Katholieke Hogeschool Limburg

Transcriptie

1 Katholieke Hogeschool Limburg Departement Industriële Wetenschappen en Technologie Regeltechniek 2 REG2 Deel : Digitale Regeltechniek Johan Baeten Cursus gedoceerd aan 3e Academische Bachelor Elektromechanica optie Elektrotechniek 3e Academische Bachelor Elektronica Schakeljaar Elektrotechniek 3 december 2006

2 c Katholieke Hogeschool Limburg Departement industriële wetenschappen en technologie Universitaire campus gebouw B, bus 3, B-3590 Diepenbeek, Belgium Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm, elektronisch of op welke andere wijze ook zonder voorafgaandelijke schriftelijke toestemming van de uitgever.

3 3/2/2006 REGELTECHNIEK 2 REG2 Titularis Johan Baeten (BaJ) Docenten Johan Baeten (BaJ) Vakcode Vakbenaming REG2 Digitale Regeltechniek / Fuzzy Regeltechniek Jaar/ASR 3 ABA EM/EL / Sch EL ECTS-punten 2 Doelstellingen Inhoudsopgave Onderwijsvorm Studiemateriaal - Een discreet systeem beschrijven d.m.v. differentievergelijking en discrete TF. (AC) - Het verband leggen tussen de eigenschappen van een discreet systeem en deze van het continu systeem, deels verder bouwend op de kennis uit basis regeltechniek (REG). (AC, AC2, AWC2) - Voor een gegeven continu systeem (regelaar) het discreet equivalent berekenen, bewust van de optredende benaderingen. (AC, BC2) - Uitgaande van de TF van een systeem de voorstelling van dit systeem in de toestandsruimte geven (ABCD) en omgekeerd. (AC) - Een discrete regelaar ontwerpen met de techniek van polenplaatsing in de toestandsruimte. (AC, BC2) -Eenvoudige praktische problemen (oefeningen), bijvoorbeeld i.v.m. stabiliteit, demping, gewenste resonantiefrequentie, bemonsteringsperiode, reactiesnelheid en andere regeltechnische eigenschappen van discrete systemen en regelkringen oplossen in het Z-domein en in de toestandsruimte. (AC, AC3, BC2, BC4) -Basisprincipes en denkwijze bij fuzzy-logic, fuzzy regelaars en regelkring weergeven en motiveren alsook de overeenkomsten hetzij verschillen tussen klassieke en fuzzy regelaars aangeven. (AC) Digitale Regeltechniek:. Beschrijving van digitale of discrete systemen.. Differentievergelijkingen: Opstellen oplossen.. Z-transformatie: Eigenschappen, rekenregels.. Verband P-domein en Z-domein.. Discrete regelaars en regelkring.. Discreet equivalent van continue systemen.. Discrete toestandsruimte, toestandsterugkoppeling en polenplaatsing.. Toepassingen en oefeningen. Fuzzy Regeltechniek: Basisprincipes - Fuzzy regelaar - Toepassingen. Hoorcollege, met inbegrip van oefeningen Eigen cursus Automatisering Regeltechniek 2 deel Digitale Regeltechniek Automatisering Regeltechniek 2: deel 2 Fuzzy Regeltechniek Aanvullende leermiddelen / Examenvorm ste zittijd Mondeling examen met schriftelijke voorbereiding: Het examen bestaat uit twee open oefeningen. De eerste oefening omvat hetzij de berekening van een discreet equivalent hetzij het ontwerp van een digitale regelaar. (AC, BC2, BC4) De twee oefening omvat het ontwerp van een toestandregelaar (AC, AC3, AWC2) waarbij telkens het formularium en rekenmachine gebruikt mogen worden. De student verdedigt de schriftelijk voorbereidde oplossingen mondeling bij de docent. (AC) 2 de zittijd Mondeling examen met schriftelijke voorbereiding: idem.

4 3/2/2006 Algemene Visie Regeltechniek is een ingenieursvak met als voornaamste inhoud het ontwerp en de instelling van regelaars en regelkringen (BC2, BC4). Wegens de permanente drang naar digitalisering zal dit in de praktijk vaak een digitale regelaar worden. Bij veeleisende processen, bijvoorbeeld met meerdere in- en uitgangen, is het gebruik van een toestandsregelaar dan weer aangewezen (AWC2). Relatie Algemene Opleidingsdoelstellingen Relatie met de Domeinspecifieke doelstellingen dus Opleidingsdoelstellingen Situering van het vak in het curriculum Instroom-Relatie met andere vakken Relatie met het werkveld - polyvalente algemene en technische basisvorming; - inzicht en vaardigheid om zelfstandig technische problemen op te lossen; - belangrijke technische basiskennis; - beredeneerde kennis; - nauwkeurigheid, attitude; - ontwerp geautomatiseerde installaties. - Inzicht in sturen, meten en regelen van (digitale) systemen; - Systeemdenken en leren om via analyse en synthese probleemoplossend te denken; - Realiseren van kwalitatieve elektromechanische projecten. Regeltechniek bestaat uit een aantal opeenvolgende vakken. Regeltechniek 2 bouwt voort op basis regeltechniek (REG) en beschrijft de werking, het ontwerp en de instelling van een regellus met minstens één digitaal element. (AC, AC2) De voornaamste inhoud van digitale regeltechniek is de Z- transformatie, transformatietechnieken voor het omzetten van een continu systeem naar een discreet equivalent, het ontwerp en de implementatie van (klassieke) digitale regelaars en het toestandsruimtemodel met ontwerp van een toestandsregelaar. Deze laatste techniek wordt enkel toegepast op enkelvoudige systemen ( ingang - uitgang), maar vormt desalniettemin een introductie in zeer voorname regeltechnische technieken. Tenslotte geeft fuzzy regeltechniek een beknopte inleiding op fuzzy regelaars. Regeltechniek hoort thuis in het vakdomein automatisering. (BC2) Het vormt één van de twee voornaamste peilers binnen automatisering. De andere peiler is stuurtechniek (PLC). Regeltechniek kent raakpunten met meetsystemen (gebruik van sensoren), ontwerpen en informatica (programmeren van een digitale regelaar). Aan de andere kant is regeltechnische basiskennis vereist in de vakken: robotica, hydraulica, vermogen sturingen (frequentieregelaars, elektrische aandrijvingen) en vermogenversterkers, elektronica en elektrische motoren. Digitale regeltechniek geeft bovendien een belangrijke basis voor digitale signaalverwerking. (AC2, BC4) De vereiste voorkennis om regeltechniek 2 aan te vatten is systeemtheorie, complex rekenen, basis regeltechniek, naast een evidente basis bagage wiskunde (algebra, matrixrekenen). Regeltechniek vormt in zijn finaliteit een onmisbare basiskennis bij elk mogelijk automatiseringsproces of ingenieursontwerp in een breed gamma aan technische domeinen (BC2, BC4): bijvoorbeeld in de procesindustrie (regelen van druk, temperatuur, niveau, debiet), bij het ontwerp of afstellen van motoren (snelheid, positie, stroom, kracht), in de robotica (positie en ondermeer ook voor toepassen van externe sensoren zoals visie, afstandsmeting of kracht). Ook bij het onderhoud van zulke systemen is een zekere regeltechnische basiskennis onontbeerlijk. (BC4) Aanvullende Informatie betreffende competenties en Evaluatie van de Competenties Naast de evidente basiskennis rond het vak regeltechniek zelf, (AC, AC2) vertegenwoordigt regeltechniek eveneens een ingenieursvak dat zich uitstekend leent om het ingenieursdenken en probleemoplossend vermogen van de student te ontwikkelen. (AC, AC3) Een regeltechnisch ontwerp omvat vaak naast een afwegen tussen de verschillende gestelde eisen ook een afwegen in de keuze van de meest geschikte ontwerptechniek. (AC3, AWC2) De evaluatie toetst naar beredeneerd inzicht (AC) en naar toepassingsgericht (AC2) oplossend vermogen (AC) om te komen tot het juiste resultaat (BC2, BC4) volgens een adequate werkwijze. (AWC2, AC3)

5 Inhoudstafel Symbolenlijst III Discrete systemen. Inleiding Het digitaal signaal Het discreet systeem Discrete tijdfuncties of sequenties Oplossing van de differentievergelijking De homogene oplossing Reële wortels Meervoudige wortels Complexe wortels De particuliere oplossing Oefeningen Samenvatting Het simulatieschema De Z-transformatie 9 2. Inleiding Definitie Berekening van de Z-getransformeerde Eigenschappen van de Z-transformatie Lineariteit Verschuivingstheorema s Sommatie Beginwaardetheorema Eindwaardetheorema Vermenigvuldiging met k Schaalfactortheorema Convolutie De inverse Z-transformatie Toepassing van de Z-transformatie bij de analyse van discrete systemen Eenzijdige Z-transformatieparen voor causale functies Het discreet systeemgedrag Inleiding Verband tussen Z-, tijd- en P -domein I

6 Inhoudstafel 3.3 Verband tussen de ligging van de polen en de impulsrespons Harmonische analyse bij discrete systemen De W-transformatie of bilineaire transformatie Het discreet equivalent Inleiding Digitale regelschema s (bij continue systemen) Ontwerp van discreet equivalent via numerieke integratie Ontwerp van discreet equivalent door transformatie van nulpunten en polen Ontwerp van een houd -equivalent Stabiliteit en nauwkeurigheid Stabiliteit Nauwkeurigheid Besluit Vergelijkende oefening Implementatie Transformatietabel De discrete regelkring Inleiding Het stabiliteitsonderzoek Relatieve stabiliteit Lijnen van constante σ Lijnen van constante gedempte eigen pulsatie ω p Lijnen van constante ζ en ω n Voorbeeld De Toestandsregelaar 6 6. Inleiding De toestandsruimte - Het toestandsruimtemodel Toestandsterugkoppeling Polenplaatsing De toestandsschatter Oefening Opgave Stabiliteit De reactie van het systeem op een impuls De differentievergelijking en het simulatieschema Toestandsterugkoppeling met polenplaatsing Aanvulling Oefening Opgave Stabiliteit Opstellen van de toestandsvergelijkingen Berekening van de toestandsterugkoppelmatrix F Simulatie van het systeem zonder en met toestandsterugkoppeling 76 II

7 Symbolenlijst Variabelen: k : discrete onafhankelijke variabele (stap) [ ] p : Laplace-variabele, pool w : parameter van de W-transformatie z : discrete Laplace-variabele, discrete pool ω : pulsatie [r/s] Signalen en functies: e : foutsignaal of willekeurige functie f, g, h, q : willekeurige functies u : stuursignaal, (uitgang regelaar, ingang systeem) x : ingangssignaal y : uitgangssignaal y p, y h : particuliere en homogene oplossing y 0s : nultoestandrespons y 0i : nulinputrespons M : absolute waarde van complexe TF (frequentieafhankelijke versterking) ϕ, γ : hoek van complexe TF (frequentieafhankelijke faseverschuiving) E(k), u(k) : discrete eenheidsstap I(k), δ(k) : discrete impuls h(k), H(z) : hulpvariabele - tussenoplossing F (p) : Laplace-getransformeerde van f(t) F (z) : Z-getransformeerde van f(k) G(z), H(z) : Rechtstreekse TF en terugkoppel TF Constanten: a, b, c : willekeurige constanten a : reëel deel van continue pool b : complex deel van continue pool f s : bemonsteringsfrequentie [Hz] i : intrestvoet, teller j : complexe eenheid m : aantal nulpunten n : aantal polen of natuurlijk getal q : quantiesatie-eenheid III

8 Symbolenlijst r, z 0 : absolute waarde van (complexe)discrete pool (modulus) A, B : (willekeurige) constanten K : versterking K r : versterking regelaar [ ] T : bemonsteringsperiode [s] λ : eigenwaarden θ : hoek van complexe discrete pool (argument) σ : reëel deel van de continue pool τ i, τ d : integratie- en differentiatietijdcte [s, ] ω n : natuurlijke eigenpulsatie [r/s] ω p : gedempte eigenpulsatie [r/s] ω s : bemonsteringspulsatie [r/s] ζ : dempingscoëffiënt [ ] Matrices en vectoren: A : systeemmatrix B : ingangsmatrix C : uitgangsmatrix D : doorkoppelmatrix F : terugkoppelmatrix I : eenheidsmatrix L : schatterterugkoppelmatrix X : toestandsvector Operatoren: Re, Im : reëel deel van, imaginair deel van D : vertragingsoperator E : vooruitschuifopeartor L A : annihilatoroperator L y : veelterm in E volgens karakteristieke vgl L{} : Laplace-transformatieoperator Z{} : Z-transformatieoperator Afkortingen: T F : transfertfunctie LSB : minst beduidend bit P LC : programmeerbare logische controle-eenheid DAC : digitaal naar analoog omzetter ADC : analoog naar digitaal omzetter M IM O : meerdere ingangen, meerdere uitgangen SISO : één enkele ingang, één enkele uitgang IV

9 Hoofdstuk Discrete systemen. Inleiding Alvorens in te gaan op discrete regelsystemen, dienen enkele begrippen aangehaald te worden om verwarring hieromtrent te voorkomen. We zullen eerst de betekenis van een digitaal signaal uitleggen samen met de fouten die hierbij optreden. Vervolgens wordt een voorbeeld gegeven van een discreet systeem en de manier waarop we zulk een systeem kunnen voorstellen en beschrijven. Zo komen we tot de differentievergelijking die eigen is aan elk discreet systeem en waarvoor de standaard oplossingen gegeven worden. Dit doen we m.b.v. twee discrete operatoren. Tenslotte wordt het verband gelegd tussen de differentievergelijking en het simulatieschema dat de basis kan vormen van een simulatieprogramma (bijvoorbeeld onder TUTSIM of MATLAB)..2 Het digitaal signaal Indien we een continu signaal willen digitaliseren dan komen hierbij twee omvormingen kijken. Het continu verlopend signaal zal eerst op welbepaalde tijdstippen bemonsterd worden. Op welbepaalde tijdstippen zal men het signaal opnemen en vasthouden (Eng.: sample and hold). We maken van het continu signaal een discreet signaal. Vervolgens zal men dit (voorlopig nog altijd analoog) signaal quantiseren. Het signaal wordt dan bijvoorbeeld voorgesteld als een ( binair ) getal. Het getal geeft aan hoeveel eenheidspakketjes of quantums in het totaal signaal gaan. Discreet betekent dus niet continu in de tijd, terwijl de term gequantiseerd hetzelfde is als niet continu in grootte of amplitude. Enkel indien beide eigenschappen aanwezig zijn: discreet en gequantiseerd, spreekt men van een digitaal signaal.

10 Discrete systemen Voorbeeld: Stel dat we een spanning die kan variëren tussen 0 en 0 V, digitaal willen voorstellen en we willen hiervoor 8 bits gebruiken. Hoe groot is dan de waarde van bit in volt uitgedrukt? Het antwoord is eenvoudig: met 8 bits kunnen we 256 verschillende getallen voorstellen. We nemen hiervoor dan de getallen 0 tot en met 255. Het getal 0 laten we overeenstemmen met 0 V en het getal 255 laten we overeenstemmen met 0 V. Het getal geeft dan een spanning weer van 0/255 of ongeveer 0,04 V. 0,04 is dan het quantum dat overeenstemt met het minst beduidend bit (LSB). Alle spanningen die liggen tussen 0 V en 0,04 V, kunnen we slechts voorstellen door het getal 0 ( ) of het getal (000000). We kunnen dus ook niet onderscheiden of het analoog signaal gelijk was aan 0,04 V of 0,035 V vermits beide analoge waarden na digitalisatie door het zelfde getal worden voorgesteld. Het quantum of de analoge waarde die overeenstemt met het minst beduidend bit, geeft de resolutie aan waarmee we het analoog signaal bekijken. Het voorgaande voorbeeld geeft duidelijk weer waar het bij de quantisatiestap om gaat. Bij het quantiseren treedt steeds een fout op: de quantiesatiefout. Deze fout is maximaal gelijk aan de waarde van het LSB. In vele gevallen kunnen we er zelfs voor zorgen dat de quantiesatiefout kleiner blijft dan de helft van het LSB. Zie figuur.. uitgang uitgang of ingang ingang Maximale quantisatiefout = LSB Maximale quantisatiefout = LSB/2 Figuur.: Ingangs/uitgangskarakteristiek van een analoog/digitaal-omzetter Ook bij het discretiseren van het analoog, continu signaal treedt er een fout op: de discretisatiefout. Om deze fout te illustreren en om duidelijk het verschil aan te geven tussen de twee stappen, discreet maken en quantiseren, verwijzen we naar figuur.2. Figuur.2.a geeft het discreet signaal weer overeenstemmend met het gegeven continu signaal. De tijd tussen twee discrete waarden is de bemonsteringstijd of bemonsteringsperiode en de totale tijd van begin tot einde noemen we de bemonsteringsduur. Indien we blijven bemonsteren dan is de bemonsteringsduur natuurlijk oneindig. In de figuur worden de twee mogelijk voorstellingswijzen bij discrete signalen gebruikt. Hierbij veronderstellen we in het eerste geval dat het signaal aangehouden wordt tot bij de volgende bemonstering. Het tweede geval geeft aan dat het discrete signaal enkel geldig is op het bemonsteringstijdstip zelf en tussen de twee discrete tijdstippen in om het even welke waarde kan hebben. Welke van de twee voorstellingswijzen het best overeenstemt met de realiteit hangt af van de toepassing. Figuur.2.b geeft het gequantiseerd signaal weer waarbij we even de discretisatiestap wegdenken. Het gequantiseerd signaal kan enkel nog sprongsgewijs veranderen. En sprong of n stapje komt overeen met de waarde van het LSB. Figuur.2.c geeft tenslotte het resulterend signaal na quantisatie en discretisatie weer. 2 Johan Baeten

11 .2 Het digitaal signaal Analoog signaal Discreet signaal Bemonsteringstijd (a) Discretisatie of Continue tijd Discrete tijd Discrete tijd Analoog signaal (b) Quantisatie Gequantiseerd signaal Continue tijd Discrete tijd Analoog signaal (c) Digitalisatie Digitaal signaal Continue tijd Discrete tijd Figuur.2: Digitalisatie van een analoog signaal: discretisatie en quantisatie Figuur.3 geeft de digitalisatiefout weer die bestaat uit een discretisatiefout en een quantisatiefout. Grootte Digitalisatiefout Quantisatiefout Discretisatiefout Continu analoog signaal (volle lijn) Discreet signaal (stippellijn) Digitaal signaal (volle lijn trapsgewijs) tijd Figuur.3: Digitalisatiefout bestaande uit quantisatie- en discretisatiefout Figuur.4.a geeft een zeer mooi voorbeeld van het gevolg van de discretisatiefout bij sinusoïdale signalen met een periode die gelijk is aan het dubbel van de bemonsteringsperiode. De discrete punten die na bemonstering verkregen worden, liggen allen op n lijn. Van de oorspronkelijke sinus blijft er niets meer over. Johan Baeten 3

12 Discrete systemen Grootte Grootte Bemonsteringsperiode tijd tijd (a) (b) Figuur.4: Voorbeelden van aliasing of de terugvouwfout: (a) De frequentie van het bemonsterd signaal is gelijk aan de helft van de bemonsteringsfrequentie (f s ). (b) Twee signalen met frequenties gelijk aan /8 x f s en 7/8 x f s geven dezelfde discrete meetwaarden. In het Engels wordt de foutieve interpretatie van het oorspronkelijk signaal, zoals aangegeven in figuur.4) aliasing genoemd. De Nederlandse term hiervoor is de terugvouwfout. Deze naam vloeit voort uit het feit dat signalen met te hoge frequenties bij de discrete voorstelling terugvallen op lagere frequenties. Uit de discrete meetwaarden kan men dan niet meer opmaken welke de werkelijke frequentie van het oorspronkelijk signaal was. Men neemt dan maar de laagste sinus die past bij de discrete meetwaarden. Figuur.4.b geeft een voorbeeld. Oorspronkelijk hadden we een sinus met een frequentie gelijk aan 7/8 x de bemonsterings- frequentie fs (waarbij s staat voor sample ). Na het bemonsteren vormen de meetpunten een sinus met een frequentie gelijk aan /8 x de bemonsteringsfrequentie. Figuur.5 geeft algemeen aan op welke frequenties de te hoge frequenties terugvallen. We kunnen de figuur als een harmonica opvouwen tot we enkel een rechte krijgen die geldt voor de frequenties kleiner dan f s /2. (Vandaar de naam terugvouwfout!) f s / 2 Uitgang: Laagste frequentie overeenstemmend de meetpunten (discreet signaal) 0 0 f s / 2 f 2 f s s Ingang: Frequentie van het oorspronkelijk (analoog) signaal Figuur.5: Verband tussen de frequenties van het signaal voor en na bemonstering Om de terugvouwfout te voorkomen moet de frequentie van het ingangssignaal kleiner zijn dan de helft van de bemonsteringsfrequentie. Dit is het bemonsteringscriterium van Shanon of Nyquist: f ingangssignaal < f s 2 (.) We kunnen aan de bovenstaande vergelijking voldoen door het ingangssignaal eerst door een laagdoorlaatfilter te sturen. In de volgende hoofdstukken wordt het verband gelegd tussen de terugvouwfout en de discrete polen (z) van het systeem. 4 Johan Baeten

13 .3 Het discreet systeem.3 Het discreet systeem Discrete systemen zijn systemen die niet continu in de tijd veranderen of dus enkel op welbepaalde discrete tijdstippen veranderen. De discrete tijdstippen liggen niet noodzakelijk op voorhand vast. In feite speelt de tijd voor zulke systemen geen rol meer. Enkel de discrete stap heeft belang. De vergelijkingen die een discreet systeem beschrijven zijn dan ook geen functie meer van de tijd t maar van de discrete stap, die we aangeven met de parameter k. k kan waarden aannemen die gaan van 0,, 2, 3 tot. Een en ander zal duidelijk worden in volgend voorbeeld. Neem bijvoorbeeld als systeem een vat van 0 liter waarin zich een mengeling bevindt van twee produkten A en B. Op bepaalde tijdstippen tappen we van dit vat liter af met een bepaalde concentratie aan produkt A. Vervolgens wordt het vat weer gevuld. Er komt terug één liter bij maar ditmaal met een andere (niet noodzakelijk constante) concentratie aan A. Hoe gaan we voor dit discreet systeem bijhouden welke de concentratie is van het produkt A? En dit na elke discrete stap! Figuur.6 geeft een situatieschets. Concentratie A = y( k) Concentratie A= x( k) liter 0 liter 9 liter 9 liter 0 liter Concentratie A = y( k) Oorspronkelijk systeem op tijdstip of stap k liter Tussenstappen Systeem op tijdstip k (één discrete stap later) Figuur.6: Voorbeeld discreet systeem De concentratie van produkt A stellen we voor door de variabele y. Omdat de concentratie na elke stap verandert, moeten we aangeven om welke stap of om welk discreet tijdstip het gaat. Dit gebeurt met de parameter k. Op tijdstip k is de concentratie gelijk aan y(k). En tijdstip later is de concentratie gelijk aan y(k ). De concentratie aan A in de toegevoegde liter stellen we op elk tijdstip voor door x(k). Nu kunnen we de vergelijking opstellen die het gehele systeem beschrijft: 0y(k ) = 9y(k) x(k) of y(k ) = 0, 9y(k) 0, x(k) (.2) Indien we de concentratie aan A in het inkomend debiet kennen (dit is x(k)) dan kunnen we uit de huidige toestand (dit is y(k)) de volgende toestand berekenen (dit is y(k )). Bovenstaande vergelijking is een recursieve vergelijking of een differentievergelijking. Differentievergelijkingen beschrijven discrete systemen zoals differentiaalvergelijkingen continue systemen beschrijven. Indien men de differentievergelijking kent, dan kent men ook het volledig systeem en kan men alle toestanden van het systeem berekenen vertrekkende van de ingangswaarden en de begintoestand. Als voorbeeld berekenen we enkele waarden Johan Baeten 5

14 Discrete systemen van y beginnend met y(0) = 0 en x(k) = 0, 5 voor alle k waarden. y() = 0, 9y(0) 0, x(0) = 0, 05 y(2) = 0, 9y() 0, x() = 0, 095 y(3) = 0, 9y(2) 0, x(2) = 0, 355 y(4) = 0, 9y(3) 0, x(3) = 0, (.3) Het meest voorkomend discreet systeem is waarschijnlijk de computer. Alle veranderingen en processen (berekeningen) gebeuren op vaste kloktijden. (We spreken dan niet meer van bemonsteringsperiode maar van takttijd.) Elke klokpuls geeft een nieuw discreet tijdstip aan. De verschillende tijdstippen kunnen nog steeds voorgesteld worden door de discrete parameter k. Door k te vermenigvuldigen met de takttijd (het tijdsinterval tussen twee klokpulsen) krijgen we de werkelijke tijd. De meeste systemen daarentegen zijn continu. Door de koppeling met een computer of PLC moeten de continue uitgangssignalen van deze systemen echter gedigitaliseerd worden. Dit gebeurt met een analoog-digitaal omzetter (ADC). De signalen die komen van de ADC zijn digitale en dus ook discrete signalen. De ADC is dus een discreet systeem en kan enkel nauwkeurig beschreven worden door discrete vergelijkingen (Zie later). Het continu systeem samen met de ADC zou eveneens benaderd kunnen worden door een discreet model en bijgevolg beschreven kunnen worden door discrete vergelijkingen, omdat de signalen die eruit voortvloeien discreet zijn. De volgende paragrafen geven standaardoplossingen voor de differentievergelijkingen (naar analogie van het oplossen van differentiaalvergelijkingen). De oplossing is een discrete functie waar we slechts de waarde van k moeten invullen om de waarde van de uitgang op tijdstip k te kennen. We moeten de uitgangswaarde dan niet meer iteratief berekenen..4 Discrete tijdfuncties of sequenties Een discrete tijdfunctie of sequentie f(k) is een functie waarbij de onafhankelijke veranderlijk k alleen gehele getallen als waarde kan hebben. De optredende discrete tijdfuncties kunnen bemonsterde versies zijn van de continue tijdfuncties. Bemonsteren van een functie f(t) met het bemonsteringsinterval T geeft aanleiding tot de discrete functie f(kt ), beknopt genoteerd als f(k). De discrete tijdfunctie kan gedefinieerd worden door een expliciete opsomming. Bijvoorbeeld: { } f(k) =, 0, 0,, 2, 8, 4, 5 (.4) waarbij de pijl de waarde aanduidt overeenkomstig k = 0. We spreken van een causale sequentie indien f(k) = 0 voor alle negatieve k waarden. (In hetgeen volgt zullen we steeds met causale signalen werken). Een sequentie kan ook gedefinieerd worden door een formule. Bijvoorbeeld: { }) f(k) = a (= k, a,, a, a 2, a 3 (.5) 6 Johan Baeten

15 .4 Discrete tijdfuncties of sequenties Neem bijvoorbeeld de continue functie e t en bemonster deze om de halve seconde (T = /2). Welke discrete functie of sequentie levert dit? Figuur.7 geeft de oplossing. exp( -t) e k = exp (-kt) T = ½ sec tijd Figuur.7: Voorbeeld van een bemonsterd signaal en de discrete functie De som of het produkt van twee discrete functies komt overeen met het optellen of het vermenigvuldigen van de overeenkomstige elementen. Bijvoorbeeld: x(k) = { }, 0, 0,, 2, 8, 4, 5 en y(k) = 0 stap { }, 0, 0, 3,, 2, 4, 0 (.6) dan is de som: z(k) = x(k) y(k) = { }, 0, 3, 2, 4, 2, 4, (.7) en het produkt: q(k) = x(k) y(k) = { }, 0, 0,, 4, 32, 0, (.8) Figuur.8 geeft de definitie van een discrete stap (of de eenheidsstapfunctie) en een discrete impuls, twee veel als ingangssignaal gebruikte functies. De discrete impuls wordt ook de delta-sequentie ( δ(k) ) genoemd. Impuls ( k ) = voor k = 0 Stap E( k) = 0 voor k < 0 ( k ) = 0 voor k <> 0 E( k) = voor k > k Figuur.8: Definitie en voorstelling van de discrete impuls en eenheidsstap Bij discrete functies zijn met betrekking tot de discrete stap maar twee bewerkingen mogelijk: de vooruitschuifbewerking en de vertragingsbewerking. Hiervoor definiëren we de vertragingsoperator D en de vooruitschuifoperator E (=/D) als volgt: D {f(k)} = f(k ) en E {f(k)} = f(k ) (.9) Johan Baeten 7 k

16 Discrete systemen Toepassing van de operator E verschuift de sequentie over één interval dichter naar de oorsprong toe. Toepassing van de operator D geeft het omgekeerde. Neem bijvoorbeeld het discreet signaal uit figuur.9. Voor de tijdstippen, 2 en 3 is dit signaal respectievelijk gelijk aan, -2 en 3. Voor de rest is het nul. We stellen het signaal voor door de functie f(k). Hoe ziet dan het signaal f(k ) eruit dat we g(k) noemen? Figuur.9 geeft het antwoord. Door k = 0 te stellen, vinden we g(0) = f() =, voor k = geeft dit g() = f(2) = 2. g vertoont dus hetzelfde verloop als f maar alles n stap vlugger. Op een analoge wijze kunnen we het signaal f(k ) tekenen. Het signaal wordt nu vertraagd. 3 2 f( k) Vooruitschuiven E g( k ) = f( k ) = E{ f( k)} k k 3 2 f( k) Vertragen D 3 2 h( k ) = f( k -) =D{ f( k)} k Figuur.9: Vooruitschuiven en Vertragen van een discrete functie k.5 Oplossing van de differentievergelijking Naar analogie van het oplossen van differentiaalvergelijkingen, kan men ook een aantal standaard oplossingen voorstellen voor differentievergelijkingen. De oplossing is dan een discrete functie met k als onafhankelijke parameter. We zullen de volledige oplossing opbouwen uit de oplossingen van de homogene vergelijking en de particuliere vergelijking. Zodat we kunnen stellen dat: y(k) = y h (k) y p (k) (.0) waarin y h (k) de homogene en y p (k) de particuliere oplossing is..5. De homogene oplossing De homogene oplossing van de differentievergelijking is de oplossing van de homogene vergelijking. Ze is de natuurlijke respons van het systeem en beschrijft de wijze waarop het systeem vanuit de beginvoorwaarden naar de evenwichtstoestand evolueert. De vorm van de homogene oplossing wordt bepaald door de wortels van de karakteristieke vergelijking, die volgt uit de toepassing van de E-operator op de differentievergelijking. 8 Johan Baeten

17 .5 Oplossing van de differentievergelijking We geven een voorbeeld. voorbeeld: Neem terug de differentievergelijking, uit het voorgaande y(k ) = 0, 9y(k) 0, x(k) of y(k ) 0, 9y(k) = 0, x(k) (.) Maak hiervan een homogene vergelijking: y h (k ) 0, 9y h (k) = 0 (.2) Pas de E-operator toe en schrijf de veranderlijke y h (k) buiten de haken: E {y h (k)} 0, 9y h (k) = (E 0, 9) y h (k) = 0 (.3) In de polynoom die nu bij y h (k) staat (L y (E)), vervangen we de operator E door de veranderlijke r en stellen dit gelijk aan nul. L y (E) = (E 0, 9) L y (r) = r 0, 9 = 0 (.4) Dit geeft de karakteristieke vergelijking. De algemene homogene oplossing is dan: y h (k) = A r k (.5) waarbij r de wortel is van de karakteristieke vergelijking (hier = 0,9) en A een constante is die bepaald wordt door de beginvoorwaarden. Indien y(0) = 0, 5 dan is de homogene oplossing: y h (k) = 0, 5. (0, 9) k (.6) Verifieer deze oplossing door substitutie in de homogene differentievergelijking..5.. Reële wortels Indien de karakteristieke vergelijking n verschillende reële wortels heeft (r, r 2 r n ) dan is de (meest algemene) homogene oplossing van de vorm: y h algemeen (k) = A r k A 2 r k 2 A 3 r k 3... A n r k n (.7) In dit geval is de orde van het systeem gelijk aan n. De meest algemene homogene oplossing wordt opgebouwd uit n verschillende (homogene) oplossingen. De bijdrage van elke afzonderlijk oplossing hangt af van de constanten A tot en met A n die volgen uit de beginvoorwaarden. Substitutie van deze vergelijking in de homogene differentievergelijking geeft na hergroepering inderdaad steeds nul. (Probeer het eens uit) Meervoudige wortels Indien het systeem meervoudige wortels heeft dan is de homogene oplossing van de vorm: y h (k) =... A.r k A 2.k.r k... (.8) waarbij r een dubbele wortel is en waarbij A en A2 constanten zijn. Johan Baeten 9

18 Discrete systemen Voorbeeld: Neem het systeem y(k 2) 6y(k ) 9y(k) = 0. Dit geeft als karakteristieke vergelijking L y (r) = r 2 6r 9 = 0 met twee samenvallende wortels in 3. Bij de beginvoorwaarden y(0) = en y() = is de oplossing y(k) = 3 k 2 3 k3k. Controle: Vul de oplossing in in de oorspronkelijke vergelijking. 3 k2 2 3 (k 2) 3k2 6.3 k 2 3 (k ) 3k 9.3 k 8 3.k.3k? = 0. Uitwerken en hergroeperen geeft ( ) 3 k ( ) k.3 k! = Complexe wortels Indien het systeem complexe wortels heeft dan komen deze steeds voor in complex toegevoegde paren. Elk enkelvoudig paar a ± jb komt overeen met een oplossing van de vorm: y h (k) = A (a jb) k A 2 (a jb) k (.9) Elk complex getal stelt ook een vector voor bepaald door een lengte en een hoek of: a ± jb = z o e ±jθ (.20) Substitutie van vergelijking.20 in vergelijking.9 geeft: ( y h (k) = zo k A e jkθ A 2 e jkθ) = zo k (B cos kθ B 2 sin kθ) (.2) met z o = a 2 b 2 en θ = bgtg b a (.22) sin( k45 ) sin( t) stap tijd Figuur.0: Discrete sinus met discrete stap uitgedrukt in graden 0 Johan Baeten

19 .5 Oplossing van de differentievergelijking De functie sin(kθ) is een discrete sinus die bestaat uit een aantal discrete waarden bekomen door bemonstering van de continue sinus om de hoek θ. Zie figuur.0. Voorbeeld: Neem het systeem y(k 2) 2y(k ) 4y(k) = 0. Herschrijf dit als (E 2 2E 4)y(k) = 0 waaruit de karakteristieke vergelijking volgt: L y = E 2 2E 4 L y (r) = r 2 2r 4 = 0 Bepaal de wortels r en r 2. r,2 = ±j 3 z o = 2 en θ = 60. De homogene oplossing is dan: y h (k) = z k o (B cos kθ B 2 sin kθ) = 2 k (B cos k60 B 2 sin k60 ). Controleer de oplossing door ze in te vullen in de oorspronkelijke differentievergelijking: of 2 k2 [B cos (k 2) 60 B 2 sin (k 2) 60 ] 2.2 k [B cos (k ) 60 B 2 sin (k ) 60 ] 4.2 k (B cos k60 B 2 sin k60 )? = 0 2 k2 B [cos (k 2) 60 cos (k ) 60 cos k60 ] 2 k2 B 2 [sin(k 2)60 sin (k ) 60 sin k60 ]? = 0. Deze vergelijking is steeds nul, indien de volgende twee vergelijkingen nul zijn: { cos (k 2) 60 cos (k ) 60 cos k60 =? 0 sin (k 2) 60 sin (k ) 60 sin k60 =?. 0 Door de verschillende waarden van k in te vullen, stellen we vast dat deze twee vergelijkingen inderdaad gelijk zijn aan nul voor alle mogelijke (gehele) k waarden. In feite moeten we enkel de waarden k = 0,, 2,, 5 controleren. k = 6 geeft immers dezelfde vergelijking als k = 0, k = 7 komt overeen met k = enz. Dit wil zeggen dat de discrete (co-)sinus periodisch is met stappen van 6, dit is 360 /60. Uit de figuur van de discrete cosinus volgt eveneens dat aan de bovenstaande vergelijking voldaan is voor alle k waarden. Zie figuur.. (Voor de sinus geldt hetzelfde). Het bijzondere geval waar het systeem twee samenvallende complexe paren als wortels heeft wordt hier niet behandeld. We verwijzen hiervoor naar de samenvatting op het einde van deze paragraaf. Johan Baeten

20 Discrete systemen f( k ) = cos( k60 ) 0,5 f( k2)- f( k) f( k) = 0 0-0, stap - Figuur.: Een discrete cosinus met θ = 60 voldoet aan de vergelijking f(k 2) f(k ) f(k) = De particuliere oplossing De particuliere oplossing hangt af van de excitatiefunctie en dus van het ingangssignaal van het systeem. Voor de particuliere oplossing beperken we ons tot brave excitatiefuncties. Dit zijn functies die gelijk aan nul worden door toepassing van een annihilator-operator L A : L A {x(k)} = 0. (.23) Neem bijvoorbeeld als ingangssignaal x(k) = 2 k, (.24) dan is de annihilator-operator voor deze functie want L A = E 2 (.25) L A 2 k = (E 2) { 2 k } = E { 2 k} 2.2 k = 2 k 2.2 k! = 0. (.26) Enkele andere voorbeelden van brave excitatiefuncties met de bijbehorende annihilatoroperatoren zijn: x(k) = r k L A = E r x(k) = cos πk L A = E 2 2E x(k) = c L A = E (.27) Om voor een willekeurige functie de annihilator-operator te vinden, tracht men de karakteristieke vergelijking op te stellen met wortels die overeenstemmen met de excitatiefunctie (als oplossing). Neem bijvoorbeeld: x(k) = cos(θk) (.28) Bij een cosinus verwachten we een L A van tweede orde. Herschrijf de discrete cosinus als x(k) = k cos(θk). (.29) Dit komt overeen met de oplossing van een homogene vergelijking met als wortels r,2 =.e ±jθ. (.30) 2 Johan Baeten

21 .5 Oplossing van de differentievergelijking De annihilator-operator is dan L A = ( E e jθ) ( E e jθ) = E 2 2 cos θ E. (.3) Indien we de annihilator-operator L A kennen, kunnen we de volgende vergelijking schrijven: Ly {y(k)} = x(k) L A {Ly {y(k)}} = L A {x(k)}! = 0 (.32) Dit geeft een nieuwe homogene vergelijking L A.Ly {y(k)} = 0 (.33) De karakteristieke vergelijking overeenkomstig deze nieuwe homogene vergelijking is van een hogere orde dan de oorspronkelijk karakteristieke vergelijking. Zij heeft dus ook meer nulpunten of wortels dan de oorspronkelijke. De wortels die bijgekomen zijn, moeten afkomstig zijn van de annihilator-operator L A en hangen bijgevolg af van het aangelegd ingangssignaal x(k). Zij bepalen derhalve de particuliere oplossing van het volledig systeem. De constanten in de particuliere oplossing worden bepaald door de excitatiefunctie x(k). We vinden deze waarden door vervanging van de oplossing in de differentievergelijking. Voorbeeld: Herneem de differentievergelijking van het bakkensysteem, vergelijking.2. Bepaal de discrete oplossing bij een beginconcentratie van 0% (d.w.z. dat y(0) = 0) en een constante inkomende concentratie = 50% (d.w.z. x(k) = 0, 5 voor alle k). De systeemvergelijking wordt dan: y(k ) 0, 9y(k) = 0, 05 (E 0, 9) {y(k)} = 0, 05. Met de annihilator-operator L A = E erbij geeft dit: (E )(E 0, 9) {y(k)} = 0. De karakteristieke vergelijking is (r ) (r 0, 9) = 0. We vinden twee wortels r = en r 2 = 0, 9 die overeenstemmen met de algemene oplossing y(k) = A k A 2 0, 9 k met y h (k) = A 2 0, 9 k en y p (k) = A k = A. Uit de beginvoorwaarden y(0) = 0 volgt A 2 = A. Substitutie in de differentievergelijking geeft A = 0, 5, zodat de volledige oplossing gegeven wordt door y(k) = 0, 5 ( 0, 9 k) De concentratie van A op tijdstip 5 is dan bijvoorbeeld y(5) = 0, 5 ( 0, 9 5) = 0, Probeer eens deze waarde te berekenen op recursieve wijze volgens vergelijking.3! Figuur.2 geeft de respons van het systeem op het discreet stapsignaal met grootte 0, 5 weer. De oplossing geldt enkel voor een constant inkomend signaal x(k) = 0, 5. Johan Baeten 3

22 Discrete systemen A m plitude Discrete stap.5.3 Oefeningen Figuur.2: Verloop van de discrete functie y(k) Probeer zelf de oplossing te vinden voor de volgende discrete systemen:. y(k 2) 5y(k ) 6y(k) = x(k) met y(0) = 0, y() = 0 en x(k) = voor k = 0,, 2, 3 2. y(k 2) y(k ) y(k) = 0, 5 k met y(0) = 0 en y() =. 3. y(k ) 0, 6y(k) = cos 90 k met y(0) =. (Oplossing : y(k) = 0, 5 2 k 0, 5.3 k ) (Oplossing: y(k) =, 75 0, 5k, 75 cos 20 k sin 20 k ) (Oplossing:, 96, 36 0, 6k 0, 6, 36 cos 90 k, 36 sin 90 k ) 4. y(k 2) y(k) = 0 met y(0) =, y() = 0. (Oplossing: 2 2 ( )k ) 4 Johan Baeten

23 .6 Het simulatieschema.5.4 Samenvatting De oplossing van de differentievergelijking bestaat uit (de som van) een homogene oplossing en een particuliere oplossing. De vorm van de homogene oplossing wordt bepaald door de wortels van de karakteristieke vergelijking overeenkomstig de homogene differentievergelijking. Reële, verschillende wortels r en r 2 geven termen van de vorm: A r k A 2 r k 2 (.34) Reële samenvallende wortels (r) geven termen van de vorm: A 3.r k A 4.k.r k A 5 k 2 r k (.35) Complexe wortels a ± jb geven termen van de vorm: z k o (B cos kθ B 2 sin kθ) met z o = a 2 b 2 en θ = bgtg(b/a) (.36) Samenvallende complexe wortels geven termen van de vorm: z k o (B 3 cos kθ B 4 sin kθ) kz k o (B 5 cos kθ B 6 sin kθ) (.37) De particuliere oplossing vinden we met behulp van de annihilator-operator. De bijgekomen wortels bepalen op een gelijkaardige wijze als hierboven de termen van de particuliere oplossing. De constante coëfficiënten van de homogene oplossing volgen uit de beginvoorwaarden. Deze van de particuliere oplossing worden bepaald door de excitatiefunctie (het aangelegd signaal). Vul hiervoor de particuliere oplossing in, in de volledige differentievergelijking. De homogene oplossing moet je niet meer invullen want die geeft toch steeds nul!.6 Het simulatieschema Met behulp van drie elementaire bouwstenen kan een willekeurige differentievergelijking, die het input-output gedrag van een lineair, tijdsinvariant systeem beschrijft, op éénduidige wijze gesimuleerd worden. Deze drie bouwstenen zijn: het vertragingselement, de sommator en de versterker (verzwakker). Het vertragingselement komt overeen met de D-operator en voldoet aan de volgende vergelijking: g(k) = D {f(k)} = f(k ). (.38) Dit wordt grafisch weergegeven in figuur.3. f( k) f( k-) D Figuur.3: Het vertragingselement Johan Baeten 5

24 Discrete systemen Het vertragingselement wordt ook vaak aangeduid met de afkorting DEL afkomstig van het Engels woord delay. Het vertragingselement is de tegenhanger van de integrator bij continue systemen. Om het simulatieschema op te bouwen vertrekken we van de meest algemene differentievergelijking: b n y(k)b n y(k ) b y(k n)b 0 y(k n) = a n x(k) a 0 x(k n). (.39) Dit is volledig equivalent met b n y(k n)b n y(k n ) b y(k )b 0 y(k) = a n x(k n) a 0 x(k) (.40) Hierbij wordt de vergelijking meestal genormaliseerd door b n gelijk aan te stellen. Bovendien nemen we aan dat het aantal vorige waarden van de input x(k) hoogstens gelijk is aan n. Toepassing van de D-operator herleidt vergelijking.39 tot de TF y(k) x(k) = a n a n D a 0 D n b n D b D n b 0 D n (.4) Voer nu de hulpvariabele h(k) als volgt in: y(k) x(k) = y(k) h(k) h(k) x(k) en splits de TF op in twee stukken en (.42) h(k) x(k) = b n D b D n b 0 D n (.43) y(k) h(k) = a n a n D a 0 D n. (.44) x( k ) h( k) h( k-) h( k-2) h( k-n) D D D b n- b n-2 b0 Figuur.4: Simulatieschema van het eerste deel van de TF Teken uiteindelijk eerst het schema van x(k) naar h(k) en vul dit aan met het verband tussen h(k) en y(k). Herschrijf daarvoor het eerste deel van de TF ( bn D b D n b 0 D n) h(k) = x(k) (.45) of h(k) = x(k) b n h(k ) b h(k n ) b 0 h(k n). (.46) 6 Johan Baeten

25 .6 Het simulatieschema x( k ) h k ( ) h( k-) h( k-2) h( k-n) b n- a n D D D b n-2 a n- b0 a a0 Figuur.5: Het volledige simulatieschema volgens een willekeurige differentievergelijking y( k) Dit komt overeen met figuur.4. Vervolledig tenslotte figuur.4 volgens het tweede deel van de TF. Dit resulteert in figuur.5. De simulatie is slechts volledig indien samen met het simulatieschema een set van n beginvoorwaarden opgegeven wordt. Voorbeeld: Neem volgend discreet systeem y(k) = y(k ) iy(k ) x(k). Dit is de vergelijking van een spaarrekening, waar x(k) de jaarlijkse storting voorstelt, y(k) de stand van de rekening en i de interestvoet. Hierbij moet een passende beginvoorwaarde gekozen worden. Als de rekening geopend wordt bij k = 0 door een eerste storting te doen, dan is y(0) = x(0). Daar de rekening nog niet bestond bij k =, kan ook y( ) = 0 als beginvoorwaarde gekozen worden. De 2 mogelijke beginvoorwaarden zijn dan: y( ) = 0 of y(0) = x(0). In de eerste vorm is de beginvoorwaarde onafhankelijk van de input, in de tweede vorm wel. Het simulatie schema en de operatorvergelijking zijn weergegeven in figuur.6. Merk op dat ook de uitgang q van het vertragingselement bij k = 0 als beginvoorwaarde kan gekozen worden. x( k ) D q y( k) a = i ( E-a) y( k ) = Ex( k) a Figuur.6: Voorbeeld: simulatieschema van een spaarrekening Johan Baeten 7

26 Discrete systemen 8 Johan Baeten

27 Hoofdstuk 2 De Z-transformatie 2. Inleiding In het voorgaande hoofdstuk werden de signalen beschreven door hun verloop in functie van de onafhankelijk veranderlijke (het discreet tijdstip k). De systeemvergelijkingen die resulteren uit de analyse van de in- en uitgangssignalen van dynamische systemen zijn gesitueerd in het tijdsdomein. Dieper inzicht in het systeemgedrag kan bekomen worden door de signalen te transformeren naar het zogenaamde frequentiedomein. Dit gebeurt bij discrete systemen door de Z-transformatie. De bedoeling blijft eveneens het oplossen van de systeemvergelijkingen. In het frequentiedomein vinden we de oplossing echter door eenvoudige manipulatie van algebrasche vergelijkingen, i.f.v. de complexe veranderlijke z. Toepassing van de Z-transformatie op de differentievergelijking of op discrete signalen levert een gelijkaardig resultaat op als toepassing van de Laplace-transformatie of Fourriertransformatie op differentiaalvergelijkingen of op continue signalen. 2.2 Definitie Een discrete functie kan bekomen worden door bemonsteren van een continue functie. We schrijven dit als: f(k) = f(t) t=kt = f(kt ) = f(k) (2.) De onafhankelijke veranderlijke moet niet noodzakelijk de tijd zijn. De Z-transformatie is een discrete Laplace-transformatie. We zullen de definitie van de Z-transformatie dan ook afleiden uit de Laplace transformatie. Zo hebben we: F (p) = 0 f(t) e pt dt (2.2) Om de overgang naar de discrete tijd te maken moeten we t vervangen door kt, want enkel op deze tijdstippen heeft de discrete functie een betekenis. De integraal zal zich bovendien herleiden tot een som. De Z-getransformeerde wordt dan: F (p) = f(kt )e pkt (2.3) k=0 9

28 2 De Z-transformatie We kiezen nu een nieuwe veranderlijke z = e pt. (2.4) Zo vinden we uiteindelijk: Z {f(kt )} = F (z) = f(kt )z k (2.5) k=0 Dit is de definitie van de eenzijdige Z-transformatie. (Bij de tweezijdige Z-transformatie wordt de som genomen van tot ). De Z-transformatie is een operator die scalaire sequenties transformeert in complexe functies. Voor eindige sequenties kan de Z- getransformeerde gevonden worden door eenvoudige toepassing. Voorbeeld: f(k) =, { 2, 3, 7 geeft } F (z) = z 0 2z 3z 2 7z 3 of δ (k) =, 0, 0, 0, geeft F (z) = z 0 0z 0... = Z {δ (k)} =. De éénduidigheid tussen een Z-transformatiepaar wordt symbolisch voorgesteld als: f(k) F (z) d.w.z. Z {f(k)} = F (z) en Z {F (z)} = f(k). (2.6) De Z-transformatie wordt dus aangegeven met de hoofdletter Z, de inverse bewerking met Z. 2.3 Berekening van de Z-getransformeerde Voor oneindige sequenties resulteert de toepassing van de Z-transformatie in een oneindige reeks met negatieve machten van z. Toepassing van de volgende eigenschappen voor oneindige reeksen levert dan een gesloten uitdrukking (zonder oneindige som). n=0 a n = a met a < (2.7) of na n = n=0 a ( a) 2 met a <. (2.8) Vergelijking 2.8 volgt uit de afleiding van vergelijking 2.7 na vermenigvuldiging met a. De som van vergelijkingen 2.7 en 2.8 levert ( n)a n = n=0 ( a) 2 met a <. (2.9) 20 Johan Baeten

29 2.4 Eigenschappen van de Z-transformatie Voorbeeld: Neem de discrete functie f(k) = a k. De Z-getransformeerde wordt dan: F (z) = a k z k = k=0 ( a z )k = k=0 a/z = z z a. Waarbij de voorwaarde z > a het convergentiegebied bepaalt van de oneindige reeks. Voor f(k) = 3 k is F (z) = z z 3 met z > 3. Een lijst van eenzijdige Z-transformaties van enkele veel voorkomende sequenties is weergegeven op het einde van dit hoofdstuk. Deze tabel werd opgesteld m.b.v. de gesloten formules voor de bovenstaande oneindige reeksen en door toepassing van de eigenschappen van de Z-transformatie uit het de volgende paragraaf. 2.4 Eigenschappen van de Z-transformatie 2.4. Lineariteit De Z-transformatie is lineair omdat de som en de vermenigvuldiging lineair zijn of Z {a f (k) b g (k)} = a Z {f (k)} b Z {g (k)} = af (z) bg(z) (2.0) Verschuivingstheorema s Vooruitschuiven van een discrete functie (E-operator) komt overeen met een vermenigvuldiging met z, Vertragen (D-operator) komt overeen met een deling door z. Indien f(k) F (z) dan f(k ) z [F (z) f(o)] (2.) Bewijs: Z {f(k )} = f(k )z k k=0 = z f(l)z l l= = z f(k )z (k) k=0 [ ] = z f(l)z l f(0)z 0 l=0 en Indien f(k) F (z) dan f(k ) z F (z) (2.2) Bewijs: Z {f(k )} = f(k )z k = z f(k )z (k ) k=0 k=0 [ = z ] f(l)z l = z f(l)z l f( )z l= met f( ) = 0 voor causale sequenties. Johan Baeten 2 l=0

30 2 De Z-transformatie Hogere orde verschuivingen volgen uit het herhaaldelijk toepassen van vergelijking 2. of 2.2. Voorbeeld: Z {f(k 2)} = z 2 [ F (z) f(0) z f() ] Z {f(k 3)} = z 3 [ F (z) f(0) z f() z 2 f(2) ] en Z {f(k 2)} = z 2 F (z) Z {f(k 3)} = z 3 F (z) Er wordt vaak verondersteld dat de beginvoorwaarden gelijk zijn aan nul. (Indien dit niet zo is moet men een assenkruistransformatie doorvoeren zodat de oorsprong van het nieuwe assenkruis zich in de begintoestand of evenwichtstoestand van het systeem bevindt). Zo zorgt men ervoor dat f(0), f(), nul zijn, zodat de Z-getransformeerde van de vooruitgeschoven functie eenvoudiger wordt: Z {f(k 2)} = z 2 F (z) Sommatie Het sommeren van de verschillende elementen van een sequentie komt overeen met het integreren van een functie. Stel n g(n) = f(k), (2.3) dan geldt k=0 g(n) = g(n ) f(n). (2.4) Na Z-transformatie geeft dit G(z) = z G(z) F (z), (2.5) waaruit G(z) = z z F (z). (2.6) We kunnen hieruit besluiten dat het integreren van een functie, hetgeen overeenstemt met een vermenigvuldiging met /p in het Laplace-domein, in het discrete geval zal overeenkomen met een vermenigvuldiging met z/(z ). Dit laat vermoeden dat de Z-getransformeerde van een discrete stap gelijk is aan z/(z ), vermits de Laplacegetransformeerde van de (continue) stap gelijk is aan /p. (Ga zelf na of het voorgaande juist is door rechtstreeks de definitie van de Z-transformatie toe te passen op een discrete stap) Beginwaardetheorema Indien f(k) F (z) dan Bewijs: lim F (z) = f(0) (2.7) z F (z) = f(0) f()z f(2)z 2, neem de limiet. 22 Johan Baeten

31 2.5 De inverse Z-transformatie Eindwaardetheorema Indien f(k) F (z) dan lim f(n) = limf (z) z n z z (2.8) (zonder bewijs) Vermenigvuldiging met k Indien f(k) F (z) dan kf(k) z d (F (z)) (2.9) dz (zonder bewijs) Schaalfactortheorema Indien f(k) F (z) dan a k f(k) F (z/a) (2.20) Convolutie (zonder bewijs) Indien f(k) F (z)en g(k) G(z), dan f(k) g(k) F (z) G(z). (2.2) (zonder bewijs) De convolutie van twee discrete signalen stemt overeen met de vermenigvuldiging van de Z-getransformeerden van de signalen. 2.5 De inverse Z-transformatie De bewerking Z F (z) = f(k) wordt de inverse Z-transformatie genoemd. De complexe functie F (z) is voor de hier beschouwde klasse van systemen steeds voor te stellen als een verhouding van veeltermen in z. Voor fysisch realiseerbare systemen is de graad van de tellerveelterm kleiner dan of maximaal gelijk aan de graad van de noemerveelterm. In deze gevallen kan door splitsing in partieelbreuken de echte breuk die F (z) voorstelt, herleid worden tot een som van eenvoudigere breuken waarvan we via de tabel met elementaire Z-transformatieparen (op het einde van het hoofdstuk) tot de corresponderende discrete functie kunnen komen. De techniek van partieelbreuksplitsing wordt als gekend verondersteld. We merken hierbij enkel op dat het vaak interessant is om in de tellerveelterm een factor z af te zonder en niet mee te nemen in de partieelbreuksplitsing. Zo krijgen we eenvoudige breuken met enkel nog n z in de teller (op een constante na). Deze vorm van breuken komen veelvoudig voor in de transformatietabellen en leveren eenvoudige discrete functies. Johan Baeten 23