Hoofdstuk 4 Het schakelen van weerstanden.

Transcriptie

1 Hoofdstuk 4 Het schakelen van weerstanden.. Doel. Het is de bedoeling een grote schakeling met weerstanden te vervangen door één equivalente weerstand. Een equivalente schakeling betekent dat een buitenstaander (dit kan bv. een ohmmeter of een andere schakeling zijn) geen verschil merkt tussen de oorspronkelijke schakeling en de equivalente schakeling. 2. Theoretische achtergrond voor het schakelen van weerstanden. 2.. Serieschakeling. Beide schakelingen zijn equivalent als een buitenstaander geen verschil ziet tussen beide schakelingen. Bij het aanleggen van dezelfde spanning (U), moet er naar beide schakelingen dezelfde stroom (I) vloeien. In een serieschakeling vloeit er door elke weerstand dezelfde stroom (I=I=I2= =In). Rs U I Us I R* I R2* I 2... Rn* In I R* I R2* I... Rn* I I R R2... Rn 2... Merk op: Rs R R2... Rn Rs is steeds groter dan de grootste. Als alle weerstanden gelijk zijn dan weerstand dezelfde spanning. Rs n * R en is er over elke Over de grootste weerstand staat de grootste spanning. Over de kleinste weerstand staat de kleinste spanning. Als er tussen 2 weerstanden een knooppunt is, dan staan de 2 weerstanden NIET in serie. Waarom? KHBO 4.

2 2.2. Parallelschakeling I R R*I I2 R2 R2*I2 In Rn Rp I A Rn*In U B I A Up U B Over elke weerstand die in parallel staat, staat dezelfde spanning (U= U=U2= =Un). U Up U Rp I I I I 2... In I I 2... In I I 2... Rp U U U Rp R R2 In U... I I 2... U U 2 Rn In Un R R2... Rn ( ) Rp Rp ( R R2... ) Rn Merk op: Als er 2 weerstanden in parallel zijn (R en R2) dan geldt: Rp ( R R2 ) R2 R ( ) R* R2 R* R2 R R2 ( ) R* R2 R* R2 R R2 KHBO 4.2

3 R* R2 Rp R R2 Deze formule is NIET geldig voor 3 of meer weerstanden in parallel! Deze formule niet gebruiken met het rekentoestel (= meer werk). Gebruik de algemene formule met je rekentoestel ( intypen gevolgd door de toets x ). R R dus R Het resultaat is steeds kleiner dan de kleinste. Als er n gelijke weerstanden R in parallel staan, dan is Door de kleinste weerstand vloeit de grootste stroom. Door de grootste weerstand vloeit de kleinste stroom. R R Rp. n A B R AB ( ) R 0 ( ) R ( ) 0 Ook hier is de vervangingsweerstand kleiner dan de kleinste. Negatieve weerstanden bestaan niet. Als een weerstand kortgesloten is, dan is de vervangingsweerstand steeds nul. KHBO 4.3

4 2.3. Ster- driehoek transformatie. Soms gebeurt het dat er geen weerstanden in serie of parallel staan. Kijk dan als ze niet in ster of in driehoek staan. De ster is vervangbaar door een equivalente driehoek en omgekeerd. Hoe? Van driehoek naar ster. Gegeven: a, b, c Gevraagd: α, β, γ? Dus 3 onbekenden. Om dat op te lossen hebben we 3 onafhankelijke vergelijkingen nodig. Oplossing: B los Om die vergelijkingen te vinden beschouwen we volgende schakeling: C B los C a I X c b E E A A KHBO 4.4

5 In ster: De stroom I zal enkel bepaald worden door de weerstanden α en γ. β speelt hierin geen invloed daar deze weerstand los hangt. α en γ staan bijgevolg in serie. De stroom I E R AC E In driehoek: De stroom I zal zich in C opsplitsen in een stroom door a en een stroom door b. a en c staan in serie. Deze serieschakeling staat op zijn beurt in parallel met b. De stroom I E ( a c) // b E ( a c)* b ( a c) b Beide stromen zijn slechts gelijk als de noemers gelijk zijn. Dus als R AC ster = R AC driehoek Of als R AC ( a c)* b. ( a c) b Op dezelfde wijze vindt men de 2 andere vergelijkingen die moeten kloppen voor onze beide schakelingen. R BA R CB ( b a)* c (2) ( b a) c ( c b)* a (3) ( c b) a R AC ( a c) * b () ( a c) b Om de sterweerstanden te vinden, kan men de ene formule substitueren in de andere (= veel werk). Het is echter mogelijk om de vergelijking snel op te lossen. Dat gebeurt als volgt: We voeren dezelfde bewerking ()+(2)-(3) uit op het linker en het rechter lid. Daardoor blijven deze leden in evenwicht: Voor het linker lid: (α+γ) +(β+α)-(γ+β) =2*α KHBO 4.5

6 Voor het rechter lid: ( a c)* b ( b a)* c ( c b)* a ab cb bc ac ( ca ba) 2bc ( a c) b ( b a) c ( c b) a a b c a b c 2bc 2 a b c a bc b c (4) Wie goed kijkt ontdekt een wetmatigheid in het stelsel (), (2) en (3). KHBO 4.6

7 Men spreekt van cyclische formules. Het resultaat van de berekeningen zal ook deze wetmatigheid volgen. Zo kan men vlug de andere formules afleiden ca b c a ab b c a ca a b c ab a b c In woorden: de gezochte sterweerstand is het product van de aanliggende driehoeksweerstanden gedeeld door de som van de driehoeksweerstanden. De aanliggende driehoeksweerstanden zijn de 2 weerstanden die hangen aan hetzelfde punt als de gezochte sterweerstand Van ster naar driehoek. Om vlug deze formules af te leiden start men best van de vergelijking (4), (5) en (6). (5) (6) (4)*(5) (5)*(6) (6)*(4) bc * ca * ( a b c)² ca * ab * ( a b c)² ab * bc * ( a b c)² Merk op: ook hier cyclische formules. We tellen deze vergelijkingen op: bcca caab abbc abc( c a b) abc ( a b c)² ( a b c)² a b c abc en a b c bc a a * a b c ac b b * a b c ab c c * a b c KHBO 4.7

8 3. Werkwijze. a b c Merk op: ook hier cyclische formules. In woorden: men vindt de driehoeksweerstand door de som van alle producten van de sterweerstanden te delen door de overstaande sterweerstand. De overstaande sterweerstand is de sterweerstand die NIET hangt aan de punten waar de gezochte driehoeksweerstand hangt. 3.. Nummeren van de knopen. Om een oefening tot een goed einde te brengen is het van groot belang de knooppunten correct te nummeren. Beschouw als knooppunt enkel de punten van de schakeling waartussen je het equivalent zoekt en de punten van de schakeling waarin minstens drie geleiders toekomen. Voorbeeld: zoek, in figuur, de equivalente weerstand tussen A en C. R R2 A B C Figuur F E R3 R5 D R4 KHBO 4.8

9 Je zoekt het equivalent tussen het punt A en het punt C: A en C worden automatisch knooppunten. Om dit niet te vergeten, doe je er goed aan de verbinding met de buitenwereld aan te duiden op de tekening (zie figuur 2). In het punt D en F komen slechts 2 geleiders toe: D en F zijn geen knooppunten! Laat D en F verdwijnen. B en E zijn wel knooppunten, ze blijven op de tekening staan. Je bekomt de volgende schakeling: R R2 A B C E R3 R5 R4 Figuur 2 Alle punten die onderling verbonden worden met dezelfde geleider, zullen steeds op hetzelfde potentiaal (elektrisch niveau) staan. Beschouw al deze punten als hetzelfde knooppunt. In figuur was dit het geval voor de punten A, F en E. In figuur2 was dit nog enkel het geval voor de punten A en E. Laat bv. E verdwijnen. Bij tamelijk ingewikkelde opgaven kan het zelfs nuttig zijn de opgave te hertekenen. Met de schakeling uit figuur 2 is dat niet echt noodzakelijk. Je bekomt de volgende schakeling (herteken desnoods zelf de opgave): R R2 A B C R3 R5 R4 Figuur 3 Nu zijn alle knooppunten correct genummerd Vereenvoudigen van de schakeling. Zoek achtereenvolgens de hieronder besproken schakelingen op en vereenvoudig de schakeling geleidelijk aan. Tijdens het vereenvoudigen zullen de knoppunten een voor een verdwijnen. KHBO 4.9

10 Let echter op: 2 knopen mogen nooit verdwijnen nl. de knopen die de verbinding maken met de buitenwereld! (hier A en C) Serieschakelingen Zoek alle serieschakelingen in de schakeling op en vervang ze door hun equivalente schakeling. Ter herinnering: twee of meer weerstanden staan in serie als het einde van de ene weerstand hangt aan het begin van de andere weerstand en als deze verbinding geen knooppunt is. Door beide weerstanden zal steeds dezelfde stroom vloeien. In figuur 3 staan R4 en R5 in serie. R2 en R4 evenals R en R3 staan niet in serie vermits er tussen de 2 weerstanden een knooppunt is (C, voor de eerste 2; B en/of A voor de 2 andere). Vervang je de serieschakeling, dan bekom je de volgende vereenvoudigde schakeling: R R2 A B C R3 R45 Figuur 4 KHBO 4.0

11 Merk op: het knooppunt D is verdwenen Parallelschakelingen. Zijn er geen serieschakelingen meer, dan zoek je of er parallelschakelingen zijn. Twee of meer weerstanden staan in parallel als ze beginnen in hetzelfde knooppunt en eindigen in een (ander) zelfde knooppunt. Na het vervangen van de parallelschakeling, begin je terug van vooraf aan: 3.2. zoek of er nieuwe serieschakelingen ontstaan enz. Naarmate je meer getraind bent in het maken van oefeningen, kan je de serie- en de parallelschakelingen samen opzoeken en vervangen. Passen we dit toe op de opgave dan zien we dat R3 en R2 niet in parallel staan: ze beginnen wel in hetzelfde knooppunt (B), maar eindigen in verschillende knooppunten (C en E). Enkel R en R3 staan in parallel tussen de punten A en B. Na het vervangen bekom je volgende schakeling: R3 R2 A B C R45 Figuur 5 In deze schakeling staan er geen weerstanden meer in parallel. We keren terug naar 3.2. en zoeken of er nieuwe serieschakelingen ontstaan. Dit is het geval voor R3 en R2. Na het vervangen bekom je de volgende schakeling: R2 A C R45 Figuur 6 Merk op: het knooppunt B is verdwenen. In deze schakeling staan er geen weerstanden meer in serie. We zoeken of er opnieuw parallelschakelingen zijn ontstaan. Inderdaad, R2 staat in parallel met R45. Na het vervangen houden we nog slechts KHBO 4.

12 weerstand over, de equivalente schakeling: R5 A C Figuur Ster- driehoek transformatie In een aantal uitzonderlijke gevallen kan het gebeuren dat er geen serie- noch parallelschakelingen meer in de schakeling voorkomen en dat de schakeling nog niet herleidt os tot weerstand. Dan moet je op zoek naar weerstanden die in ster (3 weerstanden die in hetzelfde punt toekomen) of in driehoek (3 weerstanden vormen samen een lus en tussen elke weerstand is telkens een knooppunt aanwezig) geschakeld zijn. Je moet dan de ster vervangen door een equivalente driehoeksschakeling of omgekeerd. Welke transformatie je ook doet, het moet steeds leiden tot een nieuwe schakeling waarin opnieuw serie- of parallelschakelingen in staan. Is dit niet het geval, kies dan een andere schakeling en probeer het opnieuw. Na het vervangen begin je opnieuw van vooraf aan: 3.2. serieschakelingen, parallelschakelingen, enz. Vervang nooit een ster of een driehoeksschakeling als er nog serieof parallelschakelingen in staan. Dit zou de vereenvoudiging enkel moeilijker, langdradiger maken. In figuur had je kunnen opmerken dat R, R2 en R3 in ster stonden. Mocht je ze vervangen hebben, dan zou je hetzelfde eindresultaat bekomen, maar de weg zou langer geweest zijn dan de oplossing die hierboven werd uitgewerkt. Probeer dit maar eens. KHBO 4.2

13 4. Voorbeelden: 4.. Welke stappen moet je uitvoeren om de weerstand tussen A en B te bepalen? 4... Oplossing: R3 en R4 staan in parallel. R en R34 staan in serie. R4 en R2 staan opnieuw in parallel. KHBO 4.3

14 4.2. Welke stappen moet je uitvoeren om de weerstand tussen A en B te bepalen? Oplossing: A en D zijn hetzelfde punt. Het heeft geen zin om een nieuwe naam te geven aan dat punt. Herteken de schakeling, zonder dat D nog voorkomt. Wat vroeger verbonden was met D wordt nu verbonden met A. R en R2 staan in parallel. R3 is op zichzelf kortgesloten en zal nooit invloed hebben op de schakeling. R2 staat nu in serie met R4. KHBO 4.4

15 R4 staat nu in parallel met R Welke stappen moet je uitvoeren om de weerstand tussen A en B te bepalen? Oplossing: Vermits C en F geen knooppunt zijn (hangen los) staan R2, R5 en R7 in serie tussen B en E. A R B R3 R6 R4 R257 E R4 en R257 staan in parallel. R3, R6 en R4-7 staan in serie. Bemerk dat je R3 en R6 reeds vroeger had kunnen vervangen door een serie-equivalent. Dat equivalent zou dan nu in serie staan met R4-7. KHBO 4.5

16 A R R3-7 B R en R3-7 staan in parallel Welke stappen moet je uitvoeren om de weerstand tussen C en D te bepalen? Oplossing: Vermits A en F geen knooppunten zijn (los) staan R en R3 evenals R5 en R7 in serie. Nu staat geen enkele weerstand nog in serie of in parallel (Controleer!) Wie bvb R2 en R57 zou vervangen door een serie-equivalent, zou het knooppunt C verliezen. Daardoor wordt het onmogelijk om nog de weerstand tussen C en D te zoeken! We moeten dan een ster- of een driehoekschakeling zoeken. Volgende sterschakelingen zijn aanwezig: sterpunt = B of E. Volgende driehoekschakelingen zijn aanwezig: DBE en BCE. Vervang nooit 2 schakelingen in keer daar je anders het risico KHBO 4.6

17 loopt een weerstand dubbel te vervangen (x in elke schakeling). We kiezen bvb. Om de driehoek BCE te vervangen. Schrap de 3 te vervangen weerstanden en teken de 3 nieuwe weerstanden: De nieuwe schakeling ziet er als volgt uit: C R3 R6 D Door de transformatie ontstaan er nieuwe serie- en/of parallelschakelingen. Gebeurt dat niet, dan moet je kijken als het vervangen van een andere schakeling geen betere keuze is. Ga zelf na als er nog mogelijkheden zijn die leiden tot nieuwe serie- en/of parallelschakelingen. R3 en β evenals R6 en α staan in serie. KHBO 4.7

18 R6a en R3b staan nu in parallel. Rp staat in serie met γ. 5. Oefeningen - toepassingen 5.. Oefening Breid het meetbereik van een ampèremeter uit van ma naar 5mA, als je weet dat zijn inwendige weerstand 2k is Oefening 2 Breid het meetbereik van een voltmeter uit van V naar 3V, als je weet dat zijn inwendige weerstand 0k is Oefening 3 Zoek R in volgende schakeling. KHBO 4.8

19 5.4. Oefening 4 Wanneer een ampèremeter parallel geplaatst wordt met een kleine weerstand (R s ), dan beginnen de overgangsweerstanden invloed te krijgen. Op onderstaand schakeling staan die overgangsweerstanden aangeduid (a, b, c). I t a c I a R m A a c b I s R s b Deze praktische schakeling kan omgevormd worden tot volgend elektrisch schema: c I a R m c I t a b I s R s b a De weerstanden a,b,c staan in driehoek geschakeld. Deze driehoek kan omgevormd worden tot een ster: I a R m I t X Y I s R s KHBO 4.9

20 Er ontstaan serieschakelingen die als volgt kunnen vereenvoudigd worden: I a 2+R m I t X Y I s 2+R s De stroomverdeling tussen de tak met de ampèremeter en de tak met de kleine weerstand R s wordt beïnvloed door de weerstanden en. Dat betekent dat het meetbereik van de nieuwe schakeling wordt beïnvloed door deze weerstanden en. Bepaal het meetbereik dat bekomen wordt als je parallel met een ampèremeter (met meetbereik van ma en R m = k) een weerstand R s =0,plaatst. a) Als je de overgangsweerstanden (a,b,c) verwaarloost. Tip: zie 5. oefening. (0,00A=0A) b) Als je de overgangsweerstanden (a=b=c=0,05) niet verwaarloost. Tip: na het berekenen van eb bereken je eerst de spanning tussen X en Y. (7,5025A=7,5A) Na deze berekening wordt het duidelijk dat de overgangsweerstanden een grote invloed kunnen spelen bij kleine weerstandswaarden. Daarom worden die kleine waarden uitgevoerd met 4 aansluitklemmen. KHBO 4.20

21 Hierdoor wordt de overgangsweerstand c (tussen de 2 verbindingsdraden) vermeden. Het elektrisch equivalent wordt: Elektriciteit I a R m I t a b I s R s b a X Y Bewijs zelf dat de overgangsweerstanden (a en b) nu zo goed als geen invloed meer hebben op het meetbereik Oefening 5 Zoek de spanning U op volgende schakeling: KHBO 4.2

22 6. Brug van Wheatsone 6.. Oefening: Bepaal bij welke waarde van R4 de spanning U = 0. KHBO 4.22

23 6.2. Toepassing: De formule die werd afgeleid in vorige oefening wordt gebruikt om zeer nauwkeurig weerstanden te bepalen. Op de plaats van R4 wordt een onbekende weerstand geplaatst. R3 wordt vervangen door een instelbare weerstand waarvan de ingestelde waarde kan afgelezen worden. R en R2 zijn gekende waarden. R3 wordt gewijzigd tot er geen spanning meer is tussen B en C. Op dat ogenblik geldt dat : R* R4 R2 * R3 R4 R2 * R3 R Merk op: als er geen spanning is tussen A en B, dan vloeit er ook geen stroom in de weerstand van k. Meestal plaatst men een zeer gevoelige ampèremeter (na) tussen A en B. s KHBO 4.23

24 Hoofdstuk 4 Het schakelen van weerstanden.. Doel Theoretische achtergrond voor het schakelen van weerstanden Serieschakeling Merk op: Parallelschakeling Merk op: Ster- driehoek transformatie Van driehoek naar ster Van ster naar driehoek Werkwijze Nummeren van de knopen Vereenvoudigen van de schakeling Serieschakelingen Parallelschakelingen Ster- driehoek transformatie Voorbeelden: Welke stappen moet je uitvoeren om de weerstand tussen A en B te bepalen? Oplossing: Welke stappen moet je uitvoeren om de weerstand tussen A en B te bepalen? Oplossing: Welke stappen moet je uitvoeren om de weerstand tussen A en B te bepalen? Oplossing: Welke stappen moet je uitvoeren om de weerstand tussen C en D te bepalen? Oplossing: Oefeningen - toepassingen Oefening Oefening Oefening Oefening Oefening Brug van Wheatsone Oefening: Toepassing: KHBO 4.24