Tentamen Inleiding Meten Vakcode 8E april 2009, uur

Transcriptie

1 Tentamen Inleiding Meten Vakcode 8E april 9, uur Dit tentamen bestaat uit opgaven. Indien u een opgave niet kunt maken, geeft u dan aan hoe u de opgave zou maken. Dat kan een deel van de punten opleveren. Het gebruik van een (grafische) rekenmachine is toegestaan. Bijlagen: formuleblad en domeinentabel. Veel succes!. Twee regentonnen zijn door middel van een waterslang met elkaar verbonden. Voor beide tonnen gel dat de opening naar de slang zich vlakbij de bodem bevin. Er zit een kraan in de slang. Normaal gesproken is de kraan gesloten. Na een flinke regenbui is de eerste regenton helemaal vol met water. De tweede regenton is slechts halfvol. De kraan wor opengedraaid zodat na verloop van tijd het waterpeil in beide tonnen gelijk wor. (a) Geef een uitdrukking voor het drukverschil over de slang als functie van het waterpeil in beide tonnen en laat zien dat de eenheden kloppen (hint: [N] [kg m s ]). De weerstand van de slang is gelijk aan 7 Ns/m 5. NB: Dit was een fout in de opgave. De weerstand van de slang is gelijk aan 7 Ns/m 5. Uiteraard zijn correcte antwoorden met weerstand 7 Ns/m 5 goedgerekend. (b) Geef een uitdrukking voor de hoeveelheid water die per seconde door de slang stroomt (debiet) als functie van het drukverschil. Beide regentonnen zijn precies m hoog. De eerste regenton heeft een inhoud van liter, terwijl de tweede regenton een inhoud heeft van liter. De kraan wor opengedraaid op tijdstip t. (c) Geef een differentiaalvergelijking voor het verschil in waterpeil tussen de twee tonnen. (d) Geef een differentiaalvergelijking voor het debiet en laat zien dat dit een e orde systeem is. (e) Geef de exacte formule van het debiet als functie van de tijd. (f) Schets het verloop van het waterpeil van de twee tonnen als functie van de tijd. (g) Bereken het tijdstip waarop het verschil in waterpeil tussen de twee tonnen precies gehalveerd is.

2 Antwoord: (a) Voor het drukverschil p [N/m ] gel p p A p B ρ h A g ρ h B g ρ g (h A h B ), waarbij ρ de soortelijke massa van water ( kg/m ), g de zwaartekrachtversnelling (9.8 m/s ) en h A en h B [m] het waterpeil in de regentonnen. Controle van de eenheden: [N m ] [kg m s m ] [kg m ] [m s ] [m]. We hebben hier gebruik gemaakt van de hint [N] [kg m s ]. (b) In de domeinentabel vinden we de relatie R p/φ, met R [Ns/m 5 ] de weerstand, p [N/m ] de druk en Φ [m /s] het debiet. Dus voor het debiet gel Φ p/r, waarbij R 7 Ns/m 5. NB: In de oorspronkelijke opgave stond dat de weerstand gelijk is aan 7 Ns/m 5. Dit moet dus zijn 7 Ns/m 5. Uiteraard zijn correcte antwoorden met weerstand 7 Ns/m 5 goedgerekend. (c) De differentiaalvergelijking voor het verschil in waterpeil is d(h A h B ) d(v A/O A V B /O B ) dv A dv B O A O B Φ Φ O A O ( B Φ + ) O A O B ( Φ. + ). Φ( + 5) 5 Φ Hierin zijn V A en V B de inhoud van de regentonnen en O A en O B het oppervlak. Beide regentonnen zijn m hoog, dus gegeven dat V A liter. m en V B liter. m, vinden we dat O A V A /. m en O B V B /. m. (d) In opgave (a) vonden we voor het drukverschil p de uitdrukking p ρ g (h A h B ). In opgave (b) vonden we voor het debiet Φ de uitdrukking Φ p R ρ g R (h A h B ). Met behulp van de differentiaalvergelijking van opgave (c) vinden we de volgende differentiaalvergelijking voor het debiet Φ: dφ ρ g R d(h A h B ) 5 ρ g R Φ. Deze differentiaalvergelijking is van de e orde (R, ρ en g zijn constant).

3 (e) Om het debiet als functie van de tijd uit te drukken, moeten we de differentiaalvergelijking van opgave (d) oplossen. De algemene oplossing is Φ(t) A exp( t/τ) + B, waarbij τ R/(5 ρ g) 7 /(5 9.8) 68 s. Voor t gel dat de eerste regenton helemaal vol is en dat de tweede regenton halfvol is, dus h A m en h B.5 m. Dus Φ() A + B ρ g R (h A h B ) (.5).9 [m /s]. Verder gel Φ( ) B. Hieruit volgt A.9 en B. Hoogte [m] Opgave Hoogte A Hoogte B Tijd [s] (f) Voor h A gel dh A dv A En voor h B gel dv A O A. dv A Φ. dh B dv B dv B O B. 5 dv A 5 Φ. Het waterpeil in de eerste regenton daalt dus twee keer zo snel als dat het waterpeil in de tweede regenton stijgt. Aanvankelijk was het verschil in waterpeil.5 m, dus uiteindelijk zal het waterpeil in de eerste regenton. m gedaald zijn en in de tweede regenton.7 m gestegen. Het uiteindelijke waterpeil in beide regentonnen is dus.67 m. De tijdconstante is gelijk aan τ 68 s (opgave (e)). Hiermee hebben we voldoende informatie om het verloop van het waterpeil voor beide tonnen te schetsen (zie bovenstaande figuur).

4 Omdat we de tijdconstante τ kennen, kunnen we h A en h B ook als functie van de tijd bepalen: h A (t) A A exp( t/τ) + B A, waarbij h A () m en h A ( ).67 m, dus A A + B A en B A.67. Hieruit volgt A A. en B A.67. Voor h B gel h B (t) A B exp( t/τ) + B B, waarbij h B ().5 m en h B ( ).67 m, dus A B + B B.5 en B B.67. Hieruit volgt A B.7 en B B.67 (zie bovenstaande figuur voor het exacte verloop van h A en h B ). (g) Voor de halveringstijd t / gel: exp( t / /τ).5. Hieruit volgt t / τ ln(.5) s. Je kunt de halveringstijd t / ook berekenen met behulp van de functies h A (t) en h B (t) zoals hierboven gedefinieerd: h A (t / ) h B (t / ) (h A() h B ()) (A A A B ) exp( t / /τ) + B A B B ( ) (A A A B ) exp( t / /τ) B A + B B exp( t / /τ) B A + B B A A A B t / /τ ln B A + B B A A A B t / τ ln B A + B B A A A B t / τ ln + 6 t / τ ln τ ln ( ) [s].

5 Opgave Spanning [V] 6 8 Tijd [ms]. Het verloop van een spanning U(t) wor gegeven door bovenstaande figuur. (a) Geef met behulp van de grafiek de uitdrukking van U(t) tussen t en t ms. (b) Wat is de gemiddelde spanning? (c) Wat is de effectieve spanning? (d) Geef de Fouriergenalyseerde van U(t), d.w.z. bepaal a en algemene uitdrukkingen in n voor a n en b n. (e) Teken het Fourierspectrum van U(t) (tot en met n ) Antwoord: (a) Tussen t en t s gel U(t) a+bt. Met U() en U( ) vinden we a en b. De spanning U(t) kan dus worden beschreven met U(t) t. (b) De gemiddelde spanning is U gem U(t) [t t t ] (6 8 ) V. Je kunt de gemiddelde spanning ook bepalen door het oppervlak van de driehoek te bepalen: U gem ( ) 8 V. 5

6 (c) De effectieve spanning is U eff 6 U (t) ( t) 6 8 t + 6 t [ 6t t + 6 t ( ] ) 6 6. V. (d) a / is gelijk aan U gem uit opgave (b), dus a U gem V. Voor a n gel a n U(t) cos nπt ( t) cos ( t) cos [( t) sin nπ ( ) + [ nπt nπt nπt ] nπt sin nπ ] nπ sin nπt nπt (nπ) cos ( (nπ) cos(nπ) ) (nπ) cos ( (nπ) ) (nπ) In deze berekening hebben we gebruik gemaakt van het feit dat cos(nπ) voor n,,,.... 6

7 Voor b n gel b n U(t) sin nπt ( t) sin nπt ( t) sin [( t) cos nπ nπt nπt ] nπt cos nπ ( ) cos nπ nπ cos nπt [ ] 8 nπt nπ (nπ) sin ( nπ (nπ) sin(nπ) ) (nπ) sin nπ In deze berekening hebben we gebruik gemaakt van het feit dat sin(nπ) voor n,,,.... (e) De frequenties voor n zijn:, 5, 5, 75, en Hz. Bij elk van deze frequenties (n) bereken je a n en b n. Voor het Fourierspectrum van de amplitude gel dan: 5 pieken bij de frequenties, 5, 5, 75, en Hz met hoogte a n + b n, respectievelijk de waardes, π, π, π en π [V]. Voor het fasespectrum vul je bij de betreffende frequenties in arctan(b n /a n ) en dat levert op, π, π, π en π [rad]. Teken dit in twee staafdiagrammen en je krijgt de figuur op de volgende pagina. 7

8 Amplitude Fourier spectrum Amplitude [V] Fase Fourier spectrum Fase [rad] Frequentie [Hz]. Gegeven is de spannings-overdrachtsfunctie H( jω) H ( jω) H ( jω) jω L R + jω L R + jω L R (a) Teken de Bode Plots van deze overdrachtsfunctie als R kω en L mh. (b) Wat voor soort filter is dit (hoogdoorlaatfilter / laagdoorlaatfilter / bandpassfilter)? Motiveer je antwoord. Aan deze schakeling staat een ingangsspanning U(t) 5 sin( t) + cos( 6 t) + 7 sin( 9 t + π) +. (c) Hoe ziet de spanning aan de uitgang er uit? (d) Teken het Fourierspectrum van ingangs- en uitgangssignaal. (e) Schets een schakeling waarmee deze overdrachtsfunctie gerealiseerd kan worden en laat zien dat deze schakeling ook daadwerkelijk deze overdrachtsfunctie realiseert. 8

9 Antwoord: Bode Diagram Magnitude (db) 5 9 Phase (deg) Frequency (rad/sec) (a) Vul de waarde R [Ω] en L [H] in in de overdrachtsfunctie H: H( jω) jω 6 + jω 6 + jω 6 Beschouw het gedrag van H, dat wil zeggen, bereken H en ϕ H voor ω, ω ω 6 en ω. In onderstaande tabel is H( jω) H ( jω) H ( jω), zodat H H H en ϕ H ϕ H + ϕ H. ω H H H ϕ H ϕ H ϕ H π π π ω π π π π π π π π π π Maak nu grafieken van log H en ϕ H uitgezet tegen log ω (zie bovenstaande figuur). (b) Dit is een bandpassfilter, want zowel lage frequenties (ω ) als hoge frequenties (ω ) worden ernstig verzwakt, terwijl tussenliggende frequenties (ω ω ) veel minder verzwakt worden doorgelaten. (c) Alleen de component cos( 6 t) wor enigszins verzwakt doorgelaten. De overige componenten liggen allen ver van ω en verdwijnen. Uit bovenstaande tabel blijkt dat de amplitude van de component cos( 6 t) wor versterkt met een factor, terwijl de fase onveranderd blijft. De uitgang wor dus U uit.5 cos( 6 t). 9

10 Je mag het ook exact uitrekenen voor de afzonderlijke componenten, bereken daarvoor H en ϕ H bij de betreffende frequenties (,, 6 en 9 ). Vermenigvuldig dan de uitkomst van H bij de frequentie met de amplitude aan de ingang bij die frequentie. Dat product is dan de amplitude van die frequentie aan de uitgang. De waardes van ϕ H bij een bepaalde frequentiecomponent tel je dan op binnen de haken. (d) Het amplitude Fourierspectrum van het ingangssignaal U(t) heeft pieken bij ω, ω, ω 6 en ω 9. Het fase Fourierspectrum heeft pieken bij ω en bij ω 9. Zie onderstaande tabel. ω H ϕ H 5 π π Het amplitude Fourierspectrum van het uitgangssignaal U uit (t) heeft slechts piek bij ω ω 6. De hoogte van deze piek is.5. Het fasespectrum van U uit (t) heeft geen pieken. De fase bij ω is gelijk aan de fase bij ω van het ingangssignaal ( ), omdat bij ω geen fasedraaiing plaatsvin. (e) Deze overdrachtsfunctie kan worden gerealiseerd met twee in serie geschakelde filters. De eerste is een hoogdoorlaatfilter bestaande uit een in serie geschakelde weerstand en spoel (spanning aflezen over de spoel). De tweede is een laagdoorlaatfilter bestaande uit een in serie geschakelde spoel en weerstand (spanning aflezen over de weerstand). Het ingangssignaal van de tweede filter is het uitgangssignaal van de eerste (zie figuur). R L U L R U uit

11 . Gegeven is het volgende spanningssignaal (Volt): ( S (t) + 6 cos(57t) +. sin 98t + π ). (a) Geef aan uit welke Fouriercomponenten dit signaal bestaat. Geef van elk van de componenten de amplitude, fase en frequentie (in Hz). Dit signaal wor bemonsterd en gedigitaliseerd met behulp van een AD converter. De bemonsteringsfrequentie f s is 5 Hz. (b) Wat is de Nyquist frequentie f nyq? (c) Welke frequenties neem je waar aan de uitgang van de AD converter? Het signaal S (t) dient gedigitaliseerd te worden met behoud van de oorspronkelijke frequenties. (d) Maak een gefundeerde schatting van de minimaal benodigde bemonsteringsfrequentie en het minimaal benodigd aantal bits resolutie dat nodig is om signaal S (t) zonder noemenswaardig verlies digitaal te kunnen vastleggen. (e) Geef aan wat bij het gekozen aantal bits de uiteindelijke resolutie is. Antwoord: (a) Frequentie Hz: amplitude en fase. Frequentie 57/(π) Hz: amplitude 6 en fase. Frequentie 98/(π) 7 Hz: amplitude. en fase π/. (b) f nyq f s / 5/ 5 Hz. (c) Voor de eerste componenten gel dat de sample frequentie hoog genoeg is. Deze componenten komen er onvervormd uit. De derde component wor door aliasing vervormd. Er gel f s < f in < f s, dus f uit f in f s 7 5 Hz. Het uitgangssignaal bevat dus de frequenties en Hz. (d) De minimaal benodigde bemonsteringsfrequentie is maal 7 Hz, dus Hz. De grootste amplitude is die van de tweede component en is gelijk aan 6 Volt. De kleinste amplitude is die van de derde component en is gelijk aan. Volt. De gelijkspanningscomponent is Volt, dus het signaal varieert tussen. en +9. Volt. Een mogelijke keuze voor de minimale stapgrootte is de helft van de kleinste amplitude, dus.5 Volt. Aangezien het signaal zowel positief als negatief kan zijn kiezen we voor een bipolaire AD converter. Een bereik van ± Volt volstaat in dit geval. Het minimaal aantal benodigde stapjes is dan gelijk aan /.5. Naast het tekenbit zijn er dus minstens 8 ( 7 8 en 8 56) bits nodig. In totaal dus 9 bits. (e) In het geval van een bipolaire AD converter bij een bereik van ± V is de uiteindelijke resolutie met 9 bits gelijk aan 9.9 [V]. 5