2.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving

Transcriptie

1 Hoofdstuk Twee gekoppelde oscillatoren.1 Twee gekoppelde oscillatoren zonder aandrijving We beschouwen als voorbeeld van een systeem van puntmassa s die gekoppeld zijn aan elkaar en aan twee vaste wanden met behulp van drie identieke veren, zoals aangegeven in figuur.1. De veren hebben veerconstante K en evenwichtslengte a. De uitwijkingen (t) en x (t) van respectievelijk de puntmassa s 1 en worden gemeten vanaf de evenwichtposities (t) = 0 en x (t) = De bewegingsvergelijkingen In de evenwichtsstand, zoals getekend in figuur.1, ondervinden de puntmassa s geen externe krachten. Voor het gemak nemen we aan dat de oscillatoren geen wrijving ondervinden, dus we nemen de demping nul. Het rekenwerk wordt hierdoor aanzienlijk eenvoudiger terwijl de belangrijkste conclusies onveranderd blijven. Indien (t) 0, x (t) 0 oefenen beide veren krachten uit op de massa s. Veer I oefent een terugdrijvende kracht Figuur.1: Een systeem van puntmassa s gekoppeld met behulp van identieke veren met veerconstante K en evenwichtslengte a. 11

2 uit op massa 1 die rechtevenredig is met de uitwijking, volgens de wet van Hooke: F I = K. De lengte van de veer is dan namelijk toe- of afgenomen met. De lengte verandering van veer II wordt bepaald door de uitwijkingen van zowel massa 1 en massa en is dus gelijk aan x. De kracht van veer II op massa 1 is dus gelijk aan F II = K (x ). De bewegingsvergelijking voor massa 1 is dus gegeven door: ẍ 1 = F I + F II = K + K(x ) (.1) Analoog vinden we voor massa : ẍ = F II + F III = K(x ) Kx (.) erk op dat bovenstaande vergelijkingen gekoppeld zijn, wat wil zeggen dat bv. in de vergelijking voor massa 1 zowel als x voorkomt. De strategie die meestal gevolgd wordt om zulke vergelijkingen op te lossen is te zoeken naar nieuwe coördinaten, doorgaans een lineaire combinatie van de oude coördinaten, teneinde de vergelijkingen te ontkoppelen. Deze nieuwe coördinaten worden normaalcoördinaten genoemd. In dit geval is deze procedure tamelijk eenvoudig, door de normaalcoördinaten u 1 (t) en u (t) als volgt te definiëren: u 1 (t) = (t) + x (t) ofwel (t) = 1 (u 1(t) + u (t)) u (t) = (t) x (t) x (t) = 1 (u 1(t) u (t)) Optellen en aftrekken van de bewegingsvergelijkingen (.1) en (.) levert namelijk: (ẍ 1 + ẍ ) = K( + x ) ofwel ü 1 = Ku 1 (ẍ 1 ẍ ) = 3K( x ) ü = 3Ku Dit zijn twee ontkoppelde bewegingsvergelijkingen voor de harmonische oscillator met als oplossingen: u 1 (t) = A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) met ω 1 = K u (t) = A cos(ω t + ϕ ) met ω = 3K Deze twee oplossingen worden de eigentrillingen, eigenmodes of normaaltrillingen genoemd. In dit geval hebben we twee eigentrillingen gevonden omdat we twee gekoppelde oscillatoren hebben. Later zullen we zien dat we in het geval van N gekoppelde oscillatoren N eigentrillingen zullen vinden. De karakteristieke eigenschap van een eigentrilling is dat elke afzonderlijke oscillator met dezelfde (eigen)frequentie trilt, met een karakteristieke verhouding tussen de amplitudes waarmee de oscillatoren trillen. De eigentrilling u 1 correspondeert met massa s die elk met een frequentie ω 1, gezamenlijk, in fase bewegen: (t) = 1 u 1(t) = 1 A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) x (t) = 1 u 1(t) = 1 A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) 1

3 Figuur.: De eigentrillingen u 1 (t) en u (t) van gekoppelde oscillatoren. Evenzo correspondeert eigentrilling u met massa s die met frequentie ω = 3ω 1 gezamenlijk bewegen maar precies uit fase: (t) = 1 u (t) = 1 A cos(ω t + ϕ ) x (t) = 1 u (t) = 1 A cos(ω t + ϕ ) Beide eigentrillingen zijn te zien in figuur.. Een willekeurige oplossing van het systeem van gekoppelde oscillatoren is nu gegeven door de lineaire combinatie van de normaaltrillingen: (t) = A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) + A cos(ω t + ϕ ) x (t) = A 1 cos(ω 1 t + ϕ 1 ) A cos(ω t + ϕ ) Er zijn nu nog vier onbekenden A 1, A, ϕ 1 en ϕ die gevonden worden uit de beginvoorwaarden gegeven door de posities en snelheden van de oscillatoren op tijdstip t = 0: (0), ẋ 1 (0), x (0) en ẋ (0). Stel de beginvoorwaarden zijn (0) = x (0) = A en ẋ 1 (0) = ẋ (0) = 0. Dan volgt ϕ 1 = ϕ = 0 en A 1 = A en A = 0, ofwel = x = 1 u 1(t) (Ga dit zelf na). Door beide oscillatoren dezelfde uitwijking te geven wordt dus een eigentrilling van het systeem aangeslagen. De andere eigentrilling wordt aangeslagen door de beginvoorwaarden: (0) = A, x (0) = A en ẋ 1 (0) = ẋ (0) = 0. Indien op t = 0 slechts één oscillator een uitwijking wordt gegeven dan worden beide eigentrillingen evenredig aangeslagen (zie werkcollege opgave). In dit voorbeeld van gekoppelde oscillatoren trillen de puntmassa s in longitudinale richting. De aanpak, d.w.z. de beschrijving in termen van eigentrillingen ieder gekarakteriseerd door een eigenfrequentie, is echter breed toepasbaar, zoals bijvoorbeeld ook voor twee gekoppelde slingers of oscillatoren die transversaal trillen. Dit zullen we op het werkcollege verifiëren. 13

4 .1. Algemene methode voor het vinden van de eigentrillingen We hebben bovenstaand probleem opgelost door de substitutie naar normaaltrillingen u 1 (t) en u (t) te poneren. Dit kon vanwege de betrekkelijke eenvoudigheid van het probleem. In het algemeen is dit echter niet zo. Om dan toch het probleem op te lossen wordt er doorgaans specifiek naar de eigentrillingen gezocht, omdat voor eigentrillingen alle oscillatoren met dezelfde frequentie trillen in een bepaalde amplitudeverhouding. We gaan dus op zoek naar oplossingen van de volgende vorm: (t) = C 1 cos(ωt + ϕ) x (t) = C cos(ωt + ϕ) Invullen in de bewegingsvergelijkingen (.1) en (.) geeft: ω C 1 cos(ωt + ϕ) = KC 1 cos(ωt + ϕ) + KC cos(ωt + ϕ) ω C cos(ωt + ϕ) = KC 1 cos(ωt + ϕ) KC cos(ωt + ϕ) ofwel: (K ω )C 1 KC = 0 KC 1 + (K ω )C = 0 Ofwel in matrix notatie: K ω K K K ω C 1 C = 0 Het betreft dus een standaard eigenwaarde probleem, wat alleen niet-triviale oplossingen heeft indien de determinant gelijk aan nul is: K ω K K K ω = 0 Dus (K ω ) K = 0 wat de volgende eigenfrequenties en eigentrillingen oplevert: eigentrilling 1: ω 1 = K C 1 = C (t) = x (t). eigentrilling : ω = 3K C 1 = C (t) = x (t).. Twee gekoppelde oscillatoren met aandrijving We beschouwen wederom het systeem uit figuur.1 van puntmassa s gekoppeld door drie identieke veren (veerconstante K, evenwichtslengte a), maar nu wordt puntmassa 1 14

5 aangedreven door een harmonische kracht f 0 cos(ωt). Ook nu nemen we voor het gemak aan dat de oscillatoren geen wrijving ondervinden. erk op dat de algemene oplossing wordt gegeven door de som van de oplossing van het homogene stelsel vergelijkingen, zoals we dat in de vorige paragraaf hebben opgelost, en de particuliere oplossing die we nu gaan bepalen. De bewegingsvergelijkingen worden gegeven door: ẍ 1 = K + K(x ) + f 0 cos(ωt) (.3) ẍ = K(x ) Kx (.4) We gaan over op nieuwe coördinaten, de normaalcoördinaten u 1 (t) en u (t): u 1 (t) = (t) + x (t) u (t) = (t) x (t) Optellen en aftrekken van de bewegingsvergelijkingen levert: (ẍ 1 + ẍ ) = K( + x ) + f 0 cos(ωt) (ẍ 1 ẍ ) = 3K( x ) + f 0 cos(ωt) Ofwel: ü 1 = Ku 1 + f 0 cos(ωt) ẍ = 3Ku + f 0 cos(ωt) Het probleem is aldus gereduceerd tot het oplossen van twee ongekoppelde, aangedreven harmonische oscillatoren. De kracht heeft zich evenredig verdeeld over de twee normaaltrillingen: ü 1 = K u 1 + f 0 ω 1 u 1 + f 0 ü = 3Ku + f 0 ω u + f 0 met als eigenfrequenties ω 1 = K ; ω = 3K De oplossingen zijn (zie de oplossingen van de gedreven harmonische oscillator zonder wrijving in paragraaf 1..3: f 1. u 1 (t) = 0 ω1 ω cos(ωt ψ 1(ω)) tanψ 1 = 0; ψ 1 = 0 voor ω < ω 1 en ψ 1 = π voor ω > ω 1. f. u (t) = 0 ω ω cos(ωt ψ (ω)) tanψ = 0; ψ = 0 voor ω < ω en ψ = π voor ω > ω. De amplitudes en fases van beide oplossingen staan getekend in figuur.3 a). De particuliere oplossingen voor (t) en x (t) zijn dus: 15

6 Amplitude π a) u 1 u Amplitude 0 b) x Fase Frequentie ( ω 1 ) Frequentie ( ω 1 ) Figuur.3: De frequentie afhankelijkheid van de particuliere oplossing van gekoppelde aangedreven harmonische oscillatoren. a) de amplitude en fase van de eigentrillingen u 1 en u en b) de bijbehorende amplitudes van de afzonderlijke trillende massa s en x. (t) = 1 (u [ 1(t) + u (t)) = f 0 [ x (t) = 1 (u 1(t) u (t)) = f ω1 ω 1 1 ω1 ω ω ω ] cosωt ω ω ] cos ωt erk op dat de fase-sprongen in ψ 1 en ψ verdisconteerd worden door het modulus teken in de noemers van de amplitudes van u 1 en u weg te laten. De resulterende frequentieafhankelijkheid van de trillingen is te zien in figuur.3 b). De uitwijkingen van beide massa s worden dus groot (oneindig in dit geval, niet oneindig in het fysische geval met demping) als ze aangedreven worden met één van de eigenfrequenties. In dit geval worden de eigentrillingen aangeslagen, zoals we later nog zullen zien...1 echanisch filter Beschouw louter de, stationaire, particuliere oplossing. De verhouding tussen de amplitude van de tweede oscillator (output) ten opzichte van de eerste oscillator (input) wordt gegeven door: x (t) (t) = ω ω 1 ω + ω 1 ω = K K ω Het resultaat is uitgezet in figuur.4 als functie van de aandrijffrequentie. In de limiet van ω gaat x 0, terwijl voor ω 0 gaat x 1. In het gebied ω 1 < ω < ω keert de verhouding x om van teken en wel als ω = ω1 + ω dus als ω = K. In dit geval is x =. Voor ω1 < ω < ω geldt dat x > 1, dus in deze 16

7 10 pass-band 5 X / X ω 1 ω Frequentie ( ω 1 ) Figuur.4: De amplitude verhouding tussen de trillingen van massa s en 1 als functie van de frequentie: de karakteristiek van een mechanisch band-pass filter. frequentieband wordt de aangeboden trilling aan massa 1 effectief doorgegeven aan massa. en spreekt van een mechanisch filter met een doorlaatgebied of pass-band. Ligt de aandrijffrequentie buiten dit gebied dan wordt de drijvende kracht op massa 1 nauwelijks doorgegeven op massa. De frequenties ω 1 en ω worden ook wel de afsnijfrequenties genoemd. Een zogenaamd low-pass filter heeft ω 1 = 0 en een eindige ω, terwijl een high-pass filter een eindige ω 1 en ω = heeft (zie figuur.5). Figuur.5: Schematische presentatie van een low-pass (links) en een high-pass (rechts) filter. Er geldt voor: 1. ω = ω 1 dat x = 1, dus beide massa s bewegen in fase met elkaar mee eigentrilling 1 wordt aangeslagen. 17

8 . ω = ω dat x = 1, dus beide massa s bewegen uit fase eigentrilling wordt aangeslagen. In beide gevallen wordt dus één van de eigentrillingen aangeslagen. De eigentrillingen kunnen dus experimenteel bepaald worden door het resonant gedrag van gekoppelde oscillatoren met aandrijving te bekijken. 18