in de productie of het ontwerp als in de verkoop voor wat het opstellen van eigen productspecificaties betreft. (BC5) Aanvullende Informatie betreffende competenties en Evaluatie van de Competenties De evaluatie toetst naar de parate theoretische basiskennis, naar beredeneerd inzicht en naar toepassingsgericht oplossend vermogen om te komen tot het juiste resultaat volgens een adequate werkwijze. (AC1)

5 Inhoudstafel Inhoudstafel I 1 Inleiding 1 De Laplace-transformatie 3.1 Inleiding Definitie De Laplace-getransformeerde van enkele functies Eigenschappen Lineariteit Differentiatietheorema Integratietheorema Eindwaardetheorema Beginwaardetheorema Schaalfactortheorema Eerste verschuivingstheorema Tweede verschuivingstheorema (reële translatie) Vermenigvuldiging met t (complexe differentiatie) Deling door t (complexe integratie) Convolutie De inverse Laplace-transformatie De Laplace-transformatie bij de analyse van continue systemen Transformatietabel Systemen van eerste orde Inleiding Voorbeeld van een eerste orde systeem De transfertfunctie van het eerste orde systeem Tijd- en frequentierespons Tijdrespons Frequentierespons Frequentierespons van het eerste orde systeem Het Bode-diagram van het eerste orde systeem Het Nyquist-diagram Het Black- of Nichols-diagram Het nulpunten-polen-diagram Eerste orde met differentiërende werking I

6 Inhoudstafel 3.13 De zuivere integrator De zuivere differentiator Het omgekeerde eerste orde systeem Bode-diagram van een willekeurig systeem Samenvatting van het nulpunten-polen-beeld Oefeningen Bewijs p = jω Het tweede orde systeem Inleidend voorbeeld Het standaard tweede orde systeem De staprespons van het tweede orde systeem Doorschot Frequentierespons Het nulpunten-polen-diagram Afleiding van de staprespons voor het tweede orde systeem Doorschot bij een tweede orde systeem met complexe polen Afleiding resonantiefrequentie en resonantiepiek Voorbeeld: de RLC-keten als e orde systeem Systemen van hogere orde en systemen met dode tijd Hogere orde systemen Tijddomeinspecificaties voor hogere orde Frequentierespons Systemen met looptijd Frequentieanalyse van een systeem met looptijd Voorbeeld: oefening Fourier-transformatie en Fourier-reeksontwikkeling Fourier-transformatie Definitie Inverse Voorbeelden Eigenschappen Fourier-reeksontwikkeling Definities Afleiding Voorbeelden Bespreking Bibliografie 7 A Ideale systemen 73 A.1 Fysische veranderlijken A. Elementtype A..1 Veralgemeende inductantie A.. Veralgemeende capaciteit A..3 Veralgemeende weerstand II

7 Inhoudstafel A.3 Het vermogen A.4 Ideale bronnen A.5 Ideale transformatoren A.6 Verbindingsvoorwaarden tussen elementen A.7 Equivalente systemen A.8 Samenvatting III

8 Hoofdstuk 1 Inleiding Deze cursus beschrijft en analyseert het gedrag van elementaire systemen. Zulk een systeem wordt in het meest eenvoudige geval voorgesteld door een blokje. Een aaneenschakeling van systemen elk beschreven door blokjes levert dan een blokkendiagram op. De blokken stellen de fysische processen voor. Elk proces zet bepaalde grootheden om in andere grootheden. Bijvoorbeeld, een lamp, als proces, zet elektriciteit om in licht. Figuur 1.1 stelt een proces schematisch voor. De aankomende pijl duidt de ingangsgrootheid of het ingangssignaal aan. De vertrekkende pijl geeft het uitgangssignaal weer. Figuur 1.1: Voorstelling van een proces als blokje; a) algemeen, b) versterker Figuur 1. geeft nog twee basiselementen uit een blokkendiagram: het vergelijkingspunt, om signalen te combineren (optellen) of te vergelijken (aftrekken) en de aftakking, om een signaal meerdere malen te gebruiken. Figuur 1.: Bewerkingen op signalen De hier beschouwde systemen zijn allen causaal (zie later), lineair of lineariseerbaar, en tijdinvariant 1. Verder beperken we ons in deze cursus tot analoge systemen met één enkele (continue) ingang en één enkele (continue) uitgang of SISO-systemen (Eng.: Single Input, Single Output ). 1 Een systeem is tijdinvariant indien de coëfficiënten van de beschrijvende differentiaalvergelijking constant zijn. 1

9 1 Inleiding De beoogde analyse is meestal tweevoudig. Enerzijds onderzoeken we het gedrag van het systeem in de tijd, zoals bijvoorbeeld de reactie van het systeem op een plotse stapvormige wijziging aan de ingang. Anderzijds is ook het frequentiegedrag van een systeem belangrijk. De frequentieanalyse onderzoekt hoe het systeem reageert op een continue, sinusvormige ingang. Vertrekkend vanuit de differentiaalvergelijking, die het systeem beschrijft, zullen we eerst met behulp van de Laplace-transformatie de transfertfunctie (TF) opstellen. Deze ligt aan de basis van de analyse van het systeemgedrag in tijd- en in frequentiedomein. De cursus is als volgt opgedeeld. Hoofdstuk beschrijft de Laplace-transformatie. Hoofdstukken 3 en 4 behandelen systemen van eerste en tweede orde. Hoofdstuk 5 beschrijft kort systemen van hogere orde en analyseert het enige niet-lineaire blokje, dat we voorlopig zullen toelaten in een blokschema, namelijk dit voor een dode tijd. De hier geziene leerstof beperkt zich tot de essentiële basis voor de (latere) cursus regeltechniek. Belangrijke aspecten uit de systeemtheorie die voorlopig nog niet aan bod komen zijn de analyse van digitale systemen, de analyse van MIMO-systemen (Eng.: Multiple Inputs, Multiple Outputs ) en de beschrijving van het systeem in de toestandsruimte als een alternatief voor de TF. Johan Baeten

10 Hoofdstuk De Laplace-transformatie.1 Inleiding Het gedrag of de evolutie van een systeem (in de tijd) wordt klassiek beschreven met behulp van differentiaalvergelijkingen welke een verband leggen tussen ingangs- en uitgangssignaal (of signalen) van het systeem. Bijvoorbeeld, voor een capaciteit C met als ingang de stroom i(t) en als uitgang de spanning V (t) is de beschrijvende differentiaalvergelijking: V (t) = V () + 1 C t i(t)dt. Een meer beknopte beschrijving van een systeem is de transfertfunctie (TF). Deze geeft het verband tussen ingang en uitgang van het systeem weer als een algebraïsche vergelijking (dit is zonder afgeleiden of integralen). Om tot de gezochte TF te komen moeten we de Laplace-transformatie (welk een integraaltransformatie is) toepassen. Naast het bekomen van de TF laat het gebruik van de Laplace-transformatie ook toe om differentiaalvergelijkingen op een alternatieve manier op te lossen. Zoals we later zullen zien, verschaft de Laplace-transformatie bovendien inzicht in de frequentie-eigenschappen van een systeem.. Definitie De Laplace-getransformeerde van een functie f(t) wordt gedefinieerd als: F (p) = L {f(t)} = f(t)e pt dt (.1) op voorwaarde dat deze integraal bestaat (of dat de functie f(t)e pt convergeert). De invers Laplace-getransformeerde is: f(t) = L 1 {F (p)} = 1 πj a+j a j F (p)e pt dp (.) 3

11 De Laplace-transformatie Bovenstaande formules geven in feite de eenzijdige Laplace-transformatie weer. Dit wil zeggen dat de integraal enkel genomen wordt voor positieve tijden in de veronderstelling dat de functie f(t) een causale functie is. Causale functies bestaan enkel voor positieve tijden en zijn nul voor negatieve tijden. (Indien op tijdstip t = een Dirac-impuls optreedt (zie verder) moet als ondergrens voor de integraal genomen worden.) Indien F (p) de Laplace-getransformeerde is van f(t) (en dus f(t) de invers Laplacegetransformeerde van F (p)) dan vormen deze beide functies een transformatiepaar. We stellen dit schematisch voor als: f(t) F (p).3 De Laplace-getransformeerde van enkele functies Deze paragraaf past de Laplace-transformatie toe op enkele eenvoudige functies. Er wordt niet naar gestreefd om een wiskundig zo correct mogelijke afleiding te geven, doch eerder om op een eenvoudige, soms intuïtieve wijze tot de correcte oplossing te komen. De Dirac-impuls: f(t) = δ(t). De Dirac-impuls wordt gedefinieerd als een functie die is, voor alle tijdstippen verschillend van, en voor t = : { voor t =, δ(t) = (.3) voor t. Het oppervlak van (of onder) deze functie is in principe of onbepaald. Per definitie stellen we echter dat het oppervlak onder de puls 1 is: δ(t)dt = + δ(t)dt 1 De Laplace-getransformeerde van de Dirac-impuls wordt dan: L{δ(t)} = δ(t)e pt dt = + δ(t)e p dt + + e pt dt = 1 + (.4) Bijgevolg is de Dirac-impuls het tijdsignaal dat overeenstemt met de eenheid in het Laplace-domein: δ(t) 1 Stap: f(t) = a (met a een constant reëel getal) L{f(t)} = L{a} = op voorwaarde dat p >. [ e ae pt pt dt = a p ] = a p 4 Johan Baeten

12 .3 De Laplace-getransformeerde van enkele functies Exponentiële: f(t) = e at (met a een constant reëel getal) L{e at } = e at e pt dt = op voorwaarde dat p > a. Talud of ramp : f(t) = t L{t} = te pt dt = op voorwaarde dat p >. ( ) e pt td = p [ e e (a p)t (a p)t dt = a p [ t p e pt ] + 1 p f(t) = t n (bv. met n = parabolisch of kwadratisch) L{t n } = n! p n e pt dt = n! p n+1 op voorwaarde dat p > (zonder bewijs). Cosinus: f(t) = cos at L{cos at} = cos at e pt dt = [ cos at e pt = p = 1 p a p ] ] ( ) e pt cos at d p = 1 p a e pt dt = + 1 p [ e pt p ] = 1 p (.5) ( a sin at) e pt dt (.6) p sin at e pt dt. (.7) De overgang van vergelijking.5 naar vergelijking.6 stemt overeen met vergelijking.13. Het tweede gedeelte van vergelijking.7 lossen we nu op dezelfde wijze op: sin at e pt dt = ( ) e pt sin at d p [ sin at e pt = p = a p ] (a cos at) e pt p dt cos at e pt dt = a L{cos at} (.8) p Johan Baeten 5

13 De Laplace-transformatie De overblijvende integraal in vergelijking.8 is per definitie de Laplacegetransformeerde van cos at. Substitutie van vergelijking.8 in.7 levert: of L{cos at} = 1 p a L{cos at} p L{cos at} = p p + a. (.9) De Laplace-getransformeerde van een sinus, f(t) = sin at, kan op analoge wijze als die van de cosinus afgeleid worden. L{sin at} volgt echter rechtstreeks uit vergelijkingen.8 en.9: L{sin at} =.4 Eigenschappen.4.1 Lineariteit sin at e pt dt = a a L{cos at} = p p + a. (.1) De Laplace-transformatie is lineair omdat de som en de vermenigvuldiging lineair zijn of: L {a.f (t) + b.g (t)} = a.l {f (t)} + b.l {g (t)} = af (p) + bg(p) (.11) met a en b willekeurige constanten. Bijvoorbeeld: L{cosh at} = L{ eat + e at } = 1 L{eat } + 1 L{e at } = 1 [ 1 p a + 1 ] = p + a p p a op voorwaarde dat p > a. Verifieer zelf op analoge wijze dat L{sinh at} = a/(p a ) wetende dat sinh at = (e at e at )/..4. Differentiatietheorema De Laplace-getransformeerde van de afgeleide functie is gelijk aan de Laplacegetransformeerde van die functie vermenigvuldigd met p minus de beginvoorwaarde. Indien f(t) F (p) dan df(t) dt pf (p) f(o). (.1) Kortweg zeggen we: Afleiden komt overeen met een vermenigvuldiging met p. Het bewijs voor deze zeer belangrijke eigenschap maakt gebruik van volgende vergelijking: b f gdt = fg b a b fg dt. (.13) a a 6 Johan Baeten

14 .4 Eigenschappen De functie g is nu e pt of L{f (t)} = f (t)e pt dt = f(t)e pt f(t)e pt ( p)dt = f( )e p f() + p f(t)e pt dt. De Laplace-getransformeerde L{f (t)} bestaat op voorwaarde dat f(t) van exponentiële orde is of met andere woorden dat f( )e p = en is L{f (t)} = pl{f(t)} f(). Voor een tweede afgeleide vinden we door herhaaldelijk toepassen van eigenschap.1 L{f (t)} = pl{f (t)} f () = p[pf (p) f()] f () = p F (p) pf() f (). Voor een hogere orde afgeleide wordt dit d n f(t) dt n p n F (p) p n 1 n df() f(o) p dn 1 f(). dt dt n 1 Bijvoorbeeld: om de Laplace-getransformeerde van een sinus te berekenen in de veronderstelling dat we deze voor een cosinus reeds kennen, kunnen we het afleidingstheorema op de volgende wijze gebruiken d cos at dt = a sin at of sin at = 1 d cos at a dt Toepassing van de Laplace-transformatie op linker- en rechterlid geeft L{sin at} = 1 { } d cos at a L = 1 ( ) p p dt a p + a 1 a = p + a. Dit stemt natuurlijk overeen met vergelijking Integratietheorema De Laplace-getransformeerde van de geïntegreerde functie is gelijk aan de Laplacegetransformeerde van die functie gedeeld door p of Indien f(t) F (p) dan f(t)dt F (p) p. (.14) Johan Baeten 7

15 De Laplace-transformatie Kortweg zeggen we: Integreren komt overeen met een deling door p. Het bewijs voor deze eigenschap maakt gebruik van het differentiatietheorema (eigenschap.1). Stel g(t) = Verder geldt dus t f(t)dt dan is g(t) continu en is f(t) = dg(t). dt { } dg(t) F (p) = L{f(t)} = L = pg(p) g() met g() = dt { L } f(t)dt = L{g(t)} = G(p) = F (p) p..4.4 Eindwaardetheorema f()dt = De eindwaarde van de tijdfunctie f(t) wordt verkregen als de limiet voor p gaande naar nul van de Laplace-getransformeerde van f(t), vermenigvuldigd met p. Bewijs: Indien f(t) F (p) dan lim t f(t) = lim p pf (p). lim p pf (p) = lim (pf (p) f() + f()) p = lim = p f (t)e pt dt + f() f (t)dt + f() = f( ) f() + f() = f( )..4.5 Beginwaardetheorema Indien f(t) F (p) dan lim p pf (p) = f()..4.6 Schaalfactortheorema Het schaalfactortheorema is vooral nuttig wanneer de tijdbasis moet omgerekend worden naar een andere tijdeenheid. Indien f(t) F (p) dan f(at) 1 ( p ) a F. a Zonder bewijs. 8 Johan Baeten

16 .4 Eigenschappen.4.7 Eerste verschuivingstheorema Men noemt dit theorema ook het theorema van de complexe translatie omdat het betrekking heeft op een toename van p, waar p (zoals we later zullen zien) een complex getal is. Indien f(t) F (p) dan e at f(t) F (p a). Verifieer dit aan de hand van de definitie van de Laplace-transformatie..4.8 Tweede verschuivingstheorema (reële translatie) Let er op dat de tijdfuncties causaal zijn en dit na verschuiving moeten blijven. Indien f(t) F (p) dan f(t a) e ap F (p). (.15) Zonder bewijs..4.9 Vermenigvuldiging met t (complexe differentiatie) df (p) Indien f(t) F (p) dan tf(t) dp of door herhaaldelijk toepassen: Indien f(t) F (p) dan t n f(t) ( 1) n d n F (p) dp n. Zonder bewijs..4.1 Deling door t (complexe integratie) Indien f(t) F (p) dan f(t) t F (u)du. p Zonder bewijs Convolutie Het symbool geeft de convolutiebewerking weer. Indien f(t) F (p) en g(t) G(p) dan f(t) g(t) F (p) G(p). De Laplace-getransformeerde van de convolutie van twee tijdsignalen stemt overeen met de vermenigvuldiging van de Laplace-getransformeerden van deze signalen. Zonder bewijs. Johan Baeten 9

17 De Laplace-transformatie.5 De inverse Laplace-transformatie De bewerking L 1 {F (p)} = f(t) wordt de inverse Laplace-transformatie genoemd. De complexe functie F (p) is voor de hier beschouwde klasse van systemen steeds voor te stellen als een verhouding van veeltermen in p. F (p) = T (p) N(p) Voor fysisch realiseerbare systemen is de graad van de tellerveelterm T (p) kleiner dan of maximaal gelijk aan de graad van de noemerveelterm N(p). In deze gevallen kan door splitsing in partieelbreuken de echte breuk die F (p) voorstelt, herleid worden tot een som van eenvoudigere breuken waarvan we via de tabel met elementaire Laplace-transformatieparen (samengevat in paragraaf.7) tot de corresponderende tijdfunctie kunnen komen. In feite maken we hier gebruik van de lineariteitseigenschap van de inverse Laplace-transformatie L 1 {c 1 F (p) + c G(p)} = c 1 L 1 {F (p)} + c L 1 {G(p)} = c 1 f(t) + c g(t) (.16) met c 1 en c willekeurige constanten. Voor elke enkelvoudige wortel p i van de noemerveelterm (of pool 1 ) van F (p) geeft de partieelbreuksplitsing een breuk van de vorm A i p p i met A i = lim p pi (p p i )F (p). (.17) Voor elke meervoudige pool p i (r-keer) in F (p) bevat de partieelbreuksplitsing volgende breuken A (p p i ) r + A 1 (p p i ) r A r 1 p p i met A j = 1 j! lim p p j d j dp j [(p p i) r F (p)]. (.18) De coëfficiënt die hoort bij de enkelvoudige pool volgt rechtstreeks uit vergelijking.17. De coëfficiënten die horen bij de meervoudige polen daarentegen kan men beter niet bepalen met vergelijking.18 maar door gelijkstelling van de tellers in linker- en rechterlid nadat de partieelbreuken op gelijke noemer werden gebracht. Dit geldt ook voor complex toegevoegde polen die zullen leiden tot sinusvormige tijdsignalen in overeenstemming met de formules 1 tot en met 15 uit de transformatietabel op pagina 14. Voor elk complex toegevoegd polenpaar a ± jb bevat de partieelbreuksplitsing volgende term Bp + C (p a) + b. (.19) Bij zuiver complex toegevoegde polen is a = en is de bovenstaande breuk eenvoudig de som van een cosinus en een sinus (respectievelijk met coëfficiënten B en C). Indien a moet de teller Bp + C nog herschreven worden als (B(p a) + (C + B a) en komt de totale breuk overeen met een gedempte cosinus en een gedempte sinus respectievelijk met 1 De wortels van de noemerveelterm van F (p) zijn per definitie de polen van F (p). 1 Johan Baeten

18 .5 De inverse Laplace-transformatie coëfficiënten B en (C + B a)/b. Leer deze laatste twee formules echter niet vanbuiten maar leid ze telkens weer af! De mogelijkheid tot meervoudige (of samenvallende) complex toegevoegde polen laten we hier buiten beschouwing. Voorbeelden: { } Gevraagd L 1 p 1 (p + )(p + 1)p p 1 (p + )(p + 1)p A (p + ) + B (p + 1) + C p Volgens vergelijking.17 zijn (p + )(p 1) A = lim p (p + )(p + 1)p (p + 1)(p 1) B = lim p 1(p + )(p + 1)p ( 1) = ( + 1)( ) = 3 ( 1 1) = ( 1 + )( 1) = (p)(p 1) C = lim p (p + )(p + 1)p = ( 1) ()(1) = 1 Dit geeft: { } L 1 p 1 (p + )(p + 1)p { 3 = L 1 (p + ) + (p + 1) 1 p } = 3 L 1 { 1 (p + ) } + L 1 { 1 (p + 1) } 1 { } 1 L 1 p = 3 e t + e t 1 { } p Gevraagd L (p ) 3 of p + 1 (p ) A 3 (p ) + B (p ) + C (p ) = A(p )+ B(p ) + c 3 (p ) 3 p + 1 Ap + (B 4A)p + 4A B + C Dan is A = 1 B 4A = B = 4 4A B + C = 1 C = 5 Johan Baeten 11

19 De Laplace-transformatie of { } { } { p L = L 1 + 4L 1 1 (p ) 3 (p ) (p ) } + 5L 1 { } 1 (p ) 3 { } Gevraagd L 1 p p + 4p + 5 = e t + 4te t + 5 t e t = 1 et (5t + 8t + ) De wortels van de noemer zijn ± j. Dit geeft voor de partieelbreuksplitsing p p + 4p + 5 = p (p + ) + 1 Ap + B (p + ) + 1 Bijgevolg is A = 1 en B =. Voor de inverse transformatie moet bovenstaande breuk echter herschreven worden als een som van de formules 14 en 15 uit de transformatietabel (zie paragraaf.7). Dit geeft: p (p + ) + 1 C(p + ) (p + ) D (p + ) + 1 Eenvoudige gelijkstelling levert C = 1 en D =, of { } { } { } L 1 p = L 1 p + L 1 p + 4p + 5 (p + ) + 1 (p + ) + 1 = e t cos t e t sin t Later zullen we zien, dat we de som van een sinus en een cosinus (met dezelfde pulsatie) nog kunnen herschrijven als een sinus met faseverschuiving. 1 Johan Baeten

20 .6 De Laplace-transformatie bij de analyse van continue systemen.6 De Laplace-transformatie bij de analyse van continue systemen De oplossing van elke differentiaalvergelijking van de vorm met D y y(t) = D x x(t) D y = b n d n dt n + + b en D x = a n d n dt n + + a kan teruggebracht worden tot eenvoudige algebraïsche bewerkingen via de Laplacetransformatie. Toepassing van de Laplace-transformatie op beide leden levert: b n [p n Y (p) y()p n 1 y ()p n y n 1 ()] +b n 1 [p n 1 Y (p) y()p n y ()p n 3 y n ()] + + b 1 [py (p) y()] + b Y (p) = a n [p n X(p) x()p n 1 x ()p n x n 1 ()] +a n 1 [p n 1 X(p) x()p n 1 x ()p n x n ()] + + a 1 [px(p) x()] + a X(p). Dit is een algebraïsche vergelijking die als volgt herschikt kan worden Y (p) = H(p)X(p) + E(p) met H(p) = a np n + a n 1 p n a b n p n + b n 1 p n b en E(p) een verhouding van rationele veeltermen in p. De coëfficiënten van de tellerveelterm zijn functie van y(), y () y n 1 (), de beginvoorwaarden voor de uitgang (de eerste n 1 afgeleiden van de uitgang op tijdstip ), en de waarden x(), x () x n 1 () de beginvoorwaarden voor de ingang. De noemerveelterm is dezelfde als die van H(p). De functie H(p) wordt de systeemfunctie of de transfertfunctie van het door de differentiaalvergelijking beschreven systeem, genoemd. Johan Baeten 13

21 De Laplace-transformatie.7 Transformatietabel Onderstaande tabel geeft een samenvatting van enkele Laplace-transformatieparen. tabel geeft voor elk tijdsignaal ook het verloop aan. De f(t) (grafisch) f(t) (formule) F(p) 1. δ(t) 1. f(t) δ(t nt) e ntp 3. u(t) 1 1 p f(t) 4. tu(t) 1 5. p 1 t u(t) 1 p 3 f(t) 6. t n u(t) n! p n+1 f(t) 7. e at u(t) 1 p + a 8. f(t) te at u(t) 1 (p + a) 9. f(t) f(t) f(t) f(t) nt tijd tijd tijd tijd tijd tijd 1 t e at u(t) 1 (p + a) 3 1. f(t) t n e at u(t) n! (p + a) n+1 f(t) tijd tijd tijd tijd 11. (1 e at )u(t) tijd a p(p + a) f(t) 1. sin (ωt)u(t) ω tijd p + ω f(t) 13. cos (ωt)u(t) tijd p p + ω f(t) 14. e at sin (ωt)u(t) ω tijd (p + a) + ω 15. f(t) e at cos (ωt)u(t) p + a (p + a) + ω tijd Figuur.1: Tabel met Laplace-transformatieparen 14 Johan Baeten

22 Hoofdstuk 3 Systemen van eerste orde 3.1 Inleiding Het meest eenvoudige systeem is dit van eerste orde (naast een zuivere versterking of verzwakking hetgeen in feite een nulde orde systeem is). Na de definitie en een voorbeeld van een eerste orde systeem, zal dit hoofdstuk de verschillende mogelijke voorstellingswijzen van systemen aan de hand van het eerste orde model behandelen. We onderscheiden hierin twee grote groepen, namelijk de tijdrespons en de frequentierespons. Andere mogelijke voorstellingswijzen zijn het nulpunten-polen-diagram en de transfertfunctie. Elk van de diagrammen, responscurven of modellen vertalen hetzelfde systeem op een eigen specifieke wijze qua eigenschappen en interprtatie. 3. Voorbeeld van een eerste orde systeem Deze paragraaf beschrijft bij wijze van voorbeeld de afleiding van een elektrisch eerste orde systeem. Merk hierbij op dat er evengoed elektronische, thermodynamische, hydraulische, pneumatische, thermische, (bio)chemische of mechanische eerste orde systemen bestaan. Uiteindelijk zullen al deze eerste orde systemen (van welke aard ook) beschreven worden door dezelfde transfertfunctie. Alle eerste orde systemen gedragen zich dan ook op dezelfde wijze niettegenstaande dat het telkens om verschillende ingangs- en uitgangsgrootheden gaat. Laten we eerst de transfertfunctie berekenen van het systeem uit figuur 3.1, namelijk de RC-kring. Hierbij is V in de ingangsspanning en V uit, de spanning over de condensator, de uitgangsspanning. We weten dat we de condensator waarde C mogen vervangen door de veralgemeende impedantiewaarde van een condensator 1/pC. Nu mogen we de condensator als een gewone Figuur 3.1: Voorbeeld 1e orde systeem: RC-kring 15

23 3 Systemen van eerste orde weerstand beschouwen. De TF volgt dan uit de volgende regel: Dus Spanningen verhouden zich zoals de weerstanden waarover ze staan. TF = V uit(p) V in (p) = 1/pC R + 1/pC = RCp. De hoogste macht van p in de noemer is 1. Per definitie (zie later) is dit dan een eerste orde systeem. In de voorgaande berekeningen werd onmiddellijk de eenvoudigste weg gevolgd. Men kan de transfertfunctie ook op een andere manier berekenen. Veronderstel dat er een stroom i door de kring vloeit. Dan geldt V in (t) = Ri(t) + V uit (t) met V uit (t) = 1 C Substitutie geeft V in (t) = RC dv uit(t) dt + V uit (t). i(t)dt of i(t) = C dv uit(t) dt Toepassing van de Laplace-transformatie op deze differentiaalvergelijking levert dezelfde transfertfunctie op als voorheen. V in (p) = (RCp + 1) V uit (p) V uit(p) V in (p) = RCp. Bij de Laplace-transformatie werd verondersteld dat de beginspanning over de condensator V uit () gelijk is aan nul of met andere woorden dat de beginspanning over de condensator als referentiespanning moet beschouwd worden. De spanning V uit, voor tijdstippen verschillend van, is bijgevolg de afwijking van de werkelijke spanning over de condensator t.o.v. de spanning op ogenblik t =. 3.3 De transfertfunctie van het eerste orde systeem De orde van een systeem is gelijk aan de hoogste macht van p in de noemer van de transfertfunctie. Dit wil zeggen dat bij een eerste orde systeem de hoogste macht van p in de noemer gelijk is aan 1. De hoogste macht van p komt in feite overeen met de graad van de differentiaalvergelijking die het systeem beschrijft. De orde van een systeem is dus ook gelijk aan de hoogste afgeleide in de differentiaalvergelijking (zie voorgaand voorbeeld). Bij fysische systemen weten we verder dat de graad van de teller van de transfertfunctie nooit groter kan zijn dan die van noemer. Er zijn dan nog vier mogelijk transfertfuncties die voldoen aan de eisen van een eerste orde systeem. 1 τ i p, τp, τ d p 1 + τp, 1 + τ v p 1 + τp Bij elk van deze transfertfuncties kan nog een versterking K staan. 16 Johan Baeten

24 3.4 Tijd- en frequentierespons Indien men echter spreekt van het eerste orde systeem, dan gaat het steeds om de volgende TF: T F 1e orde = K 1 + τp In deze transfertfunctie staan twee parameters. K is de statische versterking. (3.1) τ is de tijdconstante. De tijdconstante heeft als dimensie seconden op voorwaarde dat de in- en uitgangsgrootheden dezelfde dimensie hebben. De statische versterkingsfactor is dan dimensieloos. Verder onderscheiden we de integrator- en differentiatortransfertfunctie. T F int. = 1 τ i p en T F diff. = τ d p met τ i de integratietijdconstante en τ d de differentiatietijdconstante. De differentiator zal in de praktijk nooit alleen voorkomen maar steeds in combinatie met andere systemen. (De differentiator is in feite ook geen eerste orde systeem). De volgende paragrafen beschrijven om te beginnen het gedrag van het eerste orde systeem in tijd- en frequentiedomein. Daarna komen dan o.a. de integrator en de differentiator op dezelfde wijze kort aan bod. 3.4 Tijd- en frequentierespons De reactie van een systeem op een wel bepaald ingangssignaal bepaalt per definitie de eigenschappen van dit systeem. Bij de analyse van een systeem zal men een gekend signaal aanleggen en het hieruit voortvloeiend uitgangssignaal of de respons bestuderen. Hierbij onderscheidt men twee soorten van ingangssignalen: willekeurige (nietperiodische) signalen of periodische signalen. De eerste groep worden tijdsignalen of tijdfuncties genoemd, de tweede groep frequentiesignalen. De meest gebruikte tijdfuncties zijn de stap-, de impuls- en de ramp - of taludfunctie. Het meest gebruikte frequentiesignaal is een sinus. De keuze van het aangelegde signaal hangt samen met de beoogde analyse. Dit kan een tijdrespons of een frequentierespons zijn. Figuur 3. geeft een overzicht. Figuur 3.: Overzicht analysemogelijkheden Johan Baeten 17

25 3 Systemen van eerste orde 3.5 Tijdrespons Bij de gebruikte tijdfuncties als ingangssignalen is de stapfunctie de belangrijkste. Volledigheidshalve komen echter ook de impulsrespons en de taludrespons aan bod. Figuur 3.3 Figuur 3.3: Tijdfuncties met overeenkomstige Laplace-formules geeft de stap-, ramp- en impulsfunctie grafisch weer samen met de Laplace-formules. Merk op dat een stap de integraal is van een impuls en dat een talud de integraal is van een stap, waarbij integreren overeenstemt met een vermenigvuldiging met 1/p. De constante krijgt bij de integratiestap telkens een andere naam. Uit de definitie van de transfertfunctie volgt dat de uitgang gelijk is aan de ingang maal de transfertfunctie (met alle veranderlijken of functies i.f.v. p). De staprespons S(p) is bijgevolg gelijk aan de TF maal de ingang (-stap) E/p of S(p) = K 1 + τp E p Dit geeft onmiddellijk het uitgangssignaal i.f.v. p. Het uitgangssignaal i.f.v. de tijd is de invers Laplace-getransformeerde van bovenstaande formule. Dit gebeurt via partieelbreuksplitsing en de Laplace-transformatietabel. Partieelbreuksplitsing geeft: S(p) = K 1 + τp E p = A 1 + p + B p τ De nog ongekende waarden A en B, volgen uit de gelijkstelling 1 van rechter en linker lid. K 1 + τp E p = τap + (1 + τp) B (1 + τp) p KE = B + τ (A + B) p of B = KE en A = KE. Met behulp van de transformatietabel op pagina 14 wordt de staprespons ) S(t) = Ae t τ + B = KE (1 e t τ 1 Gebruik ook eens vergelijking.17 om A en B te bepalen. 18 Johan Baeten

26 3.5 Tijdrespons Deze functie is nul voor t =, gelijk aan KE voor t = en bereikt na een tijd τ 63% van haar uiteindelijke waarde (=KE). De afgeleide van deze functie op het tijdstip t =, levert de hoek α waarmee de curve vertrekt en is α =bgtg ( KE τ ). Figuur 3.4: Staprespons van een eerste orde systeem Figuur 3.4 geeft de staprespons weer. Uit de oplossing volgt dat de uitgang zijn uiteindelijke waarde zo goed als bereikt heeft na 5 maal de tijdconstante. De tijdconstante is dus een indicatie voor de snelheid van het systeem. Systemen met een grote tijdconstante zijn langzame systemen, systemen met een kleine tijdconstante zijn snelle systemen. Figuur 3.5: Impuls- en ramprespons van het eerste orde systeem Nu kunnen we de statische versterkingsfactor en de tijdconstante definiëren: De tijdconstante is de tijd waarbij de uitgang (van een eerste orde systeem) als respons op een stap, 63% van de uiteindelijke waarde bereikt of ook de tijd waarbij de uitgang de uiteindelijke waarde bereikt indien ze met dezelfde snelheid zou blijven toenemen als op het tijdstip nul. De statische versterkingsfactor is de factor waarmee het ingangssignaal versterkt wordt indien dit niet meer verandert en indien men lang genoeg wacht of m.a.w. de statische versterkingsfactor is de factor waarmee statische signalen (frequentie nul) versterkt worden door het systeem. Johan Baeten 19

27 3 Systemen van eerste orde De impuls- en ramprespons kunnen op analoge wijze behandeld worden. Figuur 3.5 geeft de oplossing. 3.6 Frequentierespons De frequentierespons van een systeem is de blijvende reactie van het systeem op een sinusoïdaal signaal, dat meestal bestaat uit één enkele sinus met een bepaalde frequentie f of pulsatie ω en met een bepaalde amplitude A. Zie volgende figuur. Figuur 3.6: Frequentieanalyse Het uiteindelijk uitgangssignaal zal terug een sinus zijn maar met een andere amplitude en met een faseverschuiving t.o.v. het ingangssignaal. In het voorbeeld getekend in figuur 3.6, is de faseverschuiving ϕ negatief. Een negatieve faseverschuiving geeft aan dat de uitgangssinus later door nul gaat dan de ingangssinus of dat de uitgang naijlt op de ingang. Bij een positieve faseverschuiving ijlt de uitgang voor op de ingang. De frequentieanalyse gaat na hoe groot de versterking of verzwakking en hoe groot de faseverschuiving veroorzaakt door het systeem, zijn en dit voor alle mogelijk pulsatiewaarden, dus voor ω gaande van tot. De onmiddellijke reactie op een plots aangelegde sinus bestaat in feite uit twee delen, het overgangsverschijnsel en de regimetoestand. Het overgangsverschijnsel sterft vlug uit, zodat de frequentierespons enkel de regimetoestand beschrijft. Figuur 3.7 geeft een schematisch voorbeeld. Figuur 3.7: Overgangsverschijnsel en regimetoestand Het resultaat van de frequentieanalyse kan op verschillende wijzen worden voorgesteld. De twee belangrijkste voorstellingswijzen zijn het Bode-diagram en het Nyquist-diagram. Johan Baeten

28 3.7 Frequentierespons van het eerste orde systeem Indien de transfertfunctie van het systeem gekend is, kan men de versterking en de faseverschuiving gemakkelijk vinden door p gelijk te stellen aan jω en in te vullen in de transfertfunctie. Het bewijs hiervoor volgt uit de invers Laplace-transformatie van de uitgang bij een sinus als ingangsignaal. Voor het eerste orde systeem worden de afleidingen en berekeningen voor dit bewijs gegeven op het einde van dit hoofdstuk (paragraaf 3.19). 3.7 Frequentierespons van het eerste orde systeem De karakteristieken van de frequentierespons volgen uit de gelijkstelling van p met jω in de TF: T F 1eorde = G(p) = K 1 + pτ G(jω) = K 1 + jωτ (3.) G(jω) is een complex getal dat verandert i.f.v. de pulsatie ω. De absolute waarde van G(jω), voorgesteld door M, is gelijk aan de versterking. De hoek van G(jω) is gelijk aan de faseverschuiving ϕ. en K G(jω) = 1 + jωτ = Mejϕ met M = G(jω) = K 1 + jωτ = K 1 + jωτ = K (3.3) 1 + ω τ ϕ = G(jω) = Teller Noemer = bgtg(ωτ) (3.4) M en ϕ zijn functies van ω. Deze waarden worden meestal in figuren, zoals het Bode-, het Nyquist- en het Black-diagram, weergegeven. 3.8 Het Bode-diagram van het eerste orde systeem In het Bode-diagram wordt enerzijds de versterking A in db en anderzijds de faseverschuiving ϕ in graden i.f.v. de pulsatie ω uitgezet, waarbij de pulsatie-as een logaritmische schaalverdeling heeft. De decibel-waarde van een versterking is gelijk aan het maal het logaritme van die waarde: A = log M = log G(jω) Bij een logaritmische schaalverdeling stemt een vermenigvuldiging met een factor (bijvoorbeeld 1) overeen met een vaste afstand op de logaritmische schaal. Figuur 3.8 geeft de opbouw van het Bode-diagram weer. Om het amplitudegedeelte van het Bode-diagram te tekenen gaan we de functie die A weergeeft i.f.v. ω, evalueren voor zeer kleine ω-waarden, voor ω = 1/τ en voor zeer grote ω-waarden. ( ) K A(ω) = log M(ω) = log = log K log 1 + ω τ 1 + ω τ Johan Baeten 1

29 3 Systemen van eerste orde Figuur 3.8: Het Bode-diagram Voor zeer kleine ω-waarden geldt ωτ << 1 A = log K. Voor ω = 1/τ (de breekpulsatie of afsnijpulsatie) is de werkelijke waarde van A A ( ) 1 = log K log = log K 3dB. τ Voor zeer grote ω-waarden geldt ωτ >> 1 A = log K log (ωτ). Dit is een rechte die voor de waarde ω = 1/τ gelijk is aan log K. Indien we ook nog de helling kennen van deze rechte dan kunnen we deze tekenen. De helling vinden we met de volgende redenering: Indien ω met een factor 1 vergroot, dan gaat de rechte door het punt met grootte A : ω = 1ω 1 A = log K log (ω τ) A = log K log (1ω 1 τ) A = log K log (ω 1 τ) log (1) A = A 1 log (1) = A 1 db Dit komt erop neer dat de rechte een helling heeft van - db per decade waarbij een decade de afstand is die op de logaritmische schaal overeenstemt met een factor 1. In feite werden nu drie punten exact berekend: de asymptotische waarde voor ω gaande naar, de waarde bij de breekpulsatie ω = 1/τ en de asymptotische waarde voor ω gaande naar. Johan Baeten

30 3.8 Het Bode-diagram van het eerste orde systeem Figuur 3.9: Bode-diagram van het eerste orde systeem Het asymptotisch amplitudegedeelte van het Bode-diagram bestaat uit twee asymptoten. Het werkelijke verloop is rakend aan de asymptoten en heeft in het breekpunt (bij de breekpulsatie) een afwijking van -3 db. Figuur 3.9 geeft het volledige Bode-diagram. Het faseverloop volgt rechtstreeks uit de formule die de faseverschuiving beschrijft i.f.v. ω. De faseverschuiving is nul bij ω =, is 45 bij ω = 1/τ en wordt 9 voor ω gaande naar. Merk op dat ω = en ω = op een logaritmische schaal de limietwaarden vormen. Voorbeeld: Teken het Bode-diagram van het volgende eerste orde systeem: G(p) = 1 p + 1 Gegeven: τ = sec en K = 1. Bepaal eerst de breekpulsatie ω k = 1/τ = 1/ rad/sec =,5 rad/sec (Let op de eenheid!) Teken een horizontale die de verticale as snijdt in log(k) = db; Teken een rechte met helling -db/dekade die de vorige horizontale rechte snijdt bij de breekpulsatie; Teken het punt dat 3 db lager ligt dan het snijpunt van de twee rechten; Teken tenslotte een vloeiende lijn door dit punt en rakend aan de twee rechten. Teken nu het faseverloop onder het amplitudeverloop. Duid hiervoor het punt aan waarbij de fase 45 wordt, en teken hierdoor een vloeiende curve beginnend bij nul en eindigend bij 9. Johan Baeten 3

31 3 Systemen van eerste orde Een goede benadering voor het faseverloop is een rechte die vertrekt in bij 1/1 van de breekpulsatie en die aankomt in -9 bij 1 keer de breekpulsatie. Voor het eerste punt is de fase omzeggens, na het tweede punt is de fase bijna 9. Vergelijk nu het resultaat met figuur 3.1. Figuur 3.1: Bode-diagram van eerste orde systeem met K = 1 en τ = sec Interpretatie: In het gebied ω = tot ω = 1/τ worden de sinusvormige signalen vrijwel onverzwakt (met dezelfde versterking) doorgelaten. Dit frequentiegebied noemen we de bandbreedte van het systeem. Daar enkel de lage frequenties onverzwakt worden doorgelaten, noemt men dit ook een laagdoorlaatfilter. 3.9 Het Nyquist-diagram Het Nyquist-diagram vormt naast het Bode-diagram een tweede mogelijke manier om het frequentiegedrag van een systeem voor te stellen. In het Nyquist-diagram wordt het reëel en het imaginair deel van de transfertfunctie uitgezet en dit voor alle pulsaties gaande van nul tot oneindig. Bij elk uitgezet punt wordt vermeld bij welke frequentie dit punt behoort. De Nyquist-curve moet dus gegradueerd worden naar de pulsatie ω. Een schets van het Nyquist-diagram is meestal voldoende. Deze schets wordt afgeleid uit het Bode-diagram, zodat er in feite geen berekeningen nodig zijn. Volledigheidshalve worden de formules toch gegeven. G(jω) = Re [G (jω)] = K 1 + jτω = K (1 jτω) (3.5) 1 + τ ω K 1 + τ ω en Im [G (jω)] = Kτω 1 + τ ω (3.6) 4 Johan Baeten

32 3.9 Het Nyquist-diagram Men kan het Nyquist-diagram ook opbouwen door voor elke pulsatie ω een vector met lengte M uit te zetten onder een hoek ϕ. Figuur 3.11 geeft de algemeenheden van het Nyquist-diagram weer. De positieve zin voor de hoek ϕ is tegenuurwijzerszin. De getekende hoek is bijgevolg negatief. Figuur 3.11: Het Nyquist-diagram Om het Nyquist-diagram van het eerste orde systeem te tekenen bepalen we eerst enkele punten ω = Re = K Im = M = K ϕ = ω = 1/τ Re = K/ Im = K/ M = K / ϕ = 45 ω = Re = Im = M = ϕ = 9 Men kan wiskundig afleiden dat het Nyquist-diagram voor het eerste orde systeem in feite een halve cirkel is. Zie figuur 3.1. K Figuur 3.1: Nyquiqst-diagram van het eerste orde systeem De pijl geeft de toenemende waarde van ω aan. De hoek is negatief in uurwijzerszin. Schets nu bij wijze van oefening het Nyquist-diagram van 1/(1+p), (zie vorige oefening). Figuur 3.13 geeft de oplossing. Johan Baeten 5

33 3 Systemen van eerste orde Figuur 3.13: Het Nyquist-diagram van 1/(1 + p) 3.1 Het Black- of Nichols-diagram In het Black- of Nichols-diagram wordt de versterking A (in db) uitgezet in functie van de faseverschuiving ϕ (in graden). Zoals bij het Nyquist-diagram tekent men enkel het kwadrant waar de TF betrekking op heeft. In dit geval kwadrant 3. Zie figuur Figuur 3.14: Black- of Nichols-diagram van het eerste orde systeem met K = 1 Ook het Black-diagram wordt gegradueerd naar de pulsatie ω. Dit wil zeggen dat we bij enkele set van punten (versterking, faseverschuiving) de (bijbehorende) pulsatie aangeven Het nulpunten-polen-diagram De nulpunten van een systeem zijn de nulpunten van de teller van de transfertfunctie. De polen van een systeem zijn de nulpunten van de noemer van de transfertfunctie. 6 Johan Baeten

34 3.11 Het nulpunten-polen-diagram Het nulpunten-polen-diagram geeft de nulpunten en de polen van het systeem weer, getekend in het complex vlak. Een nulpunt wordt aangeduid met een o en een pool met een x. Zoals bij de staprespons gezien is, bepalen de polen het transiënt gedrag van het systeem. Elke (reële) pool a komt overeen met een exponentieel tijdgedrag: 1 e at. p a Indien a positief is dan wordt de exponentiële functie steeds groter. Het transiënt gedrag sterft niet uit of het systeem is instabiel. Indien a negatief is dan sterft de reactie vanzelf uit, zodat het systeem stabiel is. (Met reactie bedoelen we de uitgang als respons op een willekeurige ingang bijvoorbeeld ruis). Naarmate a meer negatief is, zal het overgangsverschijnsel vlugger uitsterven. Indien a =, dan bevindt het systeem zich op de rand van de stabiliteit. Het overgangsverschijnsel sterft niet uit en wordt ook niet noodzakelijk oneindig groot. De ligging van de polen en de nulpunten geeft dus informatie over de vorm van de transfertfunctie en over het tijdgedrag van het systeem. Figuur 3.15 geeft het nulpuntenpolen-diagram van het eerste orde systeem. Figuur 3.15: Nulpunten-polen-diagram van het eerste orde systeem Merk op dat 1/τ de breekpulsatie is uitgedrukt in rad/sec en dat 1/τ de pool is van het eerste orde systeem. Figuur 3.16 geeft het verband tussen de ligging van de pool en het transiënt gedrag. Figuur 3.16: Verband tussen het nulpunten-polen-diagram en het transiënt gedrag In de volgende paragrafen worden Bode-, Nyquist- Black- en nulpunten-polendiagrammen gegeven voor het eerste orde systeem met differentiërende werking, de integrator, de differentiator en het omgekeerde eerste orde systeem. De figuren volgen allemaal uit de transfertfunctie op een analoge wijze als in de voorgaande paragrafen. Johan Baeten 7

35 3 Systemen van eerste orde 3.1 Eerste orde met differentiërende werking Neem als voorbeeld de CR-kring uit figuur De transfertfunctie hiervoor is Figuur 3.17: Voorbeeld: 1e orde systeem met differentiërende werking: CR-kring V uit = RCp V in RCp + 1 = τp τp + 1 met τ = RC [sec]. De statische versterking K voor deze kring is gelijk aan 1. Figuur 3.18 geeft de eenheidsstaprespons en de ramprespons. Figuur 3.19 geeft het Bode-, Nyquist- en Black-diagram. Staprespons = e -t/ Ingang = stap ~ 1/ p Ramprespons = m [1- e -t/ ] Ingang = mt ~ m p 1,63 m,37 K =1,63m tijd tijd Figuur 3.18: Stap- en ramprespons van een systeem met differentiërende werking Figuur 3.19: Frequentiediagrammen voor eerste orde systeem met differentiërende werking 8 Johan Baeten

36 3.13 De zuivere integrator 3.13 De zuivere integrator Als voorbeeld nemen we een vloeistofreservoir. Zie figuur 3.. Figuur 3.: Het vloeistofreservoir als voorbeeld van een zuivere integrator Het instromend water zal een verandering van de hoogte veroorzaken. We schrijven: Φ in (t) = ρa dh(t) dt of H(p) φ in (p) = 1 τp met ρa = τ [sec] De uitgang van de integrator is het geïntegreerde (of continu opgetelde ) ingangssignaal. De transfertfunctie is T F integrator = 1 pτ i. (3.7) De staprespons van de integrator is een lineair stijgende lijn. De impulsrespons van de integrator is een stap. Zie figuur 3.1. Figuur 3.1: Stap- en impulsrespons van de integrator De frequentierespons vinden we weerom door p te vervangen door jω. G i (jω) = j 1 ωτ i M = 1 ωτ i en ϕ = 9 Re = en Im = 1 ωτ i Figuur 3. geeft het Bode-, het Nyquist- en het nulpunten-polen diagram van de integrator. Johan Baeten 9

37 3 Systemen van eerste orde Figuur 3.: Frequentierespons van de integrator 3.14 De zuivere differentiator De uitgang van de differentiator is de afgeleide van het ingangssignaal. De transfertfunctie is T F differentiator = pτ d. Een benaderend voorbeeld van een zuivere differentiator is een drukvat. Zie figuur 3.3. (3.8) Figuur 3.3: Het drukvat als voorbeeld van een zuivere differentiator Voor dit systeem geldt dp (t) Φ uit (t) = C dt Φ uit(p) P (p) = pc = pτ d. Dit geeft inderdaad de TF van de differentiator. De staprespons van de differentiator is een impuls. De impulsrespons van de differentiator is oneindig en heeft geen betekenis. Figuur 3.4 geeft de staprespons weer. Figuur 3.4: Staprespons van de differentiator De frequentierespons vinden we weerom door p te vervangen door jω. G d (jω) = jωτ d M = ωτ d en ϕ = 9 Re = en Im = ωτ d. Figuur 3.5 geeft het Bode-, het Nyquist- en Black-diagram van de differentiator. 3 Johan Baeten